苏科版九年级下6.5相似三角形的性质(2)同步练习及答案

6.5相似三角形的性质同步课时训练一、单选题1．如图，A、B是双曲线kyx=上的两个点，过点A作AC x⊥轴，垂足为C，AC交OB于点D，D为OB的中点．若ODC△的面积为1．则k的值为（）A．34B．2 C．4 D．82．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠ADE＝90°，如图所示放置，边AE，AD与BC交于点M，N．则图中一定相似的三角形有（）对．A．2 B．3 C．4 D．53．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE，BD 交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（）A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25 4．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于（）A．23B．1 C．32D．25．如图，在△ABC中，EF//BC，12AEAB=，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）.A．9 B．10 C．12 D．13 6．如图，在等边ABC的,AC BC边上各任取一点,P Q（均不与端点重合），且AP CQ=，,AQ BP相交于点O，若PC mAP=，BO nOP=，则（）A．1n m=+B．2n m m=+C．11nm=+D．21nm m=+7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．485B．325C．245D．1258．如图，在△ABC中，BC=3，点D为AC延长线上的一点，AC=3CD，过点D作DH// AB，交BC的延长线于点H，若∠CBD=∠A，则AB的长为（）A．6 B．5 C．4 D．4.29．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，若AD＝2，DB＝3，则DE BC＝（）A．23B．35C．25D．4910．如图，在△ABC中，AC＝4，D是AC上一点，AD＝1，M、N分别是BD、BC的中点，若∠ABD＝∠ACB，则AMAN的值是（）A ．14B ．13C ．12D ．23二、填空题11．如图，将边长为8的正方形纸片ABCD 沿着EF 折叠，使点C 落在AB 边的中点M 处．点D 落在点D '处，MD '与AD 交于点G ，则△AMG 的内切圆半径的长为_____．12．如图，在Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，6AB =，直线AB 经过原点O ，AC 交x 轴于点D ，:3:2CD AD =，若反比例函数k y x=经过A ，B 两点，则k 的值为___________．13．如图，已知△ABC 的中线AD=4，将△ABC 沿AD 平移到△A′B′C′的位置，若△ABC 的面积为16，重叠部分三角形的面积9．则AA′等于______14．如图，点A （0，1），点B （- ，0），作OA 1⊥AB ，垂足为A ，以OA 1为边做Rt △A 1OB 1，使∠A 1OB 1=90°，使∠B 1=30；作OA 2⊥A 1B 1，垂足为A 2，再以OA 2为边作Rt△A2OB2,使∠A2OB2=90°，∠B2=30°，…，以同样的作法可得到Rt△A n OB n．则当n=2018时，点B2018纵坐标为________ ．15．如图，D、E分别为ABC中AB、BC的中点，又F是BE的中点，若DCF的面积为63，则ABC的面积为___．16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，D为AC的中点，过点A作AE∥BC，连接BE，∠EBD＝∠CBD，BD＝6.5，则BE的长为__．三、解答题17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若过点A且与BC平行的直线交BE延长线于点G，连接CG，设⊙O半径为5．①当CF＝时，四边形ABCG是菱形；②当BC＝ABCG的面积是．18．如图，直线122y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于B ，抛物线2y ax bx c =++与直线交于A ，E 两点，与x 轴交于C ，D 两点，且()1,0C ，()4,0D ．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 为线段CD 上一点，作PQ x ⊥轴交于AE 于Q ，当PQ EQ =时，求点P 的坐标．（3）作EF CE ⊥交x 轴于F ，点G 是第四象限内抛物线上一点，若以C ，D ，G 为顶点的三角形与BEF ∆相似，求出点G 的坐标．19．如图，直线l 交x 轴的负半轴于点A ，交y 轴的正半轴于点B ，且tan ∠BAO = 12，与双曲线y =k x（x >0）相交于点P ，PC ⊥x 轴于点C ，且PC =2，AB =（1）求双曲线的解析式；（2）若点Q 为双曲线上点P 右侧的一点，且QH ⊥x 轴于H ，当以点Q 、C 、H 为顶点的三角形与△AOB 相似时，求点Q 的坐标．20．如图，∠ABD ＝∠BCD ＝90°，DB 平分∠ADC ，过点B 作BM //CD 交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ．（1）求证：BD 2＝AD •CD ．（2）若CD ＝6，AD ＝8，求MC 的长．参考答案1．D2．C3．C4．C5．A6．B7．C8．A9．C10．C11．4 312．13．114．10102019 3215．50416．169 2417．（1）见解析；（2）①52；②100．【详解】解：（1）连接AD，OD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵△ABC是等腰三角形，∴BD＝DC，又∵AO＝BO，∴OD∥AC，∵DF ⊥AC ，∴DF ⊥OD ，∴DF 是⊙O 的切线；（2）解：①∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BC ，∵△ABC 是等腰三角形，∴BD ＝DC ，又∵AO ＝BO ＝12AB ＝5， ∴AB ＝10，若四边形ABCG 是菱形，则BA ＝BC ，∴△ABC 是等边三角形，∴CD ＝12BC ＝12AB ＝5，∠ACB ＝60°， ∵DF ⊥AC ，∴CF ＝12CD ＝52， ∴当CF ＝52时，四边形ABCG 是菱形； 故答案为：52； ②∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝∴AD∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝∠ADB ＝90°，∴∠ADC ＝90°，∵∠ACB ＝∠ACB ，∴△ACD ∽△BCE ，∴AC CDBC CE =＝AD BE = ∴CE ＝4，BE ＝8，∴AE ＝AC ﹣CE ＝6，∵AG ∥BC ，∴△AGE ∽△BCE ， ∴AE GE CE BE =，即648EG =， ∴EG ＝12，∴四边形ABCG 的面积＝S △ABC +S △ACG ＝12×12×10×12＝100． 故答案为：100．18．（1）215222y x x =-+；（2）172⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；（3）()2,1-或()3,1-． 【详解】解：（1）122y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于B ， ∴令0y =，则2y =，即()0,2A ，令0y =，则1202x +=，解得4x =-，即()4,0B -， ∵抛物线2y ax bx c =++过()1,0C ，()4,0D ， ∴()()14y a x x =--，将()0,2A 代入()()14y a x x =--得：42a =， 解得12a =，∴()()()2141542y a x x x x =---+=215222x x =-+， ∴抛物线解析式215222y x x =-+． （2）设P 点坐标为(),0m （14m ≤≤）， ∵PQ x ⊥轴，点Q 在直线122y x =+上， ∴1,22Q m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴122PQ m =+， 联立212215222y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 整理得260x x -=，10x =，26x =，当6x =时，16252⨯+=， ∴()6,5E ， ∴()22216522EQ m m ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭ 2213612934m m m m =-++-+ 2515454m m =-+，∵EQ PQ =， ∴2511545242m m m ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭ 21244m m =++， 整理得217410m m -+=，解得：1172x +=（舍），2172x -=，∴点P 的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭． （3）过E 作EH x ⊥轴于H ，∵()6,5E ，()1,0C ，∴()6,0H ，∴5CH EH ==，∴45HCE HEC ∠=∠=︒，∵CE CF ⊥，∴90CEF ∠=︒，∴45HEF HFE ∠=∠=︒∴5HE HF ==，EF ==，∴()11,0F ，∵()4,0B -，∴15BF =，若45BFE CDG ∠=∠=︒，则DG 所在的直线解析式为4y x =-，联立2415222y x y x x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩， 整理得27120x x -+=，()()340x x --=，13x =，24x =，当3x =时，y ＝3－4＝﹣1，∴G 点坐标为()3,1-，此时DG =，3CD =，∴BF CD EF DG ===，即BF EF CD DG =， ∴BEF CGD ∆∆∽，故当G 点坐标为()3,1-时，BEF CGD ∆∆∽，由抛物线的对称性可知，()3,1G -关于对称轴直线52x =的对称点()2,1G '-， CDG DCG ∆∆'≌，∴BEF CG D ∆∆'∽，综上所述，当G 点坐标为()2,1-或()3,1-时，以C ，D ，G 为顶点和三角形与BEF ∆相似．19．（1）4y x =；（2）(4，1)或1,2) 【详解】解：（1）∵1tan BAO 2∠=， 设OB=a ，则OA=2a ，又∵∴2245a a ，∴a=1，∴A点坐标为(-2，0)，B点坐标为(0，1)∴y＝12x+1，由PC＝2，把y＝2代入y＝12x+1中，得x＝2，即P(2，2)，把P代入y＝kx得：k＝4，则双曲线解析式为y＝4x；（2）设Q(m，n)，∵Q（m，n）在y＝4x上，∴n＝4m，当△QCH∽△BAO时，可得CH QHAO BO=，即221m n-=，∴m﹣2＝2n，即m﹣2＝8m，整理得：m2﹣2m﹣8＝0，解得：m＝4或m＝﹣2（舍去），∴Q(4，1)；当△QCH∽△ABO时，可得CH QHBO AO=，即212m n-=，整理得：2m﹣4＝4m，解得：m＝m＝1（舍），∴2)，综上，Q(4，1)或﹣2)．20．（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∵∠ABD＝∠BCD＝90°，∴△ABD∽△BCD，∴BD：CD＝AD：BD，∴BD2＝AD•CD；（2）解：∵BM//CD，∴∠MBD＝∠CDB，BM⊥BC，而∠MDB＝∠CDB，∴∠MBD＝∠MDB，∴MB＝MD，∵∠A+∠ADB＝90°，∠ABM+∠MBD＝90°，∴∠A＝∠ABM，∴MA＝MB，∴MA＝MB＝MD＝12AD＝4，∵BD2＝AD•CD，CD＝6，AD＝8，∴BD2＝8×6＝48，在Rt△BCD中，BC2＝BD2﹣CD2＝48﹣62＝12，在Rt△BCM中，MC＝。

