东北三省三校2016届高三第一次高考模拟考试 文科数学试卷 Word版含答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合[2,3]A =，2{|560}B x x x =-+=，则A B = （ ） A ．{2,3} B ．∅C ．2D ．[2,3]【答案】A考点：集合的运算．2．若复数z 满足zi = 1 + i ，则z 的共轭复数是（ ） A ．-1 - i B ．1 + iC ．-1 + iD ．1 - i【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，11iz i i+==-，所以1z i =+，故选B ． 考点：复数的运算与概念．3．若m = 6，n = 4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（ ）A ．1100B ．100C ．10D ．1【答案】D 【解析】试题分析：因为6,4m n ==，所以lg()lg101y m n =+==，故选D ． 考点：程序框图的运算．4．已知向量a ，b 满足(1,3)+=-a b ，(3,7)-=a b ，⋅=a b （ ） A ．-12 B ．-20 C ．12 D ．20【答案】A考点：向量的运算．5．若函数22,0()24,0x x x f x x +≤⎧=⎨->⎩，则((1))f f 的值为（ ）A ．-10B ．10C ．-2D ．2【答案】C 【解析】试题分析：由题意得()11242f =-=-，所以((1))(2)2(2)22f f f =-=⨯-+=-，故选C ． 考点：函数值的运算． 6．设,a b R ∈，若:p a b <，11:0q b a<<，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，当110b a <<，则0a b <<；如0a b <<，此时110a b<<，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B ． 考点：充要条件的判定．7．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =-上，则cos(2)2πα+的值等于（ ）A ．45-B ．45 C ．35-D ．35【答案】A 【解析】试题分析：由题意得sin 2cos tan 2ααα=-⇒-，所以22cos(2)cos2cos sin 2παααα+==-222222cos sin 1tan 4cos sin 1tan 5αααααα--===-++，故选A ． 考点：三角函数的化简求值．8．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x （厘米）和体重y （公斤）数据如下表根据上表可得回归直线方程为ˆˆ0.92yx a =+，则ˆa =（ ） A ．-96.8 B ．96.8 C ．-104.4 D ．104.4【答案】A考点：回归直线方程．9．若函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<为偶函数，则函数()f x 在区间[0,]4π上的取值范围是（ ）A ．[1,0]-B ．[C ．D ．[0,1]【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，函数()s i n (2)(0f x xϕπϕ=+-<<为偶函数，则2πϕ=-，即()s i n (2)2f x x π=-cos 2x =-，因为[0,]4x π∈，所以2[0,]2x π∈，所以()cos 2[1,0]f x x =-∈-，故选A ．考点：三角函数的图象与性质．10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．73B ．172C ．13D【答案】C考点：三视图的应用与表面积的计算．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图还原空间几何体及空间几何体的体积与表面积的计算，着重考查了学生的空间想象能力和运算能力及转化的数学思想方法，属于基础题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，根据空间几何体的侧面积（表面积）或体积公式求解，同时准确计算也是解答的一个易错点．11．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，M ，N 两点在双曲线C 上，且MN∥F 1F 2，12||4||F F MN =，线段F 1N 交双曲线C 于点Q ，且1||||FQ Q N =，则双曲线C 的离心率 为（ ）A B ．2CD【答案】D考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，同时着重考查了学生的计算、化简能力，属于中档试题，本题的解答中，根据题设条件确定点(,)4c N y 和31(,)82Q c y -的坐标是解答本题的关键，再把点,N Q 的坐标代入椭圆方程2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，即可求解双曲线的离心率． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知2111ln 0x x y --=，2220x y --=，则221212()()x x y y -+-的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，实数,x y 满足2111ln 0x x y --=，2220x y --=，则221212()()x x y y -+-的最小值可转化为函数2ln y x x =-的图象上的点与直线20x y --=图象上的点的距离的最小值的平方，又因为2ln y x x =-，得12y x x'=-，与直线20x y --=平行的直线的斜率为1，所以121x x-=，解得1x =，此时切点的坐标为(1,1)P ，此时切点到直线20x y --=距离即为函数2ln y x x =-的图象上的点与直线20x y --=图象上的点的距离的最小值，由点到直线的距离公式可得d ==221212()()x x y y -+-的最小值为22d =，故选B ．考点：函数与方程的综合应用；导数在函数问题中的应用．【方法点晴】本题主要考查了点到直线的距离公式、导数的运算及几何意义及函数与方程的应用，着重考查了转化的思想方法及运算能力，属于中档试题，解答本题的关键在于把221212()()x x y y -+-的最小值可转化为函数2ln y x x =-的图象上的点与直线20x y --=图象上的点的距离的最小值的平方，再利用导数求解函数在某点的切线的切点坐标，从而确定最小值．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．若实数x ，y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值是__________．【答案】2考点：线性规划求最值．14．已知三棱锥P-ABC ，若PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA = 2，PB = PC = 1，则三棱锥P-ABC 外接球的半径为__________． 【答案】14【解析】试题分析：由题意得，设三棱锥P A B C -的内切球的半径为r ，球心为O ，则B P AC O P A BO PV VV---=+ O ABC O PBCV V --++，即111111112112121132323232r r r ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯，解得14r =． 考点：三棱锥的体积的计算．15．已知圆22(1)4x y ++=与抛物线2(0)y mx m =≠的准线交于A 、B 两点，且||AB =m 的值为__________． 【答案】8考点：抛物线的几何性质及圆的弦长公式的应用．【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及简单的几何性质和圆的弦长公式的应用，同时考查了推理和计算能力，属于基础题，牢记圆的弦长公式是解答本题的关键，本题的解答中，利用圆的弦长公式AB ==1d =，即转化为圆心到抛物线的准线的距离为1，即可求解m 的值．16．已知ΔABC 为等边三角形，点M 在ΔABC 外，且MB = 2MC = 2，则MA 的最大值是__________． 【答案】3 【解析】试题分析：由ABC ∆为等边三角形，由点M 在ABC ∆外，且22MB MC ==，如图1所示，若M 在BC 的同侧，设,BMC BCM βα∠=∠=，则21sin sin sin()a βααβ==+，可得12cos cos a βα-=⋅，又23cos 2a aα-=，所以2212o s (60)54c o s (60)[1,7)M A a a c αβ=+--=--∈，即[7)MA ∈；如图2，若M 在BC 的异侧，设,BMC BCM βα∠=∠=，则21sin sin sin()a βααβ==+，可得12cos cos a βα-=⋅，又23c o s2a a α-=，所以2212c o s (60)5MA a a cαβ=+--=--(3,9]∈，即MA ∈，综上可知，[1,3]MA ∈，所以MA 的最大值是3．考点：向量数量积的运算及余弦定理的应用．【方法点晴】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及余弦定理定理在解三角形中的应用，着重考查了分类讨论的数学思想方法和转化的思想方法，其中合理的转化是解答的关键，试题有一定的难度，本题的解答中，根据题意先判定三角形为等边三角形，再结合题意画出示意图，分M 在BC 的同侧和M 在BC 的异侧两种情况，利用正弦定理和余弦定理，求解MA 的取值范围，进而可得MA 的最大值．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足132a =，且131n n a a +=-，12n n b a =-． （1）求证：数列{}n b 是等比数列； （2）若不等式111n n b m b ++≤-对*n N ∀∈恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）1m ≥．考点：等比数列的定义域通项公式、求和及数列的单调性的应用．18．（本小题满分12分）某游戏网站为了了解某款游戏玩家的年龄情况，现随机调查100位玩家的年龄整理后画出频率分布直方图如图所示．