2022年高考数学二轮复习强化训练 2平面向量与复数

1.3 平面向量与复数组合练必备知识精要梳理1.复数的加、减、乘的运算法则与实数运算法则相同,除法的运算就是分母实数化.2.复数z=a+b i(a ,b ∈R )与复平面内的点Z (a ,b )及平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 一一对应,|z-(a+b i)|=r (r ,a ,b ∈R )表示复平面内以(a ,b )为圆心,r 为半径的圆.3.若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)为非零向量,夹角为θ,则a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2.4.若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ⇔a =λb (b ≠0)⇔x 1y 2-x 2y 1=0;a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0.5.平面内三点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)共线⇔AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔(x 2-x 1)(y 3-y 2)-(x 3-x 2)(y 2-y 1)=0. 考向训练限时通关考向一 复数的运算及复数的几何意义1.(2020山东,2)2-i1+2i =( )A.1B.-1C.iD.-i 2.(2020全国Ⅰ,理1)若z=1+i,则|z 2-2z|=( ) A.0 B.1 C.√2 D.23.(多选)若复数z=a+2i1-i在复平面内对应的点在第二象限内,则实数a 的值可以是( )A.1B.0C.-1D.-24.(2020全国Ⅱ,理15)设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=2,z 1+z 2=√3+i,则|z 1-z 2|= .考向二 平面向量的概念及线性运算5.(多选)关于平面向量a ,b ,c ,下列说法中不正确的是 ( ) A.若a ∥b 且b ∥c ,则a ∥c B.(a +b )·c =a ·c +b ·c C.若a ·b =a ·c ,且a ≠0,则b =c D.(a ·b )·c =a ·(b ·c )6.(2020山东泰安一模,6)如图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m+n=( )A.1B.32C.2D.37.(多选)如图所示,四边形ABCD 为梯形,其中AB ∥CD ,AB=2CD ,M ,N 分别为AB ,CD 的中点,则下列结论正确的是( )A.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗B.MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗8.(2020全国Ⅰ,理14)设a ,b 为单位向量,且|a+b |=1,则|a-b |= .考向三 平面向量基本定理及坐标表示9.(2020山东,7)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)10.(2020全国Ⅲ,文6)在平面内,A ,B 是两个定点,C 是动点.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,则点C 的轨迹为( )A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线11.(2020安徽合肥一中模拟,10)如图,已知矩形LMNK ,LM=6,sin ∠MLN=23,圆E 半径为1,且E 为线段NK 的中点,P 为圆E 上的动点,设MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λML ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μMN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最小值是( )A.1B.54C.74D.512.(2020北京,13)已知正方形ABCD 的边长为2,点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ = .考向四 平面向量的数量积13.(2020全国Ⅲ,理6)已知向量a ,b 满足|a |=5,|b |=6,a ·b =-6,则cos <a ,a +b >=( ) A.-3135 B.-1935 C.1735D.193514.(2020山东济南一模,3)体育锻炼是青少年学习生活中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为400 N,则该学生的体重(单位:kg)约为 ( ) (参考数据:取重力加速度大小为g=10 m/s 2,√3≈1.732)A.63B.69C.75D.8115.(多选)(2020海南天一大联考模拟三,10)已知向量a =(√3,1),b =(cos α,sin α),α∈[0,π2],则下列结论正确的有( ) A.|b |=1B.若a ∥b ,则tan α=√3C.a ·b 的最大值为2D.|a-b |的最大值为316.(2020全国Ⅱ,理13)已知单位向量a ,b 的夹角为45°,k a -b 与a 垂直,则k= .1.3 平面向量与复数组合练考向训练·限时通关1.D 解析2-i 1+2i =(2-i )(1-2i )=2-i -4i -21+4=-5i5=-i,故选D .2.D 解析由z=1+i,得z 2=2i,2z=2+2i,故|z 2-2z|=|2i -(2+2i)|=2.3.ABC 解析因为复数z=a+2i1-i =(a+2i )(1+i )2=a -2+(a+2)i2=12(a-2)+12(a+2)i,由复数z 在复平面内对应的点在第二象限内,所以{a -2<0,a +2>0,即-2<a<2,所以实数a 的值可以是-1,0,1.故选ABC .4.2√3 解析设z 1=a+b i,z 2=c+d i,a ,b ,c ,d ∈R .∵|z 1|=|z 2|=2,∴a 2+b 2=4,c 2+d 2=4.又z 1+z 2=(a+c )+(b+d )i =√3+i,∴a+c=√3,b+d=1.∴(a+c )2+(b+d )2=a 2+b 2+c 2+d 2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4. ∴2ac+2bd=-4.∴(a-c )2+(b-d )2=a 2+c 2+b 2+d 2-2ac-2bd=8-(-4)=12. ∴|z 1-z 2|=√(a -c )2+(b -d )2=2√3.5.ACD 解析对于A,若b =0,因为0与任意向量平行,所以a 不一定与c 平行,故A 不正确;对于B,向量数量积满足分配律,故B 正确;对于C,若a ⊥b ,a ⊥c ,则b 与c 不一定相等,故C 不正确; 对于D,(a ·b )·c 是与c 共线的向量,a ·(b ·c )是与a 共线的向量,故D 不正确.故选ACD .6.C 解析连接AO ,由O 为BC 的中点可得,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=m 2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n 2AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,因为M ,O ,N 三点共线,所以m2+n2=1,所以m+n=2.