相似形第02课 相似三角形的性质知识点：相似形性质： 相等、 成比例，相似三角形的对应边之比也叫(1)相似三角形 、 和 都等于相似比.(2)相似三角形周长的比等于 .(3)相似三角形面积的比等于 .重要方法：(1)相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根.(2)相似三角形中的相似比和面积比的关系，应注意相似三角形这个前提，否则不成立.(3)对于同底等高的两个三角形的面积比等于射影定理：例1.如图,在△ABC 中,DE∥BC ,AC=4,AB=3,EC=1.求AD 和BD.例2.如图,在□ABCD 中,EF ∥AB,DE:EA=2:3,EF=4,求CD 的长．例3.如图,AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚B 距墙脚1.6m,梯上点D 距墙1.4m,BD=0.55m ，求该梯子的长.BDAD CD AB BD BC ABAD AC ⋅=⋅=⋅=222例4.如图,D 、E 分别是AC,AB 上的点,∠ADE=∠B,AG ⊥BC 于点G,AF ⊥DE 于点F.若AD=3,AB=5，求：(1)AFAG ；(2)△ADE 与△ABC 的周长之比；(3)△ADE 与△ABC 的面积之比.例5.如图，一个矩形ABCD 的长AD=acm ，宽AB=bcm ，E,F 分别是AD,BC 的中点，连接E,F ，所得新矩形ABFE 与原矩形ABCD 相似，求a:b 的值．例6.如图,△ABC 是一锐角三角形,边BC=120,高AD=80,P 为AD 上一动点,过P 点作EF ∥BC,交AC 、AB 于E 、F 两点,过E 作EH ⊥BC 于H 点,过F 作FG ⊥BC 于G 点,得到矩形EFGH.设FG=x,矩形EFGH 面积为S 。

(1)如图1,找出S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)如图2,当x 取何值时，矩形EFGH 面积S 有最大值？最大值是多少？同步练习：1.在△ABC 和△DEF 中,AB=2DE ，AC=2DF,∠A=∠D,如果△ABC 的周长是16,面积是12,那么△DEF 的周长、面积依次为( )A.8，3B.8，6C.4，3D.4，62.如图所示，下面四个选项中，与已知三角形成相似的是（ ）3.一个五边形的各边长分别为1,2,3,4,5，另一个和它相似的五边形的最大边的长为7，则后一个五边形的周长为( )A.27B.25C.21D.184.两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23,它们周长的差是40,则这两个三角形的周长分别为( ) A.75,115 B.60,100 C.85,125 D.45,855.一个五边形改成与它相似的五边形,如果面积扩大为原来的9倍,那么周长扩大为原来的( )A.9倍B.3倍C.81倍D.18倍6.已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为2:3，△A 1B 1C 1∽A 2B 2C 2，相似比为5:4，则△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为（ ） A.56 B.65 C.56或65 D.158 7.在坐标系中,已知A （-3,0），B （0,-4），C （0,1）,过点C 作直线L 交x 轴于点D,使得以点D 、C 、O 为顶点的三角形与△AOB 相相似,这样的直线一共可以作出（ ）条.A.6B.3C.4D.58.如图,将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转900得△A /OB /．已知∠AOB=300,∠B=900,AB=1,则B /点的坐标为 ( ) A.)2323(， B.)2323(， C.)2321(， D.)2123(，第8题图 第9题图9.如图，在正△AABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于（ ）A.1:3B.2:3C.3:2D.3:3 10.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900,BC=3，AC=4,AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ） A.32 B.76 C.256 D.2第10题图 第11题图 第12题图11.如图，在△ABC 中,AB=12,AC=10,BC=9,AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠,使点A 与点D 重合，折痕为EF,则△DEF 的周长为( )A.9.5B.10.5C.11D.15.512.如图,已知∠ABD=∠ACD ，图中相似三角形的对数是（ ）A.2B.3C.4D.513.如图，已知∠B=∠CAD ，BC=2AC,S △ABC =a,则△ABD 的面积为（ ）A.a 21B.a 41C.a 43D.a 32第13题图 第14题图14.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为（ ） A.16B.17C.18D.19 15.若235a b c ==（abc ≠0），则a b c a b c ++-+=_______ 16.填空：1）已知两个相似三角形的对应角平分线的比是1：4，则对应高的比为_____，面积的比为_____。

九年级数学下册同步练习6.4探索三角形相似的条件（三边成比例的两个三角形相似）一、选择题1.下面给出4个结论：①所有的等腰三角形都相似；②所有的直角三角形都相似；③所有的等边三角形都相似；④所有的矩形都相似，其中正确的有A．1个B．2个C．3个D．4个,2，2，△A'B'C'的两边长分别为1，5，要使△ABC∽△A'B'C'，则△A'B'C' 2.△ABC的三边长分别为10的第三边长为（）3.如图，小正方形的边长均为1，则图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A B C D4.若一个三角形的三边长分别是5cm.6cm.8cm，另一个三角形三边的长分别是24cm.15cm.18cm，则这两个三角形（）A．全等B．相似C．不相似D．不一定相似5.下面给出4个结论：①所有的等腰三角形都相似；②所有的直角三角形都相似；③所有的等边三角形都相似；④所有的矩形都相似，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6.如图，∠AOD＝90°，OA＝OB＝BC＝CD，下列结论正确的是（）A．△OAB∽△OCA B．△OAB∽△ODAC．△BAC∽△BDA D．△AOC∽△DOA第6题第7题7.如图，若A.B.C.P.Q.甲.乙.丙.丁都是方格纸中的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲.乙.丙.丁四点A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题8.在△ABC中，AB：BC：CA＝2：3：4，在△A'B'C'中，A'B'＝1，C'A'＝2，当B'C'＝＿＿＿＿＿时，△ABC∽△A'B'C'9.在△ABC中，BA＝6，AC＝8，在△A'B'C'中，A'B'＝4，A'C'＝3，若BC：B'C'＝＿＿＿＿＿，则△ABC∽△＿＿＿＿＿＿＿＿10.已知：在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6（1）如果DE＝10，那么当EF＝＿＿＿，FD＝＿＿＿＿时，△DEF∽△ABC；（2）如果DE＝10，那么当EF＝＿＿＿，FD＝＿＿＿＿时，△FDE∽△ABC.11.如图，在△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于点D．给出下列结论：①∠AFC=∠C；②DF=CF；③△ADE∽△FDB；④∠BFD=∠CAF，其中正确的结论是＿＿＿＿＿＿(写出所有正确结论的序号)．第11题第12题12.如图，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，则∠A1E2A2+∠A4E2C4+∠A4E5C4=＿＿＿＿＿．13.在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，底角平分线BD交AC于点D，得点D是线段AC的黄金分割点．若AC=10 cm．则AD≈＿＿＿＿＿cm．三、解答题14.在△ABC和△A’B’C’中，AB＝12，BC＝15，AC＝24，A’B’＝25，B’C’＝40，C’A’＝20.求证：△ABC 和△A’B’C’相似.15.如图，已知O为△ABC内一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点．（1）求证：△DEF∽△ABC．（2）图中还有哪几对相似三角形？16.如图，在△ABC 和△ADE 中，AE AC DE BC AD AB ==，试说明△ABD ∽△ACE.17.如图，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC 的顶点A.B.C 在单位正方的顶点上，请在图中画出一个△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C 1∽△ABC （相似比不为1），且点A 1，B 1，C 1都在单位正方形的顶点上.18.如图，已知格点△ABC ，请在图中分别画出与△ABC 相似的格点△A 1B 1C 1和格点△A 2B 2C 2，并使△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比等于2，而A 2B 2C 2与△ABC 的相似比等于5.19.已知：如图在△ABC 中，AD 为边BC 上的高，E.F 分别为边AB.AC 上的中点，△DEF 与△ABC 相似吗？说明你的理由.20.如图，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．(1)请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；(2)若∠OBD=15°，AM=4，求AB的长。

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯6.5相似三角形的性质同步练习一．选择题1．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2．△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2．则下列说法正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．如图，在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠B．若AD＝2，BD＝3，则AC等于（）A．5B．6C．D．3．如图，AC⊥BC，AC：BC＝3：4，D是AC上一点，连接BD，与∠ACB的平分线交于点E，连接AE，若S△ADE＝，S△BCE＝，则BC＝（）A．4B．8C．5D．104．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段EF的长为（）A．2B．3C．4D．55．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D是AC中点，E是BC上一点，BE＝，∠AED＝∠B，则CE的长为（）A．B．C．D．6．已知两个相似三角形的面积之比为4：9，则这两个相似三角形的对应边之比是（）A．16：81B．4：9C．9：4D．2：37．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝BD＝5，AB＝6，E为AB的中点，F为CD上一点，连接EF交BD于点G，若S△FDG：S△EDG＝2：3，则EF的长是（）A．B．2C．2D．58．在圆内接四边形ABCD中，∠ACB＝∠ACD＝60°，对角线AC、BD交于点E．已知BC＝4，CD＝2，则CE＝（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC中，DE∥AC，AE、DC交于点F，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．10．如图，矩形ABCD是由三个全等矩形拼成的，AC与DE、EF、FG、HG、HB分别交于点P、Q、K、M、N，设△EPQ、△GKM、△BNC的面积依次为S1、S2、S3．若S1+S3＝30，则S2的值为（）A．6B．8C．10D．12二．填空题11．如图，已如AB＝AC＝DE，D为BC延长线上一点，过D作DE⊥BC于E交AC于F，若AB＝m，AF ＝n，则AE+EF（用含m，n的式子表示）．12．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CD⊥AD，点E为AB的中点，DE交AC于点F．若AB＝，AC＝，BC＝1，则AF的长为．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝3cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm 的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．设点P运动的时间为t秒，当△PBQ是直角三角形时，t的值为．14．如图，四边形EFGH是△ABC内接正方形，BC＝20cm，高AD＝12cm，则内接正方形的边长EF＝cm．15．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②2S△BFG＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正确的是．