（1）求100名玩家中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计该款游戏所有玩家的平均年龄；（2）若已从年龄在[35,45)，[45,55)的玩家中利用分层抽样选取6人组成一个游戏联盟，现从这6人中选出2人，求这两人在不同年龄组的概率．【答案】（1）37岁；（2）8 15．【解析】试题分析：（1）根据频率直方图，确定各组年龄的人数，利用公式计算平均年龄；（2）一一列举所抽取的基本事件，利用古典概型的公式计算相应的概率．试题解析：（1）各组年龄的人数分别为10,30,40,20人………………………….4分估计所有玩家的平均年龄为0.1200.3300.4400.25037⨯+⨯+⨯+⨯=岁 (6)分考点：频率直方图的应用；古典概型及其概率的计算． 19．（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中，AD⊥BD，AD = 2，BD = 4，点M 、N 分别为BD 、BC 的中点，将其沿对角线BD 折起成四面体QBCD ，使平面QBD⊥平面BCD ，P 为QC 的中点．（1）求证：PM⊥BD；（2）求点D 到平面QMN 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）3【解析】试题分析：（1）先证明QD DC ⊥，QB BC ⊥，得到DP BP =，利用等腰三角形的性质证明；（2）利用等积法Q MND D QMN V V --=，即可求解点D 到平面的距离．试题解析：（1） 平面⊥QBD 平面BCD , QD⊥BD，平面QBD I 平面=BCD BD ，∴QD⊥平面BCD ，,∴⊥QD DC 同理,QB BC ⊥ …………………………3分P 是QC 的中点．1,2∴==DP BP QC 又M 是DB 的中点∴PM⊥BD. …………………………6分（2） QD⊥平面BCD ，QD ＝BC ＝2，AB ＝4，M ，N ，P 分别是DB 、BC 、QC 的中点．QM MN QN ∴==QMN S ∆=又1,MND S ∆= …………………………9分 设点D 到平面QMN 的距离为h111233Q MND D QMN V V h --=∴⋅⋅=所以点D 到平面QMN…………………………12分 考点：直线与平面垂直的判定与应用；点到平面的距离的计算． 20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>(2,0)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点3(,0)2M 的直线l 交椭圆于B 、D 两点，设直线AB 斜率为k 1，直线AD 斜率为k 2。

大连市2016年高三第一次模拟考试数学（文科)能力测试第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1、集合{|13}A x x =-<<，集合{|12}B x x =-<<，则AB =A ．()1,2B ．()1,2-C ．()1,3D ．()1,3- 2、设复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，12zi =+，则2z =A ．2i +B ．2i -+C ．2i -D ．2i -- 3、已知向量(2,1),(0,1)a b =-=，则2a b += A ．5B ．22C ．2D ．44、已知函数()5log ,02,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())25f f =A ．4B ．14C ．4-D ．14-5、某集团为了解新产品的销售情况，销售部在3月1日至3月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品的销售量及其价格进行了调查,其中该产品的价格x （元）与销售量y （万件）的统计资料如下表所示:已知销售量y （万件）与价格x （元)之间具有线性相关关系，其回归直线方程为：ˆˆ40ybx =+，若该集团将产品定价为10。

2元,预测该批发市场的日销售量约为A ．7.66万件B ．7.86万件C ．8.06万件D ．7.36万件 6、已知tan 2,αα=为第一象限角，则sin 2cos αα+的值为 A ．5B ．425+C ．45+D ．52- 7、如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，点P 是线段CD 中点，则三棱锥11P A B A -的左视图为8、将函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移12π个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数()f x 在[0,]2π上的最小值为A 3B ．12C ．12-D ．39、执行如图所示的程序框图，如果输入110011a =，则输出的结果是A ．51B ．49C ．47D ．4510、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，以F为圆心和双曲线C 的渐近线相切与双曲线C 在第一象限的交点为M, 且MF 与双曲线C 的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为A．2BCD ．211、在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，满足 cos cos a A b B =，则ABC ∆的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形12、已知函数()f x 的定义在R 上的奇函数，且在区间[0,)+∞上是增函数， 则不等式1(ln )(ln()(1)2f x f xf -<的解集为A ．1(0,)eB ．(0,)eC ．1(,)e eD ．(,)e +∞第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

2016年东北三校高三数学文科第一次高考模拟试卷（带答案）哈尔滨师大附中 2016年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷东北师大附中辽宁省实验中学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1．若集合，，则 A． B． C．2 D．2．若复数z满足zi = 1 + i，则z的共轭复数是 A．-1 - i B．1 + i C．-1 + i D．1 - i 3．若m = 6，n = 4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是 A． B．100 C．10 D．1 4．已知向量a，b满足，， A．-12 B．-20 C．12 D．20 5．若函数，则的值为A．-10 B．10 C．-2 D．2 6．设，若，，则p是q的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若点在直线上，则的值等于 A． B． C． D．8．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如下表 x 165 160 175 155 170 y 58 52 62 43 60 根据上表可得回归直线方程为，则 A．-104.4 B． 104.4 C．-96.8 D．96.8 9．若函数为偶函数，则函数在区间上的取值范围是 A． B． C． D．10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A． B．C．13 D．11．双曲线C：的左、右焦点分别为，，M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，，线段F1N交双曲线C于点Q，且，则双曲线C的离心率为 A． B．2 C． D．12．在平面直角坐标系xOy中，已知，，则的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 第II卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

一模文科数学答案 选择题DABBD CCBCC AD 填空题 13.5019 14 . 必要不充分 15. ① 16. 2π 三．解答题17.（1）解:由已知有2,11==d a , ………………………..4分 则12-=n a n …………………………..6分 （2）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n , ………………………….10分则12+=n nT n ………………………………..12分……………………..2分538.112≈K …………………………….5分有9.99%把握认为高中生的数学成绩与物理成绩有关系. ………………………………6分 （2）85………………………………..12分 19.(1) 因为平面ABD PEF 平面⊥,平面ABD PO PEF PO EF ABD PEF ⊥∴⊂=⋂,,平面 则BD PO ⊥,又APO BD APO PO APO AO O PO AO BD AO ⊥∴⊂⊂=⋂⊥,,,,PA BD APO AP ⊥∴⊂, ………………………………….6分（2）5154 ……………………………………12分 20.（1）1121622=+y x …………………….3分（2）设)2,22(),2,22(),,(),,(00000000y x N y x M y x B y x A --+--则 (4)1)(4112020-=+-=⋅y x N O M O ,则52020=+y x , …………………….6分设l 方程为kx y =,和椭圆方程142222=-+a y a x 联立消元整理得[],,04)4(22222220a k a a a a x ∈-+-= …………………10分所以长轴长范围是[]6,52 …………………………………12分 21. (1)解: 21)(--='x e x f x, ……………………………..1分 令)()(x f x g '=,则1)(-='xe x g ,则当)0,(-∞∈x 时, ,0)(<'x g 则)(xf '单调递减,当),0(+∞∈x 时,,0)(>'x g 则)(x f '单调递增. …………………………………4分所以有021)0()(>='≥'f x f ,所以()上递增，－在∞+∞)(x f ……………………..6分 (2) 当0≥x 时,a x e x f x --=')(,令)()(x f x g '=,则01)(≥-='x e x g ,则)(x f '单调递增,a f x f -='≥'1)0()( …………………… 7分当1≤a 即01)0()(≥-='≥'a f x f 时, ()上递增，在∞+0)(x f ,0)0()(=≥f x f 成立; ……………………………………….9分 当1>a 时,存在),0(0+∞∈x ,使0)(0='x f ,则()上递，在00)(x x f 减,则当),0(a x ∈时,0)0()(=<f x f ,不合题意. ……………………………………11分综上1≤a …………………………..12分22. （1）连结DC ，因为ADB ACB PCE ∠=∠=∠,ABD PCD ∠=∠, 又因为AD AB =,所以 ADB ABD ∠=∠,所以PCD PCE ∠=∠.