1.复数的基本运算(详解解答,适合周末补课复习)

复数的基本概念与运算例题和知识点总结一、复数的基本概念复数是指形如＄a ＋ bi$ 的数，其中＄a$ 和＄b$ 都是实数，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。

在复数＄a ＋ bi$ 中，＄a$ 被称为实部，记作＄Re(z)＄；＄b$ 被称为虚部，记作＄Im(z)＄。

当＄b ＝ 0$ 时，复数＄a ＋ bi$ 就变成了实数＄a$；当＄a ＝0$ 且＄b ＼neq 0$ 时，复数＄a ＋ bi$ 就被称为纯虚数。

复数的模长定义为：对于复数＄z ＝ a ＋ bi$，其模长为＄｜z| ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄。

复数的辐角定义为：以＄x$ 轴正半轴为始边，向量＄＼overrightarrow{OZ}＄（其中＄O$ 为原点，＄Z$ 为复数＄z ＝ a ＋bi$ 对应的点）为终边的角＄＼theta$ 叫做复数＄z$ 的辐角。

二、复数的运算（一）复数的加法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的和为：＄z_1 ＋z_2 ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i$ 。

例如：＄z_1 ＝ 2 ＋ 3i$，＄z_2 ＝ 1 2i$，则＄z_1 ＋ z_2 ＝（2 ＋1) ＋（3 2)i ＝ 3 ＋ i$ 。

复数加法满足交换律和结合律，即＄z_1 ＋ z_2 ＝ z_2 ＋ z_1$，＄（z_1 ＋ z_2) ＋ z_3 ＝ z_1 ＋（z_2 ＋ z_3)＄。

（二）复数的减法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的差为：＄z_1 z_2 ＝（a c) ＋（b d)i$ 。

例如：＄z_1 ＝ 5 ＋ 4i$，＄z_2 ＝ 2 i$，则＄z_1 z_2 ＝（5 2) ＋（4 ＋ 1)i ＝ 3 ＋ 5i$ 。

（三）复数的乘法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的乘积为：＼＼begin{align}z_1z_2&＝（a ＋ bi)（c ＋ di)＼＼＆＝ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi^2\＼＆＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i＼end{align}＼例如：＄z_1 ＝ 3 ＋ 2i$，＄z_2 ＝ 1 ＋ 4i$，则＼＼begin{align}z_1z_2&＝（3 ＋ 2i)（1 ＋ 4i)＼＼＆＝3 ＋ 12i ＋ 2i ＋ 8i^2\＼＆＝3 ＋ 14i 8\＼＆＝－5 ＋ 14i＼end{align}＼（四）复数的除法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$（＄c ＋ di ＼neq 0$），则它们的商为：＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di}＼＼＆＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＼＼＆＝＼frac{ac ＋ bd ＋（bc ad)i}｛c^2 ＋ d^2}＼＼＆＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋ d^2}i＼end{align}＼例如：＄z_1 ＝ 6 ＋ 8i$，＄z_2 ＝ 2 ＋ 2i$，则＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{6 ＋ 8i}｛2 ＋ 2i}＼＼＆＝＼frac{（6 ＋ 8i)（2 2i)｝｛（2 ＋ 2i)（2 2i)｝＼＼＆＝＼frac{12 12i ＋ 16i 16i^2}｛4 ＋ 4}＼＼＆＝＼frac{28 ＋ 4i}｛8}＼＼＆＝＼frac{7}｛2} ＋＼frac{1}｛2}i＼end{align}＼三、复数运算的例题例 1：计算＄（2 ＋ 3i) ＋（4 5i)＄解：原式＄＝（2 ＋ 4) ＋（3 5)i ＝ 6 2i$例 2：计算＄（3 2i) （1 ＋ 4i)＄解：原式＄＝（3 1) ＋（－2 4)i ＝ 2 6i$例 3：计算＄（1 ＋ 2i)（3 4i)＄解：＼＼begin{align}＆（1 ＋ 2i)（3 4i)＼＼＝＆3 4i ＋ 6i 8i^2\＼＝＆3 ＋ 2i ＋ 8\＼＝＆11 ＋ 2i＼end{align}＼例 4：计算＄＼frac{2 ＋ 3i}｛1 i}＄解：＼＼begin{align}＆＼frac{2 ＋ 3i}｛1 i}＼＼＝＆＼frac{（2 ＋ 3i)（1 ＋ i)｝｛（1 i)（1 ＋ i)｝＼＼＝＆＼frac{2 ＋ 2i ＋ 3i ＋ 3i^2}｛1 i^2}＼＼＝＆＼frac{－1 ＋ 5i}｛2}＼＼＝＆＼frac{1}｛2} ＋＼frac{5}｛2}i＼end{align}＼四、复数在几何中的应用复数可以用平面直角坐标系中的点来表示，实部对应＄x$ 轴坐标，虚部对应＄y$ 轴坐标。

