线性代数(经管类)4184(08年1月)

线性代数（经管类）综合试题三（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.当( D )成立时，阶行列式的值为零.A.行列式主对角线上的元素全为零B.行列式中有个元素等于零C.行列式至少有一个阶子式为零D.行列式所有阶子式全为零2.已知均为n阶矩阵，E为单位矩阵，且满足ABC=E，则下列结论必然成立的是( B ).A.ACB=EB. BCA=EC. CBA=ED. BAC=E3.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( D ).A. (AB)-1=A-1B-1B.(A+B)-1=A-1+B-1C.(AB)T=A T B TD.4.下列矩阵不是初等矩阵的是( B ).A.B.C. D.5.设是4维向量组，则(D ).A.线性无关B.至少有两个向量成比例C.只有一个向量能由其余向量线性表示D.至少有两个向量可由其余向量线性表示6.设A为m×n矩阵，且m<n，则齐次线性方程组Ax = o必( C ).A.无解B.只有唯一零解C.有非零解D.不能确定7.已知4元线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为3，又是Ax=b的两个解,则Ax=b的通解是(D ).A. B.C.D.8.如果矩阵A与B满足( D )，则矩阵A与B相似.A.有相同的行列式B.有相同的特征多项式C.有相同的秩D.有相同的特征值,且这些特征值各不相同9.设A是n阶实对称矩阵，则A是正定矩阵的充要条件是 (D ).A. |A|>0B. A的每一个元素都大于零C. D. A的正惯性指数为n10.设A，B为同阶方阵，且r(A) = r(B)，则 ( C ).A. A与B相似B. A与B合同C. A与B等价D.|A|=|B|二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.行列式24 .12.设A为三阶矩阵，|A|=-2，将矩阵A按列分块为，其中是A的第j列，,则|B|= 6.13.已知矩阵方程AX=B，其中A=，B=，则X=11 12-⎛⎫⎪-⎝⎭.14.已知向量组的秩为2，则k =-2 .15.向量的长度16.向量在基下的坐标为(3，-4，3) .17.设是4元齐次线性方程组Ax=o的基础解系，则矩阵A的秩r(A)= 1 .18.设是三阶矩阵A的特征值，则a = 1 .19.若是正定二次型，则λ>.满足520.设三阶矩阵A的特征值为1,2,3，矩阵B=A2+2A,则|B|= 360 .三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.设三阶矩阵A=，E为三阶单位矩阵.求：(1)矩阵A-2E及|A-2E|；(2).解：(1) A-2E=300200100 110020110 123002121⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭| A-2E |= -1；(2)100100100100 110010010110 121001021101⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→--⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭100100010110001121⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭1100(2)110121-⎛⎫⎪∴-=- ⎪ ⎪-⎝⎭A E . 22.已知向量组求：(1)向量组的秩； (2)向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.解：(1)将所给向量按列构成矩阵A ，然后实施初等行变换：121012101202240400240012243200120000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，向量组的秩1234(,,,)2r =αααα；(2)向量组的一个极大无关组为：13,αα，且有214132,22==-ααααα.23.讨论a 为何值时，线性方程组有解？当方程组有解时，求出方程组的通解.解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换：1222201111111311151a -⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪- ⎪--⎝⎭A 122220*********03333a -⎛⎫⎪-- ⎪→ ⎪-- ⎪--⎝⎭12222011110000100000a -⎛⎫ ⎪-- ⎪→ ⎪- ⎪⎝⎭10040011110000100000a ⎛⎫⎪-- ⎪→⎪- ⎪⎝⎭. 若方程组有解，则()()2r r ==A A ，从而a =1.当a =1时，原方程组的通解方程组为：1423441x x x x x =-⎧⎨=++⎩，34,x x 为自由未知量.令340x x ==，得原方程组的一个特解：(0, 1, 0, 0)T .导出组的同解方程组为：142344x x x x x =-⎧⎨=+⎩，34,x x 为自由未知量. 令34x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭分别取10,01⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得导出组的基础解系：(0, 1, 1, 0)T ，(-4, 1, 0, 1)T . 所以，方程组的通解为：(0, 1, 0, 0)T +c 1(0, 1, 1, 0)T +c 2(-4, 1, 0, 1)T ，其中，c 1，c 2为任意常数.24.已知向量组，讨论该向量组的线性相关性. 解：因为12112111022(2)(6)24082a a a a a a ----=+=-++. 当a =2或a =-6时，向量组相性相关；当a ≠2且a ≠-6时，向量组线性无关.25.已知矩阵A =，(1)求矩阵A 的特征值与特征向量； (2)判断A 可否与对角矩阵相似，若可以，求一可逆矩阵P 及相应的对角形矩阵Λ.解：矩阵A 的特征多项式为：2110|430(2)(1)102λλλλλλ+--=-=----|E A ， 所以，A 的特征值为：1231,2λλλ===.对于121λλ==，求齐次线性方程组()-=E A x o 的基础解系，210101420012101000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A ，得基础解系：121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，从而矩阵A 的对应于特征值121λλ==的全部特征向量为：121c -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，(c ≠0). 对于32λ=，求齐次线性方程组(2)-=E A x o 的基础解系，3101002410010100000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭E A ，得基础解系：001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，从而矩阵A 的对应于特征值32λ=的全部特征向量为：00(0)1c c ⎛⎫⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭. 因为三阶矩阵A 只有两个线性无关的特征向量，所以， A 不能相似于对角矩阵.26.设二次型(1)将二次型化为标准形；(2)求二次型的秩和正惯性指数.解：(1) 利用配方法，将二次型化为标准形： 222123112132233,,22243f x x x x x x x x x x x x =+-+--() 22222112323232233[2()()]()243x x x x x x x x x x x x =+-+---+-- 2221232233()24x x x x x x x =+-+-- 222212322333()(2)5x x x x x x x x =+-+-+-222123233=()()5x x x x x x +-+--. 令112322333y x x x y x x y x ⎧=+-⎪=-⎨⎪=⎩，即11222333x y y x y y x y ⎧=-⎪=+⎨⎪=⎩，得二次型的标准形为：2221235y y y +-.(2)由上述标准形知：二次型的秩为3，正惯性指数为2.四、证明题（本大题共6分）27.已知A 是n 阶方阵，且，证明矩阵A 可逆，并求证：由2()+=A E O ，得： A 2+2A = -E ，从而 A (A +2E )= -E , A (-A -2E )= E 所以A 可逆，且12-=--A A E .。

第二章矩阵2.1矩阵的概念定义2.1.1由m×n个数a ij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成一个m行n列的数表用大小括号表示称为一个m行n列矩阵。

矩阵的含义是：这m×n个数排成一个矩形阵列。

其中a ij称为矩阵的第i行第j列元素（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），而i称为行标，j称为列标。