·················3分 由已知PAB PEB ∠=∠, PAB PDC ∠=∠, 所以PDC PEC ∠=∠, 且PC PC =,所以PDC PEC ∆≅∆, 所以PD PE =.················5分 (2) 因为PBA ACB ∠=∠, PAB BAC ∠=∠ 所以ABC ∆∽APB ∆, 则)(2PC AP AP AC AP AB -=⋅=,所以)(22BD PD PD PB PD PC AP AB AP+=⋅=⋅=-又因为AB PD =, 1=AB , 所以3222=⋅=-BD AB AB AP ,················8分所以322+=AP.所以 262+=AP .················10分23. (1)求圆C 的直角坐标方程4)2(22=+-y x ……………….3分（2）设点A 、B 对应的参数分别为21,t t ,将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y tx 221222代入4)2(22=+-y x 整理得0322=-+t t ,则⎩⎨⎧-=-=+⋅322121t t t t , …………………..5分 又|PA|＋|PB|=144)(212212121=-+=-=+t t t t t t t t ……………………..10分24.（1）由12≤-m x 有2121+≤≤-m x m , ……………………….2分 关于x 的不等式12≤-m x 的整数解有且仅有一个值为3,则⎪⎩⎪⎨⎧<+≤≤-<42133212m m ,即75<<m ,又m 为整数,则6=m ……………………..5分（2）由6444444=++c b a 有23444=++c b a ,由柯西不等式有()()()29)()()(1112222222222222=++++≤++c b a c b a 当且仅当421===c b a 时,等号成立, ……………..8分 所以222c b a ++的最大值为223 …………………10分。

4.已知函数f (x)是定义在R 上的偶函数，若当x v 0时，f (x) =Tog2( - 2x)，则f (32) =( )A. - 32B. - 6C. 6D. 64 【考点】函数奇偶性的性质.【分析】真假利用函数的奇偶性的性质求解即可. 【解答】 解：因为当xv 0时，f (x) = - log2 (- 2x), f (32) =f (- 32) =- log264= - 6, 故选：B.5.抛物线y 2=2px (p>0)上的动点Q 到其焦点的距离的最小值为 1,则p=( )A. 77B. 1C. 2D. 4 2【考点】抛物线的简单性质.【分析】根据抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论. 【解答】解：抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离， 抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即 p=2 .故答案选：C.6.已知06( ,二厂)且sin Ocos 9=a,其中a£ (0, 1),则tan 0的可能取值是( )A . - 3 B. 3 或耳 C.— D. -3或—【考点】三角函数中的恒等变换应用.【分析】把已知等式两边平方， 可得2sin 0 £os9=a 2- 1,由a 的范围及B ( 一 , C )， 一 ............ ........................ .. …一，、碍 sin 0 *Cos(K 0,且 | sin 。

| v | cos 。

| ,由此碍到 0^( -------- , C),答案可求.【解答】 解：由sin 0+cos0=a,两边平方可得 2sin 0 "Cos 。

=a 2 - 1, .，• 0C (- q • C),从而 tan 06 (— 1, 0). 故选：C.7. 已知正二棱锥 V - ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正二棱锥侧面积是二1，由a€(0, 1)及 B £ (-分，~),有sin 0 £os 0< 0,且 | sin 0| < | cos 印，A. B. C. 18 D.【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图画出对应直观图，根据正三棱锥的结构特征判断出顶点V在底面上的射影，由图象和勾股定理求出三棱锥的高，再求出侧面上的高即斜高，由三角形的面积公式求出正三棱锥侧面的面积.【解答】解：由三视图画出直观图如图所示：O是定点V在底面的射影，且。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合[]3,2=A ，{0652=+-=x x x B ，则=B A （ ）A ．{}3,2B ．ΦC ．2D ．[]3,2 【答案】A考点：集合交集运算.2.若复数z 满足i zi +=1，则z 的共轭复数是（ ） A ．i --1 B ．i +1 C ．i +-1 D ．i -1 【答案】B 【解析】试题分析：11,1izi i z i i+=+∴==- ，所以z 的共轭复数是1i + 考点：1.复数的运算；2.共轭复数.3.若6=m ，4=n ，按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（ ） A ．1001B ．100C ．10D ．1【答案】D 【解析】试题分析：因为6=m ，4=n ，所以m n >，所以lg(64)1y =+=，所以答案为D . 考点：程序框图.4.已知向量a ，b 满足()3,1-=+b a ，()7,3=-b a ，则=⋅b a （ ） A ．12- B ．20- C ．12 D ．20 【答案】A考点：平面向量的数量积. 5.若函数22,0()24,0xx x f x x +≤⎧=⎨->⎩，则()()1f f 的值为（ ） A ．10- B ．10 C ．2- D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：()()()()11243,134f ff f =-=-∴=--.考点：函数值.6.设R b a ∈,，若p ：b a <，q ：011<<ab ，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 试题分析：110,0a b b a<<∴<<，所以p 是q 的必要不充分条件. 考点：充分、必要条件的判断.7.若点()ααsin ,cos P 在直线x y 2-=上，则sin 2α的值等于（ ） A ．54-B ．54 C ．53- D ．53 【答案】A 【解析】试题分析：∵点(cos ,sin )P αα在直线2y x =-上，∴sin 2cos αα=-，∴tan 2α=-，222sin cos sin 2sin cos ααααα==+ 22tan 44tan 1415αα=-=-++.考点：1.诱导公式；2.倍角公式.8.从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x （厘米）和体重y （公斤）数据如下表：根据上表可得回归直线方程为^^0.92y x a =+，则^a=（ ） A ．8.96- B ．8.96 C ．4.104- D ．4.104 【答案】A考点：线性回归方程．9.若函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<为偶函数，则函数()f x 在区间[0,]4π上的取值范围为（ ）A ．[1,0]-B ．[2-C ．[0,]2D ．[0,1] 【答案】A【解析】试题分析：因为函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<为偶函数，所以,2k k Z πϕπ=+∈，又0πϕ-<<，所以2πϕ=-，所以()s i n (2)c o s 22f x x x π=-=-，又[0,]4x π∈，所以2[0,]2x π∈，所以cos 2[0,1]x ∈，所以函数()f x 在区间[0,]4π上的取值范围为[1,0]-.考点：1.诱导公式；2.三角函数的值域.10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．37 B ．217 C ．13 D ．210317+ 【答案】C考点：由三视图求面积、体积．11.双曲线C ：()0,012222>>=-b a by b x 的左，右焦点分别为()0,1c F -，()0,2c F ，M ，N 两点在双曲线C 上，且21//F F MN ,MN F F 421=,线段N F 1交双曲线C 于点Q ，且QN Q F =1，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．5D ．6 【答案】D考点：双曲线的简单性质．【思路点睛】本题考查双曲线C 的离心率，考查学生的计算能力，首先根据21//F F MN ,MN F F 421=,线段N F 1交双曲线C 于点Q ，且QN Q F =1确定N Q ，的坐标，代入双曲线方程，再根据双曲线的性质即可求出双曲线C 的离心率．12.在平面直角坐标系xOy 中，已知2111ln 0x x y --=，2220x y --=，则221212()()x x y y -+-的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，原问题等价于曲线2ln y x x =-上一点到直线20x y --=的距离的最小值的平方；因为1'2y x x =-，令121x x-=，得1x =，可得与直线20x y --=平行且与曲线2ln y x x =-相切的切点为()1,1，所以可得切线方程为0x y -=，所以直线0x y -=与直线20x y --=之间的距离为=，即曲线2ln y x x =-上一点到直线20x y --=2ln y x x =-上一点到直线20x y --=的距离的最小值的平方为2；所以221212()()x x y y -+-的最小值为2，故选B.考点：1.导数的几何意义；2.平行线间的距离公式.