复数的基本运算有哪些（二）引言概述：复数是由实部和虚部组成的数，可以表示在平面上的点或向量。

在数学中，复数有着独特的运算规则和特性。

本文将介绍复数的基本运算，包括加法、减法、乘法和除法，并探讨复数的共轭和模。

正文：一、复数的加法运算1. 实部与实部相加，虚部与虚部相加，得到新的复数的实部和虚部。

2. 加法满足交换律和结合律。

3. 定义了复数加法后，可以将其扩展到多个复数的加法。

二、复数的减法运算1. 复数减法相当于复数加上其相反数。

2. 实部与实部相减，虚部与虚部相减，得到新的复数的实部和虚部。

三、复数的乘法运算1. 两个复数相乘可以使用分配律和乘法的定义。

2. 实部与实部相乘，虚部与虚部相乘，得到新的复数的实部和虚部。

3. 复数的乘法满足交换律和结合律。

四、复数的除法运算1. 两个复数相除可以利用复数的乘法和分数的定义。

2. 正确计算复数除法需要将分母有理化，即乘上分母的共轭。

3. 实部除以实部，虚部除以虚部，得到新的复数的实部和虚部。

五、复数的共轭和模1. 复数的共轭是将复数的虚部取负得到的新复数。

2. 复数的模（绝对值）是复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。

3. 共轭和模满足一些重要的性质，如共轭的共轭是原复数本身，模的平方是复数乘以其共轭。

总结：复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，它们都遵循一定的运算规则和性质。

同时，复数还有共轭和模的概念，可以用来解决一些实际问题。

通过熟练掌握复数的基本运算，可以更好地理解和应用复数在数学和物理问题中的作用。

复数复数的概念和基本运算【知识精讲】 1 复数的定义1） 概念：设i 为方程21x =-的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除运算，便产生形如bi a +(,a b R ∈)的数叫做复数，全体复数所成的集合C 叫做复数集。