（填写所有正确结论的序号）三．解答题16．已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B＝∠DAE．（1）求证：△ABC∽△DAE；（2）若AB＝8，AD＝6，AE＝12，求BC的长．17．如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE交于点F，连接DE．（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）求证：△ADE∽△ABC；（3）若BE＝CE＝，CD＝1，求DF的长．18．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BE＝FD，AF的延长线交BC的延长线于点H，AE的延长线交DC的延长线于点G．（1）求证：△AFD∽△GAD；（2）如果DF2＝CF•CD，求证：BE＝CH．参考答案一．选择题1．解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∴＝＝，＝（）2＝，∴选项C正确，选项D错误，∵无法确定，的值，故选项A，B错误，故选：C．2．解：在△ADC和△ACB中，∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴AC：AB＝AD：AC，∴AC2＝AB•AD，∵AD＝2，AB＝AD+BD＝2+3＝5，∴AC2＝5×2＝10，∵AC＞0，∴AC＝，故选：D．3．解：过点E作BC，AC的垂线，垂足分别为F，G，设BC＝4x，则AC＝3x，∵CE是∠ACB的平分线，EF⊥BC，EG⊥AC，∴EF＝EG，又S△BCE＝，S△ADE＝，∴AD＝BC＝x，∴CD＝2x，∵四边形EFCG是正方形，∴EF＝FC，∵EF∥CD，∴△BEF∽△BDC，∴＝，即＝，解得，EF＝x，则×4x×x＝，解得，x＝2，则BC＝4x＝8，故选：B．4．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴，∵DF＝6，∴AF＝＝，∴，∴AE＝5，∴EF＝AF﹣AE＝8﹣5＝3．故选：B．5．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠AED＝∠B，∴∠DEC＝∠BAE，∴△BAE∽△CED，∴＝，∵AB＝AC＝6，AD＝DC＝3，BE＝，∴＝，∴CE＝，故选：C．6．解：∵相似三角形的面积的比等于相似比的平方．∴两个相似三角形的面积之比为4：9时，这两个相似三角形的对应边之比是2：3．故选：D．7．解：∵AD＝BD，E为AB的中点，∴DE⊥AB，AE＝BE＝AB＝3，∴DE＝＝＝4，∵S△FDG：S△EDG＝2：3，∴FG：EG＝2：3，∵AB∥CD，∴△DFG∽△BEG，∴＝＝，∴DF＝2，∵AB∥CD，DE⊥AB，∴DE⊥CD，∴EF＝＝＝2．故选：B．8．解：∵∠ABD＝∠ACD＝60°，∠ADB＝∠ACB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴DA＝DB，在AC上截取AF＝BC＝4，如图，在△ADF和△BCD中，∴△ADF≌△BCD（SAS），∴DF＝CD，而∠DCF＝60°，∴△DCF为等边三角形，∴CF＝CD＝2，∴AC＝AF+CF＝4+2＝6，∵∠CBE＝∠CAD，∠BCE＝∠ACD，∴△BCE∽△ACD，∴BC：AC＝CE：CD，即4：6＝CE：2，∴CE＝．故选：D．9．解：∵DE∥AC∴＝，而AD是否等于BC不清楚，故A错误；∵DE∥AC∴△DEF∽△ACF∴＝，而FC未必等于FE，故B错误；∵DE∥AC∴△BDE∽△BAC∴＝故C正确；∵△DEF∽△ACF∴＝，无法得知的值是否等于，故D错误．综上，只有C正确．故选：C．10．解：∵矩形ABCD是由三个全等矩形拼成，∴△ADE≌△EFG≌△GHB，∴∠AED＝∠EGF＝∠GBH，∴∠DEF＝∠FGH＝∠HBC，∵FE∥HG∥BC，∴∠AQE＝∠AMG＝∠ACB，∴△EPQ∽△GKM∽△BNC，∵QE∥MG，∴△AEQ∽△AGM，∴＝＝，∴＝（）2＝，∴S1＝S2，∵MG∥CB，∴△AGM∽△ABC，∴＝＝，∴＝（）2＝，∴S3＝S2，∵S1+S3＝30，∴S2+S2＝30，∴S2＝12．故选：D．二．填空题11．解：过F点作FH∥AB交BD于H，∴△DFH∽△DEB，∠B＝∠FHC，设AE＝x，EF＝y，则x2+y2＝n2，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠FHC＝∠ACB，∴FH＝FC＝m﹣n，∵△DFH∽△DEB，∴＝，∵AB＝AC＝DE，AB＝m，AF＝n，∴＝，∴m（m﹣n）＝（m﹣EF）（m﹣AE），即m2﹣mn＝m2﹣m（AE+EF）+AE×EF，∵DE⊥BC，∴∠DEA＝90°，∴n2＝AE2+EF2，∵（AE+EF）2＝AE2+2AE×EF+EF2＝n2+2AE×EF，∴AE×EF＝[（AE+EF）2﹣n2]，∴m2﹣mn＝m2﹣m（AE+EF）+[（AE+EF）2﹣n2]，∴（AE+EF）2﹣2m（AE+EF）+2mn﹣n2＝0，（AE+EF﹣n）（AE+EF﹣2m+n）＝0，∴AE+EF＝n，AE+EF＝2m﹣n，∵AE+EF＝n时，AE+EF＝（n2﹣n2）＝0，不合题意舍去，∴AE+EF＝2m﹣n．故答案为：＝2m﹣n．12．解：在△ACB中，AB＝，AC＝，BC＝1，∴（）2＝（）2+12，∴△ACB是直角三角形，即∠ACB＝90°，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠ACB，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB（AA），∴＝，即＝，解得AD＝，∵点E为AB的中点，∴AE＝CE＝AB＝，∴∠ACE＝∠CAB，∴∠ACE＝∠CAD，∵∠AFD＝∠CFE，∴△FCE∽△F AD（AA），∴＝＝＝，∴AF＝AC＝．故答案为：．13．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝3cm，∴AB＝＝（cm）．由题意可知点P运动时间t秒时，AP＝tcm，BQ＝tcm，∴BP＝（﹣t）cm，BQ＝tcm，当△PBQ是直角三角形时，有两种情况：①当∠BQ1P1＝90°时，如图1：∵∠C＝90°，∠BQ1P1＝90°，∴∠C＝∠BQ1P1，又∵∠B＝∠B，∴△BQ1P1∽△BCA，∴＝，∴＝，解得：t＝；②当∠BP2Q2＝90°时，如图2：∵∠C＝90°，∠BP2Q2＝90°，∴∠C＝∠BP2Q2，又∵∠B＝∠B，∴△BP2Q2∽△BCA，∴＝，∴＝，解得：t＝．故答案为：或．14．解：设EF＝xcm，则HG＝MD＝xcm，∵四边形EFGH是△ABC内接正方形，∴HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴，∵BC＝20cm，高AD＝12cm，∴AM＝（12﹣x）cm，∴，解得x＝7.5，即EF的长为7.5cm，故答案为：7.5．15．解：①由折叠的性质可知：∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠EBG＝∠GBH+∠EBF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝45°．故①正确；②由折叠的性质可知：BF＝BC＝10，BH＝AB＝6，∴HF＝BF﹣BH＝4，∴＝＝＝，∴2S△BFG＝5S△FGH；故②正确；③∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，在Rt△ABF中，AF＝＝8，设GF＝x，即HG＝AG＝8﹣x，在Rt△HGF中，HG2+HF2＝GF2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴AG＝3，∴FD＝2；同理可得ED＝，∴＝＝2，＝＝，∴≠，∴△ABG与△DEF不相似，故③错误；④∵CD＝AB＝6，ED＝，∴CE＝CD﹣ED＝，∴＝，∴4CE＝5ED．故④正确．综上所述，正确的结论的序号为①②④．三．解答题16．解：（1）证明：∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠CAB，∵∠B＝∠DAE，∴△ABC∽△DAE；（2）∵△ABC∽△DAE，∴，即，∴BC＝16．17．（1）证明；∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△AEC．（2）证明：∵△ADB∽△AEC，∴＝，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC．（3）解：过点E作EN⊥ED交BD于N，过点E作EM⊥DN于M．在Rt△BEC中，∵BE＝EC＝，∠BEC＝90°，∴BC＝BE＝，∠BCF＝45°，∵∠BDC＝90°，∴BD＝＝＝3，∵∠EFB＝∠DFC，∠BEF＝∠CDF＝90°，∴△BFE∽△CFD，∴＝，∴＝，∵∠EFD＝∠BFC，∴△EFD∽△BFC，∴∠EDF＝∠BCF＝45°，∵∠NED＝90°，∴∠END＝∠EDN＝45°，∴EN＝ED，∵∠BEC＝∠NED＝90°，∴∠BEN＝∠CED，∵BE＝CE，∴△BEN≌△CED（SAS），∴BN＝CD＝1，DN＝BD﹣BN＝2，∵EN＝ED，EM⊥DN，∴MN＝DM＝1，∴EM＝MN＝MD＝1，∵∠EMF＝∠CDF＝90°，∠EFM＝∠CFD，EM＝CD，∴△EMF≌△CDF（AAS），∴MF＝DF，∴DF＝．18．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，又∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF．∵AB∥CD，∴∠G＝∠BAE＝∠DAF，又∵∠D＝∠D，∴△AFD∽△GAD．（2）证明：∵DF2＝CF•CD，∴＝，∵AD∥BH，∴＝，∴＝，∵AD＝CD，∴CH＝DF，∵△ABE≌△ADF，∴BE＝DF，∴BE＝CH．。

九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ：DE =1：2，那么下列等式一定成立的是 A ．BC ：DE =1：2B ．△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2 C ．∠A 的度数：∠D 的度数=1：2D ．△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2 【答案】D2．如图，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，且AB =1，CD =3，那么EF 的长是A ．13B ．23 C ．34D ．45【答案】C【解析】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ， ∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，∴EF DF AB DB =，EF BF CD BD =，∴EF EF DF BFAB CD DB BD+=+=1． ∵AB =1，CD =3，∴13EF EF +=1，∴EF =34．故选C ．3．已知：如图，在ABCD中，AE：EB=1：2，则FE：FC=A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．3：2 【答案】B【解析】在ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∵BE=2AE，∴BE=23AB=23CD，∵AB∥CD，∴EFFC=BEDC=23，故选B．4．已知：如图，E是ABCD的边AD上的一点，且32AEDE=，CE交BD于点F，BF=15cm，则DF的长为A．10cm B．5cmC．6cm D．9cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，∴DE∥BC，且AD=BC，∴∠DEF=∠BCF；∠EDF=∠CBF，∴△EDF∽△CBF，∴BC BF ED DF=，∵32AEDE=，∴设AE=3k，DE=2k，则AD=BC=5k，52BC BFED DF==，∵BF=15cm，∴DF=25BF═6cm．故选C．5．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为A．9：1 B．1：9C．3：1 D．1：3【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相似比为3，∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，故选B．6．如图，△ABC∽△AB'C'，∠A=35°，∠B=72°，则∠AC'B'的度数为A．63°B．72°C．73°D．