勾股定理 垂径定理 分类讨论(20140929)

21OC垂径定理一、 圆的对称性圆是轴对称图形，对称轴是 二、 如图是一个圆形纸片把该纸片沿直径AB 折叠，其中点A 和点是一组对称点（1）思考∵OC=OD,∴ΔOCE ≌ΔODE, ∠OEC= ∠OED=∴AB 与CD 的位置关系是（2）又∵点C 和点D 是一组对称点∴CE= 即点E 是CD 的中点（3）根据折叠可得，弧AC=弧AD, 弧BC=弧BD, 结论：垂径定理及其推论1、垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两段弧2、推论：平分弦（不是直径）的直径 并且 弦所对的两条弧 三、规律总结;垂径定理及其推论与“知二得三” 对于一个圆和一条直线，若具备：（1） 过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以退出其他三个结论四、 垂径定理基本图形的四变量、两关系四变量：弦长a,圆心到弦的距离d,半径r ，弓形高h ，这四个量知道任意两个可求其他两个。

五、垂径定理及其推论的应用（一）、选择题：1、已知圆内一条弦与直径相交成300角，且分直径成1CM 和5CM 两部分，则这条弦的弦心距是： A 、 B 、1 C 、2 D 、252、AB 、CD 是⊙O 内两条互相垂直的弦，相交于圆内P 点，圆的半径为5，两条弦的长均为8，则OP 的长为： A 、3B 、3C 、3D 、23、⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ） A ．3B ．5C ．23D ．254、如图2，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5 B ．4 C ．3 D ．25、高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ）A ．5B ．7C ．375 D ．3776、如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ）A ．6.5米B ．9米C ．13米D ．15米7、如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AB 是直径．若80BOC ∠=°，则A ∠等于（ ） A ．60° B ．50° C ．40° D ．30°8、如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米二、填空题：9、若⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，则圆心O 到AB 的距离是_____。

垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理及其推论； 1. 注意：（1）垂径定理及其推论是指：一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制），条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；2. 有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角， 一、选择题1. 已知⊙O 的半径是5cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝6cm ，CD ＝8cm ，则AB 与CD 的距离是（ ） （A ）1 cm （B ）7 cm （C ）1 cm 或7 cm （D ）无法判断2. 如右图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果BA=10，CD=8，那么BE 的长为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 53. 过⊙O 内一点M 的最长的弦长为10cm ，最短的弦长为8cm ，那么OM 的长为（ ）A. 3cmB. 6cmC. 41cmD. 9cm4. 已知⊙O 的半径为2cm,弦AB 长为32cm,则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为 ( )A 1B 2C 3D 45. 如图,在以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C 和D 两点,AB=10cm,CD=6cm,则AC 长为 ( ) A 0.5cm B 1cm C 1.5cm D 2cm 6. 一种花边是由右边的弓形组成的，的半径为5，弦AB=8，则弓形的高CD 为（ ）A. 2B. 25C. 3D. 3167. 下列说法中，正确的是（ ）A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内B. 圆的半径垂直于圆的切线C. 圆周角等于圆心角的一半D. 等弧所对的圆心角相等 8. 已知弓形弦长为4，弓形高为1，则该弓形所在圆的半径为（ ）A ．3B ．25C ．3D ．4DC A BOOABCDE9. 如右图，AB 是所对的弦，AB 的中垂线CD 分别交于C ，交AB 于D ，AD 的中垂线EF 分别交于E ，交AB 于F ，DB 的中垂线GH 分别交于G ，交AB 于H ，下面结论不正确的是（ ） A. B. C. EF=GH D.10. 如图，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过P 点的直径，则下列结论中不正确的是（ ）A. AB ⊥CDB. ∠AOB=4∠ACDC.D. PO=PD11. 如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB 为8cm ，P 是弦AB 上一点，若OP 的长为整数，则满足条件的点P 有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个12. 如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ）A. (45)+ cmB. 9 cmC. 45cmD. 62cm13. 如图，等腰梯形ABCD 内接于半圆D ，且AB = 1，BC = 2，则OA =（ ）．A ．231+ B ．2 C ．323+ D ．251+14. 如图所示，在圆⊙O 内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，则BC 的长为（ ）A ．19B ．16C ．18D ．20OP AB C BA O DO A B DPC二、填空题15. 如图1，在⊙O 中，若MN ⊥AB ，MN 为直径，则______，______，______．16. 如图，已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB=10cm ，PB=4cm ，OP=5cm ，则⊙O 的半径等于___________cm.O PAB17. 两个同心圆的直径分别为5cm 和3cm ，则圆环部分的宽度为______cm ．18. 在半径为10cm 的⊙O 中，一条半径的垂直平分线交⊙O 于C 、D 两点，则CD=________cm 。