复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(,a b R ∈)，其中a 称作实部记作()Re z ，b 称为虚部记作()Im z ，bi a z +=(,a b R ∈)称为代数形式，它是由实部、虚部和虚数单位三部分组成. 2）虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：① i 可与实数进行四则运算；② 12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=3）复数的定义要注意以下几点：○1bi a z +=(,a b R ∈)被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘○2数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式 4）复数相等复数a bi +与c di +(),,,a b c d R ∈相等，当且仅当a cb d=⎧⎨=⎩，记作a bi c di +=+.2 复数的分类对于复数a bi +(,a b R ∈)，当且仅当0b =时，它是实数；当且仅当0a b ==时，它是实数0；当0b ≠时，它叫做虚数，当0a =且0b ≠时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R ,是复数集C 的真子集，即C R ≠⊂.3 复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量(,)OZ a b =),(R b a ∈是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量） 相等的向量表示同一个复数 4 复数的模向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=-5.复数的其他形式(1)复数的三角形式：设z 对应复平面内的点Z ，连接OZ ，设xOZ θ∠=，OZ r =，则cos ,sin a r b r θθ==，所以()cos sin z r i θθ=+，这种形式称为三角形式.则θ称为的辐角.若02θπ≤<，则θ称为z 的辐角主值，记作()arg z θ=，r 称为z 的模，也记作z ，由勾股定理可知z =(2)复数的指数形式：,0,i z e r R θθ=≥∈(3)复数的向量形式：()(),,z a b a b R =∈，复数的向量形式可以很好体现复数的几何意义. 6.共轭复数：若bi a z +=(,a b R ∈)，则z a bi =-称为z 的共轭复数. 性质：(1)1212z z z z ±=± (2) 1212z z z z ⋅=⋅ (3)22z z z z ⋅==(4)1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(5)1212z z z z ⋅=⋅(6)1122z z z z = (7)121212z z z z z z -≤±≤+ (8)222212121222z z z z z z ++-=+(9)若1,z =则1z z=.7.复数的运算(1)加法运算：两个复数,a bi c di ++的和定义为()()()()a bi c di a c b d i +++=+++两个复数相加，实部和实部相加的结果为实部，虚部和虚部相加的结果为虚部. (2)乘法运算：两个复数,a bi c di ++的和定义为()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++两个复数相加乘，可以参照多项式乘法相乘，最后合并同类项.(3)减法运算：给定两个复数12,z z ，满足条件12z z z +=的复数z 叫做复数2z 减去1z 的差，记作21z z z =-.(4)除法运算：给定两个复数12,z z ，且10z ≠，满足条件12z z z =的复数z 叫做复数2z 除以去1z 的商，记作21z z z =. 设()12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad iz a bi z z c di c di c di c d+-++-+====++-+ (5)开方运算：给定复数1z ，满足条件1nz z =的复数z 叫做复数1z 的n 次方根. 注解：一个不为0的复数z ，有n 个不同的n 次方根.任意一元n 次方程有n 个复数根.(6)按向量形式，加减法满足平行四边形和三角形法则.(7)按照三角形式，若()()11112222cos sin ,cos sin z r z r θθθθ=+=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ⋅=+++⎡⎤⎣⎦如20z ≠，则()()11121222cos sin z r i z r θθθθ=-+-⎡⎤⎣⎦ 8. 隶莫弗定理：()()cos sin cos sin nnr i rn i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦9.开方：若()cos sin nz r i θθ=+，则22cos sin k k z i n n θπθπ++⎫=+⎪⎭，其中()0,1,2,,1k n =⋅⋅⋅-.10.实系数方程虚根成对定理：实系数一元n 次方程的虚根成对出现，即若z a bi =+是方程的一个根，则z a bi =-也是一个根.11.几个常用结论在复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 对应的复数分别为1234,,,z z z z ，则 (1)()()1233212cos sin Z Z Z z z z z r i θθθ∠=⇔-=-⋅± (2)()43123421//z z Z Z Z Z k k R z z -⇔=∈-(3)()43123421z z Z Z Z Z ki k R z z -⊥⇔=∈-(4) 123,,Z Z Z 三点共线3121z z R z z -⇔∈- (5)123Z Z Z 的重心对应的复数为1233z z z ++ 12.复数表示的轨迹方程在复平面上的点12,Z Z 对应的复数分别为12,z z ，则 (1)1221Z Z z z =-表示复平面上12,Z Z 两点之间的距离； (2) 1z z r -=表示以1Z 为圆心，r 为半径的圆的方程； (3) ()1212+22z z z z a z z a --=-<表示椭圆； (4) ()1212+22z z z z a z z a --=-=表示线段； (5) ()121222z z z z a z z a ---=->表示双曲线； (6) ()121222z z z z a z z a ---=-=表示两条射线； (4) 12=z z z z --表示垂直平分线方程；13. 在复平面上的点123,,Z Z Z 对应的复数分别为123,,z z z ，则123Z Z Z 的面积为()1231223311Im 2Z Z Z Sz z z z z z =++ 【典型例题】 例1．已知复数i1iz =+，则它的共轭复数z =（ ） A ．1i2+ B ．1i2- C ．1i + D ．1i -【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简复数z ，再由共轭复数的定义即可求解.【解】因为i i(1i)1i =1i (1i)(1i)2z -+==++-，所以1i 2z -=，故选：B. 例2．已知复数z 满足()()2i 2i 1i z +=+-，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【分析】本题首先可根据复数的乘法运算得出33i z =-，然后根据复数z 在复平面内对应的点为()3,3-即可得出结果.【解】()()2i 2i 1i z +=+-，即()()22i 1i 2i 22i i i 2i 33i z =+-=-+-=---，则复数z 在复平面内对应的点为()3,3-，在第四象限，故选：D.例3．欧拉恒等式：π10i e +=被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e 、圆周率π、虚数单位i 、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：()cos sin i e i R θθθθ=+∈中，令πθ=得到的．