故选C .7.ABD 解析AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故A 正确;MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故B 正确; MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C 错误;BC⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故D 正确.故选ABD . 8.√3 解析∵|a +b |2=(a +b )2=|a |2+|b |2+2a ·b =1+1+2a ·b =1,∴a ·b =-12,∴|a -b |2=(a -b )2=|a |2+|b |2-2a ·b =3,∴|a -b |=√3.9.A 解析如图,以AB 所在的直线为x 轴,AE 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系,易知A (0,0),B (2,0),F (-1,√3),C (3,√3).设P (x ,y ),则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x+0×y=2x. ∵-1<x<3,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为(-2,6),故选A .10.A 解析以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系.设C (x ,y ),A (-a ,0),则B (a ,0),则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+a ,y ),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-a ,y ),由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,得(x+a )(x-a )+y 2=1,整理得x 2+y 2=a 2+1,即点C 的轨迹为圆.故选A .11.B 解析由已知建立如图所示的平面直角坐标系,由LM=6,sin ∠MLN=23,解得MN=12√55,则M (3,-12√55),N (3,0),L -3,-12√55.设P (cos θ,sin θ).因为MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λML ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λMN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =cos θ-3,sin θ+12√55,ML ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,0),MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,12√55.所以MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =cos θ-3,sin θ+12√55=λ(-6,0)+μ0,12√55,即{cosθ-3=-6λ,sinθ+12√55=12√55μ,解得{λ=3-cosθ6,μ=√512sinθ+1.所以λ+μ=32+√512sin θ-16cos θ=32+14sin(θ+φ),当sin(θ+φ)=-1时,λ+μ的最小值是54.故选B .12.-1 解析以点A 为坐标原点,AB ,AD 所在直线分别为x 轴,y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则点A (0,0),B (2,0),C (2,2),D (0,2).∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =1(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=1(2,0)+1(2,2)=(2,1),则点P (2,1).∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1), ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0×(-2)+1×(-1)=-1.13.D 解析∵a ·(a +b )=a 2+a ·b =25-6=19,|a +b |2=a 2+b 2+2a ·b =25+36-12=49,∴|a +b |=7,∴cos <a ,a +b >=a ·(a+b )=195×7=1935.14.B 解析由题意知,两只胳膊的拉力F 1=F 2=400,夹角θ=60°,所以体重G =-(F 1+F 2).所以G 2=(F 1+F 2)2=4002+2×400×400×cos60°+4002=3×4002.所以|G |=400√3(N),则该学生的体重约为40√3=40×1.732≈69(kg).故选B . 15.AC 解析对于A,|b |=2α+sin 2α=1,故A 正确;对于B,若a ∥b ,则√3sin α-cos α=0,∴tan α=√33,故B 错误; 对于C,a ·b =√3cos α+sin α=2sin (α+π3),最大值为2,故C 正确; 对于D,作图可知,当α=π2,即b =(0,1)时,|a-b |取得最大值√3,故D 错误. 16.√22 解析由题意可知,a ·b =|a ||b |cos45°=√22.∵k a -b 与a 垂直,∴(k a -b )·a =k|a |2-a ·b =k-√22=0,∴k=√22.。

小题专项练习(二) 平面向量、复数与框图已知复数z ＝a 2＋i ＋2＋i5的实部与虚部的和为设复数z 满足z －i z＝3．[2018·广西陆川第二次质量检测试卷]下列程序框图中，输出的A现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，．[2018·江苏东台中学质量监测]已知向量a ，b ，c 满足的夹角的正切值为－13，|b |＝1，则＝a＋＋2＝a＋a＋2是纯虚数．1，故选C.＝4a2＋4a·b＋b2＋4cos120°＋1＝3＝a－＋－＋2a－a i5＋2＋i52a＋21－a第五次循环，A ＝116，i ＝6；第六次循环，A ＝119，i ＝7；第七次循环，A ＝122，i ＝8；第八次循环，A ＝125，i ＝9；第九次循环，A ＝128，i ＝10；第十次循环，A ＝131，i ＝11；输出131，故选C.10．A 由BP →＝2PC → 得 AP →－AB →＝2(AC →－AP →)，∴AP →＝13(AB →＋2AC →)＝13m AM →＋23n AN →，∵P ，M ，N 三点共线， ∴13m ＋23n＝1， ∴m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＋23n ＝13＋2m 3n ＋2n 3m ＋43≥53＋249＝3，当且仅当m ＝n 时，等号成立，∴m ＋2n 的最小值为3，故选A. 11．A 取BC 的中点D ， ∵AB →＋PB →＋PC →＝0， ∴AB →＝－(PB →＋PC →)＝－2PD →，∴AB ∥PD ，且|PD →|＝12|AB →|＝1，又∵|PC →|＝|PB →|＝2，D 为BC 的中点， ∴PD ⊥BC ， ∴BC ＝23，∴S △PBC ＝12×23×1＝3，故选A.12．D点D 是线段BC 上一点， 设BD →＝mBC →，∵M 为AD 的中点， ∴BM →＝12BA →＋12BD →＝－12AB →＋m 2BC →＝－12AB →＋m 2(AC →－AB →)。