垂径定理。

垂径定理（也称勾股定理）是数学中非常重要的一条定理。

它被广泛地应用于三角学和其他分支领域。

本文将介绍垂径定理的定义、证明和应用。

一、定义垂径定理是指在一个直角三角形中，斜边平方等于直角邻边上的两条线段长度的平方和。

即：斜边²=直角边²+直角边²。

二、证明垂径定理的证明不止一种方法，以下将介绍其中的一种方法。

在图形中，我们将设直角边a和b，斜边c为假设成立。

因此，我们需要证明平方等式a²+b²=c²成立。

1. 我们可以通过相似三角形证明这一定理。

首先，我们在直角三角形ABC中，构造一条高线AD和一条BD垂直于CD。

这样就可以得到两个小三角形ACD和BCD。

2. 由于角D是直角，因此小三角形ACD和BCD是相似的。

3. 角A和角B是共同的直角的对边角，因此它们相等。

4. 角ACD和角BCD是垂直的，因此它们是互补的。

5. 根据相似三角形定理，我们可以将长度AC和BD表示为CD的比例。

具体来说，我们有：AC/CD = CD/BD6. 上述等式可以整理为：AC² = CD² × （BCD/BCD+ACD）BD² = CD² × （ACD/BCD+ACD）7. 将上述两式相加，得到：AC² + BD² = CD²8. 根据勾股定理，这是一个正确的等式。

因此，我们得到了垂径定理的证明。

三、应用垂径定理被广泛地应用于三角学和其他分支领域。

以下是一些应用：1. 在数学中，垂径定理是解决三角形中任意一个角度和边长的重要工具。

例如，你可以使用该定理来确定三角形中的角度或确定其他边长等。

2. 如果你经常涉及到图形设计或从事建筑或工程设计，那么垂径定理也将是重要的工具。

例如，您可能需要使用该定理来更好地计算墙体或其他结构的角度、长度或高度。

3. 垂径定理还可以帮助您计算跨越河流或其他障碍物的桥梁或电线杆的高度。

“垂径定理”与解题思路分析垂径定理及其推论是“圆”一章最先出现的重要定理，它是证明圆内线段、弧、角相等关系及直线垂直关系的重要依据，也是学好本章的基础，在学习中要注意以下几点：一.圆的辆对称是垂径定理的理论基础同学们在小学就已经知道了把圆沿着它的任意一条直径对折，直径两边的两个半圆就会重合在一起。

因此，课本首先通过一张圆形纸片沿着一条直径对折，直径两侧的两个半圆能重合这一事实，指出圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，然后利用这一性质给出了垂径定理，并利用圆的对称性证明。

所以，圆的轴对称性是垂径定理的理论基础。

二.垂径定理及其推论的题设与结论之间的内在联系在垂径定理(推论)中，一是隐含着一条直线；二是该直线具有以下性质：(1)经过圆心，(2)垂直于弦，(3)平分这条弦，(4)平分这条弦所对的劣弧，(5)平分这条弦所对的优弧。

垂径定理可以简记为：由于垂径定理本身的结论有多个，因此在构造逆命题时也会有多个，这就需要掌握构造逆命题的技巧。

例如：以(1)、(3)为条件的逆命题为：如果过圆心的一条直线平分该圆内的一条弦(不是直径)，那么这条直线垂直于弦，且平分弦所对的弧。

类似地，同学们一定会分别写出以(1)和(4)、(1)和(5)、(2)和(3)、(2)和(4)、(2)和(5)、(3)和(4)、(3)和(5)、(4)和(5)为条件的逆命题。