根据欧拉公式，4i e 复平面内对应的点在（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】直接利用欧拉公式化简求解，结合三角函数值的符号，即可判定复数对应的点所在的象限，得到答案.【解】由题意，欧拉公式()cos sin i e i R θθθθ=+∈，可得4cos 4sin 4i e i =+，因为cos 40,sin 40<<，所以4i e 复平面内对应的点(cos 4,sin 4)在第三象限.故选：C.【变式3-1】（不定项选择题）欧拉公式i cos isin x e x x =+其中i 为虚数单位，)x R ∈是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）A ．i422e π=- B ．i2e π为纯虚数C ．复数i x e 的模长等于1D ．i3e π的共轭复数为12-i【答案】BCD【分析】由i cos isin x e x x =+，将所求复数化为()i ,z a b a R b R =+∈∈的形式，进而逐项判断可得其正误．【解】对A ，因为icos isin x e x x =+（其中i 为虚数单位，x ∈R ），所以i4e π=，故A 错；对B ，i 2i e π=为纯虚数，故B 正确；对C ，复数i x e 1=，故C 正确；对D ，i312e π=+其共轭复数为12-，故D 正确． 故选：BCD ．【变式3-2】欧拉公式i cos isin x x x e =+（其中i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，即当π3x =时，πi 3πcos isin 3π3e ⋅=+，根据欧拉公式，若将2021πi e ⋅所表示的复数记为z ，则将复数1iz+表示成三角形式为________．3π3πcos sin 44i ⎫+⎪⎝⎭【分析】根据欧拉公式i cos isin x x x e =+，先求出2021πi e ⋅，再进行复数的除法运算，最后再表示为三角形式.【解】因为2021πi e cos 2021πsin 2021π1i =+=-，所以13π3πcos sin 1+1244z i i i -⎫==+⎪+⎝⎭.故答案为：3π3πcos sin 244i ⎫+⎪⎝⎭【变式3-3】已知i cos isin x x x e =+，则2022i e 对应的点位于复平面的第________象限． 【答案】四【分析】根据题意得2022i cos 2022isin 2022e =+，结合2022是第四象限角，判断出cos 20220,sin 20220><，即可求出结果.【解】由题意得2022i cos 2022isin 2022e =+，因为2022是第四象限角，所以cos 20220,sin 20220><，而2022i cos 2022isin 2022e =+对应的点是()cos2022,sin 2022在第四象限，故答案为：四.例4.如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则复数12z z -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】先根据图形求出,OA OB ，进而得到122i,i z z =--=，结合复数的减法运算即可求出12z z -，从而求得所对应的点所在的象限.【解】由图可知()()2,1,0,1OA OB =--=，所以122i,i z z =--=，因此122i i=22i z z -=-----，所以12z z -在复平面内所对应的点为()2,2--，在第三象限，故选：C.例5.已知z 是关于x 的方程20x x a ++=的根，且z =则实数a =（ ）A ．B ．5-C ．5D 【答案】C【分析】根据共轭复数的性质得出25z z z ⋅==，结合根与系数的关系得出实数a 的值. 【解】实系数一元二次方程的虚根共轭成对出现，25z z z ⋅==，∴5a =．故选：C【变式5-1】若1i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则c =______. 【答案】2【分析】根据实系数方程的虚数根成对出现的性质得出另一根，然后由韦达定理得结论． 【解】因为1i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，所以1i -也是方程的根，所以(1i)(1i)2c =+-=．故答案为：2．例6.若复数z 满足1i 3z -+=，则复数z 对应的点的轨迹围成图形的面积等于（ ） A ．3 B ．9C ．6πD ．9π【答案】D【分析】利用复数的几何意义，即可判断轨迹图形，再求面积.【解】复数z 满足()13z i --=，表示复数z 对应的点的轨迹是以点()1,1-为圆心，半径为3的圆，所以围成图形的面积等于239S ππ=⨯=.故选：D【变式6-1】已知复数z 1，z 2满足|z 1|=1，|z 2|=5，则|z 1-z 2|的最小值是________． 【答案】4【分析】由题意画出图形，数形结合得答案． 【解】由1||1z =，2||5z =，可得1z ，2z 所对应点的轨迹分别为以原点为圆心，以1和5为半径的圆，12||z z -的几何意义为两圆上点的距离，由图可知，最小值为514-=．故答案为：4．【变式6-2】复数012i z =-，3z =，则0z z -的最大值是_____.【答案】【分析】设()i ,z a b a b R =+∈根据已知条件可得复数z 对应的点的轨迹，再利用复数模的几何意义即可求解.【解】设()i ,z a b a b R =+∈，则229a b +=，所以复数z 对应的点(),Z a b 的轨迹为以()0,0为圆心，3r =为半径的圆，即圆229x y +=，()()012i z z a b -=-++，0z z -=表示点(),a b 到点()1,2M -的距离，所以0z z -的最大值是33r OM +=+=+.故答案为：【变式6-3】18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如||||z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足||1z =，i 为虚数单位，则|34i |z --的最小值为________． 【答案】4【分析】令i z x y =+且,x y R ∈，根据复数模的几何意义可知|34i |z --表示(3,4)与圆221x y +=上的点的距离，即可求其最小值.【解】若i z x y =+且,x y R ∈，由题意知：221x y +=即为圆心为(0,0)半径为1的圆， ∵|34i |z --的几何意义：圆221x y +=上的点到点(3,4)的距离， ∴|34i |z --的最小值为圆心(0,0)与(3,4)的距离减去半径1，∴min |34i |14z --==. 故答案为：4【变式6-4】若z C ∈且11z -=，则z 最大值是_______________. 【答案】3【分析】先分析出z 的轨迹可看成圆()(212:11O x y -+=，根据几何法可以得到z 表示圆上的点到原点的距离，即可求出z 最大值.【解】11z -=的几何意义为复平面动点到定点(距离为1的点的轨迹，可看成圆()(212:11O x y -+=，z 表示圆上的点到原点的距离，所以z 最大值为圆O 1到原点距离加上半径1，即 max 1=3z .故答案为：3.【变式6-5】若复数z 满足11z i +-≤，则z 的最大值是___________．1【分析】设z a bi =+，可求得其轨迹为以()1,1-为圆心，1为半径的圆及其内部，根据z 的几何意义可确定所求最大值为圆心到原点距离与半径之和.【解】设z a bi =+，则()1111z i a b i +-=++-=，()()22111a b ∴++-≤，z ∴对应点的轨迹为以()1,1-为圆心，1为半径的圆及其内部，z表示z 对应的点到原点的距离，max 11z ∴==.1.例7.已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z =__________.【分析】本题首先可根据复数的除法运算得出2i z =--，然后根据共轭复数以及复数的模的相关性质即可得出结果.【解】()212i i 12i 2i2i i i 1z -⨯-+====---，则2i z =-+，z ==例8.已知复数()2236i z m m m m =-+-为纯虚数，则实数m =______. 【答案】3【分析】根据纯虚数满足的条件，得223060m m m m ⎧-=⎨-≠⎩，解方程即可求出结果.