83°【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=35°，∠B=72°，∴∠C=180°–35°–72°=73°，∵△ABC∽△AB'C'，∴∠AC′B′=∠C=73°，故选C．7．如图，△ABC中，E为AB中点，AB=6，AC=4.5，∠ADE=∠B，则CD=A．32B．1C．12D．23【答案】C【解析】∵E为AB中点，∴AE=12AB，∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AE ADAC AB，∴12AB2=AD•AC，∴AD=4，∴CD=AC–AD=0.5，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．两个三角形相似，相似比是12，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是__________．【答案】36【解析】∵两个三角形相似，相似比是12，∴两个三角形的面积比是14，∵小三角形的面积是9，∴大三角形的面积是36，故答案为：36．9．矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为__________．【答案】65或310．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__________．【答案】3≤AP<4【解析】如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0<AP<4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0<AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，∴CP=1，AP=3，∴此时，3≤AP<4；综上所述，AP长的取值范围是3≤AP<4．故答案为：3≤AP<4．11．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），且△CDE与△ABC相似，则点E的坐标是__________．【答案】（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．【解析】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．①当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；②当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC；③当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；同理，当点E的坐标为（4，2）、（4，5）、（4，0），故答案为：（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）【解析】已知：如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为k ．求证：111ABC A B C S S △△=k 2；证明：作AD ⊥BC 于D ，A 1D 1⊥B 1C 1于D 1，∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应， ∴∠B =∠B 1，∵AD 、A 1D 1分别是△ABC ，△A 1B 1C 1的高线， ∴∠BDA =∠B 1D 1A 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1，∴11AD A D =11ABA B =k ， ∴111ABC A B C S S △△=11111212BC AD B C A D ⋅⋅⋅⋅=k 2．13．如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM 、EN 分别是斜边AB 、DF 上的中线，已知AC =9cm ，CB =12cm ，DE =3cm ．（1）求CM 和EN 的长； （2）你发现CMEN的值与相似比有什么关系？得到什么结论？【解析】（1）在Rt △ABC 中，AB =22AC CB +=22912+=15，∵CM 是斜边AB 的中线， ∴CM =12AB=7.5， ∵Rt △ABC ∽Rt △DFE ， ∴DE DF AC AB =，即319315DF==， ∴DF =5，∵EN 为斜边DF 上的中线，∴EN =12DF =2.5； （2）∵7.532.51CM EN ==，相似比为9331AC DE ==，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．14．如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB ．（1）求∠APB 的大小．（2）说明线段AC 、CD 、BD 之间的数量关系．15．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，∠A =48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且AD =CD ，则∠ACB =__________°． （2）如图2，在△ABC 中，AC =2，BC 2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【解析】（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知得AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA=BDBC，设BD=x2）2=x（x+2），∵x＞0，∴x3–1，∵△BCD∽△BAC，∴CD BDAC BC=32，∴CD 312-×62．故答案为：96．。

第6章 图形的相似6.5相似三角形的性质知识点01 相似三角形的性质1. 相似三角形周长的比等于相似比（1） ∽，则由比例性质可得：。

（2）相似多边形周长的比等于相似比.【即学即练1】在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm 变成了2cm ，则缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比计算，得到答案．【详解】解：∵三角形的一条边由原图中的6cm 变成了2cm ，∴原三角形与缩印出的三角形是相似比为3：1，∴原三角形与缩印出的三角形的周长比为3：1，∴缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的，故选：A．2. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则，分别作出与的高和，则【微点拨】相似多边形面积的比等于相似比的平方.【即学即练2】在中，AD平分交边BC于点D，点E在线段AD上，若，则与的面积比为( )A．16：45B．1：9C．2：9D．1：3【答案】C【分析】根据等高三角形的面积比等于底边的长度比，得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到的面积比，即可得到答案；【详解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAD，∵∠ABE=∠C，∴，∵，∴，，，∴．故选C ；知识点02 相似三角形中对应线段的比1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的对应线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.【微点拨】要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.【即学即练3】如下图所示，在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且△ABC ∽△ADB ，则下列结论一定正确的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．【详解】解：∵△ABC ∽△ADB ，∴，∴AB 2=AC •AD ．故选：A ．考法01利用三角形性质求解能力拓展【典例1】如图所示，D为AB边上一点，AD：DB＝3：4，交BC于点E，则S△BDE：S△AEC等于（）A．16：21B．3：7C．4：7D．4：3【答案】A【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及平行线分线段成比例，不难求得．【详解】解：∵，∴，且，∴，，∴，∵，与的高相等，∴，∴．故选：A．考法02 证明三角形的对应线段成比例【典例2】如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用平行线的性质可得内错角相等，即可得出和，在根据相似三角形的性质及等量代换即可得出答案．【详解】解：，，，，，，由，，，，，故选：C ．题组A 基础过关练1．如图，在中，是斜边上的高，若，，则的长为（ ）A ．8B ．10C ．9D ．12【答案】C【分析】在与中，利用两角对应相等的两个三角形相似，对应边对应成比例，即可求解．【详解】解：如图所示，∵，，分层提分∴，，∴，，∴，∴，即，且，，∴，故选：．2．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列比例式中不能得到DE BC的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似逐项进行判断即可得到结论．【详解】解：如图，解：A．∵，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE BC；故选项不符合题意；B．当时，△ADE与△ABC不一定相似，∴∠ADE不一定等于∠B，∴不能得到DE BC，故选项符合题意；C．∵，∴，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE BC；故选项不符合题意；D．∵，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE BC；故选项不符合题意；故选：B．3．如图，已知△ABE∽△CDE，AD、BC相交于点E，△ABE与△CDE的周长之比是，若AE＝2、BE＝1，则BC的长为（ ）A．3B．4C．5D．6【答案】D【分析】根据相似三角形的性质可得AE：CE＝2：5，从而得到CE＝5，即可求解．【详解】解：∵△ABE∽△CDE，△ABE与△CDE的周长之比是，∴AE：CE＝2：5，∵AE＝2，∴CE＝5，∵BE＝1，∴BC＝BE+EC＝1+5＝6，故选：D．4．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且，AD=1，BD=2，DE=2那么BC的值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【分析】证明利用对应边对应成比例即可求出．【详解】解：∵∴∴∴∴故选C．5．如果两个相似三角形对应边的比是3∶4，那么它们的对应周长的比是（）A．3∶4B．C．9∶16D．3∶7【答案】A【分析】直接利用相似三角形的性质得出答案．【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为3：4，∴它们的周长比是：3：4．故选：A．6．已知，，，则的周长之比为____．【答案】4∶3【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得解．【详解】解：∵，，，∴；故答案为：4∶3．7．如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于______m．【答案】3【分析】作PF⊥CD于点F ，利用AB∥CD，推导△PAB∽△PCD，再利用相似三角形对应高之比是相似比求解即可．【详解】解：如图，过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E，∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB，∵△PAB∽△PCD，∴，（相似三角形对应高之比是相似比）即：，解得PF＝3．故答案为：3．8．如图，△ABC∽△CAD，∠ACB=∠D=90°，_____．【答案】AB•DC【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：∵∠ACB=∠D=90°，且△ABC∽△CAD，∴，即=AB•DC，故答案为：AB•DC．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，求FC的长．【答案】2.4【分析】根据已知可证明△ABE~∆FCB，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【详解】解：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBF，∵∠A=90°，∠CFB=90°，∴△ABE∽△FCB∴，∵BC=3，E是AD的中点，∴AE=1.5 ，∴BE=2.5，∴，∴FC=2.4．