【思路点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，以及点到直线的距离公式；首先根据题意将原问题等价于曲线2ln y x x =-上一点到直线20x y --=的距离的最小值的平方；这是解题的关键，然后再根据导数的几何意义求出切点坐标，求出与直线20x y --=平行的直线方程，然后再利用平行线间的距离公式即可求出最小值．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,0,0,01x y x y x 则y x z 2+=的最大值是 .【答案】2考点：简单线性规划．14.已知三棱锥ABC P -，若PA ，PB ，PC 两两垂直，且2=PA ，1==PC PB ，则三棱锥ABC P -外接球的体积为 .【解析】试题分析：三棱锥ABC P -的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且2=PA ，1==PC PB ，则该三棱锥的外接球，就是三棱锥扩展为长方体的外接球，所以长方体的对角线的长度为：=ABC P -外接球的体积为343π=⎝⎭． 考点：1.球的体积和表面积；2.棱锥的结构特征．()02≠=m mx y 的准线交于A ，32=AB ，直线与圆的位置关系；3.点到直线的距离【方法点睛】与圆有关的线段长问题，一般不是直接求出线段两端点坐标，用两点间距离公（1）直线与圆相交时，若l 为弦长，r 为半，求弦长或已知弦长求其他量的值，一般用此公是切线上的点，A 是切点，C 是圆心，M 在ABC ∆外，且2==MC MB 的最大值0)AB AC BC +⋅= ，可得ABC ∆又点M 在1．若M 与A 在BC 同侧，设BCM α∠∠=，12cos cos a βα-=⋅，又cos α=考点：平面向量数量积的运算．【思路点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角形的解法，体现了分类讨论的数学思想方法，灵活转化是解决该题的关键；由题意可知，ABC ∆为等边三角形，再结合题意画出图形，分M 与A 在BC 同侧及M 与A 在BC 异侧两种情况，利用正弦定理和余弦定理结合求得MA 的取值范围，最后取并集得答案．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足231=a ，且131-=+n n a a ，n n n ab 21-= （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）若不等式m b b n n ≤-++111对m N n ∈∀恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1m ≥ 【解析】试题分析：（1）由题意可得113133()222+-=-=-Q n n n a a a ，即为13n n b b +=，由等比数列的定义即可得证；（2）运用等比数列的通项公式，可得13n n b -=，由题意可得13131n nm -+≤-的最大值，求得()143331=+-n nc ，为递减数列，可得最大值，进而得到m 的范围．考点：1.数列的递推关系；2.数列与不等式的综合；3.等比关系的确定． 18.（本小题满分12分）某游戏网站为了了解某款游戏玩家的年龄情况，现随机调查100为玩家的年龄整理后画出频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求100名玩家中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计该款游戏所有玩家的平均年龄；（Ⅱ）若已从年龄在[35,45),[45,55)的玩家中利用分层抽样选取6人组成一个游戏联盟，现从这6人中选出2人，求这两人在不同年龄组的概率.【答案】（Ⅰ）37岁；（Ⅱ）8 15考点：1.频率分布直方图；2.古典概型.19.（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中，AD BD ⊥，2AD =，4BD =，点M ，N 分别为,BD BC 的中点，将其沿对角线BD 折起成四面体QBCD ，使平面QBD ⊥平面BCD ，P 为QC 的中点.（Ⅰ）求证：PM BD ⊥；（Ⅱ）求点D 到平面QMN 的距离.【答案】（Ⅰ）详见解析；所以点D 到平面QMN 的距离3 …………………………12分.考点：1.面面垂直的性质定理；2.锥体的体积公式.20.（本小题满分12分） 已知椭圆()0122222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，右顶点为(2,0)A . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）过点3(,0)2M 的直线l 交椭圆于,B D 两点，设直线AB 的斜率为1k ，直线AD 斜率为2k .求证：12k k 为定值，并求此定值.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）74-（Ⅱ）由题意知直线l 斜率不为0，可设直线l 方程为32x my =+，与2214x y +=联立 得227(4)304m y my ++-=，0∆>设1122(,),(,)B x y D x y ， 则121222734,44m y y y y m m --+==++ ………………………… 8分 121212122121212121111(2)(2)()()()2224y y y y y y k k x x my my m y y m y y ===-----++， 2227747314(4)424-==--+++m m m ． 12∴k k 为定值，定值为74- …………………………12分考点：1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.21.（本小题满分12分）已知函数()(21)xf x x e =-，()()g x ax a a R =-∈.（Ⅰ）若()y g x =为曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值；（Ⅱ）已知1a <，若关于x 的不等式()()f x g x <的整数解只有一个0x ，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1=a 或324e =a ；（Ⅱ）312ea <≤()y g x =∵恒过点(10)，，斜率为a ，且为()y f x =的一条切线，000000e (21)e (21)(1)x x x x x --=+-∴，0302x =∴或，由00e (21)=+x a x ，得1=a 或324e =a …………………………4分考点：1.导数的几何意义；2.利用导数求切线；3.导数在函数单调性中的应用.22. （本小题满分10分）如图，EF 是圆O 的直径，EF AB //，点M 在EF 上，AM 、BM 分别交圆O 于点C 、D .设圆O 的半径是r ，m OM =.（Ⅰ）证明：()22222m r BM AM +=+；（Ⅱ）若m r 3=，求DMBM CM AM +的值. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）52（Ⅱ）因为EM r m =-，FM r m =+，所以22AM CM BM DM EM FM r m ⋅=⋅=⋅=-. 因为2222AM BM AM BM AM BM CM DM AM CM BM DM EM FM++=+=⋅⋅⋅ 所以22222()AM BM r m CM DM r m++=-. 又因为3=r m ，所以52+=AM BM CM DM ． …………….10分.考点：1.勾股定理；2.线段的比例关系.23. （本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是8y =，圆C 的参数方程是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线l 和圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）射线:OM θα=（其中02πα<<）与圆C 交于O ，P 两点，与直线l 交于点M ，射线:2ON πθα=+与圆C 交于O ，Q 两点，与直线l 交于点N ，求OPOQOM ON ∙的最大值.【答案】（Ⅰ）θρsin 4=；（Ⅱ）αsin 4||=OP（Ⅱ）()()()24cos 4cos 2sin ()1122088sin s n 6)2(i OP OQ OM ON πααααππαα-+=⋅=∈+⋅，． ∴OPOQOM ON ∙的最大值为116． 考点：1.简单曲线的极坐标方程；2.参数方程化成普通方程．24. （本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲已知函数()3f x m x =--，不等式()2f x >的解集为()2,4. （I ）求实数m 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()x a f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）(2)4，；（Ⅱ）6a ≥或0a ≤考点：1.绝对值不等式的解法；2.分段函数的应用．。