【解】因为复数()2236i z m m m m =-+-为纯虚数，所以223060m m m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得3m =，故答案为：3例9．已知i 为虚数单位，复数z 满足()20212i i z -=，则复数z 的虚部为______.【答案】25【分析】根据复数的运算性质得到()2i i z -=，再结合复数的除法运算和复数的概念，即可求解.【解】由题意，复数z 满足()2021505412i ii i z ⨯+=-==，可得()()()i 2i i 12=i 2i 2i 2i 55z ⋅+==-+--+， 所以复数z 的虚部为25. 故答案为：25. 例10. 若复数1z 2cos isin33ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，21cos isin 244z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12z z 的辐角的主值为______． 【答案】712π. 【分析】首先求出12z z ，然后根据复数三角形式下的几何意义即可求出辐角主值. 【解】1212cosisincos isin 33244z z ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= cos isin cos isin 3344ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2coscosicossinisincosi sinsin34343434ππππππππ=+++cos cos sin sin cos sin sin cos i 34343434ππππππππ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎭⎝=⎪⎝⎭1277cossin i 12ππ+=， 所以12z z 的辐角的主值为712π. 故答案为：712π. 例11.如果向量OZ 对应复数2i,OZ -绕原点O 按顺时针方向旋转4π后再把模变为原来的32倍得到向量1OZ ，则1OZ 对应的复数是___________.【答案】22-- 【分析】先求出复数2i -的三角形式，然后利用三角形式变换求解1OZ 对应的复数【解】因为332i 2cos isin 22ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以由题意可得1OZ 对应的复数为3332cos isincos isin 22244ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦333cos isin 2424ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦553cos isin44ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭322⎛⎫=⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭22=--，故答案为：i 22--例12. 设1z 、2z C ∈，若121z z ==，则2212z z -的最大值为______. 【答案】2【分析】根据已知条件，结合不等式，即可求解．【解】12||||1z z ==，∴22221211||||||112z z z z -+=+=．故答案为：2．例13.已知复数1z ，2z 满足121z z ==，12z z +=，则12z z -=______.【分析】令1cos isin z A A =+，2cos isin z B B =+，由12||z z +=22(cos cos )(sin sin )2A B A B +++=，从而2cos cos 2sin sin 0A B A B +=，由此能求出12||z z -．【解】复数1z ，2z 满足12||||1z z ==，∴令1cos isin z A A =+，2cos isin z B B =+12||z z +=，22(cos cos )(sin sin )2A B A B ∴+++=，整理得2cos cos 2sin sin 0A B A B +=， 又22212||(cos cos )(sin sin )22cos cos 2sin sin 2z z A B A B A B A B -=-+-=--=，12||z z ∴-=例14.i 是虚数单位，则202111i 1i kk =-⎛⎫=⎪+⎝⎭∑______．【答案】i -【分析】利用复数的运算法则、复数的周期性、数列求和公式即可得出． 【解】21i (1i)2ii 1i (1i)(1i)2---===-++-，4(i)1-=，20214505(i)[(i)](i)i -=-⨯-=-， ∴()202120212021111i i [1(i)]i[1(i)]i i 1i 1(i)1(i)kk k k ==--⋅-----⎛⎫=-===- ⎪+----⎝⎭∑∑，故答案为：i -． 例15.已知复数()()2281543i,z m m m m m R =-++-+∈. （1）若z 是实数，求实数m 的值； （2）若z 是纯虚数，求实数m 的值：（3）若z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，求实数m 的值. 【答案】（1）1m =或3；（2）5m =；（3）3m =.【分析】（1）结合z 是实数，得到2430m m -+=，解之即可求出结果；（2）结合z 是纯虚数，得到228150430m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解之即可求出结果；（3）先求出复数z 所对应的点为()22815,43m m m m -+-+，根据z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，得到2281543m m m m -+=-+，解之即可求出结果. 【解】（1）因为z 是实数，所以2430m m -+=，解得1m =或3；（2）因为z 是纯虚数，所以228150430m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解得5m =；（3）复数z 所对应的点为()22815,43m m m m -+-+，又因为z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，所以2281543m m m m -+=-+，解得3m =. 例16．已知复数32i23iz +=-. （1）求12i z --；（2）计算：234z z z z ++++……2021z +．【答案】（1（2）i .【分析】（1）根据复数除法法则化简z ，再由模的定义计算； （2）由i 的幂的性质分组计算得出结论．【解】化简 232i (32i)(23i)69i 4i 5i i 23i (23i)(23i)13z ++++++====--+（1）12i 1i z --=--，∴12i 1i z --=--=（2）计算22345i.i 1,i,1,i,z z z z z ===-=-==有44142431,,1,k k k k z z i z z i +++===-=-()k ∈Z ，且显然44142430k k k k z z z z ++++++=∴234z z z z ++++……20215050z z i +=⨯+=．43．已知复数22cossincos isin 9999z i ππππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求z 的共轭复数； （2）若复数0z =，求0z 在复平面内对应的点的坐标．【答案】（1）12-；（2）17⎛- ⎝⎭． 【分析】（1）利用复数的乘法运算法则及两角和正余弦公式得到结果； （2）利用复数的除法运算法则及几何意义得到结果. 【详解】（1）因为2222coscossin sin i sin cos cos sin 99999999z ππππππππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．所以221cos isin i 999922z ππππ⎛⎫⎛⎫=+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故z 的共轭复数为12；（2）因为017z ====-+，所以0z 在复平面内对应的点的坐标为17⎛- ⎝⎭.。