10．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD:AB=AE:AC=2:3．(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DE=4，求BC的长．【答案】(1)见解析；(2)BC=6．【分析】（1）直接根据相似三角形的判定方法判定即可；（2）利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵∠A=∠A，AD:AB=AE:EC=2:3，即，∴△ADE∽△ABC；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，，∴BC=6．题组B 能力提升练1．下列命题中，是真命题的是（ ）A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B．小明爬山时发现上山比下山的盲区小C．若点P是线段AB的黄金分割点，则D．相似三角形的周长比等于相似比的平方【答案】A【分析】根据菱形的判定方法、黄金分割的定义、相似三角形的性质进行判断即可．【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是真命题，故A正确；B、爬山时上山比下山的盲区大，原命题是假命题，故B错误；C、若点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP时，则，原命题错误，故C错误；D、相似三角形的周长比等于相似比，原命题错误，故D错误．故选：A．2．如图，O是△ABC的重心，AN，CM相交于点O，那么△MON与△BMN的面积的比是（）A．1：2B．2：3C．1：3D．1：4【答案】C【分析】利用三角形重心的性质得到MO：MC＝1：3和点N是BC的中点，从而得到△MON和△MNC的面积比、△BMN和△CMN的面积比，然后综合两个面积比求得结果．【详解】解：∵点O是△ABC的重心，∴MO：MC＝1：3，点N是BC的中点，∴，∴，故选：C．3．若，且与的面积比是，则与对应角平分线之比为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形的性质即可得到答案．【详解】解：∵，且与的面积比是，∴与的相似比是，∴与对应角平分线之比为，故选：B．4．如图，在ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为（ ）A．B．1C．D．2【答案】C【分析】先根据三角形的中位线定理证明，则△ADE∽△ABC，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，即可由求出四边形DBCE的面积．【详解】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴，AE＝CE＝AB，∴，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴，故选：C．5．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．以BC上点O为圆心作⊙O分别与AB、AC相切E、C 两点，与BC的另一交点为D，则线段BD的长为________【答案】1【分析】连接OE，OE⊥AB，OE=OC，AC⊥OC，△BEO∽△BCA，故，故可得OC的长，即可得出BD的长．【详解】解：如图，连接OE，∵AB是⊙O的切线，∴OE⊥AB，OE=OC，∵AC⊥OC，∴BEO∽BCA，∴，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，∴，∴，∴OE=，∴OC=，∴BD=BC-2×OC=4-2×．故答案为：1．6．如图，点G是的中线上一点，且，作，垂足为点E，若，则点A到的距离为______________．【答案】【分析】过点作，则的长即为到的距离，证明，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：如图，过点作，则的长即为到的距离，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，故答案为：．7．如图，已知AB CD，AD与BC相交于点P，，若AP＝6，则PD的长是_____．【答案】10【分析】证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【详解】解：∵AB CD，∴，∴，即，解得：PD＝10，故答案为：10．8．如图，在中，，，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，点从点出发，沿着边向点以的速度运动．如果与同时出发，那么经过______秒和相似．【答案】4或【分析】分两种情况讨论，由相似三角形对应边成比例列方程求解即可．【详解】解：设经过x秒，△PQC和△ABC相似，∴CP=8-x（cm），CQ=2x（cm），当△PCQ∽△ACB，则，∴，∴x=4，当△PCQ∽△BCA，则，∴，∴x=，综上所述：经过4或秒，△PQC和△ABC相似．故答案为：4或．9．如图，四边形中，，且，E、F分别是、的中点，与交于点M．(1)求证：；(2)若，求BM．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）根据已知条件可得四边形是平行四边形，从而得到，即可求证；（2）根据相似三角形的对应边成比例求出相似比，即可求得线段的长．【详解】（1）证明：，E是的中点，，，四边形是平行四边形，，，，；（2）解：，F是的中点，，，，，又，．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CB＝5，D是BC边上一点，且DB＝1，点E是AC边上的一个点，且AE，过点E作交AD于点F．(1)求EF的长．(2)求证：△DEF∽△ABD．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）利用，证明△AEF∽△ACD，根据对应边对应成比例进行计算即可；（2）利用勾股定理求出AD，利用，求出AF，利用求出DF，从而得出，在利用外角的性质，得到，即可得证．【详解】（1）解：∵CB＝5，DB＝1，∴，∵，∴，∵，∴△AEF∽△ACD，∴，即：，∴；（2）证明：∵∠C＝90°，AC＝3，CD＝4，∴，∵∴△AEF∽△ACD，∴，即：，∴，∴，∵，∴，∵，又∵，∴，∴△DEF∽△ABD题组C 培优拔尖练1．如图，在梯形中，，，对角线与相交于点O，把、、、的面积分别记作，那么下列结论中，不正确（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由，推出，推出，利用等高模型以及相似三角形的性质解决问题即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，，∴选项A，B，D正确，选项C错误，故选：C．2．如图，中，，，为边上一动点，将绕点逆时针旋转得到，使得点的对应点与，在同一直线上，若，则的长为（）A．3B．4C．6D．9【答案】B【分析】由旋转和平行线的性质易证，从而易证，即得出，代入数据即可求出BD的长．【详解】∵，∴．由旋转的性质可知，∴．又∵，∴，∴，即，∴．故选B．3．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，BC＝12，AH＝8，D、E分别为AB、AC上的点，G、F是BC上的两点，四边形DEFG是正方形，正方形的边长DE为（ ）A．4.8B．4C．6.4D．6【答案】A【分析】利用相似三角形对应高的比也等于相似比，可以求出x,注意所画图形是正方形，用同一未知数表示未知边，即可求出．【详解】解：设△ABC的高AH交DE于点M，正方形的边长为x.由正方形DEFG得，DE∥FG，即DE∥BC，∵AH⊥BC，∴AM⊥DE．由DE∥BC得△ADE∽△ABC，∴，把BC=12，AH=8，DE=x,AM=8-x代入上式得：，解得：x=4.8．答：正方形的边长是4.8．故选：A．4．如图，在中，D，C，E三点在一条直线上，，，，则的长为（）A．1.5B．1.6C．1.7D．1.8【答案】B【分析】设对角线AC与BD交于点O，过点O作于M，利用平行四边形性质得BO=DO，得MC=MD，然后利用相似三角形的判定与性质得出CF的长．【详解】解：设对角线AC与BD交于点O，在中，，，过点O作于M（如图），，，，，．故选B．5．如图Rt AOB∽DOC，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA＝6，OB＝8，直线AD，CB交于P 点，连接MP，AOB保持不动，将COD绕O点旋转，则MP的最大值是_____．【答案】9【分析】根据相似三角形的判定定理证明COB∽DOA，得到∠OBC=∠OAD，得到O、B、P、A共圆，求出MS和PS，根据三角形三边关系解答即可．【详解】解：取AB的中点S，连接MS、PS，则PM≤MS+PS，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，∴AB=10，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠COB=∠DOA，∵AOB∽DOC，∴，∴COB∽DOA，∴∠OBC=∠OAD，∴O、B、P、A共圆，∴∠APB=∠AOB=90°，又S是AB的中点，∴PS=AB=5，∵M为OA的中点，S是AB的中点，∴MS=OB=4，∴MP的最大值是4+5=9，故答案为：9．6．如图，为等边边上的高，，为高上任意一点，则的最小值为_____．【答案】【分析】连接，交于点，此时最小，过点作于点，证明，然后求得，在中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示：连接，交于点，此时最小，过点作于点，∵为等边边上的高，∴点与点关于对称，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得：，∴，∴，∴在中，∴的最小值为：．故答案为：．7．如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______．（填写正确结论的序号）【答案】①③④【分析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对④进行判断；接着证明ABF∽DFE，利用相似比得到，而=2，所以，所以DEF与ABG不相似，于是可对②进行判断；分别计算和可对③进行判断．【详解】解：∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=∠CBF+∠ABF=∠ABC=45°，所以①正确；在Rt ABF中，AF==8，∴DF=AD-AF=10-8=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4，在Rt GFH中，∵，∴，解得x=3，∴GF=5，∴AG+DF=FG=5，所以④正确；∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，∴∠BFE=∠C=90°，∴∠EFD+∠AFB=90°，而∠AFB+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠EFD，∴ABF∽DFE，∴，∴，而，∴，∴DEF与ABG不相似；所以②错误．∵=×6×3=9，=×3×4=6，∴．所以③正确．故答案为：①③④．8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC上，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则＝________．【答案】9：25【分析】先由DE：EC=3：2，得DE：DC=3：5，再根据平行四边形ABCD，得AB CD，AB=CD，所以，△DEF∽△BAF，然后根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方求解．【详解】解：∵DE：EC=3：2，∴DE：DC=3：5，∵平行四边形ABCD，∴AB CD，AB=CD，∴，△DEF∽△BAF，∴，故答案为：9∶25．9．如图，在△ABC中，过点A作，交∠ACB的平分线于点D，点E是BC上，连接DE，交AB于点F，．(1)求证：四边形ACED是菱形；(2)当，时，直接写出的值．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）根据可得，即可证明四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质以及角平分线得出，则可根据邻边相等的平行四边形为菱形；（2）根据菱形的性质可得，从而求出的长，然后根据可得，根据相似三角形对应边成比例可得结论．