平面向量一、选择题1.已知方程2(1)0x x a a +-+=，命题甲：1x =是该方程的解；命题乙：2x =-是该方程的解，则命题甲是命题乙的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若平面向量a 与b 满足：||2,||1,||==+=a b a b 则a 与b 的夹角为( )A.30°B.45°C.60°D.120°3.在ABC 中,||||,2,1,,AB AC AB AC AB AC E F +=-==为BC 的三等分点,则AE AF ⋅=( ) A.109 B.259 C.269 D.894.已知222a αα=，(cos ,)2b m α=，若对任意的[11]m ∈-， ，12a b ⋅>恒成立，则角α的取值范围是（ ） A.7π13π(2π,2π)(Z)1212k k k ++∈ B.5π7π(2π,2π)(Z)12132k k k k >++∈ C.π5π(2π,2π)(Z)1212k k k -+∈ D.π7π(2π,2π)(Z)1212k k k -+∈ 5.已知AB AC ⊥，1||AB t =，||AC t =，若P 点是ABC △所在平面内一点，且9||||AB AC AP AB AC =+，则PB PC ⋅的最大值等于( )A.16B.4C.82D.766.在平行四边形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在边CD 上，且满足12,43AE AC CF CD ==，则EF =( )A.13124AB BC +B.13124AB BC --C.13124AB BC -D.13124AB BC -+ 7.设向量(,1)m =a ，(1,2)=b ，且222||||||+=+a b a b ，则m =( )A.1B.2C.-1D.-28.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120︒时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120︒．根据以上性质，已知()()()2,02004A B C -，，，，，P 为ABC △内一点，记()f P PA PB PC =++，则()f P 的最小值为( )A. B.4＋ C.4 D.2二、填空题9.已知向量||1=a ，(1,=-b ，且(2)1⋅-=a a b ，则向量a 与b 的夹角为________.10.已知向量()2,1=a ，()1,m =b ，若22a b a b ⋅+=，则m =________.11.已知平面向量a ，b 满足||=a (2)-⊥a b b ，||2+=a b ，则||=b ________.12、 在 中,, , .设点 , 满足 ,, .若 ,则 . 三、解答题13.已知平面向量(3,2)a =-，()1,b m =-且b a -与(2,1)c =共线.(1)求m 的值；(2)a b λ+与a b -垂直，求实数λ的值.14.若,a b 是两个非零向量,求证:当()b a b λ⊥+时, a b λ+最小.参考答案1.答案：C2.答案：C3.答案：A4.答案：B5.答案：D6.答案：A7.答案：D8.答案：B9.答案：π311.答案：112、13.答案：(1)3m =；(2)4λ=.解析：(1)由题意得：(2,2),(2,1)b a m c -=--=， 因为b a -与(2,1)c =共线所以(2)12(2)0m -⨯--=，解得3m =；(2)由(1)可知(1,3)b =-，于是(3,23)a b λλλ+=+--， 而(2,1)a b -=，由于()()a b a b λ+⊥-，从而2(3)(23)0λλ+-+=，解得：4λ=.14.答案：证明:当b 与()a b R λλ+∈垂直时, ()0b a b λ⋅+=,所以2a b b λ⋅=-.a b λ+==.当2a b b λ⋅=-时, a b λ+取得最小值.所以b 与()a b R λλ+∈垂直时, a b λ+的值最小.。

2.复数、平面向量考向1 复数的概念、运算及几何意义1.(2022·河南开封一模)设(1+i 4n+3)z=i,n ∈Z ,则在复平面内,复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.(2022·全国甲·理1)若z=-1+√3i,则zz -1=( )A.-1+√3iB.-1-√3iC.-13+√33iD.-13−√33i3.(2022·全国乙·理2)已知z=1-2i,且z+a z +b=0,其中a ,b 为实数,则( ) A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-24.(2022·山东潍坊一模)已知复数z 满足z+3=4z +5i,则在复平面内复数z 对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 5.(2022·新高考Ⅰ·2)若i(1-z )=1,则z+z =( ) A.-2B.-1C.1D.2考向2 平面向量的概念及线性运算6. (2022·河南名校联盟一模)如图,在△ABC 中,点M 是AB 上的点且满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 是CM 上的点,且MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.12a +14b B.35a +15b C.14a +12bD.310a +35b7.(2022·河南名校联盟一模)下列关于平面向量的说法正确的是( ) A.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,则点A ,B ,C ,D 必在同一直线上 B.若a ∥b 且b ∥c ,则a ∥cC.若G 为△ABC 的外心,则GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D.若O 为△ABC 的垂心,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 8.(2022·新高考Ⅰ·3)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD=2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n9.(2022·河南许昌质检)正方形ABCD 中,P ,Q 分别是边BC ,CD 的中点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x=( ) A.1113B.65C.56D.3210.(2022·河南名校联盟一模)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°,且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R ,n ∈R ),则n-m= . 考向3 平面向量的数量积11.(2022·新高考Ⅱ·4)已知向量a =(3,4),b =(1,0),c =a +t b ,若<a ,c >=<b ,c >,则实数t=( ) A.-6 B.-5C.5D.612. (2022·新高考八省第二次T8联考)如图,在同一平面内沿平行四边形ABCD 两边AB ,AD 向外分别作正方形ABEF ,正方形ADMN ,其中AB=2,AD=1,∠BAD=π4,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗=( )A.