第i行与第j列的变叉位置记为（i，j）。

通常用大写字母A，B，C等表示矩阵。

有时为了标明矩阵的行数m和列数n，也可记为A=（a ij）m×n或（a ij）m×n或A m×n当m=n时，称A=（a ij）n×n为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。

n阶方阵是由n2个数排成一个正方形表，它不是一个数（行列式是一个数），它与n阶行列式是两个完全不同的概念。

只有一阶方阵才是一个数。

一个n阶方阵A中从左上角到右下角的这条对角线称为A的主对角线。

n阶方阵的主对角线上的元素a11，a22，…，a nn，称为此方阵的对角元。

在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。

元素全为零的矩阵称为零矩阵。

用O m×n或者O（大写字）表示。

特别，当m=1时，称α=（a1，a2，…，a n）为n维行向量。

它是1×n矩阵。

当n=1时，称为m维列向量。

它是m×1矩阵。

向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。

例如，（a，b，c）是3维行向量，是3维列向量。

几种常用的特殊矩阵：1.n阶对角矩阵形如或简写为（那不是A，念“尖”）的矩阵，称为对角矩阵，例如，是一个三阶对角矩阵，也可简写为。

2.数量矩阵当对角矩阵的主对角线上的元n阶数量矩阵素都相同时，称它为数量矩阵。

有如下形式：或。

（标了角标的就是N阶矩阵，没标就不知是多少的）特别，当a=1时，称它为n阶单位矩阵。

n阶单位矩阵记为E n或I n，即或在不会引起混淆时，也可以用E或I表示单位矩阵。

线性代数（经管类）综合试题一（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设D==M≠0，则D1==( B )．A.－2MB.2MC.－6MD.6M2.设 A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出B = C，则A应满足 ( D )．A. A≠OB. A = OC.|A|= 0D. |A|≠03.设A，B均为n阶方阵，则 ( A)．A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.当AB=O时，有A=O或B=OD.(AB)-1=B-1A-14.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1= ( B)．A. B. C. D.，则下列说法正确的是( B )．A.若两向量组等价，则s = t .B.若两向量组等价，则r()= r()C.若s = t，则两向量组等价.D.若r()=r()，则两向量组等价.6.向量组线性相关的充分必要条件是 ( C )．A. 中至少有一个零向量B. 中至少有两个向量对应分量成比例C. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示D. 可由线性表示7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是( C )．A. r与s未必相等B. r + s = mC. r = sD. r + s > m8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( D )．A. Ax = o有解时，Ax = b必有解.B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.C. Ax = b无解时，Ax = o也无解.D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解.9.设方程组有非零解，则k = ( D)．A. 2B. 3C. -1D. 110.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D )．A. |A|>0B.存在n阶方阵C使A=C T CC.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

自考高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。

所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。

行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。

1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。

注意：在线性代数中，符号不是绝对值。

例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。

（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。

我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。

例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1a为何值时，[答疑编号10010101：针对该题提问]解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时，[答疑编号10010102：针对该题提问]解：解得0<x<9所以当0<x<9时，所给行列式大于0。

全国2007年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）参考答案课程代码:-、单项选择题（本大题共 10小题，每小题2分，共20分） 1.设A 为3阶方阵，且|A| = 2，则|2A 」卜(D ) A . -4B . -11311|2A| = 23|A| =84 .Ax=0有非零解：二r （A ） :: A 的列向量组线性相关.8 .设3元非齐次线性方程组 Ax=b 的两个解为。