复数的基本运算及其几何解释复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位。

本文将介绍复数的基本运算，包括加法、减法、乘法和除法，并给出其几何解释。

一、复数的加法和减法复数的加法和减法与实数的加法和减法类似。

假设有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，它们的和z3 = z1 + z2可通过将实部相加、虚部相加得到：z3 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i。

同样，它们的差z4 = z1 - z2可通过将实部相减、虚部相减得到：z4 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i。

复数的加法和减法也可以通过几何图形解释。

在复平面上，可以将复数看作是平面上的向量。

实部相当于向量在x轴上的投影，虚部相当于向量在y轴上的投影。

因此，复数z1和z2的和z3就是相应向量的和，差z4就是相应向量的差。

二、复数的乘法复数的乘法可以通过分配律进行计算。

假设有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，它们的乘积z5 = z1 * z2可表示为：z5 = (a1a2 -b1b2) + (a1b2 + a2b1)i。

复数的乘法也可以通过几何图形解释。

在复平面上，两个复数相乘相当于它们对应的向量的模长相乘，且角度相加。

具体来说，复数z1 = |z1| * e^(iθ1)和z2 = |z2| * e^(iθ2)的乘积z5 = |z1| * |z2| * e^(i(θ1+θ2))。

三、复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭数的倒数来实现。

假设有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，它们的商z6 = z1 / z2可表示为：z6 = (a1a2 + b1b2) / (a2^2 + b2^2) + ((a2b1 - a1b2) / (a2^2 + b2^2)) * i。

复数的除法也可以通过几何图形解释。

高中数学复数的运算规则及常见问题解答一、复数的定义与运算规则复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i 为虚数单位，满足i²=-1。