-2√2B.2√2C.0D.-1 13.(2022·山东威海期末)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=2,且a -b 在a 上的投影为2+√3,则<a ,b >=( )A.π6 B.π3C.2π3D.5π614.(2022·山东潍坊期末)已知正方形ABCD 的边长为2,MN 是它的内切圆的一条弦,点P 为正方形四条边上的动点,当弦MN 的长度最大时,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A.[0,1]B.[0,√2]C.[1,2]D.[-1,1]15.(2022·山东济宁一模)等边三角形ABC 的外接圆的半径为2,点P 是该圆上的动点,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.4 B.7C.8D.111 3,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=.16.(2022·全国甲·理13)设向量a,b的夹角的余弦值为2.复数、平面向量1.B 解析: ∵i 4n+3=i 4n ·i 3=-i, ∴(1+i 4n+3)z=(1-i)z=i, ∴z=i1-i =i (1+i )(1-i )(1+i )=-12+12i,∴复数z 在复平面内对应的点为-12,12位于第二象限. 故选B . 2.C 解析: zz -1=√3i(-1+√3i )(-1-√3i )-1=√3i(-1)2+(√3)2-1=-13+√33i,故选C .3.A 解析: ∵z=1-2i, ∴z =1+2i,∴z+a z +b=1-2i +a (1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i =0, ∴{a +b +1=0,2a -2=0, 解得{a =1,b =-2.故选A .4.A 解析: 设z=x+y i,x ,y ∈R ,则z =x-y i,由z+3=4z +5i 得(x+y i)+3=4(x-y i)+5i,即(x+3)+y i =4x+(5-4y )i,于是得{x +3=4x ,y =5-4y ,解得x=y=1,则有z=1+i 对应的点为(1,1),所以在复平面内复数z 对应的点在第一象限. 故选A .5.D 解析: ∵i(1-z )=1, ∴z=i -1i=1+i, ∴z =1-i . ∴z+z =2. 故选D .6.B 解析: AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=45AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45×34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a +15b .7.D 解析: 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,则直线AB 与CD 平行或重合,∴点A ,B ,C ,D 不一定在同一直线上,A 错;当b =0时,满足a ∥b 且b ∥c ,不能得出a ∥c ,B 错; 当G 为△ABC 的重心,则GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,C 错; 若O 为△ABC 的垂心,则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴D 正确,故选D . 8.B解析: 如图.∵BD=2DA ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2m +3n . 故选B .9.C 解析: ∵P ,Q 分别是正方形边BC ,CD 的中点,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +A D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =x (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+y -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x-12y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x+y )AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{x -12y =1,x +y =12,∴{x =56,y =-13,故选C . 10.12解析: 由题意在题图中以O 为原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为x 轴非负半轴,过O 与OA 垂直向上为y 轴正方向建立平面直角坐标系(图略),则A (1,0),∵向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α, tan α=7,∴cos α=√210,sin α=7√210, 又|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,∴C15,75,cos(α+45°)=-35,sin(α+45°)=45,∴B -35,45, ∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴15,75=m (1,0)+n -35,45,∴{m -35n =15,45n =75,解得{m =54,n =74,∴n-m=12. 11.C 解析: 由题意得c =(3+t ,4),cos <a ,c >=cos <b ,c >,故9+3t+16|c |×5=3+t|c |×1,解得t=5.故选C .12.C 解析: AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +A A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos π4+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 3π4+0=√2−√2=0.选C . 13.D 解析: (a -b )·a =|a -b ||a |cos <a -b ,a >=(2+√3)·2, 即a 2-a ·b =4+2√3,a ·b =-2√3.所以|a ||b |cos <a ,b >=-2√3,cos <a ,b >=-√32,<a ,b >=5π6.14.A 解析: 由题当弦MN 长度最大时,即MN 为直径,设弦MN 的中点为O ,由题意,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1=|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2|-1,由1≤|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤√2,得PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[0,1]. 15.C解析: 如图所示,建立平面直角坐标系,设△ABC 的边长为a ,则asinA =2R=4(R 为△ABC 外接圆半径),所以a=2√3,A (0,3),B (-√3,0),C (√3,0),△ABC 的外接圆的方程为x 2+(y-1)2=4,设P 点坐标为(2cos θ,1+2sin θ),θ∈R ,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ (PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4+2√3cos θ+2sin θ=4+4cos θ-π6≤8,当cos θ-π6=1时,等号成立.故选C .。