=（1,0,2）T , P =（1,一1,3）T ，且系数矩阵A 的秩r （A ）=2 ,意常数k, k 1, k 2,方程组的通解可表为（ C ） A . k 1（1,0,2）T +k 2（1,-1,3）TB . （1,0,2）T +k （1,-1,3）T041842 .设矩阵 A= (1, 2), B=A . ACBB . ABC（1 I 42323，则下列矩阵运算中有意义的是（5 6C . BACCBA3.设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（TTTA . A + AB . A - AC . AA■a b )*设2阶矩阵A= I ，则 A = ( A)l c d丿(d—b \f-d c 、(-d b 、(d —c \iB .C .D .i<_c a丿b~aJ< c~a)(—ba丿3 -10 -n i-3"i巾-1 'A''1、1 - A .B .C .14 D .33丿I 13丿G 1丿I-1 0 丿设矩阵A=-2A .所有2阶子式都不为零B .所有 2阶子式都为零C .所有3阶子式都不为零D .存在一个3阶子式不为零7 .设A 为mxn 矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是A . A 的列向量组线性相关B . A 的列向量组线性无关C . A 的行向量组线性相关D . A 的行向量组线性无关则对于任(A-A T )T 二A T -(A T )T 二 A T — A = -(A-A T )，所以 A - A T 为反对称矩阵.A.)矩阵4 .3的逆矩阵是（1 -1精品文档C . (1,0,2)T +k (0,1,-1)TD . (1,0,2)T +k (2,-1,5)T为鳥 k(： - 一)=(1,0,2)T +k (0,1,-1)T .行成比例值为零.:-(1,0,2)T 是 Ax=b 的特解，：•---(0,1,-1)T 是 Ax=0 的基础解系,所以 Ax=b 的通解可表A . 4B . 3C . 2D . 1人-1-1 -1 3 九一3九一31 1 1| ZE — A|=-1 Z-1 -1=-1 九-1 -1 =仏—3) —1^—1 -1-1-1人—1-1-1 K-1-1 -1 丸—1I 1 11 1 11 1 1 1、■0 1 1 1、1 0 0 0、1 0 0 0 T 1 0 0 0T 0 1 1 1 1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0丿e 0 0 °」<00 0丿 C . B . 3 2，秩为2. A 二10小题，每小题（本大题共1、1的非零特征值为（19 .矩阵A= =（九一3）-3），非零特征值为 ■ =3 .10. 4元二次型 f (X 1,X 2,X 3,X 4)-2x 1x 2 - 2x 1x 3 - 2x 1x 4 的秩为共20分）二、填空题 11 .若 a i b i -0,i =1,2,3,则行列式a 1b 1 a 2b 1a 3b 1 a 1b 2 a 2b 2&3匕ag a 2b 3 &3匕12•设矩阵A=则行列式 |AT A|=__4__. |A TA 円 A T ||A 冃 A| 2*2)2 =4 .13.若齐次线性方程组811X 1 ' 812X 2 ' 813X 3 — 072^+822X2+823X 3=0有非零解，则其系数行列式的值为 031x 1+a 32x 2 +a 33x3 =°14.设矩阵A=10，矩阵B=A —E ，则矩阵B 的秩r （B ）= 1」15 .向量空间 V={ X=(X 1,X 2,0)|X 1,X 2为实数}的维数为__2__ .16•设向量 a =(1,2,3) , P =(3,2,1)，则向量 J B 的内积(a ,B )= _10_ 17 •设A 是4X 3矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0只有零解，则矩阵 A 的秩18 .已知某个3元非齐次线性方程组 Ax=b 的增广矩阵A 经初等行变换化为:广0 B=A —E = 0 <0 0 1 ?1 0 , r(B)=2.0 0』r(A)= __3_-2-1，若a(a -1) 方程组无解，则 a 的取值为_0_.a =0时，r(A) =2 ,r(A) =3 .19 .设3元实二次型 f (X 1 , X 2 , X 3 )的秩为3,正惯性指数为2,则此二次型的规范形是 2-y 3.秩r =3，正惯性指数k =2，则负惯性指数r -k =3-2 =1 '1120.设矩阵A= 12 —a e 00、0为正定矩阵，则a 的取值范围是 .3丿 —-1 =1 0,-212 —a1 02 — a 0 =3(1 -a)>0 二 av1 .3三、计算题(本大题共 6小题，每小题9分，共54 分)123 23 321 .计算3阶行列式 249 49 9367 677123 23 3解： 249 49 9 =367 67 7「1 0 1 1 0 0『11 1 00 '「10 1 1 0 0210 0 1 0 T 01 -2 -2 1 0 T 0 1 -2 -2 1 0 L3 2 -5 0 0 h<0 2 -2 3 0 h27-2 b'20 2 2 00、'2 0 0-5 2 -1、 1 0 0 —5/2 1-1/2"T 0 1-2 -2 1 0 T 0 1 0 5 -1 1 T 0 1 0 5 -1 127-2 1」Q 0 27-21」0 1 7/2 -1 1/2丿100 20 3 200 40 9 =0 .300 60 71 022. 设A=-3 2 -5求A ，解:解: ■ -1I 入E — A|=-2-2咒T -（咒_^1） ―'4= ■ $ - 2咒―3 = '_1）^ ―3），特征值，1 = -1 ,对于‘1 =「1，解齐次线性方程组（E - A ）x =0 :足一A =「2 一2}]1* ,1—2 -2丿 e 0 丿，X"| =_X 2X 2 =X2'基础解系为单位化为二k 1（-1,1,0,0,0）T k 2（-1,0,-1,0,1）T •25•设矩阵A 」1 2求正交矩阵P ,使P’AP 为对角矩阵.€ 1丿广_5/2 1 —1/2 A 」= 5 -1 1 7/2-11/223•设向量组：1（1,一1,2,1）丁 , :- 2（2,一2,4,一2）丁 , : 3(1)求向量组的一个极大线性无关组;(2)将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.<12 3 0、「1 23 0、 -1 -2 03T0 0 332460 0 0 0 0-2 -1 -4>e-4-4 一4丿1 2 3 0、巾 2 3 0、广1 2 0 -3"1广10 0 -3"0 -4 -4 -4T11 1T0 1 0 0 T0 1 00 0 0 3 30 0 1 1 0 0 110 0 1 1e 0丿1° 0 0 0丿1° 0 0」<0 0 0丿24 •求齐次线性方程组X 1 x 2X 1 X 2 - X 3X 3 X 5 =0=0的基础解系及通解.=01 1 0 0 1、1 10 0 1、1 10 0 1、 解：A = 1 1 -1 0 0 T0 0 -1 0 -1 T 0 0 -1 0 -1e 011 b<0 0 1 11>1。

线性代数（经管类）教学测试大纲课程编号：4184学时数：72学时学分数：4学分适用专业：经济管理类各专业先修课程：具备高中数学的基础知识考核方式：国家自考一、课程的性质和任务1.课程的性质、地位和任务“线性代数（经管类）”是经济管理类专业（本科段）的一门重要的公共基础课程，是为培养各种和经济和管理有关的人才而设置的。

线性代数是讨论有限维空间的线性理论的一门科学，为处理线性问题提供了有力的工具。

在当今科学技术飞速发展，特别是计算机科学和信息技术的使用日新月异，科学管理理念日益加强的时代，作为描述和研究实际问题的有力工具，线性代数的理论和方法已渗透到各个科技领域以及经济学和管理科学，在工程技术和国民经济的许多领域都有广泛使用。

学习本课程，不仅使学生掌握本课程的基本理论和方法，为学习测试计划中的多门后继课程提供必需的基础知识，而且有利于提高学习者的数学修养，养成善于抽象思维和逻辑推理的习惯，从而能提高学习者分析和解决实际问题的能力。

2.本课程的基本要求和重点基本要求：（1）理解行列式的性质，会计算行列式；（2）熟练掌握矩阵的各种运算；（3）会判别向量组的线性相关性和线性无关性，理解向量组的秩和矩阵的秩的概念及其关系；（4）掌握线性方程组的解的结构和求解方法；（5）会求实方阵的特征值和特征向量，理解方阵可对角化的条件，掌握方阵对角化的计算方法；（6）了解实二次型概念和正定二次型的判别方法。

本课程的重点是行列式计算、矩阵运算和解线性方程组。

学生在学习过程中，要切实掌握有关内容的基本概念、基本理论和基本方法。

通过做相当数量的练习，具有比较熟练的运算能力，同时培养抽象思维能力和逻辑推理能力，并不断提高自学能力。

3.本课程和有关课程的联系学习本课程，要求考生具备高中数学的基础知识。

本课程是经济管理类（本科段）各专业的公共基础课程，学习本课程又为经济管理类的各专业的后继课程（如经济学等）奠定必要的数学基础。

二、教学内容和要求第一章行列式（8学时）1．行列式的定义.要求达到“识记”层次.1.1 熟练计算二阶和三阶行列式.1.2 清楚行列式中元素的余子式和代数余子式的定义.1.3 了解行列式的按其一行（列）展开的递归定义.1.4 熟记三角行列式的计算公式.2. 行列式的性质和计算.要求达到“简单使用”层次.2.1掌握并会熟练运用行列式的性质。