复数的运算规则包括加法、减法、乘法和除法。

1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法遵循实部相加（减），虚部相加（减）的规则。

例如，(3+2i)+(1-3i)=4-i，(3+2i)-(1-3i)=2+5i。

2. 复数的乘法：复数的乘法可以通过分配律和虚数单位的定义来进行计算。

例如，(3+2i)(1-3i)=3-9i+2i-6i²=9-7i。

3. 复数的除法：复数的除法可以通过乘以共轭复数再化简得到。

例如，(3+2i)/(1-3i)=(3+2i)(1+3i)/(1-3i)(1+3i)=(3+2i)(1+3i)/(1+9)=(-3+11i)/10。

二、常见问题解答1. 如何将复数表示为极坐标形式？复数可以表示为r(cosθ+isinθ)的形式，其中r为模长，θ为辐角。

根据勾股定理和三角函数的定义，可以得到复数的模长和辐角。

例如，复数2+2i的模长为2√2，辐角为π/4。

2. 如何进行复数的乘方运算？复数的乘方运算可以利用极坐标形式进行简化。

将复数表示为r(cosθ+isinθ)，则复数的n次方可以表示为rⁿ(cos(nθ)+isin(nθ))。

例如，复数2+2i的平方为8(cos(π/2)+isin(π/2))。

3. 如何求解复数方程的根？对于复数方程az²+bz+c=0，可以使用求根公式来求解。

其中，根的公式为z=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。

例如，对于方程z²+2z+2=0，根可以表示为(-1±i)。

4. 如何求解复数的共轭？复数的共轭可以通过改变虚部的符号得到。

例如，对于复数3+4i，它的共轭为3-4i。

5. 如何进行复数的除法运算？复数的除法可以通过乘以共轭复数再化简得到。

复数计算知识点总结一、复数的定义复数是数学中的一个重要概念，它是由实数和虚数组成的数。

复数通常以“a+bi”的形式表示，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。

例如：3+4i就是一个复数，其中实部为3，虚部为4。

二、复数的加法和减法1. 复数的加法复数的加法和实数的加法类似，只不过需要将实部和虚部分别相加即可。

例如：(3+4i) + (5+2i) = 8+6i2. 复数的减法复数的减法也和实数的减法类似，同样需要将实部和虚部分别相减。

例如：(3+4i) - (5+2i) = -2+2i三、复数的乘法和除法1. 复数的乘法复数的乘法要利用到实数的乘法和虚数单位的性质，即i²=-1。

例如：(3+4i) * (5+2i) = 15+6i+20i+8i² = 15+26i-8 = 7+26i2. 复数的除法复数的除法可以转化为乘法的倒数来进行运算，需要借助到共轭复数。

例如：(3+4i) / (5+2i) = (3+4i) * (5-2i) / (5²+2²) = (15-6i+20i+8) / (25+4) = (23+14i) / 29 = 23/29 + 14i/29四、复数的模和幅角1. 复数的模复数的模即为复数到原点的距离，即复数a+bi的模为√(a²+b²)。

例如：复数3+4i的模为√(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 52. 复数的幅角复数的幅角即为复数与实轴正半轴的夹角，通常用θ表示，可以通过反正切函数来计算。