2016年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N＝（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5＝32，则a3＝（）A．B．2C．D．4．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（4））的值为（）A．B．﹣9C．D．95．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图（两个矩形，一个直角三角形），则这个几何体可能为（）A．三棱台B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥6．（5分）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2＝4的圆心，且与直线x+y+1＝0垂直，则l的方程是（）A．x+y﹣2＝0B．x﹣y+2＝0C．x+y﹣3＝0D．x﹣y+3＝0 7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a＝﹣1，b＝﹣2，则输出的a 的值为（）A．16B．8C．4D．28．（5分）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为（）A．2B．3C．4D．59．（5分）若函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（）A．B．C．D．10．（5分）已知正四面体ABCD的棱长为a，其外接球表面积为S1，内切球表面积为S2，则S1：S2的值为（）A．3B．C．9D．11．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．12．（5分）已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f′（x），且满足f（1）＝0，当x＞0时，xf′（x）＜2f（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．（5分）设x，y满足约束条件：，若z＝x﹣y，则z的最大值为．14．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则＝．15．（5分）函数f（x）＝2x﹣lnx的单调增区间是．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，双曲线C与过原点的直线相交于A、B两点，连接AF，BF．若|AF|＝6，|BF|＝8，，则该双曲线的离心率为．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出取得最大值时相应的x的取值集合；（Ⅱ）若，求f（α）的值．18．（12分）如图所示，三棱锥D﹣ABC中，AC，BC，CD两两垂直，AC＝CD ＝1，，点O为AB中点．（Ⅰ）若过点O的平面α与平面ACD平行，分别与棱DB，CB相交于M，N，在图中画出该截面多边形，并说明点M，N的位置（不要求证明）；（Ⅱ）求点C到平面ABD的距离．19．（12分）为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为．（Ⅰ）求2×2列联表中的数据的值；（Ⅱ）绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？（Ⅲ）能够有多大把握认为疫苗有效？附：20．（12分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．（Ⅰ）若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P（x0，y0）为椭圆上一点，且直线P A的斜率k1∈（﹣2，﹣1），试求直线PB的斜率k2的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣alnx+b（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的方程为3x﹣y﹣3＝0，求实数a，b 的值；（Ⅱ）若x＝1是函数f（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅲ）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈（0，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m|﹣|恒成立，求m的最小值．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图所示，两个圆相内切于点T，公切线为TN，外圆的弦TC，TD 分别交内圆于A、B两点，并且外圆的弦CD恰切内圆于点M．（Ⅰ）证明：AB∥CD；（Ⅱ）证明：AC•MD＝BD•CM．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是ρ＝1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M，N，切点为T，求|TM|•|TN|的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】24．已知命题“∀a＞b＞c，”是真命题，记t的最大值为m，命题“∀n∈R，”是假命题，其中．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求n的取值范围．2016年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：，在复平面内复数z对应点的坐标为（1，1），在第一象限．故选：A．2．（5分）设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N＝（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【解答】解：∵N＝{x|x2﹣3x+2≤0}＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}＝{x|1≤x≤2}，∴M∩N＝{1，2}，故选：D．3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5＝32，则a3＝（）A．B．2C．D．【解答】解：根据等差数列的性质，S5＝5a3，∴．故选：A．4．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（4））的值为（）A．B．﹣9C．D．9【解答】解：因为，∴f（4）＝＝﹣2，∴．故选：C．5．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图（两个矩形，一个直角三角形），则这个几何体可能为（）A．三棱台B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥【解答】解：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等；可得几何体如右图所示，这是一个三棱柱．故选：B．6．（5分）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2＝4的圆心，且与直线x+y+1＝0垂直，则l的方程是（）A．x+y﹣2＝0B．x﹣y+2＝0C．x+y﹣3＝0D．x﹣y+3＝0【解答】解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，故l的方程是y﹣3＝x﹣0，即x﹣y+3＝0，故选：D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a＝﹣1，b＝﹣2，则输出的a 的值为（）A．16B．8C．4D．2【解答】解：模拟执行程序框图，可得a＝﹣1，b＝﹣2时，不满足条件a＞6，a＝（﹣1）×（﹣2）＝2＜6；不满足条件a＞6，a＝2×（﹣2）＝﹣4＜6；不满足条件a＞6，a＝（﹣4）×（﹣2）＝8；满足条件a＞6，退出循环，输出a的值为8．故选：B．8．（5分）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）＝1，解得a＝0.03．由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）＝60人．其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为×10＝3人．故选：B．9．（5分）若函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y＝log a x的图象过点（3，1），∴a＝3．∴y＝a﹣x＝（）x 是减函数，故A错；y＝x a＝x3是增函数，且过（0，0），（1，1）两点，故B正确．y＝（﹣x）a＝﹣x3是减函数，故C错．y＝log a（﹣x）＝log3（﹣x）是减函数，故D错．故选：B．10．（5分）已知正四面体ABCD的棱长为a，其外接球表面积为S1，内切球表面积为S2，则S1：S2的值为（）A．3B．C．9D．【解答】解：如图，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a，由图形的对称性知，点O也是外接球的球心．设内切球半径为r，外接球半径为R．在Rt△BEO中，BO2＝BE2+EO2，即，又，解得R＝3r，∴，故选：C．11．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，根据抛物线的定义，不难求出，|AB|＝2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，直线AB 的方程为，联立直线AB与抛物线的方程可得：，解之得：，，所以，而原点到直线AB的距离为，所以，当直线AB的倾斜角为120°时，同理可求．故选：C．12．（5分）已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f′（x），且满足f（1）＝0，当x＞0时，xf′（x）＜2f（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：根据题意，设函数，当x＞0时，，所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（x）为偶函数，所以g（x）为偶函数，又f（1）＝0，所以g（1）＝0，故g（x）在（﹣1，0）∪（0，1）的函数值大于零，即f（x）在（﹣1，0）∪（0，1）的函数值大于零．故选：B．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．（5分）设x，y满足约束条件：，若z＝x﹣y，则z的最大值为3．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x﹣y，得y＝x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y＝x﹣z，当直线经过点A（3，0）时，此时直线y＝x﹣z截距最小，z 最大．此时z max＝3．故答案为：3．14．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则＝2．【解答】解：（解法一）＝．（解法二）以A为原点，以AB为x轴，以AD为y轴建立直角坐标系，，，．故答案为：2．15．（5分）函数f（x）＝2x﹣lnx的单调增区间是（，+∞）．【解答】解：f（x））＝2x﹣lnx的定义域为（0，+∞）．f′（x）＝2﹣＝，令f′（x）＞0，解得x．所以函数f（x）＝2x﹣lnx的单调增区间是（，+∞）．故答案为：（，+∞）．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，双曲线C与过原点的直线相交于A、B两点，连接AF，BF．若|AF|＝6，|BF|＝8，，则该双曲线的离心率为5．【解答】解：在△AFB中，由余弦定理可得|BF|2＝|AB|2+|AF|2﹣2|AB|•|AF|cos∠BAF，即有64＝|AB|2+36﹣12|AB|•化为|AB|2﹣|AB|﹣28＝0，解得|AB|＝10．