全国2007年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）参考答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A 为3阶方阵,且2||=A ，则=-|2|1A （ D ） A ．—4 B ．—1 C ．1D ．44218||2|2|131=⨯==--A A ． 2．设矩阵A =(1，2），B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321，C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛654321，则下列矩阵运算中有意义的是（ B ) A ．ACBB ．ABCC ．BACD ．CBA3．设A 为任意n 阶矩阵,下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ） A ．A ＋A TB ．A －A TC ．AA TD ．A T A)()()(T T T T T T T A A A A A A A A --=-=-=-，所以A －A T 为反对称矩阵．4．设2阶矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d cb a,则A ＊=( A ） A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dB ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a bc d C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dD ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a bc d5．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0133的逆矩阵是（ C ）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3310B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3130C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13110D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01311 6．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--500043200101，则A 中（ D ）A ．所有2阶子式都不为零B ．所有2阶子式都为零C ．所有3阶子式都不为零D ．存在一个3阶子式不为零7．设A 为m×n 矩阵,齐次线性方程组Ax =0有非零解的充分必要条件是（ A ） A ．A 的列向量组线性相关 B ．A 的列向量组线性无关 C ．A 的行向量组线性相关D ．A 的行向量组线性无关Ax =0有非零解⇔n A r <)(⇔ A 的列向量组线性相关．8．设3元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为T )2,0,1(=α，T )3,1,1(-=β，且系数矩阵A 的秩r （A ）=2，则对于任意常数k , k 1, k 2，方程组的通解可表为（ C ） A ．k 1（1，0，2)T +k 2（1,-1，3)T B ．(1,0，2)T +k (1,—1，3)T C ．(1,0,2）T +k （0,1,-1）TD ．(1，0，2）T +k （2，-1,5）TT )2,0,1(=α是Ax=b 的特解，T )1,1,0(-=-βα是Ax =0的基础解系，所以Ax=b 的通解可表为=-+)(βααk (1，0,2)T +k （0,1,—1)T ．9．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111的非零特征值为（ B )A ．4B ．3C ．2D ．1111111111)3(111111333111111111||-------=---------=---------=-λλλλλλλλλλλλA E )3(0000111)3(2-=-=λλλλλ,非零特征值为3=λ．10．4元二次型413121214321222),,,(x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ C ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000000001110000100000000000111100001000100011111A ，秩为2． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．若,3,2,1,0=≠i b a i i 则行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =__0__． 行成比例值为零．12．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则行列式｜A TA |=__4__．4)2(4321||||||||222=-====A A A A A TT．13．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解,则其系数行列式的值为__0__．14．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020101，矩阵E A B -=,则矩阵B 的秩r(B ）= __2__．E A B -==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010100，r(B )=2．15．向量空间V=｛x =（x 1，x 2,0)｜x 1，x 2为实数｝的维数为__2__．16．设向量)3,2,1(=α，)1,2,3(=β，则向量α，β的内积),(βα=__10__．17．设A 是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax =0只有零解，则矩阵A 的秩r(A )= __3__．18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax =b 的增广矩阵A 经初等行变换化为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→1)1(0021201321a a a A ，若方程组无解,则a 的取值为__0__．0=a 时，2)(=A r ，3)(=A r ．19．设3元实二次型),,(321x x x f 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形是232221y y y -+． 秩3=r ，正惯性指数2=k ，则负惯性指数123=-=-k r ．规范形是232221y y y -+．20．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-300021011a 为正定矩阵，则a 的取值范围是1<a ．011>=∆，0121112>-=-=∆a a,0)1(33000210113>-=-=∆a a ⇒1<a ．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分,共54分)21．计算3阶行列式767367949249323123．解：0760300940200320100767367949249323123==．22．设A =　⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--523012101，求1-A ．解：　⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100010001523012101→　⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---103012001220210101→　⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---127012001200210101 →　⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---127012002200210202→　⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----127115125200010002→　⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/112/71152/112/5100010001， =-1A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/112/71152/112/5． 23．设向量组T )1,2,1,1(1-α,T )2,4,2,2(2--α,T )1,6,0,3(3-α，T )4,0,3,0(4-α． （1）求向量组的一个极大线性无关组；(2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合．解：=),,,(4321αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----4121064230210321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4440000033000321 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000330044400321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000110011100321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000110000103021→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000110000103001．（1）321,,ααα是一个极大线性无关组；（2）=4α32103ααα++-．24．求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=++000543321521x x x x x x x x x 的基础解系及通解．解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111000*********A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111001010010011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010001010010011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010001010010011，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==--=55453225210x x x x x x x x x x , 基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00011，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10101，通解为T T k k )1,0,1,0,1()0,0,0,1,1(21--+-=η．25．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1221，求正交矩阵P ,使AP P 1-为对角矩阵．解：)3)(1(324)1(1221||22-+=--=--=----=-λλλλλλλλA E ，特征值11-=λ，32=λ． 对于11-=λ,解齐次线性方程组0)(=-x A E λ:⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-00112222A E λ，⎩⎨⎧=-=2221x x x x ，基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111α，单位化为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==21211121||1111ααβ； 对于32=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-00112222A E λ，⎩⎨⎧==2221x x x x ，基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=112α，单位化为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==21211121||1222ααβ． 令⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21212121P ，则P 是正交矩阵，使⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-30011AP P ． 26．利用施密特正交化方法,将下列向量组化为正交的单位向量组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00111α， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01012α．解：正交化，得正交的向量组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==001111αβ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=012/12/10011210101||),(1211222βββααβ； 单位化，得正交的单位向量组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==002/12/1001121||1111ββp ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==06/26/16/1012/12/162||1222ββp ． 四、证明题（本大题6分）27．证明:若A 为3阶可逆的上三角矩阵,则1-A 也是上三角矩阵．证：设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=33232213121100a a a a a a A ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==*-3323133222123121111||1||1A A A A A A A A A A A A A ， 其中000332312=-=a a A ，00002213=-=a A ，00121123=-=a aA ， 所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-3332223121111||1A A A A A A A A 是上三角矩阵．全国2007年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A 是3阶方阵，且|A ｜=21-,则|A -1｜=（ A ） A ．—2B ．21- C ．21D ．22．设A 为n 阶方阵,λ为实数，则=||A λ（ C ） A ．||A λB ．||||A λC ．||A n λD ．||||A n λ3．设A 为n 阶方阵，令方阵B =A +A T ，则必有（ A ) A ．B T =BB ．B =2AC ．B B T -=D ．B =0B A A A A A A A A B T T T T T T T T =+=+=+=+=)()(．4．矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111的伴随矩阵A ＊=（ D ) A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111 C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11115．下列矩阵中，是初等矩阵的为（ C ）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001 B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100101110 C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0013000106．若向量组)0,1,1(1+=t α，)0,2,1(2=α，)1,0,0(23+=t α线性相关，则实数t =（ B ）A ．0B ．1C ．2D ．30)1)(1(2111)1(100021011222=-+=++=++t t t t t t ⇒1=t ．7．设A 是4×5矩阵，秩(A )=3,则（ D ) A ．A 中的4阶子式都不为0 B ．A 中存在不为0的4阶子式 C ．A 中的3阶子式都不为0D ．A 中存在不为0的3阶子式8．设3阶实对称矩阵A 的特征值为021==λλ，23=λ,则秩(A )=（ B ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3A 相似于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=200000000D ，秩(A ）= 秩（D ）=1．9．设A 为n 阶正交矩阵，则行列式=||2A （ C )A ．-2B ．-1C ．1D ．2A 为正交矩阵，则E A A T =，==22||||A A 1||||||==A A A A T T ． 10．二次型2.2),,(y x z y x f -=的正惯性指数p 为（B ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1121，则行列式=||TAA __1__． 1)1(1121||||||||22=-====A A A AA T T ．12．行列式1694432111中)2,3(元素的代数余子式=32A __—2__．2421132-=-=A ． 13．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21，则=B A T__5__． 521)2,1(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B A T ．14．已知βααα=+-32125，其中)1,4,3(1-=α，)3,0,1(2=α，)5,2,0(-=β，则=3α⎪⎭⎫ ⎝⎛-211,1,1．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=+---=211,1,1)11,2,2(21)]3,0,1(5)1,4,3()5,2,0[(213α 15．