【详解】（1）证明：，，即，，四边形是平行四边形，，，平分，，，，四边形是菱形；（2）四边形是菱形；，，，，，．10．如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，BE、CD交于点O，．(1)如果，求AC的长；(2)如果△ADE的面积为1，求的面积．【答案】(1)18；(2)2【分析】（1）首先证明，利用相似三角形的性质解决问题即可．（2）证明，利用等高模型即可解决问题．【详解】（1）解：∵，∴＝，∵，∴，∴，∴，∴＝，，∴＝，∵，∴．（2）∵＝，∴，∴．11．如图，在正方形中，点M是边上的一点（不与B、C重合），点N在边的延长线上．且满足连接、，与边交于点E．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明，根据全等三角形的性质即可证明；（2）证明，根据相似三角形的性质即可证明．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．12．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AB上一点，以AE为直径的⊙O过点D，且交AC于点F．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若CD=6，AC=8，求AE．【答案】(1)见解析；(2)12.5【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）求出AD，连接DE，证DCA∽EDA，得出比例式，代入数值求解即可．【详解】（1）证明：连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD AC，∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）解：在Rt ADC中，AC=8，CD=6，由勾股定理得：AD=10．连接DE，∵AE为直径，∴∠EDA=∠C=90°，∵∠CAD=∠EAD，∴DCA∽EDA，∴，∴，AE=12.5．13．矩形中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在延长线上（图1）(1)若，求的度数与的长度；(2)如图2将向右平移得，两直角边与拒形相交于点E、F；当平移的距离是多少时，能使与相似，（先填空，再完成解答）解：设平移的距离为x，则______________________（用含x的代数式表示）【答案】(1)37°，4(2)，，或x=3.4【分析】（1）根据矩形的性质得出AD=BC=6，BC AD，∠B=90°，求出∠CAD=∠BCA=53°，则37°即可解答；由勾股定理求出=AC=10，进而求得；（2）设平移的距离为x，则，然后再解直角三角形表示出，进而表示出，同理表示出，然后根据相似三角形的性质列方程求解即可；【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=6，BC AD，∠B=90°，∴∠CAD=∠BCA=53°，∴∠BAC=90°-∠BCA=90°-53°=37°，∵将绕点A逆时针旋转得到∴37°在Rt△CBA中，AB=8，BC=6，由勾股定理得：=AC=10∴．（2）解：设平移的距离为x，则，∵∴，解得：∴同理：∵与相似∴或∴或，解得或x=3.4∴当或x=3.4时，与相似．14．【问题呈现】（1）如图1，和都是等边三角形，连接BD、CE．求证：BD=CE．【类比探究】（2）如图2，和都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、CE，则___________．【拓展提升】（3）如图3，和都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∠DAE=∠BAC=30°，连接BD、CE．①求的值；②延长交于点G．交于点F．求．【答案】（1）见解析；（2）；（3）①；②30°【分析】（1）证明BAD CAE，从而得出结论；（2）证明BAD∽CAE，进而得出结果；（3）①利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理得到，再证明BAD∽CAE，进而得出结果；②由BAD∽CAE，得出∠ACE=∠ABD，进而得出∠BGC=∠BAC．【详解】（1）证明：∵ABC和ADE都是等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAE∠BAE=∠BAC∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，∴BAD CAE（SAS），∴BD=CE；（2）解：∵ABC和ADE都是等腰直角三角形，∴，∠DAE=∠BAC=45°，∴∠DAE∠BAE=∠BAC∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，∴BAD∽CAE，∴；故答案为：；（3）解：①∵∠ABC=∠ADE=90°，∠DAE=∠BAC=30°，∴AE=2DE，AC=2BC，由勾股定理得AD=DE，AB=BC，∴，同理BAD∽CAE，∴；②∵BAD∽CAE，∴∠ACE=∠ABD，∵∠AFC=∠BFG，∴∠BGC=∠BAC=30°．。

6.5 相似三角形的性质一、选择题1.若△ABC∽△DEF,它们的相似比为4∶1,则△ABC与△DEF的周长比为()A.2∶1B.4∶1C.8∶1D.16∶12.若矩形ABCD∽矩形EFGH,相似比为2∶3,已知AB=3 cm,BC=5 cm,则矩形EFGH的周长是()A.16 cmB.12 cmC.24 cmD.36 cm3.已知△FHB∽△EAD,它们的周长分别为30和15,且FH=6,则EA的长为()A.3B.2C.4D.54.若两个相似三角形的周长比为1∶3,则它们的面积比为()A.1∶9B.1∶6C.1∶3D.6∶15.若两个相似六边形一组对应边的长分别为3 cm,4 cm,且它们面积的差为28 cm2,则较大的六边形的面积为()A.44.8 cm2B.45 cm2C.64 cm2D.54 cm26 若△ABC∽△DEF,且对应高线的比为4∶9,则△ABC与△DEF的相似比为()A.2∶3B.3∶2C.4∶9D.16∶817 已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线.若AD=10,A'D'=6,则△ABC 与△A'B'C'的周长比是()A.3∶5B.9∶25C.5∶3D.25∶98.如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,DE∥BC,四边形DECB与△ABC的面积的比为1∶4,则AD的值等于()ABA.1∶2B.1∶4C.√3∶2D.3∶49 如图,在△ABC中,E,G分别是AB,AC上的点,∠AEG=∠C,∠BAC的平分线AD交BC于点D,交EG于点F.若AFDF =32,则()A.=AEBE 35B.=EFFG23C.=EFCD35D.=EGBC2310.如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为16,阴影三角形的面积为9.若AA'=1,则A'D的长为()A.2B.3C.4D.32二、填空题11 如图,在△ABC中,AC=2,BC=4,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B.若△ADC的面积为a,则△ABD的面积为.12 如图,已知点F是△ABC的重心,连接BF并延长,交AC于点E,过点F作FG∥BC,交AC于点G.设△EFG,四边形FBCG的面积分别为S1,S2,则S1∶S2=.三、解答题13.如图,D,E分别在AB,AC上,∠AED=∠B,AB=6,BC=5,AE=4.(1)求DE的长;(2)若四边形BCED的面积为6,求△ABC的面积.14 如图,△ABC∽△A'B'C',AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线.求证:AD∶A'D'=AB∶A'B'.15.如图,已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的点P 处.已知折痕与边BC交于点O.(1)求证:△OCP∽△PDA;(2)若△OCP与△PDA的面积比为1∶4,求边AB的长.16.已知锐角三角形ABC中,边BC的长为12,高AD的长为8.(1)如图6-5-9,矩形EFGH的边GH在BC边上,其余两个顶点E,F分别在AB,AC边上,EF交AD于点K.的值;①求EFAK②设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x之间的函数表达式,并求S的最大值.(2)若AB=AC,正方形PQMN的两个顶点M,N在△ABC的一边上,另两个顶点分别在△ABC的另两边上,直接写出正方形PQMN的边长.答案1.B2.C3.A4.A5.C6.C6.C7.C8.C9.C 10.B 11.3a 12. 1∶8 .13.解:(1)∵∠AED=∠B ,∠A=∠A , ∴△AED ∽△ABC ,∴AE AB =DEBC,∴46=DE 5,∴DE=103. (2)∵△AED ∽△ABC ,∴S △AEDS △ABC=S △ABC -S 四边形BCEDS △ABC=AE AB2, 即S △ABC -6S △ABC=462,解得S △ABC =545,即△ABC 的面积为545.14.证明:∵AD ,A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的中线, ∴BD=12BC ,B'D'=12B'C'. ∵△ABC ∽△A'B'C',∴∠B=∠B',ABA 'B '=BCB 'C '=2BD2B 'D '=BDB 'D ', ∴△ABD ∽△A'B'D', ∴AD ∶A'D'=AB ∶A'B'.15.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠B=∠C=∠D=90°, ∴∠CPO+∠COP=90°.由折叠的性质可得∠APO=∠B=90°, ∴∠CPO+∠DP A=90°,∴∠COP=∠DP A , ∴△OCP ∽△PDA.(2)∵△OCP 与△PDA 的面积比为1∶4,△OCP ∽△PDA , ∴OP PA =PCAD=√14=12,∴P A=2OP ,AD=2PC. ∵AD=8,∴PC=4.由折叠的性质可得OP=OB ,P A=AB. 设OP=x ,则OB=x ,CO=8-x. 在△PCO 中,∵∠C=90°,PC=4,OP=x ,CO=8-x , ∴OP 2=CO 2+PC 2,即x 2=(8-x )2+42, 解得x=5,则OP=5, ∴AB=P A=2OP=10.16.解:(1)①∵四边形EFGH 为矩形,∴EF ∥BC ,∴△AEF ∽△ABC. ∵AD ⊥BC ,EF ∥BC ,∴AK ⊥EF , ∴AK AD =EFBC,∴EFAK =BCAD=128=32.②∵EH=x ,∴KD=x , ∴AK=AD -KD=8-x. 由(1)知EF=32AK=32(8-x ),∴S=EH ·EF=-32x 2+12x=-32(x -4)2+24(0<x<8),∴当x=4时,S 最大值=24.(2)①当正方形PQMN 的两个顶点M ,N 在BC 边上,点P 在AB 边上,点Q 在AC 边上时,设PQ 交AD 于点K ,如图①. 设正方形PQMN 的边长为m , 则KD=PN=m ,AK=AD -KD=8-m. ∵PQ ∥BC ,∴△APQ ∽△ABC. ∵AD ⊥BC ,PQ ∥BC ,∴AK ⊥PQ , ∴AK AD =PQBC ,即8-m 8=m 12,解得m=245.②当正方形PQMN 的两个顶点M ,N 在AB 边上,点P 在AC 边上,点Q 在BC 边上时,过点C 作AB 边上的高CI 交PQ 于点E ,如图②. ∵AB=AC ,AD ⊥BC ,∴BD=CD=12BC=6.由勾股定理,得AB=√BD 2+AD 2=√62+82=10. ∵S △ABC =12AD ·BC=12CI ·AB , ∴CI=AD ·BC AB =9.6.设正方形PQMN 的边长为n , 则EI=PN=n ,CE=CI -EI=9.6-n. ∵PQ ∥AB ,∴△PQC ∽△ABC. ∵CI ⊥AB ,PQ ∥AB ,∴CE ⊥PQ , ∴CE CI =PQAB ,即9.6-n 9.6=n 10,解得n=24049.综上所述,正方形PQMN 的边长为245或24049.。