专题强化训练1．2021·绍兴诸暨高考二模复数满足1＋i＝2i，那么的共轭复数错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误! a{a，b}＝错误!，向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，c＝λa＋μbλ，μ≥0，且λ＋μ＝1，那么当ma{c·a，c·b}取最小值时，|c|＝解析：选A如图，设错误!错误!a{c·a，c·b}＝错误!令fλ＝错误!那么fλ∈错误!所以fλmin＝错误!，此时λ＝错误!，μ＝错误!，所以c＝错误!a＋错误!b＝错误!所以|c|＝错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!，②①2＋②2得4[|co αco β|＋in αin β]≤1＋m2对一切实数α，β恒成立，所以4[|co αco β|＋in αin β]≤1，故a·b＝2co αco β＋in αin β≤2[|co αco β|＋in αin β]≤错误!答案：错误!14．2021·温州市十五校联合体联考坐标平面上的凸四边形ABCD满足错误!错误!错误!错误!错误!错误!＝|错误!错误!错误!错误!的最小值为错误!所以函数fm＝|错误!错误!错误!错误!≥错误!，化为4m2－8m co∠ACB＋1≥0恒成立．当且仅当m＝错误!＝co∠ACB时等号成立，代入得到co∠ACB＝－错误!，所以∠ACB＝错误!所以|错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!＝错误!，故c的最小值为错误!答案：错误!18．在△ABC中，C＝错误!，向量错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!＝2in ，in －co ，n＝错误!co ，in ＋co ，记函数f＝m·n1求函数f的最大值以及取得最大值时的取值集合；2设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设fC＝2，c＝错误!，求△ABC面积的最大值．解：1由题意，得f＝m·n＝2错误!in co ＋in2－co2＝错误!in 2－co2－in2＝错误!in 2－co 2＝2in错误!，所以f ma＝2；当f取最大值时，即in错误!＝1，此时2－错误!＝2π＋错误!∈Z，解得＝π＋错误!∈Z，所以的取值集合为错误!2由fC＝2，得in错误!＝1，又0＜C＜π，即－错误!＜2C－错误!＜错误!，所以2C－错误!＝错误!，解得C＝错误!，在△ABC中，由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab co C，得3＝a2＋b2－ab≥ab，即ab≤3，当且仅当a＝b＝错误!时，取等号，所以S△ABC＝错误!ab in C＝错误!ab ≤错误!，所以△ABC面积的最大值为错误!。

专题升级训练2 平面向量、复数、框图及合情推理(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．已知i 是虚数单位，则3＋i1－i＝( )．A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i2．阅读下面的程序框图，若输出s 的值为－7，则判断框内可填写( )．A ．i ＜3?B ．i ＜4?C ．i ＜5?D ．i ＜6?3．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于( )．A ．－3B ．－10C ．0D ．84．已知向量a ＝(1,2)，a ·b ＝5，|a －b |＝25，则|b |＝( )． A ． 5 B ．2 5 C ．5 D ．255．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( )．A ．1140B ．1105C ．160D ．1426．已知两点A (1,0)，B (1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝5π6，=2+(R)OC OA OB λλ-∈，则λ＝( )．A ．－12B ．12C ．－1D ．1二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 7．两点等分单位圆时，有关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为__________．8．已知向量a ，b 满足|b |＝2，a ＝(6，－8)，a 在b 方向上的投影是－5，则a 与b 的夹角为__________．9．在四边形ABCD 中，()=1,1AB DC ＝，113···||||||BA BC BD BA BC BD +＝，则四边形ABCD 的面积为__________．三、解答题(本大题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分15分)已知函数()11335x x f x --＝，()11335x x g x -+＝.(1)证明f (x )是奇函数；(2)分别计算f (4)－5f (2)g (2)，f (9)－5f (3)g (3)的值，由此概括出涉及函数f (x )和g (x )对所有不等于0的实数x 都成立的一个等式，并证明．11．(本小题满分15分)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，向量b ＝(3，－1)．(1)若a ⊥b ，求θ的值；(2)若|2a －b |＜m 恒成立，求实数m 的取值范围．12．(本小题满分16分)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)和b ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，17π12. (1)求|a ＋b |的最大值；(2)若|a ＋b |＝4105，求sin 2θ的值．参考答案一、选择题1．D 解析：∵3＋i 1－i ＝(3＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝3＋3i ＋i ＋i22＝1＋2i ，∴选D.2．D 解析：i ＝1，s ＝2； s ＝2－1＝1，i ＝1＋2＝3； s ＝1－3＝－2，i ＝3＋2＝5； s ＝－2－5＝－7，i ＝5＋2＝7.因输出s 的值为－7，循环终止，故判断框内应填“i ＜6？”，故选D. 3．D4．C 解析：∵|a －b |2＝(a －b )2＝20，∴|a|2＋|b|2－2a·b ＝20.(*)又a ＝(1,2)，a·b ＝5，∴(*)式可化为5＋|b |2－10＝20，∴|b |2＝25，∴|b |＝5.5．A 解析：由“第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)”可知，第7行第1个数为17，由“其余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为16－17＝142，同理，第7行第3个数为130－142＝1105，第7行第4个数为160－1105＝1140.6．B 解析：如图所示：∠AOC ＝5π6，根据三角函数的定义，可设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r .