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-613101的行向量组的秩=__2__．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-613101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-603001→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-003001,秩=2． 16．已知向量组)1,1,1(1=α，)0,2,1(2=α，)0,0,3(3=α是3R 的一组基，则向量)3,7,8(=β在这组基下的坐标是)1,2,3(．设332211αααβx x x ++=，即)0,0,3()0,2,1()1,1,1()3,7,8(321x x x ++=，得⎪⎩⎪⎨⎧==+=++37283121321x x x x x x ,解得⎪⎩⎪⎨⎧===123321x x x ． 17．已知方程组⎩⎨⎧=+-=-0202121tx x x x 存在非零解，则常数t =__2__．02211=-=--t t，2=t ．18．已知3维向量T )1,3,1(-=α，T )4,2,1(-=β,则内积=),(βα__1__．19．已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x 01010101的一个特征值为0，则x =__1__．0|0|=-A E ，所以0||=A ,即0111101010101=-==x xx，1=x ．20．二次型323121232221321822532),,(x x x x x x x x x x x x f +-+++=的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--541431112． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式D=210121012的值．解：4)26(2123210121230210121012=+--=---=--=．22．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3512，B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛0231，求矩阵方程XA =B 的解X ． 解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=252610022501101220016101210013512),(E A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→25131001，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-25131A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-26512251302311BA X ． 23．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a 363124843121，问a 为何值时，（1）秩(A ）=1；（2）秩(A ）=2．解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a 363124843121→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--900000003121a →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000090003121a ． (1）9=a 时,秩（A )=1；（2)9≠a 时，秩(A ）=2．24．求向量组1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111，2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531，3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛626，4α=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-542的秩与一个极大线性无关组．解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--565142312611→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3126028402611→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142014202611→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000014202611， 秩为2，1α,2α是一个极大线性无关组．25．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++362232234232132321x x x x x x x x 的通解．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=362232203421A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---322032203421→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000032203421→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000032200201→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00002/31100201，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=333231232x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11202/30k ．26．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1630310104A ，求可逆矩阵P 及对角矩阵D ，使得D AP P =-1．解:2)1)(2(31104)1(1630310104||-+=--+-=-----+=-λλλλλλλλλA E ，特征值21-=λ，132==λλ．对于21-=λ,解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-00013050300013001531300000511210510513630510102A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→0003/1103/501，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=3332313135x x x x x x ,基础解系为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=13/13/51α；对于132==λλ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000000210210210210630210105A E λ,⎪⎩⎪⎨⎧==-=3322212x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0122α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1003α．令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=101013/1023/5P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010002D ，则P 是可逆矩阵，使D AP P =-1．四、证明题（本大题6分)27．设向量组1α,2α线性无关，证明向量组211ααβ+=,212ααβ-=也线性无关． 证:设02211=+ββk k ，即0)()(212211=-++ααααk k ，0)()(221121=-++ααk k k k ．由1α，2α线性无关,得⎩⎨⎧=-=+002121k k k k ，因为021111≠-=-，方程组只有零解，所以1β,2β线性无关．全国2007年10月高等教育自学考试线性代数（经管类)试题答案课程代码:04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ D ） A ．—3B ．-1C ．1D ．3222111c b a c b a ++=2211b a b a +2211c a c a =1+2=3．2．设A 为3阶方阵，且已知2|2|=-A ，则=||A （ B ) A ．-1B ．41-C ．41 D ．12|2|=-A ，2||)2(3=-A ，41||-=A ．3．设矩阵A ,B ，C 为同阶方阵，则=T ABC )(（ B ） A ．A T B T C TB ．C T B T A TC ．C T A T B TD ．A T C T B T4．设A 为2阶可逆矩阵,且已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-4321)2(1A ，则A =( D ）A ．2⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛432121C ．214321-⎪⎪⎭⎫⎝⎛D ．1432121-⎪⎪⎭⎫⎝⎛ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-4321)2(1A ，143212-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，1432121-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A ． 5．设向量组s ααα,,,21 线性相关,则必可推出（ C ） A ．s ααα,,,21 中至少有一个向量为零向量 B ．s ααα,,,21 中至少有两个向量成比例C ．s ααα,,,21 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D ．s ααα,,,21 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合6．设A 为m×n 矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（ A ） A ．A 的列向量组线性无关 B ．A 的列向量组线性相关 C ．A 的行向量组线性无关D ．A 的行向量组线性相关Ax=0仅有零解⇔n A r =)(⇔ A 的列向量组线性无关．7．已知21,ββ是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解,21,αα是其导出组Ax =0的一个基础解系，21,C C 为任意常数，则方程组Ax =b 的通解可以表为（ A ） A ．)()(212121121ααC αC ββ++++ B ．)()(212121121ααC αC ββ+++-C ．)()(212121121ββC αC ββ-+++ D ．)()(212121121ββC αC ββ+++- )(2121ββ+是Ax =b 的特解，211,ααα+是Ax =0的基础解系． 8．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2，2，3,则=-||1B （ A )A ．121 B ．71 C ．7 D ．12B 相似于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛300020002，12300020002||==B ，121||||11==--B B ．9．设A 为3阶矩阵，且已知0|23|=+E A ，则A 必有一个特征值为( B ）A ．23-B ．32-C ．32 D ．23 0|23|=+E A ⇒032=--A E ⇒A 必有一个特征值为32-． 10．二次型312123222132142),,(x x x x x x x x x x f ++++=的矩阵为( C ） A ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛104012421B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010421C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛102011211D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛120211011二、填空题（本大题共10小题,每小题2分，共20分）11．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100012021，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310120001，则A+2B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛720252023．12．设3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002520310,则=-1)(T A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--002/1130250．→),(E A T⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001053021200→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001100010200053021→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--001130010200010021 →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---001130250200010001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--002/1130250100010001，=-1)(T A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--002/1130250．13．设3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333022001,则A *A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛600060006．==*E A A A ||⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==6000600066333022001E E ．14．设A 为m ×n 矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，则矩阵B =AC 的秩为__r__． B =AC ，其中C 可逆，则A 经过有限次初等变换得到B ,它们的秩相等．15．设向量)1,1,1(=α，则它的单位化向量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛31,31,31．16．设向量T )1,1,1(1=α，T )0,1,1(2=α，T )0,0,1(3=α,T )1,1,0(=β,则β由321,,ααα线性表出的表示式为3210αααβ-+=．设332211αααβk k k ++=，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001011111110321k k k ,⎪⎩⎪⎨⎧==+=++110121321k k k k k k ，⎪⎩⎪⎨⎧-===101321k k k ．17．已知3元齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+0320320321321321x x x ax x x x x x 有非零解，则a =__2__．02412141121200132132111=-=+=+=-a a a a ，2=a ．18．设A 为n 阶可逆矩阵，已知A 有一个特征值为2，则1)2(-A 必有一个特征值为41． 2=λ是A 的特征值，则41)2(1=-λ是1)2(-A 的特征值．19．若实对称矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a 000103为正定矩阵，则a 的取值应满足30<<a ．031>=∆,031322>-==∆a a a，0)3(00010323>-==∆a a aa a ⇒30<<a ． 20．二次型2221212122),(x x x x x x f -+=的秩为__2__．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301112111112A ，秩为2．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．求4阶行列式1111112113114111的值．解：6300102010011000100010011020130011111112113114111===．22．设向量)4,3,2,1(=α，)0,2,1,1(-=β，求(1）矩阵βαT ；（2)向量α与β的内积),(βα．解：(1)()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=08440633042202110,2,1,14321βαT ；(2）50621),(=++-=βα． 23．设2阶矩阵A 可逆，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21211b ba a A ，对于矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102P ,令21AP P B =,求1-B ． 解:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-102111P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-011012P ，111121----=P A P B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121b b a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1021=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2121a ab b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1021=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--12112122a a a b b b ．