6.5相似三角形的性质同步习题一．选择题1．如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AD∥BC，BE的延长线交AD于点G，且BG ∥DF，则下列结论中错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．如图，△ABC∽△DEF，∠A＝40°，∠F＝80°，则∠E的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．80°3．已知Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，Rt△ABC的两条直角边分别为3和4，Rt△A′B′C′的斜边为25．则两条直角边分别为（）A．4，5B．10，5C．5，20D．15，204．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2．△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2．则下列说法正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．如图，设O是四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，若∠BAD+∠ACB＝180°，且BC＝3，AD＝4，AC＝5，AB＝6，则＝（）A．B．C．D．6．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．B．C．D．7．如图，点D，E是正△ABC两边上的点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点恰好落在边AC上，当AC＝4AF时，的值是（）A．B．C．D．8．如图，点F在平行四边形ABCD的边AD上，延长BF交CD的延长线于点E，交AC于点O，若＝，则等于（）A．B．C．D．9．在△ABC中，AC＝6，AB＝14，BC＝16，点D是△ABC的内心，过D作DE∥AC交BC 于E，则DE的长为（）A．B．C．D．10．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，连接DE，点F是DE上一点，使得∠AFE＝∠ABC．若∠ADE＝∠CDE，＝2，给出下列结论：①AF＝DF；②△AFD∽△DCE；③；④S平行四边形ABCD＝3S△AEF．其中正确的结论（）A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④二．填空题11．如图，AB、CD都是BD的垂线，AB＝4，CD＝6，BD＝14，P是BD上一点，联结AP、CP，所得两个三角形相似，则BP的长是．12．△ABC与△DEF是相似三角形，且A与D，B与E是对应顶点，若∠A＝53°，∠B＝61°，则∠F＝．13．如图，平行四边形ABCD中，E为AD延长线上的一点，且BC＝2DE，BE交DC于点F．若CF＝2，则DF的长为．14．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，线段CE，BD相交于点F，若且BF＝2，则DF＝．15．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝．三．解答题16．如图，已知∠1＝∠2，∠F＝∠C．（1）试说明△ABC∽△AEF；（2）若＝，AC＝6，求AF的长．17．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．（1）求证：AE•BC＝BD•AC；（2）S△ADE＝4，S四边形BCED＝5，DE＝6，求BC的长．18．如图，AB∥CD，E是CD的中点，AD、BC相交于点F，AE、BC相交于点G．（1）当AB＝CE时，求证：BF＝CF；（2）求证：2BF•CG＝BG•CF．参考答案一．选择题1．解：∵AD∥BC，∴＝，，∴A选项结论正确，不符合题意；C选项结论错误，符合题意；B选项结论正确，不符合题意；∵BG∥DF，∴△AFD∽△CFH，∴＝，D选项结论正确，不符合题意；故选：C．2．解：∵△ABC∽△DEF，∠A＝40°，∠F＝80°，∴∠C＝∠F＝80°，∴∠E＝∠B＝180°﹣80°﹣40°＝60°．故选：C．3．解：∵Rt△ABC的两条直角边分别为3、4，由勾股定理可得Rt△ABC的斜边＝＝5，∵Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，∴相似比＝＝，∴Rt△A'B'C'的两直角边长为3×5＝15，4×5＝20，故选：D．4．解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∴＝＝，＝（）2＝，∴选项C正确，选项D错误，∵无法确定，的值，故选项A，B错误，故选：C．5．解：如图，过点O作OE∥AD，交AB于E，∵OE∥AD，∴∠OEB＝∠DAB，∵∠BAD+∠ACB＝180°，∴∠ACB+∠OEB＝180°，∴∠ABC+∠COE＝180°，且∠AOE+∠COE＝180°，∴∠AOE＝∠ABC，且∠BAC＝∠EAO，∴△AOE∽△ABC，∴，∴，∴OE＝，∵OE∥AD，∴△BOE∽△BDA，∴，∴＝，∴BE＝，∴AE＝6﹣BE＝，∵OE∥AD，∴＝，故选：D．6．解：∵EF∥BC，∴，∵EG∥AB，∴，∴，故选：A．7．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点恰好落在边AC上，∴∠DFE＝∠B＝60°，BD＝DF，BE＝EF，∴∠AFD+∠ADF＝∠AFD+∠CFE＝120°，∴∠ADF＝∠CFE，∴△ADF∽△CFE，∴＝，∴＝＝，∵AC＝4AF，∴设AF＝x，则AC＝4x，CF＝3x，∴＝＝，∴，①﹣②得，3BD﹣BE＝4BE﹣4BD，∴7BD＝5BE，∴＝，故选：D．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△ABO∽△CEO，∴＝（）2＝，∴，∴CE＝3AB＝3CD，∴DE＝2CD，∵AB∥CD，∴故选：B．9．解：如图，过点B作BH∥AC，交AD的延长线于点H，∵点D是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ACD＝∠DCB，∵DE∥AC，BH∥AC，∴∠H＝∠DAC，∠EDC＝∠ACD，∴∠H＝∠BAD，∠EDC＝∠ECD，∴AB＝BH＝14，DE＝EC，∵BH∥AC，∴△ACF∽△HBF，∴，∴∴CF＝，∵DE∥AC，∴△DEF∽△ACF，∴，∴∴DE＝，故选：C．10．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，∵∠AFE＝∠ADC，∴∠AFE＝∠ADC＝∠ADE+∠CDE，且∠ADE＝∠CDE，∴∠AFE＝2∠ADE，且∠AFE＝∠F AD+∠ADE，∴∠ADE＝∠F AD，∴AF＝DF，故①符合题意，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，且∠DAF＝∠EDC＝∠ADE，∴△AFD∽△DCE，故②符合题意，∵AD∥BC，AE⊥BC，∴∠DAE＝90°，∴∠DAF+∠EAF＝90°，∠ADE+∠AEF＝90°，∴∠EAF＝∠AEF，∴AF＝EF，∴EF＝DF，∴S△AEF＝S△ADF＝S△ADE＝S▱ABCD，故④不符合题意；如图，连接CF，∵＝2，∴EC＝2BE，BC＝3BE＝AD，∵∠DEC＝∠CDE，∴CE＝DC＝2BE，且EF＝DF，∴CF⊥DE，∴∠CFE＝∠DAE＝90°，且∠ADE＝∠DEC，∴△ADE∽△FEC，∴∴2EF2＝3BE×2BE∴EF＝BE，∴DF＝BE，∴＝，故③符合题意，故选：C．二．填空题11．解：设BP＝x，则PD＝14﹣x，当△ABP∽△PDC时，＝，即＝，解得，x1＝2，x2＝12，当△ABP∽△CDP时，＝，即＝，解得，x＝，综上所述，当所得两个三角形相似时，则BP的长为2或12或，故答案为：2或12或．12．解：△ABC中，∠A＝53°，∠B＝61°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣53°﹣61°＝66°，∵△ABC∽△DEF，点A与点D，点B与点E分别是对应顶点，∴∠F的对应角是∠C，∴∠C＝∠F＝66°，故答案为：66°．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AE，∴△BCF∽△EDF，∴，∴＝，∴DF＝1，故答案为：1．14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴，∵，∴＝＝，∵BF＝2，∴，∴DF＝，故答案为：．15．解：如图所示，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，则∠G＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，又∵∠BEF＝90°，∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，∴∠FEG＝∠EBC，又∵∠C＝∠G＝90°，∴△BCE∽△EGF，∴＝＝，即＝＝，∴FG＝EC，GE＝2＝CD，∴DG＝EC，设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，∴（x）2+x2＝（）2，解得x2＝9，即CE2＝9，∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，故答案为：3．三．解答题16．（1）证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，即∠BAC＝∠EAF，又∵∠C＝∠F，∴△ABC∽△AEF；（2）∵△ABC∽△AEF，∴＝，∴＝，解得，AF＝．17．（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵DE∥BC，∴∠DBE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠DEB，∴BD＝DE，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴AE•BC＝BD•AC；（2）解：∵S△ADE＝4，S四边形BCED＝5，∴S△ABC＝S△ADE+S四边形BCED＝4+5＝9，∵△ADE∽△ABC，∴，∴，∴BC＝9．18．证明：（1）∵E是CD的中点，∴CE＝DE＝CD，∵AB＝CE，∴AB＝CD，∵AB∥CD，∴△ABF∽△DCF，∴，∴BF＝CF；（2）∵AB∥CD，∴△ABF∽△DCF，∴，∴，∴，∵AB∥CD，∴△ABG∽△ECG，∴，∴，∴2BF•CG＝BG•CF．。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练6.5相似三角形的性质一、单选题1．若两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的对应周长比为（）A ．1∶9B ．1∶6C ．6∶1D ．1∶32．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，∥DE BC ，:3:1AD DB =，则:DE BC 的值为（）A ．3：4B ．1：3C ．1：4D ．2：33．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，将△ABC 绕点B 顺时针旋转得到△A ′B ′C ′，其中点A ，C 的对应点分别为点A ′，C ′，当点C ′落在AB 的延长线上时，在A 'B 上取一点D ，使得BD ＝3，则CD 的长为（）A ．3B ．3.6C ．4D ．4.84．如图，已知△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且点D 在AB 边上，AB ＝5，BD ＝3，边BC 与DE 相交于点F ，连接BE ，则EFDE的值是（）A ．13B ．23C ．25D ．355．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ．若AD =4，BD =8，则CD 的长为（）A ．B ．4C ．D ．36．如图在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，BD ＝1，DC ＝3，过点A 作AE ∥BC ，连接BE 交AD ，AC 于点F ，点G ，若BE 平分AC ，则FGGE＝（）A ．13B ．12C ．23D ．357．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 上的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EFFC等于（）A ．13B ．12C ．23D ．328．如图，∠ABD =∠CBE =90°,AB =BD ,∠CAB =∠E ．若BE =10,AD =ACDE的值为（）A ．710B ．35C ．12D ．259．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别是各边的中点，若ABC 的面积为4cm 2，则DEF 的面积是（）cm 2．A ．0.5B ．1C ．2D ．410．如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =3，D ，E 分别在AB 、AC 上，将△ADE 沿DE 翻折后，点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（）A ．12B ．3C ．2D ．111．