∵=2+OC OA OB λ-，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ＝(－2,0)＋(λ，3λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－32r ＝λ－2，12r ＝3λ，解得λ＝12.二、填空题7．sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝0 解析：由类比推理可知，四点等分单位圆时，α与α＋π的终边互为反向延长线，α＋π2与α＋3π2的终边互为反向延长线，如图．8．120° 解析：由题意得，|a |·cos〈a ，b 〉＝－5，即cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.9． 3 解析：由AB DC =＝(1,1)，可得|=||=2AB DC 且四边形ABCD 是平行四边形，再由113···||||||BA BC BD BA BC BD +=可知D 在∠ABC 的角平分线上，且以BA 及BC 上单位边长为边的平行四边形的一条对角线长PB ＝3，因此∠ABC ＝π3，所以AB ＝BC ，S ▱ABCD ＝AB ·BC ·sin∠ABC ＝2×2sin π3＝ 3.三、解答题10．(1)证明：f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 又11113333()()()()55x x x x f x f x -------==-=-，故f (x )是奇函数．(2)解：计算知f (4)－5f (2)g (2)＝0，f (9)－5f (3)g (3)＝0，于是猜测f (x 2)－5f (x )g (x )＝0(x ∈R 且x ≠0)．证明：()()()2211113333332550555x x x x x x f x f x g x -----+-⨯⋅=－＝.11．解：(1)∵a ⊥b ，∴3cos θ－sin θ＝0，得tan θ＝ 3.又θ∈[0，π]，∴θ＝π3.(2)∵2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ－32cos θ＝8＋8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3. 又θ∈[0，π]，∴θ－π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. ∴|2a －b |2的最大值为16.∴|2a －b |的最大值为4. 又|2a －b |＜m 恒成立，∴m ＞4.12．解：(1)a ＋b ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)， |a ＋b |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝4＋22(cos θ－sin θ)＝4＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝21＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4. ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，17π12，∴7π6≤θ＋π4≤5π3， ∴－32≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤12. ∴|a ＋b |max ＝ 6.(2)由已知|a ＋b |＝4105，得cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，sin 2θ＝－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4 ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－2×925＝725.。

第2练 平面向量、复数(限时45分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·兰州二诊)复数z ＝(1＋i)2，则|z |＝ A ．0B ．1C ．2D ．3解析 由题得z ＝2i ，所以|z |＝2.故选C. 答案 C2．(2019·长春期末)(2＋2i)(1－2i)＝ A ．4－2iB ．－2iC ．4＋2iD.2i解析 由题意，根据复数的运算(2＋2i)(1－2i)＝2＋2－2i ＝4－2i.故选A. 答案 A3．(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝i(2＋i)，则z －＝ A ．1＋2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i解析 z ＝i(2＋i)＝2i ＋i 2＝－1＋2i ，所以z －＝－1－2i.故选D. 答案 D4．(2019·全国卷Ⅰ)设复数|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．x 2＋(y ＋1)2＝1解析 设z ＝x ＋y i ，故而|z －i|＝|x ＋(y －1)i|＝x 2＋（y －1）2＝1，化简得x 2＋(y －1)2＝1.故选C.答案 C5．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(2，3)，b ＝(3，2)，则|a －b |＝ A. 2B ．2C ．5 2D ．50解析 由已知a －b ＝(2，3)－(3，2)＝(－1，1)，所以|a －b |＝（－1）2＋12＝ 2.故选A.答案 A6．(2019·昆明一检)设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(－1，2)，若a ∥b ，则x ＝ A ．－32B ．－1C.23D.32解析 ∵a ∥b ，∴2(x －1)＋x ＝0，∴ x ＝23.故选C.答案 C7．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 和b 的夹角为 A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 ∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝a ·b －b 2＝|a |·|b |cos θ－|b |2＝0，将|a |＝2|b |代入可得cosθ＝12，即夹角为π3.故选B.答案 B8．(2019·合肥质检)若向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|a －2b |＝7，则|b |＝ A.12B.72C ．1D ．2解析 因为|a －2b |2＝|a |2＋4|b |2－4|a ||b |cos 〈a ，b 〉， 又〈a ，b 〉＝120°，|a |＝1，|a －2b |＝7，所以7＝1＋4|b |2＋2|b |，解得|b |＝－32(舍去)或|b |＝1.故选C.答案 C9．(2019·烟台二模)已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，则“θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π”是“|a－b |>1”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 因为|a －b |>1⇒(a －b )2>1⇒a 2－2a ·b ＋b 2>1⇒1－2×1×1cos θ＋1>1⇒cos θ<12⇒θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π，所以“θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π”是“|a －b |>1”的充分不必要条件．