24．求向量组T )3,1,1,1(1=α，T )1,5,3,1(2--=α，T )4,1,2,3(3-=α，T )2,10,6,2(4--=α的秩和一个极大线性无关组．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----24131015162312311→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------85401246041202311→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------0700070041202311→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------0000070041202311， 秩为3，321,,ααα是一个极大线性无关组．25．给定线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321ax x x x ax x a x x x ．(1)问a 为何值时，方程组有无穷多个解;（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（用一个特解和导出组的基础解系表示)．解:（1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2112113111a a a A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----a a a a a 110010103111，1=a 时，方程组有无穷多解;(2）1=a 时，A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000002111,⎪⎩⎪⎨⎧==---=33223212x x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10101100221k k ． 26．求矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------011101110的全部特征值及对应的全部特征向量．解:100010111)2(1111111)2(1212112111111||--+=+=+++==-λλλλλλλλλλλλλλλA E)2()1(2+-=λλ，特征值21-=λ，132==λλ．对于21-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-000330211330330211112121211211121112A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000110101000110211，⎪⎩⎪⎨⎧===333231x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111α,对应的全部特征向量为αk （k 是任意非零常数）；对于132==λλ,解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000000111111111111A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧==--=3322321x x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1012α，对应的全部特征向量为2211ααk k +(21,k k 是不全为零的任意常数）． 四、证明题（本大题6分)27．设A 是n 阶方阵，且0)(2=+E A ，证明A 可逆．证：由0)(2=+E A ,得022=++E A A ，E A A =+-)2(2，E A E A =+-)2(．所以A 可逆，且)2(1E A A +-=-．16全国2008年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A 为三阶方阵且2||-=A 则=|3|A A T （ D ） A ．—108B ．—12C ．12D ．108108)2(27||3|3|223=-⨯==A A A T ．2．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则k =（ B )A ．-2B ．—1C ．1D ．20)1(1241434014013=+=-=--k kkk ，1-=k ．3．设A 、B 为同阶方阵,下列等式中恒正确的是（ D ） A ．BA AB =B ．111)(---+=+B A B AC ．||||||B A B A +=+D ．T T T B A B A +=+)(4．设A 为四阶矩阵，且2||=A ，则=*||A （ C ) A ．2B ．4C ．8D ．12=*||A 82||||331===-A A n ．5．设β可由向量)0,0,1(1=α，)1,0,0(2=α线性表示,则下列向量中β只能是( B )A ．)1,1,2(B ．)2,0,3(-C ．)0,1,1(D ．)0,1,0(-),0,(212211k k k k =+=ααβ．6．向量组s ααα,,,21 的秩不为s (2≥s )的充分必要条件是（ C ） A ．s ααα,,,21 全是非零向量 B ．s ααα,,,21 全是零向量C ．s ααα,,,21 中至少有一个向量可由其它向量线性表出D ．s ααα,,,21 中至少有一个零向量s ααα,,,21 的秩不为s ⇔s ααα,,,21 线性相关．177．设A 为m n ⨯矩阵，方程AX =0仅有零解的充分必要条件是( C ) A ．A 的行向量组线性无关 B ．A 的行向量组线性相关 C ．A 的列向量组线性无关D ．A 的列向量组线性相关AX =0仅有零解⇔n A r =)(⇔A 的列向量组线性无关．8．设A 与B 是两个相似n 阶矩阵，则下列说法错误．．的是（ D ） A ．||||B A =B ．秩(A )=秩（B)C ．存在可逆阵P ，使B AP P =-1D ．BE A E -=-λλ9．与矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是（ A ）A ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001B ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011C ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001D ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020101有相同特征值的同阶对称矩阵一定(正交）相似．10．设有二次型232221321),,(x x x x x x f +-=，则),,(321x x x f （ C )A ．正定B ．负定C ．不定D ．半正定当0,0,1321===x x x 时，0>f ；当0,1,0321===x x x 时0<f ．总之，f 有正有负． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分,共20分） 11．若0211=k ，则k =21． 012211=-=k k ，21=k ． 12．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023，B =⎢⎣⎡⎥⎦⎤010201，则AB =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡241010623． AB =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023⎢⎣⎡⎥⎦⎤010201=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡241010623．1813．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤220010002，则=-1A ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-2/110010002/1． ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100010001220010002→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-120010001200010002→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-2/110010002/1100010001． 14．设A 为33⨯矩阵,且方程组Ax =0的基础解系含有两个解向量,则秩（A ）= __1__．秩（A )=123=-=-r n ．15．已知A 有一个特征值2-，则E A B 22+=必有一个特征值__6__．2-=λ是A 的特征值,则62)2(222=+-=+λ是E A B 22+=的特征值．16．方程组0321=-+x x x 的通解是T T k k )1,0,1()0,1,1(21+-．⎪⎩⎪⎨⎧==+-=3322321x x x x x x x ，通解是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10101121k k ． 17．向量组)0,0,1(1=α，)0,1,1(2=α,)0,2,5(3-=α的秩是__2__．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000010001025011001,秩是2． 18．矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200020002的全部特征向量是T T T k k k )1,0,0()0,1,0()0,0,1(321++不全为零）（321,,k k k ．2321===λλλ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000000000A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧===332211x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100． 19．设三阶方阵A 的特征值分别为1,1,2-，且B 与A 相似，则=|2|B __—16__． =|2|B 16)2(810001000223-=-⨯=-．1920．矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-301012121所对应的二次型是3121232221321243),,(x x x x x x x x x x f +++-=． 三、计算题(本大题共6小题,每小题9分，共54分）21．计算四阶行列式1002210002100021的值．解：151500021000210002118002100021000211040210021000211002210002100021-=-==-=．22．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤101111123，求1-A ．解：⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100010001101111123→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤001010100123111101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---301110100220010101 →⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----121110100200010101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----121110200200010202→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-----121110121200010002→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---2/112/11102/112/1100010001，1-A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---2/112/11102/112/1．23．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-200200011,B =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤300220011，且A ，B ，X 满足E X B A B E T T =--)(1，求X ，1-X ． 解：由E X B A B E T T =--)(1，得E X A B E B T =--)]([1，即E X A BB BE T =--)(1,20E X A B T =-)(，=-1X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100020002100020002)(TT A B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10002/10002/1X ． 24．求向量组)4,2,1,1(1-=α，)2,1,3,0(2=α，)14,7,0,3(3=α，)6,5,1,2(4=α，)0,2,1,1(5-=α 的一个极大线性无关组．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--021165121470321304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4002130213021304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4004000000021304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0004000000021304211， 421,,ααα是一个极大线性无关组．25．求非齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=+++-=-+++=++++12334523622232375432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解．解：=A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----12133452362210231123711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------236281023622102362210711111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0006000000002362210711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0000000006002362210711111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000001002362210711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000001002362010711011→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---00000000010023620101651001， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===--=++-=5544354254106223516x x x x x x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1006501021000231621k k ．2126．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----020212022，求P 使AP P 1-为对角矩阵．解：λλλλλλλλλ4)2(4)2)(1(2021222||-----=--=-A E 86323+--=λλλ )2(3)42)(2()2(3)8(23+-+-+=+-+=λλλλλλλλ)4)(1)(2()45)(2(2--+=+-+=λλλλλλ，特征值21-=λ,12=λ，43=λ．对于21-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-220220012220232012220232024A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000220012 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000110012→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000110102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0001102/101,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===33323121x x x x xx ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112/11α；对于12=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-120120021120101021120202021A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000120021→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000120101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0002/110101，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=33323121x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12/112α；对于43=λ,解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000210022420210022420232022A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000210011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000210201，22⎪⎩⎪⎨⎧=-==33323122xx x x x x ,基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1223α． 