如图，在△ABC 中，CH ⊥AB ，CH ＝5，AB ＝10，若内接矩形DEFG 邻边DG ：GF ＝1：2，则△GFC 与四边形边形ABFG 的面积比为（）A ．13B ．14C ．12D 212．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的两点，且45EAF Ð=°，AE 、AF 分别交BD 于M ，N ．下列结论：①2AB BN DM =×；②AF 平分DFE Ð；③AM AE AN AF ×=×；④2+=BE DF MN ．其中正确的结论是（）A ．①②③④B ．①②③C ．①③D ．①②二、填空题13．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：3，已知三角板的一边长为8cm ．则投影的对应边长为______cm ．14．如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点P 是⊙O 外一点，连接PB ，AB ，∠PBA ＝∠C ．连接OP ，若OP ∥BC ，且OP ＝8，OA ＝x ，BC ＝y ，则y 关于x 的函数解析式为______．15．如图，把一张三角形纸片ABC 沿中位线DE 剪开后，在平面上将ADE 绕着点E 顺时针旋转180°．点D 到了点F 的位置，则:ADE ECFDS S=△______．16．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝3，BC ＝4，将△ABO 沿着AC 折叠得到ΔAB ′O ，B ′O 与AD 相交于点E ，则OE 的长是______．17．如图，直线l 与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数y ＝kxx ＜0）的图象交于点C ，若AOB BOC S S D D ＝＝1，则k ＝_______．三、解答题18．如图，AD 为ABC 的角平分线，点E ，F 在边AB 上，AE AC =，FC 交AD 于点G ．若60ADC Ð=°，FB FC =，2DG =，3CD =．(1)求BDE Ð的度数．(2)求BD 的长．19．如图，16cm 12cm AB AC ==，，动点P ，Q 分别以每秒2cm 和1cm 的速度同时开始运动，其中点P 从点A 出发，沿AC 边一直移到点C 为止，点Q 从点B 出发沿BA 边一直运动到点A 为止（点P 到达点C 后，点Q 继续运动）(1)请直接用含t 的代数式表示AP 的长和AQ 的长，并写出t 的取值范围；(2)当t 等于何值时，APQ 与ABC 相似？20．已知：ABC 是等边三角形，点D 在直线AC 上、点E 在BC 的延长线上，且CD CE =，连接AE ，点F 为AE 的中点，连接DF 、BD ．(1)如图1，若DF BE ∥，连接DE ，求：FDE Ð的度数；(2)如图2，若120BDF Ð=°，试说明：2CD AD =．21．已知正方形ABCD 的边长为4，对角线AC ，BD 交于点E ，F 是CD 延长线上一点，连接AF ，G 是线段AF 上一点，连接BG ，DG ．(1)如图1，若CF ＝CA ，G 是AF 的中点；①求∠F AD 的度数；②求证：BG ⊥DG ；(2)如图2，若FG ＝2AG ，BG ⊥DG ，求FD 的长度．22．如图，在菱形ABCD中，∠ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F．(1)当AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC时，连接BD，EF，①求证：△CEF∽△CBD；②若EFBD＝25，求AEFABCDSS菱形的值；(2)当∠EAF＝12∠BAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，联结AG，MN，若AB＝4，AC＝2，当△AMN是等腰三角形，求CE的长．参考答案：1．D 2．A 3．B 4．C 5．A 6．D 7．B 8．D 9．B 10．D 11．B 12．A 13．1214．214y x =15．1:416．12578##1477817．-418．(1)60°(2)92．19．(1)AP =2t cm （06t ££），AQ =（16-2t ）cm （016t ££）(2)4811t =或7t =20．(1)∵△ABC 是等边三角形，∴60ABC ACB Ð=Ð=°，∴60CDE CED Ð+Ð=°，∵CD =CE ，30CDE CED \Ð=Ð=°，∵DF ∥CE ，∴30FDE CED Ð=Ð=°．(2)过点D 作DG ⊥BC 于点G ，过点F 作FH ⊥AC 于点H ，过点E 作EM ⊥AC 于点M ，如图所示：设AD =a ，CD =CE =2b ，90DGC Ð=° ，60GCD Ð=°，180906030GDC \Ð=°-°-°=°，12CG CD b \==，sin 602DG CD b =°=，2BC AC AD CD a b ==+=+ ，∴2BG BC CG a b b a b =-=+-=+，60MCE BCA Ð=Ð=° ，1cos 6022CM CE b b \=°=´=，sin 602EM CE b =°=，FH AC ^ ，EM AC ^，∴FH ∥EM ，1==2FH AH AF EM AM AE \=，12FH EM b \=，()()11113222222AH AM AD DC CM a b b a b ==++=++=+，∴13312222DH AH AD a b a b a =-=+-=-，BDF BDC HDFÐ=Ð+Ð BAD ABD HDF=Ð+Ð+Ð60120ABD FDH =°+Ð+Ð=°，60ABD FDH ABD DBG \Ð+Ð=Ð+Ð=°，DBG FDH \Ð=Ð，90BGD DHF Ð=Ð=° ，BGD DHF \∽，=BG DG DH FH\，31222a b b a +\-a b \=，2CD AD \=．21．(1)①∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAC =∠ACF =45°，∠ADF =∠ADC =90°，∵CF =CA ，∴1801804567.522ACF FAC F °°°°-Ð-Ð=Ð===，∴∠F AD =∠F AC -∠DAC =67.5°-45°=22.5°；②证明：连接GE ，如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC =BD ，AE =CE ，BE =DE =12BD ，∵AC =CF ，∴CF =BD ，∵AG =FG ，AE =CE ，∴EG =12CF ，∴EG =12BD ，∴GE =BE =DE ，∴∠EGD =∠EDG ，∠EGB =∠EBG ，∵∠EGD +∠EDG +∠EGB +∠EBG =180°，∴∠EGD +∠EGB =90°，∴∠BGD =90°，∴BG ⊥DG ；(2)如图2，连接EG ，∵BG ⊥DG ，BE =DE ，∴GE =BE =DE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AE =CE =12AC ，BE =DE =12BD ，AC =BD ，∴AE =CE =BE =DE ，∴点A 、G 、D 、C 、B 在以E 为圆心，AE 为半径的圆上，∴∠DGF =∠ACD ，∵∠F =∠F ，∴△FDG ∽△F AC ，∴FD FG AF CF =，∴FD •FC =FG •F A ，设FD =x ，则4AF FC x =+，∵FG =2AG ，∴FG =∴22(4)(16)3x x x ×+=+，∴x 1=6-，x 2=-6（舍去），∴FD =6．22．解：（1）①证明：四边形ABCD 是菱形，∴AB =AD ，∠ABC =∠ADC ，AD ∥BC ，∵AE ⊥BC ，∴AE⊥AD，∴∠ABE+∠BAE=∠EAF+∠DAF=90°，∵∠EAF=∠ABC，∴∠BAE=∠DAF，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴BE=DF，∴CE=CF，∴∠CEF=∠CFE，∵∠CBD=∠CDB，∠ECF=∠BCD，∴∠CEF=∠CBD，∴△CEF∽△CBD；②连接AC，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=DC，AC⊥BD，由①知，△CEF∽△CBD，∴25 EC EFBC BD==，设EC=2a，则AB=BC=5a，BE=3a，∴4 AE a=，∵△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴AE AF AB BC=，∵EAF ABCÐ=Ð，∴△AEF∽△BAC，∴22416525 AEFBACS AE aS AB aDDæöæö===ç÷ç÷èøèø，∴1168222525 AEF AEFABCABCDS SS SD DD==´=菱形；(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴12BAC BAD Ð=Ð，∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠BAC=∠EAF，∴∠BAE=∠CAM，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠ANC，∴∠ANC=∠CAM，同理：∠AMC=∠NAC ∴△MAC∽△ANC，∴AC AM CN NA=，当AM=AN时，如图，∵∠ANC=∠CAM，AM=AN，∠AMC=∠NAC，∴△ANC≌△MAC（ASA），∴CN=AC=2，∵AB∥CN，∴△CEN∽△BEA，∴2142 CE CNBE AB===，∵BC=AB=4，∴1433 CE BC==；当AN=MN时，如图，则∠NMA=∠NAM，∵AB =BC∴∠BAC =∠BCA ，∵∠BAC =∠EAF ，∴∠NMA =∠NAM =∠BAC =∠BCA ，∴△ANM ∽△ABC ，∴12AM AC AN AB ==，∴12AC AM CN AN ==，∴CN =2AC =4=AB ，∴△CEN ≌△BEA （AAS ），∴122CE BE BC ===；当AM =MN 时，如图，则MAN MN BAC BCA A =Ð=Ð=ÐÐ，∴△AMN ∽△ABC ，∴422AM AB AN AC ===，∴112CN AC ==，∵CENBEA △△，∴14CE CN BE AB ==，∴1455CE BC ==；4 3或2或45．综上所述，当△AMN是等腰三角形时，CE为。

九年级数学下册同步练习第六章 图形的相似一、选择题1.给出下面四个结论，其中正确的是（ ）①两个等腰直角三角形相似；②有一个锐角相等的两个直角三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形相似；④各有一个角为100°的两个等腰三角形相似A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.如图，已知△ABC ∽△DEF ，AB ：DE=1：2，则下列等式一定成立的是（ ）A. BC ：DF=1：2B. ∠A 的度数：∠D 的度数=1：2C. △ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2D. △ABC 的周长：△DEF 的周长=1：23.如图，□ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中共有相似三角形（ ）A 、3对B 、4对C 、5对D 、6对第2题 第3题 第4题 4.已知，如图△ABC 中，P 为AB 上一点，在下列四个条件中，①∠ACP ＝∠B ；②∠APC ＝∠ACB ；③AC 2＝AP·AB ；④AB·CP ＝AP·CB ，其中能使△APC 和△ACB 相似的条件是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③5.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，BE 与CD 相交于点G ，则DG ：GC 的值为（ ）A ．3：4B ．2：3C ．1：2D ．1：3第5题 第6题 第8题6.如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC 为（ ）A ．1：4B ．1：3C ．2：3D ．1：27.在△ABC 与△A'B'C'中，有下列条件：（1）''''C B BC B A AB =；（2）"'''C A AC C B BC =；（3）∠A ＝∠A'；（4）∠C ＝∠C'，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A'B'C'的共有多少组（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48.如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，且∠B ＝∠ACD ，AD ＝1cm ，DB ＝3cm ，则AC 的长为（ ）A ．12cmB ．23cmC ．6cmD ．2cm二、填空题9.线段a ＝1cm ，b ＝5mm ，则a ：b ＝＿＿＿。