故选B. 答案 B10．(2019·晋城二模)已知向量a ，b 满足2a ＋b ＝(1，2m )，b ＝(1，m )，且a 在b 方向上的投影是255，则实数m ＝A ．士2B ．2C ．± 5D. 5解析 因为向量a ，b 满足2a ＋b ＝(1，2m )，b ＝(1，m )，所以a ＝⎝⎛⎭⎫0，m 2，a ·b ＝m 22，|b |(|a |cos θ)＝1＋m 2·255＝a ·b ＝m 22，所以5m 4－16m 2－16＝0，即(5m 2＋4)(m 2－4)＝0，解得m ＝±2.故选A.答案 A11．(2019·长春质监)已知向量a ＝(cos θ－2，sin θ)，其中θ∈R ，则|a |的最小值为 A ．1B ．2C. 5D ．3解析 因为a ＝(cos θ－2，sin θ)，所以|a |＝（cos θ－2）2＋sin 2θ＝1－4cos θ＋4 ＝5－4cos θ，因为θ∈R ，所以－1≤cos θ≤1， 故|a |的最小值为5－4＝1.故选A. 答案 A12．(2019·南昌二模)已知△ABC 中，AB ＝2，B ＝π4，C ＝π6，点P 是边BC 的中点，则AP →·BC →等于A ．1B ．2C ．3D ．4解析 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得AB sin C ＝AC sin B ，即212＝AC22，解得AC＝22，因为AP →＝AB →＋AC →2，BC →＝AC →－AB →，所以AP →·BC →＝AB →＋AC →2·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12(8－4)＝2.故选B.答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．(2019·宁德质检)复数z ＝1＋2i1－i的实部为________． 解析 复数z ＝1＋2i 1－i ＝（1＋2i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋3i2＝－12＋32i ，则复数z 的实部为－12.答案 －1214．(2019·开封三模)设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1，2)，且a ∥b ，则x ＝________． 解析 由题得2x －(x ＋1)＝0，所以x ＝1. 答案 115．(2019·石家庄二模)在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝1，AD ＝2，∠BAD ＝60°，若CE →＝ED →，DF →＝2FB →，则AE →·AF →＝________．解析 由题意，如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，则|a |＝1，|b |＝2，又由CE →＝ED →，DF →＝2FB →，所以E 为CD 的中点，F 为BD 的三等分点， 则AE →＝b ＋12a ，AF →＝b ＋23(a －b )＝23a ＋13b ，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·⎝⎛⎭⎫23a ＋13b ＝13a 2＋56a ·b ＋13b 2＝13×12＋56×1×2cos 60°＋13×22＝52. 答案 5216．(2019·泰安二模)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝π3，AD →＝2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →＝mAC →＋12AB →，若△ABC 的面积为23，则|AP →|的最小值为________．解析 因为△ABC 的面积为23， 所以12|AB ||AC |sin A ＝23，∴12|AB ||AC |sin π3＝23，|AB ||AC |＝8， 因此AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos π3＝4，因为AP →＝mAC →＋12AB →＝mAC →＋34AD →，所以m ＋34＝1，m ＝14因此|AP →|2＝⎪⎪⎪⎪14AC →＋12AB →2＝116AC →2＋14AB →2＋14AC →·AB →＝116|AC →|2＋14|AB →|2＋1≥2×14|AC →|·12|AB →|＋1＝3， 当且仅当2|AC →|＝|AB →|＝4时取等号 即|AP →|≥3，|AP →|的最小值为 3. 答案 3。

2021年高考数学二轮复习练酷专题课时跟踪检测二平面向量与复数理1．(xx·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选 C z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限．2．(xx·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22C. 2 D ．2解析：选C 因为z ＝2i 1＋i ＝2i 1－i1＋i 1－i＝i(1－i)＝1＋i ，所以|z |＝ 2.3．(xx·沈阳模拟)已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12，若a ∥b ，则实数x 的值为( )A ．－23 B.23 C.38 D ．－38解析：选C ∵a ∥b ，∴3×12＝4x ，解得x ＝38.4．(xx 届高三·西安摸底)已知非零单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角是( )A.π6 B.π3 C.π4 D.3π4解析：选D 由|a ＋b |＝|a －b |可得(a ＋b )2＝(a －b )2，即a ·b ＝0，而a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝－|a |2＜0，即a 与b －a 的夹角为钝角，结合选项知选D.5．(xx·湘中模拟)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(x ，－3)，若(2a ＋b )⊥b ，则|a |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：选D 因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即(3x ，3)·(x ，－3)＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1，所以a ＝(±1，3)，|a |＝±12＋32＝2.6．(xx·广西五校联考)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB ―→＝2DC ―→，则( ) A ．BD ―→＝AC ―→－32AB ―→B ．BD ―→＝32AC ―→－AB ―→C ．BD ―→＝12AC ―→－AB ―→D ．BD ―→＝AC ―→－12AB ―→解析：选A BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝BC ―→－DC ―→＝AC ―→－AB ―→－12AB ―→＝AC ―→－32AB ―→.7．