由勾股定理的逆定理，可得∠ABF＝90°，设F'为双曲线的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．结合矩形性质可知，2c＝10，利用双曲线定义，2a＝8﹣6＝2，所以离心率e＝＝5．故答案为：5．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出取得最大值时相应的x的取值集合；（Ⅱ）若，求f（α）的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝1+cos x+sin x＝2sin（x+）+1，∴当sin（x+）＝1时，f（x）取得最大值3．此时x+＝+2kπ，解得x＝+2kπ，∴此时相应的x的取值集合为．（Ⅱ）f（α）＝2cos2+sinα＝2cos2+2sin cos＝＝＝＝．18．（12分）如图所示，三棱锥D ﹣ABC 中，AC ，BC ，CD 两两垂直，AC ＝CD ＝1，，点O 为AB 中点．（Ⅰ）若过点O 的平面α与平面ACD 平行，分别与棱DB ，CB 相交于M ，N ，在图中画出该截面多边形，并说明点M ，N 的位置（不要求证明）； （Ⅱ）求点C 到平面ABD 的距离．【解答】解：（Ⅰ）当M 为棱DB 中点，N 为棱BC 中点时， 平面α∥平面ACD ．…（6分） 解：（Ⅱ）∵CD ⊥AC ，CD ⊥BC ， ∴直线CD ⊥平面ABC ，…（8分），．又．∴AB ＝BD ，…（9分）设点E 是AD 的中点，连接BE ，则BE ⊥AD ， ∴，．又V C ﹣ABD ＝V D ﹣ABC ， 而，设点C 到平面ABD 的距离为h ， 则有，…（10分）即，∴，∴点C到平面ABD的距离为．…（12分）19．（12分）为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为．（Ⅰ）求2×2列联表中的数据的值；（Ⅱ）绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？（Ⅲ）能够有多大把握认为疫苗有效？附：【解答】解：（Ⅰ）设“从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物”为事件A，由已知得，所以y＝10，B＝40，x＝40，A＝60．…（5分）（Ⅱ）未注射疫苗发病率为，注射疫苗发病率为．发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到发病率．…（10分）（Ⅲ）…（11分）＝．所以有99.9%的把握认为疫苗有效．…（12分）20．（12分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．（Ⅰ）若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P（x0，y0）为椭圆上一点，且直线P A的斜率k1∈（﹣2，﹣1），试求直线PB的斜率k2的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆+＝1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．∴由题意得c＝3，…（1分）根据2a+2c＝16，得a＝5．…（2分）结合a2＝b2+c2，解得a2＝25，b2＝16．…（3分）∴椭圆的方程为．…（4分）（Ⅱ）（解法一）由，得．设A（x1，y1），B（x2，y2）．则，…（6分）由AB、EF互相平分且共圆，∴AF2⊥BF2，∵，，∴．即x1x2＝﹣8，∴，结合b2+9＝a2．解得a2＝12，∴离心率．…（8分）（若设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1）相应给分）（Ⅲ）由（Ⅱ）结论，椭圆方程为，…（9分）由题可设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），，∴，…（10分）又，即，由﹣2＜k1＜﹣1可知，．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣alnx+b（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的方程为3x﹣y﹣3＝0，求实数a，b 的值；（Ⅱ）若x＝1是函数f（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅲ）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈（0，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m|﹣|恒成立，求m的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，…（2分）∵曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的方程为3x﹣y﹣3＝0，∴1﹣a＝3，f（1）＝0，∴a＝﹣2，，∴a＝﹣2，．…（4分）（Ⅱ）∵x＝1是函数f（x）的极值点，∴f′（1）＝1﹣a＝0，∴a＝1；…（6分）当a＝1时，，定义域为（0，+∞），，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以，a＝1．…（8分）（Ⅲ）因为﹣2≤a＜0，0＜x≤2，所以，故函数f（x）在（0，2]上单调递增，不妨设0＜x1≤x2≤2，则，可化为，…（10分）设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为（0，2]上的减函数，即在（0，2]上恒成立，等价于x3﹣ax﹣m≤0在（0，2]上恒成立，即m≥x3﹣ax在（0，2]上恒成立，又﹣2≤a＜0，所以ax≥﹣2x，所以x3﹣ax≤x3+2x，而函数y＝x3+2x在（0，2]上是增函数，所以x3+2x≤12（当且仅当a＝﹣2，x＝2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…（12分）请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图所示，两个圆相内切于点T，公切线为TN，外圆的弦TC，TD 分别交内圆于A、B两点，并且外圆的弦CD恰切内圆于点M．（Ⅰ）证明：AB∥CD；（Ⅱ）证明：AC•MD＝BD•CM．【解答】（Ⅰ）由弦切角定理可知，∠NTB＝∠TAB，…（3分）同理，∠NTB＝∠TCD，所以，∠TCD＝∠TAB，所以，AB∥CD．…（5分）（Ⅱ）连接TM、AM，因为CD是切内圆于点M，所以由弦切角定理知，∠CMA＝∠ATM，又由（Ⅰ）知AB∥CD，所以，∠CMA＝∠MAB，又∠MTD＝∠MAB，所以∠MTD＝∠ATM．…（8分）在△MTD中，由正弦定理知，，在△MTC 中，由正弦定理知，，因∠TMC ＝π﹣∠TMD ，所以，由AB ∥CD 知，所以，即，AC •MD ＝BD •CM ．…（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C 1的方程是ρ＝1，将C 1向上平移1个单位得到曲线C 2． （Ⅰ）求曲线C 2的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 1的切线交曲线C 2于不同两点M ，N ，切点为T ，求|TM |•|TN |的取值范围．【解答】解：（I ）曲线C 1的方程是ρ＝1，即ρ2＝1，化为x 2+y 2＝1，将C 1向上平移1个单位得到曲线C 2：x 2+（y ﹣1）2＝1，展开为x 2+y 2﹣2y ＝0． 则曲线C 2的极坐标方程为ρ2﹣2ρsin θ＝0，即ρ＝2sin θ． （II ）设T （cos θ，sin θ），θ∈（0，π）． 切线的参数方程为：（t 为参数），代入C 2的方程化为：t 2+2t [cos（θ﹣α）﹣sin α]+1﹣2sin θ＝0， ∴t 1t 2＝1﹣2sin θ，∴|TM |•|TN |＝|t 1t 2|＝|1﹣2sin θ|，∵θ∈（0，π），∴|1﹣2sin θ|∈[0，1]，当θ＝时，|1﹣2sin θ|＝1；当θ＝或时，|1﹣2sin θ|＝0．∴∴|TM |•|TN |的取值范围是[0，1]． 【选修4-5：不等式选讲】24．已知命题“∀a＞b＞c，”是真命题，记t的最大值为m，命题“∀n∈R，”是假命题，其中．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求n的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为“∀a＞b＞c，”是真命题，所以∀a＞b＞c，恒成立，又a＞b＞c，所以恒成立，所以，．…（3分）又因为＝，“＝”成立当且仅当b﹣c＝a﹣b时．因此，t≤4，于是m＝4．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“∀n∈R，”是假命题，所以“∃n∈R，”是真命题．…（7分）因为|n+sinγ|﹣|n﹣cosγ|＝|n+sinγ|﹣|cosγ﹣n|≤|sinγ+cosγ|（），因此，，此时，即时．…（8分）∴，由绝对值的意义可知，．…（10分）。