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11122/11212/1P ，则P 是可逆矩阵，使=-AP P 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-400010002．四、证明题（本大题6分）27．设321,,ααα是齐次方程组Ax =0的基础解系，证明1α,21αα+，321ααα++也是Ax =0的基础解系． 证：(1）Ax =0的基础解系由3个线性无关的解向量组成．（2）321,,ααα是Ax =0的解向量,则1α,21αα+,321ααα++也是Ax =0的解向量． （3）设0)()(321321211=+++++ααααααk k k ，则0)()(332321321=+++++αααk k k k k k ，由321,,ααα线性无关，得⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k ，系数行列式01100110111≠=,只有零解0321===k k k ,所以1α，21αα+，321ααα++线性无关．由（1）（2）（3）可知,1α,21αα+，321ααα++也是Ax =0的基础解系．23全国2008年4月高等教育自学考试线性代数(经管类）试题答案课程代码:04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ C ） A ．—15B ．-6C ．6D ．15D 1=620222555333231232221131211333131232121131111=+=+D a a a a a a a a a a a a a a a a a a ． 2．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+d b a 04=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-32c b a ，则( C ) A ．3,1,1,3==-==d c b a B ．3,1,3,1===-=d c b a C ．3,0,1,3==-==d c b aD ．3,0,3,1===-=d c b a3,0,4,2===-=+d c b a b a ⇒3,0,1,3==-==d c b a ．3．设3阶方阵A 的秩为2,则与A 等价的矩阵为( B ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000111B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110111C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000222111D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3332221114．设A 为n 阶方阵，2≥n ，则=-|5|A （ A ） A ．||)5(A n -B ．||5A -C ．||5AD ．||5A n5．设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则=*||A （ B ）A ．-4B ．—2C ．2D ．424321||||||121-====--*A A A n ． 6．向量组s ααα,,,21 (2>s ）线性无关的充分必要条件是（ D ) A ．s ααα,,,21 均不为零向量B ．s ααα,,,21 中任意两个向量不成比例C ．s ααα,,,21 中任意1-s 个向量线性无关D ．s ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量线性表示247．设3元线性方程组b Ax =，A 的秩为2,1η，2η,3η为方程组的解，T )4,0,2(21=+ηη，T )1,2,1(31-=+ηη，则对任意常数k ，方程组b Ax =的通解为（ D ）A ．T T k )1,2,1()2,0,1(-+B ．T T k )4,0,2()1,2,1(+-C ．T T k )1,2,1()4,0,2(-+D ．T T k )3,2,1()2,0,1(+取b Ax =的特解：T )2,0,1()(2121=+=ηηη； 0=Ax 的基础解系含一个解向量：T )3,2,1()()(312132=+-+=-=ηηηηηηα．8．设3阶方阵A 的特征值为2,1,1-，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（ D ） A ．A E -B ．A E --C ．A E -2D ．AE --22-不是A 的特征值，所以0|2|≠--A E ,A E --2可逆．9．设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵12)(-A 必有一个特征值等于（ A ） A ．41 B ．21 C ．2 D ．42=λ是A 的特征值，则41)(12=-λ是12)(-A 的特征值．10．二次型432423222143212),,,(x x x x x x x x x x f ++++=的秩为( C ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00001100001000011100110000100001A ，秩为3． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分,共20分)11．行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =__0__． 行成比例值为零．12．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321,P =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011，则=T AP ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4723． =TAP ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101=⎪⎪⎭⎫⎝⎛4723．2513．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111110100，则=-1A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--001011110．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001111110100→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100100110111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--001011101100010011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--001011110100010001． 14．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛54332221t ,若齐次线性方程组Ax =0有非零解，则数t =__2__． 02121412014022154332221||=-=----=----==t t t t A ,2=t ．15．已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1212α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=113t α的秩为2，则数t =__-2__．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11212111t →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--123013011t t t →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--20013011t t t ，秩为2，则2-=t ． 16．已知向量T )3,0,1,2(=α，T k ),1,2,1(-=β，α与β的内积为2,则数k =32．2),(=βα，即23022=++-k ，3/2=k ．17．设向量Tb ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,21,α为单位向量,则数b =__0__． 112121||22=+=++=b b α，0=b ． 18．已知λ=0为矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----222222220的2重特征值,则A 的另一特征值为__4__．021==λλ,220321++=++λλλ，所以43=λ．19．二次型32212322213212452),,(x x x x x x x x x x f +--+=的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---510122021．2620．已知二次型232221321)2()1()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则数k 的取值范围为2>k ．⎪⎩⎪⎨⎧>->->+020101k k k ，⎪⎩⎪⎨⎧>>->211k k k ,2>k ． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式D =4001030100211111的值．解：2202100111011112200210111011113110121011111114001030100211111-=----=----=------=．22．已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210011101,B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103，(1）求A 的逆矩阵1-A ；(2）解矩阵方程B AX =．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001210011101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100011001210110101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111011001100110101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111122112100010001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111122112100010001,1-A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111122112； （2）==-B A X 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111122112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410011103=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----322234225．23．设向量)1,1,1,1(--=α,)1,1,1,1(--=β,求(1)矩阵βαT A =；（2）2A ．27解：（1）βαT A ===--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--)1,1,1,1(1111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------111111*********1; （2)2A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------111111*********1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------111111*********1=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------4444444444444444． 24．设向量组T )4,2,1,1(1-=α,T )2,1,3,0(2=α,T )14,7,0,3(3=α，T )0,2,1,1(4-=α,求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=01424271210311301),,,(4321αααα→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4220011003301301→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2110011001101301→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2000000001101301→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000000001101301→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000100001101301， 向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大线性无关组，=3α42103ααα++．25．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+ax x x x x x x x 32132131522312 ，（1)求当a 为何值时,方程组无解、有解；（2）当方程组有解时，求出其全部解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．解:=),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----a 51223111201→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---211011101201a →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--300011101201a ． （1)3-≠a 时，方程组无解，3-=a 时,方程组有解;(2)3-=a 时，),(b A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000011101201，⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=333231121x x x x x x ，全部解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112011k ．2826．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛2178，(1）求矩阵A 的特征值与对应的全部特征向量；（2）判定A 是否可以与对角阵相似,若可以，求可逆阵P 和对角阵Λ，使得Λ=-AP P 1． 解：)9)(1(9102178||2--=+-=----=-λλλλλλλA E ，特征值11=λ，92=λ． 对于11=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-00111177A E λ，⎩⎨⎧=-=2221x x x x ，基础解系为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111α，对应的全部特征向量为11αk （1k 是任意非零常数）；对于92=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-00717171A E λ，⎩⎨⎧==22217x x x x ,基础解系为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=172α，对应的全部特征向量为22αk （2k 是任意非零常数）．令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1171P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ9001，则P 是可逆矩阵，使得Λ=-AP P 1．四、证明题(本题6分）27．设n 阶矩阵A 满足A A =2，证明A E 2-可逆,且A E A E 2)2(1-=--．证：由A A =2,得E A A E A A E A E A E =+-=+-=--4444)2)(2(2，所以A E 2-可逆，且A E A E 2)2(1-=--．29全国2008年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设3阶方阵],,[321ααα=A ，其中i α（3,2,1=i )为A 的列向量，且2||=A ，则=+=|],,3[|||3221ααααB （ C ）A ．-2B ．0C ．2D ．6333231232221131211||a a a a a a a a a A =，2||333||333232312322222113121211==+++=A a a a a a a a a a a a a B ． 2．若方程组⎩⎨⎧=-=+002121x kx x x 有非零解,则k =（ A )A ．—1B ．0C ．1D ．201111||=--=-=k k A ，1-=k ．3．设A ,B 为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（ C ) A ．||||||B A AB =B ．111)(---=A B ABC ．111)(---+=+B A B AD ．T T T A B AB =)(反例：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1001B ． 4．设A 为三阶矩阵，且2||=A ,则=-*|)(|1A （ A ) A ．41 B ．1 C ．2 D ．441||1||1||1|)(|211====-*-*A A A A n ． 5．已知向量组A :4321,,,αααα中432,,ααα线性相关，那么( B ) A ．4321,,,αααα线性无关B ．4321,,,αααα线性相关C ．1α可由432,,ααα线性表示D ．43,αα线性无关部分相关⇒全体相关．。