例如：对于复数3+4i，可以计算出其幅角为arctan(4/3) ≈ 53.13°。

五、复数的共轭和乘幂1. 复数的共轭复数的共轭是指将复数中的虚部取相反数，即a+bi的共轭为a-bi。

例如：复数3+4i的共轭为3-4i2. 复数的乘幂复数的乘幂可以通过极坐标形式来计算，利用欧拉公式e^(iθ) = cosθ + i·sinθ可以得到。

复数与复数的运算在数学中，复数是由实部和虚部组成的数。

实部是一个实数，虚部则包含一个实数与单位虚数i的乘积。

复数可以进行加法、减法、乘法和除法等运算，下面将详细介绍复数与复数的各种运算。

一、复数加法与减法复数的加法和减法可以通过分别相加或相减实部和虚部来实现。

假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数。

1. 加法：两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加。

结果为(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

例子：计算(2+3i)+(4+5i)的结果。

解答：将实部2和4相加，得到6；将虚部3i和5i相加，得到8i。

因此，(2+3i)+(4+5i)=6+8i。

2. 减法：两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减。

结果为(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。

例子：计算(5+6i)-(2+3i)的结果。

解答：将实部5和2相减，得到3；将虚部6i和3i相减，得到3i。

因此，(5+6i)-(2+3i)=3+3i。

二、复数乘法复数的乘法可以通过使用分配律和乘法公式来实现。

假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数。

乘法法则为：(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

例子：计算(2+3i)×(4+5i)的结果。

解答：将实部2和4相乘，得到8；将虚部3i和5i相乘，得到-15。

同时，实部2和5i相乘，得到10i；将虚部3i和4相乘，得到12i。

因此，(2+3i)×(4+5i)=8-15+10i+12i= -7+22i。

三、复数除法复数的除法可以通过乘以共轭复数并进行简化来实现。

假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数且c+di≠0。

除法公式为：(a+bi)÷(c+di)=((a+bi)×(c-di))/((c+di)×(c-di))。

例子：计算(5+6i)÷(2+3i)的结果。

复数的8种运算规则专题讲解1. 加法运算规则：复数的加法规则是将实部相加，虚部相加。

例如，对于两个复数a+bi和c+di，它们的和为(a+c)+(b+d)i。

2. 减法运算规则：复数的减法规则是将实部相减，虚部相减。

例如，对于两个复数a+bi和c+di，它们的差为(a-c)+(b-d)i。

3. 乘法运算规则：复数的乘法规则是将实部与虚部相乘，并通过虚部的平方成为负数来计算。

例如，对于两个复数a+bi和c+di，它们的乘积为(ac-bd)+(ad+bc)i。

4. 除法运算规则：复数的除法规则是通过将被除数和除数同时乘以共轭复数的倒数来计算。

共轭复数是指将虚部取负的复数。

例如，对于两个复数a+bi和c+di的除法计算，可以使用公式[(a+bi)/(c+di)]*[(c-di)/(c-di)]来得到结果。

5. 模运算规则：复数的模运算规则是计算复数的绝对值，即复数的平方和的平方根。

例如，对于复数a+bi，它的模为√(a^2+b^2)。

6. 幂运算规则：复数的幂运算规则是通过将复数转换为极坐标形式，并使用欧拉公式计算。

欧拉公式可以表示为e^(iθ)=cosθ+isinθ。

例如，对于复数a+bi的幂运算a^b，可以使用欧拉公式来计算。

7. 开方运算规则：复数的开方运算规则是将复数转换为极坐标形式，并使用特定的公式来计算。

例如，对于复数a+bi的开方运算，可以使用公式√(r*[cos(θ/n)+isin(θ/n)])来计算。

8. 对数运算规则：复数的对数运算规则是将复数转换为极坐标形式，并使用特定的公式来计算。

例如，对于复数a+bi的对数运算，可以使用公式ln(r)+i[θ+(2nπ)]来计算。

这些是复数的8种基本运算规则，了解和掌握这些规则将有助于在复数运算中进行准确的计算操作。

复数运算知识点总结复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。

下面对每种运算进行详细介绍。

一、加法：复数的加法即是实数部分相加，虚数部分相加。

例如，(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。

二、减法：复数的减法即是实数部分相减，虚数部分相减。

例如，(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。

三、乘法：复数的乘法可以采用分配律展开。

例如，(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i。

虚数单位i的平方为-1，所以i²=-1。

四、除法：复数的除法需要用到共轭复数。

共轭复数是指虚数部分的符号取反。

例如，对于复数a+bi，它的共轭复数是a-bi。

复数的除法可以通过乘以分子的共轭复数来得到。

例如，对于复数(a+bi)/(c+di)，乘以(c-di)/(c-di)可以得到分子的虚数部分消去，然后再进行实数部分的除法。

在实际运用时，复数的运算可以通过将复数进行分解成实数部分和虚数部分，然后进行实数的运算和虚数的运算，最后将结果合并成新的复数。

比如，对于复数(a+bi)和复数(c+di)的乘法运算，可以先计算实数部分的乘法和虚数部分的乘法，然后再合并成新的复数。

另外，复数的绝对值也是一个重要的概念。

复数的绝对值表示复数到原点的距离，可以用勾股定理来计算。

对于复数a+bi，他的绝对值表示为|a+bi| = √(a² + b²)。

在实际应用中，复数广泛用于信号处理、控制系统、电路分析等领域。

在工程和科学的计算中，复数都有着重要的作用。

因此，熟练掌握复数的运算规则，对于学习和工作都有着重要意义。

总的来说，复数是数学中一个重要的概念，它包括实数和虚数部分，可以表示为a+bi的形式。

复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，对于每种运算都有着明确的规则。

掌握复数的运算规则对于学习和工作都具有重要意义。

复数运算公式知识点总结1. 复数的加减法复数的加减法和实数的加减法类似，只需将实部和虚部分别相加或相减即可。

例如，对于两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的和与差分别为：z1+z2 = (a1+a2) + (b1+b2)iz1-z2 = (a1-a2) + (b1-b2)i2. 复数的乘法复数的乘法可以使用分配律进行计算，即将复数的实部和虚部分别进行乘法运算，然后再相加。

例如，对于两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的乘积为：z1*z2 = (a1*a2 - b1*b2) + (a1*b2 + a2*b1)i3. 复数的除法复数的除法可以通过乘以复数的共轭来实现。

给定两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，其中z2≠0，它们的商为：z1/z2 = (a1*b2 + b1*a2)/(a2²+b2²) + (b1*a2 - a1*b2)/(a2²+b2²)i4. 复数的模复数的模表示复数与原点之间的距离，通常用|z|表示。

对于复数z=a+bi，它的模为：|z| = √(a²+b²)5. 复数的幂运算复数的幂运算可以通过将复数化为指数形式实现。

给定一个复数z=a+bi和一个自然数n，它们的幂为：zⁿ = |z|ⁿ*(cos(n*θ) + i*sin(n*θ))其中，|z|表示复数z的模，θ表示复数z的幅角。

6. 复数的共轭复数的共轭表示将复数的虚部取相反数得到的新复数。

对于复数z=a+bi，它的共轭为：z* = a-bi7. 复数的实部和虚部给定一个复数z=a+bi，它的实部和虚部分别为a和b。

实部用Re(z)表示，虚部用Im(z)表示。

综上所述，复数运算规则包括加减法、乘除法、模和幂运算等内容。

学生在学习复数运算时需要掌握这些规则，并通过练习加深理解，以提高对复数运算的熟练度。

同时，掌握复数的性质和运算规则可以帮助学生更好地理解数学问题和解决实际应用中的计算问题。