2016年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）某学校有男学生400名，女学生600名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法2．（5分）已知m，n∈R，集合A＝{2，log7m}，集合B＝{m，n}，若A∩B＝{0}，则m+n＝（）A．1B．2C．4D．83．（5分）若＝（1，2），，若∥，则m＝（）A．﹣B．C．2D．﹣24．（5分）设x，y满足约束条件：，则z＝x﹣2y的最大值为（）A．﹣3B．3C．4D．﹣25．（5分）已知数列{b n}是等比数列，b9是1和3的等差中项，则b2b16＝（）A．16B．8C．2D．46．（5分）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A．B．C．D．7．（5分）如果函数y＝2sin（2x﹣φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．8．（5分）过双曲线x2﹣＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有（）A．1条B．2条C．3条D．4条9．（5分）已知x0（x0＞1）是函数f（x）＝lnx﹣的一个零点，若a∈（1，x0），b∈（x0，+∞），则（）A．f（a）＜0，f（b）＜0B．f（a）＞0，f（b）＞0C．f（a）＜0，f（b）＞0D．f（a）＞0，f（b）＜010．（5分）已知函数f（x）＝，则不等式f（x）≤5的解集为（）A．[﹣1，1]B．（﹣∞，﹣2]∪（0，4）C．[﹣2，4]D．（﹣∞，﹣2]∪[0，4]11．（5分）直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足，则l的横截距（）A．为定值﹣3B．为定值3C．为定值﹣1D．不是定值12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，在正方体表面上与点A距离是2的点形成一条封闭的曲线，这条曲线的长度是（）A．πB．C．3πD．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为．14．（5分）若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的条件15．（5分）下列命题：①已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，并且m⊥α，n⊂β，则“α⊥β”是“m∥n”的必要不充分条件；②不存在x∈（0，1），使不等式成立log2x＜log3x；③“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题；④∀θ∈R，函数f（x）＝sin（2x+θ）都不是偶函数．正确的命题序号是．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，M为AB边的中点，＝λ（λ∈R）且＝+，又已知||＝，则角C＝．三、解答题（共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，2a1+1＝a2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n＝，求{b n}的前n项和T n．18．（12分）哈三中某兴趣小组为了调查高中生的数学成绩是否与物理成绩有关系，在高二年级随机调查了50名学生，调查结果表明：在数学成绩较好的25人中有18人物理成绩好，另外7人物理成绩一般；在数学成绩一般的25人中有6人物理成绩好，另外19人物理成绩一般．（Ⅰ）试根据以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出是否有99.9%把握认为高中生的数学成绩与物理成绩有关系．（Ⅱ）现将4名数学成绩好且物理成绩也好的学生分别编号为1，2，3，4，将4名数学成绩好但物理成绩一般的学生也分别编号1，2，3，4，从这两组学生中各任选1人进行学习交流，求被选取的2名学生编号之和不大于5的概率．附：．19．（12分）边长为4的菱形ABCD中，满足∠DCB＝60°，点E，F分别是边CD和CB的中点，AC交BD于点H，AC交EF于点O，沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABD，连接P A，PB，PD，得到如图所示的五棱锥P﹣ABFED．（Ⅰ）求证：BD⊥P A；（Ⅱ）求点D到平面PBF的距离．20．（12分）已知椭圆C：的焦距为4，设右焦点为F，过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AF的中点为M，线段BF的中点为N，且•＝﹣．（Ⅰ）若离心率e＝，求椭圆C的方程；（Ⅱ）求椭圆C的长轴长的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣1﹣，x∈R．（Ⅰ）若a＝，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x≥0都有f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）如图，A，B是⊙O上的两点，P为⊙O外一点，连结P A，PB分别交⊙O于点C，D，且AB＝AD，连结BC并延长至E，使∠PEB＝∠P AB．（Ⅰ）求证：PE＝PD；（Ⅱ）若AB＝EP＝1，且∠BAD＝120°，求AP．23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ＝4cosθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|P A|+|PB|．24．关于x的不等式|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值为3（m为整数）．（Ⅰ）求整数m的值；（Ⅱ）已知a，b，c∈R，若4a4+4b4+4c4＝m，求a2+b2+c2的最大值．2016年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）某学校有男学生400名，女学生600名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为400：600＝4：6，所抽取的比例也是4：6．故选：D．2．（5分）已知m，n∈R，集合A＝{2，log7m}，集合B＝{m，n}，若A∩B＝{0}，则m+n＝（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：根据A＝{2，log7m}，B＝{m，n}，且A∩B＝{0}，得log7m＝0，解得m＝1；∴n＝0，∴m+n＝1+0＝1．故选：A．3．（5分）若＝（1，2），，若∥，则m＝（）A．﹣B．C．2D．﹣2【解答】解：＝（1，2），，若∥，可得2m＝1，期m＝．故选：B．4．（5分）设x，y满足约束条件：，则z＝x﹣2y的最大值为（）A．﹣3B．3C．4D．﹣2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x﹣2y，得y＝平移直线y＝，由图象可知当直线y＝经过点A（3，0）时，直线y ＝的截距最小，此时z最大，此时z max＝3﹣2×0＝3．故选：B．5．（5分）已知数列{b n}是等比数列，b9是1和3的等差中项，则b2b16＝（）A．16B．8C．2D．4【解答】解：∵b9是1和3的等差中项，∴2b9＝1+3，∴b9＝2．由等比数列{b n}的性质可得：b2b16＝＝4，故选：D．6．（5分）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A．B．C．D．【解答】解：本题中给出了正视图与左视图，故可以根据正视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项A中的视图满足三视图的作法规则；B中的视图满足三视图的作法规则；C中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项；D中的视图满足三视图的作法规则；故选：C．7．（5分）如果函数y＝2sin（2x﹣φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y＝2sin（2x﹣φ）的图象关于点（，0）中心对称，∴2•﹣φ＝kπ，k∈Z，即φ＝﹣kπ，故|φ|的最小值为，故选：C．8．（5分）过双曲线x2﹣＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【解答】解：∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，过双曲线的焦点一定有两条直线使得两交点之间的距离等于4，当直线与实轴垂直时，有3﹣，解得y＝±2，∴此时直线AB的长度是4，即只与右支有交点的弦长为4的线仅有一条．综上可知有三条直线满足|AB|＝4，故选：C．9．（5分）已知x0（x0＞1）是函数f（x）＝lnx﹣的一个零点，若a∈（1，x0），b∈（x0，+∞），则（）A．f（a）＜0，f（b）＜0B．f（a）＞0，f（b）＞0C．f（a）＜0，f（b）＞0D．f（a）＞0，f（b）＜0【解答】解：令f（x）＝lnx﹣＝0，从而有lnx＝，此方程的解即为函数f（x）的零点，在同一坐标系中作出函数y＝1nx与y＝的图象，由图可得f（a）＜0，f（b）＞0，故选：C．10．（5分）已知函数f（x）＝，则不等式f（x）≤5的解集为（）A．[﹣1，1]B．（﹣∞，﹣2]∪（0，4）C．[﹣2，4]D．（﹣∞，﹣2]∪[0，4]【解答】解：由于，当x＞0时，3+log2x≤5，即log2x≤2＝log24，解得0＜x≤4，当x≤0时，x2﹣x﹣1≤5，即（x﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0，∴不等式f（x）≤5的解集为[﹣2，4]，故选：C．11．（5分）直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足，则l的横截距（）A．为定值﹣3B．为定值3C．为定值﹣1D．不是定值【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝．∴＝，∴y1y2＝6，直线l：x＝my+b，代入抛物线方程可化为y2﹣2my﹣2b＝0，∴y1y2＝﹣2b，∴﹣2b＝6，∴b＝﹣3，∴l的横截距为﹣3故选：A．12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，在正方体表面上与点A距离是2的点形成一条封闭的曲线，这条曲线的长度是（）A．πB．C．3πD．【解答】解：此问题的实质是以A为球心，以2为半径的在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD、AA1DD1、AA1BB1为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为，A1B1C1D1、B1BCC1、D1DCC1为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r＝1，故各段弧圆心角为，∴这条曲线长度为，∴故答案为：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为0.38．【解答】解：正方形的面积S＝1，设阴影部分的面积为S，∵随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，∴由几何槪型的概率公式进行估计得，即S＝0.38，故答案为：0.38．14．（5分）若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件【解答】解：∵p是q的充分不必要条件，∴p⇒q为真命题，q⇒p为假命题，故┐p⇒┐q为假命题，┐q⇒┐p为真命题故┐p是┐q的必要不充分条件故答案为：必要不充分15．