(xx 届高三·云南调研)在▱ABCD 中，|AB ―→|＝8，|AD ―→|＝6，N 为DC 的中点，BM ―→＝2MC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．48B ．36C ．24D ．12解析：选CAM ―→·NM ―→＝(AB ―→＋BM ―→)·(NC ―→＋CM―→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋23 AD ―→ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AB ―→－13 AD ―→ ＝12AB ―→2－29AD ―→2＝12×82－29×62＝24. 8．(xx 届高三·广西五校联考)已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0171－i＝( )A ．1B ．0C ．iD ．1－i解析：选C 因为z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a ＝1，则有1＋i 2 0171－i ＝1＋i 1－i ＝1＋i 21＋i 1－i＝i.9．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→ 在BA ―→方向上的投影是( )A ．－3 5B ．－322C ．3 5 D.322解析：选A 依题意得，BA ―→＝(－2，－1)，CD ―→＝(5,5)，BA ―→ ·CD ―→＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|BA ―→|＝5，因此向量CD ―→在BA ―→方向上的投影是BA ―→·CD ―→|BA ―→|＝－155＝－3 5.10．(xx 届高三·湖南五校联考)△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB ―→＝2a ，AC ―→＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C 法一：设向量a ，b 的夹角为θ，BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，∴|BC ―→|＝|b |＝2，|AB ―→|＝2|a |＝2，∴|a |＝1，AC ―→2＝(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝8＋8cos θ＝4，∴cos θ＝－12，θ＝120°.法二：BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，则向量a ，b 的夹角为向量AB ―→与BC ―→的夹角，故向量a ，b 的夹角为120°.11．(xx·长春模拟)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD ―→＝13AB ―→＋12AC ―→，则S △BCDS △ABD＝( ) A.16 B.13 C.12 D.23解析：选B 如图，由已知得，点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，S△BCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC，所以S △BCD S △ABD ＝13.12．(xx·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5 D ．2 解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为222＋12＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y－2)2＝45.因为P 在圆C 上，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ.又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.13．(xx·成都模拟)若复数z ＝a i1＋i(其中a ∈R ，i 为虚数单位)的虚部为－1，则a ＝________.解析：因为z ＝a i1＋i ＝a i·1－i 1＋i 1－i ＝a 2＋a 2i 的虚部为－1，所以a 2＝－1，解得a ＝－2.答案：－214．(xx·兰州诊断)已知向量OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→(m ＞0，n ＞0)，若m ＋n ＝1，则|OC ―→|的最小值为________．解析：由OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，得OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→＝(3m ＋n ，m －3n )，因为m ＋n ＝1(m ＞0，n ＞0)，所以n ＝1－m 且0＜m ＜1，所以OC ―→＝(1＋2m,4m －3)，则|OC ―→|＝1＋2m2＋4m －32＝20m 2－20m ＋10＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋5(0＜m ＜1)，所以当m ＝12时，|OC ―→|min ＝ 5.答案： 515．(xx 届高三·石家庄调研)非零向量m ，n 的夹角为π3，且满足|n |＝λ|m |(λ＞0)，向量组x 1，x 2，x 3由一个m 和两个n 排列而成，向量组y 1，y 2，y 3由两个m 和一个n 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3所有可能值中的最小值为4m 2，则λ＝________.解析：由题意：x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3的运算结果有以下两种可能：①m 2＋m ·n ＋n 2＝m 2＋λ|m ||m |cos π3＋λ2m 2＝⎝⎛⎭⎪⎫λ2＋λ2＋1m 2；②m ·n ＋m ·n ＋m ·n ＝3λ|m ||m |cos π3＝3λ2m 2.又λ2＋λ2＋1－3λ2＝λ2－λ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋34＞0，所以3λ2m 2＝4m 2，即3λ2＝4，解得λ＝83. 答案：8316.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从点D 出发，按字母顺序D →A →B →C 沿线段DA ，AB ，BC 运动到点C ，在此过程中DE ―→·CD ―→的取值范围为________．解析：以BC ，BA 所在的直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，可得A (0,1)，B (0,0)，C (1,0)，D (1,1)．当E 在DA 上时，设E (x,1)，其中0≤x ≤1， ∵DE ―→＝(x －1,0)，CD ―→＝(0,1)， ∴DE ―→·CD ―→＝0；当E 在AB 上时，设E (0，y )， 其中0≤y ≤1，∵DE ―→＝(－1，y －1)，CD ―→＝(0,1)，∴DE ―→·CD ―→＝y －1(0≤y ≤1)，此时DE ―→·CD ―→的取值范围为[－1,0]； 当E 在BC 上时，设E (x,0)，其中0≤x ≤1， ∵DE ―→＝(x －1，－1)，CD ―→＝(0,1)， ∴DE ―→·CD ―→＝－1.综上所述，DE ―→·CD ―→的取值范围为[－1,0]． 答案：[－1,0]。