西华大学自学考试省考课程习题集课程名称：《线性代数》课程代码：04184专业名称: 工商企业管理专业代码: Y020202第一部分习题一、选择题3二、填空题8三、计算题11四、证明题15第二部分标准答案一、选择题16二、填空题16三、计算题16四、证明题319、关于初等矩阵下列结论成立的是（）A,都是可逆阵 B.所对应的行列式的值为1 C.相乘仍为初等矩阵D.相加仍为初等矩阵\ 2、10、设2阶矩阵A=「），则人=（）第一部分习题 一、选择题1、若〃阶方阵A 的秩为r,则结论（A. IAWOB. IAI=OC. 2、下列结论正确的是（）A.若 AB=0,则 A=0 或 B=0. C.两个同阶对角矩阵是可交换的. 3、下列结论错误的是（）A. n+1个n 维向量一定线性相关. C. n 个n 维列向量/。

D. n n4,/>/?B. D. B. ）成立。

D. r< n若 AB=AC,则 B 二C AB 二 BA n 个n+1维向量一定线性相关一,%线性相关,则同％…= 0 若同％…%| =。

则。

a x a 2 a ya\a2 %4、若 A b? b 3=m ,则2bl 2b 2 2b3=( )G 5 c 33cj 3c2 3c35、设 A, B, C 均为 n 阶方阵,AB=BA, AC=CA,则 ABC=( )6、二次型/（占,々/3）= *：+工；+4事工2-2々工的秩为（ ）A 、0 B. 1C 、2D 、37、若A 、B 为，邛介方阵，下列说法正确的是（）A 、若A,B 都是可逆的，则A+B 是可逆的 B 、若A, B 都是可逆的，则A8是可逆的C 、若A+B 是可逆的，则A-B 是可逆的D 、若A+B 是可逆的，则A, B 都是可逆的A. 6mB. -6mC. 2333m D. -2333/n[3 4J4 一2、f-4 31 （-4 2 ] （ 4 一3、Ax B% C、I D、1-3 1 ）U -1J 13 -1J 1-2 1 J11、设片,外是非齐次线性方程组AX = A的两个解，则下列向量中仍为方程组4X = 77解的是（）A、月+旦B、4-色C,汽& D、吟也12、向量组囚,。