（5分）下列命题：①已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，并且m⊥α，n⊂β，则“α⊥β”是“m∥n”的必要不充分条件；②不存在x∈（0，1），使不等式成立log2x＜log3x；③“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题；④∀θ∈R，函数f（x）＝sin（2x+θ）都不是偶函数．正确的命题序号是①．【解答】解：①∵m⊥α，若m∥n，∴n⊥α，∵n⊂β，∴α⊥β，即必要性成立，反之不一定成立，即“α⊥β”是“m∥n”的必要不充分条件；故①正确，②若log2x＜log3x，则＜，若x＞1，则log x2＞log x3，此时不等式不成立，若0＜x＜1，则log x2＞log x3，此时不等式恒成立，即∀x∈（0，1），不等式成立log2x＜log3x成立，故②错误，③“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为若a＜b，则am2＜bm2，为假命题．，当m＝0时，am2＜bm2不成立，故③错误；④当θ＝函数f（x）＝sin（2x+θ）＝cos2x是偶函数．故④错误，故答案为：①16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，M为AB边的中点，＝λ（λ∈R）且＝+，又已知||＝，则角C＝90°．【解答】解：如图所示，过点C作CO⊥AB，垂足为O，则：cos A＝，cos B＝；∴＝+＝+；又＝λ（λ∈R），∴λ≠0，∴＝＝（+）＝+，∴＝，即||＝||；∴O是边AB的中点，M与O重合；又||＝，∴CM＝AM＝BM，M为△ABC外接圆的圆心，AB为直径，∴C＝90°．故答案为：90°．三、解答题（共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，2a1+1＝a2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n＝，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵S4＝4S2，2a1+1＝a2，∴4a1+6d＝4（2a1+1），2a1+1＝a1+d，解得：a1＝1，d＝2，∴a n＝2n﹣1；（2）由（1）可知，并项相加，得．18．（12分）哈三中某兴趣小组为了调查高中生的数学成绩是否与物理成绩有关系，在高二年级随机调查了50名学生，调查结果表明：在数学成绩较好的25人中有18人物理成绩好，另外7人物理成绩一般；在数学成绩一般的25人中有6人物理成绩好，另外19人物理成绩一般．（Ⅰ）试根据以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出是否有99.9%把握认为高中生的数学成绩与物理成绩有关系．（Ⅱ）现将4名数学成绩好且物理成绩也好的学生分别编号为1，2，3，4，将4名数学成绩好但物理成绩一般的学生也分别编号1，2，3，4，从这两组学生中各任选1人进行学习交流，求被选取的2名学生编号之和不大于5的概率．附：．【解答】解：（Ⅰ）K2≈11.53＞10.828故有99.9%把握认为高中生的数学成绩与物理成绩有关系．（Ⅱ）试验发生包含的事件数是4×4＝16种结果，从这两组学生中各任选1人进行学习交流，求被选取的2名学生编号之和不大于5，可以列举出共有（1，1），（1，2）（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1）共有10种结果，故被选取的2名学生编号之和不大于5的概率为．19．（12分）边长为4的菱形ABCD中，满足∠DCB＝60°，点E，F分别是边CD和CB的中点，AC交BD于点H，AC交EF于点O，沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABD，连接P A，PB，PD，得到如图所示的五棱锥P﹣ABFED．（Ⅰ）求证：BD⊥P A；（Ⅱ）求点D到平面PBF的距离．（Ⅰ）证明：∵平面PEF⊥平面ABD，平面PEF∩平面ABD＝EF，PO⊂PEF，【解答】∴PO⊥平面ABD则PO⊥BD，又AO⊥BD，AO∩PO＝O，AO⊂APO，PO⊂APO，∴BD⊥平面APO，∵AP⊂平面APO，∴BD⊥P A…．（6分）（Ⅱ）解：由题意，O到BC的距离为，PO＝，∴P到BC的距离为＝，设点D到平面PBF的距离为h，则由等体积可得，∴h＝…（12分）20．（12分）已知椭圆C：的焦距为4，设右焦点为F，过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AF的中点为M，线段BF的中点为N，且•＝﹣．（Ⅰ）若离心率e＝，求椭圆C的方程；（Ⅱ）求椭圆C的长轴长的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：的焦距为4，离心率e＝，∴，解得a＝4，c＝2，b＝＝2．∴椭圆C的方程．（2）∵右焦点为F（2，0），过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AF的中点为M，线段BF的中点为N，且•＝﹣．∴设，，则，设l方程为y＝kx，和椭圆方程联立，消元整理得，∴当＝0时，＝5，a2﹣4＝5，解得a＝3；当时，，a＝．∴长轴长的取值范围是．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣1﹣，x∈R．（Ⅰ）若a＝，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x≥0都有f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），令g（x）＝f'（x），则g'（x）＝e x﹣1，则当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0，则f'（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，则f'（x）单调递增，所以有，所以f（x）在（﹣∞，+∞）上递增．（Ⅱ）当x≥0时，f'（x）＝e x﹣x﹣a，令g（x）＝f'（x），则g'（x）＝e x﹣1≥0，则f'（x）单调递增，f'（x）≥f'（0）＝1﹣a；当a≤1即f'（x）≥f'（0）＝1﹣a≥0时，f（x）在（0，+∞）上递增，f（x）≥f（0）＝0成立；当a＞1时，存在x0∈（0，+∞），使f'（x0）＝0，则f（x）在（0，x0）上递减，则当x∈（0，a）时，f（x）＜f（0）＝0，不合题意，综上：a≤1．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）如图，A，B是⊙O上的两点，P为⊙O外一点，连结P A，PB分别交⊙O于点C，D，且AB＝AD，连结BC并延长至E，使∠PEB＝∠P AB．（Ⅰ）求证：PE＝PD；（Ⅱ）若AB＝EP＝1，且∠BAD＝120°，求AP．【解答】（Ⅰ）证明：连结DC，因为∠PCE＝∠ACB＝∠ADB，∠PCD＝∠ABD，又因为AB＝AD，所以∠ABD＝∠ADB，所以∠PCE＝∠PCD…（3分）由已知∠PEB＝∠P AB，∠PDC＝∠P AB，所以∠PEC＝∠PDC，且PC＝PC，所以△PEC≌△PDC，所以PE＝PD…（5分）（Ⅱ）因为∠ACB＝∠PBA，∠BAC＝∠P AB所以△ABC∽△APB，则AB2＝AP•AC＝AP（AP﹣PC），所以AP2﹣AB2＝AP•PC＝PD•PB＝PD（PD+BD）又因为PD＝AB，AB＝1，所以，…（8分）所以．所以…（10分）23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ＝4cosθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|P A|+|PB|．【解答】解：（I）∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4．（II）设点A、B对应的参数分别为t1，t2，将代入（x﹣2）2+y2＝4整理得，∴，即t1，t2异号．∴|P A|+|PB|＝|t1|+|t2|＝|t1﹣t2|＝＝．24．关于x的不等式|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值为3（m为整数）．（Ⅰ）求整数m的值；（Ⅱ）已知a，b，c∈R，若4a4+4b4+4c4＝m，求a2+b2+c2的最大值．【解答】（1）由关于x的不等式|2x﹣m|≤1，可得，∵关于x的不等式|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值为3，则，即5＜m＜7，又m为整数，则m＝6．（2）由4a4+4b4+4c4＝6有，由柯西不等式有，当且仅当时，等号成立，所以a2+b2+c2的最大值为．。

2016年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（文史类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 某学校有男学生400名，女学生600名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查,则这种抽样方法是 A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法【知识点】抽样【试题解析】由于男生、女生的差异比较明显，故采用分层抽样法。

故答案为：D 【答案】D2. 已知,m n R ∈，集合{}72,log A m =，集合{},B m n =，若{}0A B ⋂=，则m n +=A ．1B ．2C ．4D ．8【知识点】集合的运算 【试题解析】若，则．所以所以m+n=1． 故答案为：A 【答案】A3. 若)2,1(=a，(),1b m = ，若a b ，则=mA ．21- B ．21 C ．2D. 2-【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】若则故答案为：B【答案】B4. 设,x y满足约束条件：,013x yx yx y≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；则2z x y=-的最大值为A. 3-B．3 C．4 D. 2-【知识点】线性规划【试题解析】作可行域：所以的最大值为3．故答案为：B【答案】B5．已知数列{}n b是等比数列，9b是1和3的等差中项，则216b b= A．16B．8C．2D．4【知识点】等比数列等差数列【试题解析】因为是1和3的等差中项，所以又等比数列中，故答案为：D 【答案】D6. 一个锥体的正视图和左视图如下图，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是A ．B ．C ．D.【知识点】空间几何体的三视图与直观图【试题解析】显然C 不正确。