由于一条直线如果具备上述五条性质中的任何两条时，这条直线唯一确定，所以，上述九个逆命题都是真命题，它们都是垂径定理的推论。

垂径定理连同推论在内共十条定理。

对于这十条定理，同学们切不可死记硬背，关键要抓住它们的特点，即一条直线具有上面所说的五条性质中的任何两性质，就有其余三条性质(具有性质(1)、(3)时，所说的弦不是直径，这是因为如果这里的弦是直径的话，两条直径总是互相平分的，但它们未必垂直)。

三.灵活应用垂径定理及其推论解题垂径定理及其推论，主要应用于研究直径与同圆中的弦、弧之间的垂直平分关系，其内容虽然简单，但要能灵活应用却非易事。

垂径定理中的分类思想河北张家口市第十九中学贺峰善于全面的看问题，想问题，不但可以培养同学们思维的缜密性，同时也可以培养同学们解题的严谨性。

在数学上，有许多问题由于某些数量的不确定性、图形的形状或位置的不确定性等导致问题结论的不确定，此时就需要我们借助分类讨论的思想加以分析、解决，以保证问题结论完整性、确定性。

在学习垂径定理时，有时会遇到多种情况，稍不留神就会丢解或遭成错解，这就需要我们利用分类讨论的思想对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解。

为帮助同学们解决这类问题，现将垂径定理中所出现的分类问题为同学们分类浅析：一、按点和对称轴的相对位置分类例1如图1，已知⊙O的直径为14cm，弦AB=10 cm，弦AB⊥CD于E，点P为AB上一点，若OP=5cm，则AP的长为______。

析解：由图可知，在弦AB上符合重要条件的点有两个，所以我们必须1分别解之，当点P 位于E左侧时，连结OA，由垂径定理得，AE==5cm，2又因为OA=7cm，由勾股定理得OE=26，又OP=5cm，所以Rt△OEP图1中，由勾股定理得EP=1cm，所以AP=AE-EP=5-1=4cm，所以当点P位于E右侧时，AP=AC+CP=5+1=6cm，因此本题答案为4cm或6cm.二、按圆心与弦的相对位置分类例2已知⊙O的半径为5，AB为直径，CD为弦，CD⊥AB，垂足为E，若CD＝8，则AE的长为______．析解：此题未给出图形，因此正确画出图形是解题的前提，根据题意画出图形，如图2，由于题中并没有指定弦的具体位置，因此须根据圆心与弦的相对位置进行分类，当O位于弦CD右侧时，连接OC，因为CD⊥AB，所以EC＝DE＝4．在Rt△OCE中，由勾股定理，得OE=OC-CE=3．所以AE＝AO-OE＝5-3=2; 当O位于弦CD左侧时，AE＝AO+OE＝5+3=8，因此本题答案为2或8.三、按平行弦与圆心的相对位置分类例6在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝6cm，弦CD＝8cm，且AB∥CD，求AB与CD之间的距离。

专题02 垂径定理及其应用圆的对称性圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。

垂径定理⎩⎨⎧平分弦所对的两条弧。

）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径垂径定理包含两个条件和三个结论，即条件⇒⎩⎨⎧）直线和弦垂直，（）直线过圆心，（21结论⎪⎩⎪⎨⎧弧。

）直线平分弦所对的优（弧，）直线平分弦所对的劣（）直线平分弦，（543符号语言：⎩⎨⎧⊥AB CD O ,O ，的弦，为圆的直径是圆AB CD ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒BD AD BC AC BE AE 推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。

推论2：平行的两弦之间所夹的两弧相等。

相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ）。

应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造Rt △OAE ）。

圆的对称性以及垂径定理例题讲解一、概念考察【例1】下面四个命题中正确的一个是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心【答案】D【解析】平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，A说法错误过圆心且平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦，B错误弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，C错误【例2】下列命题中，正确的是（ ）．　A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧　B．过弦的中点的直线必过圆心　C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心　D．弦的垂线平分弦所对的弧【答案】C【解析】A、B都未指出这条直线应该为垂线，所以AB都错误D未说明过弦的中点，所以错误【例3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，那么以下结论正确的选项是〔 〕A、AE=BEB、=C、△BOC是等边三角形D、四边形ODBC是菱形【答案】B【解析】∵AB⊥CD，AB过O，∴DE=CE，=，(垂径定理）不能推出DE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．【例4】如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）A．AD＝BD B．OC＝2CD C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB【答案】B【解析】OC＝2CD．理由如下：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD＝DB，∵OC＝2CD，∴AD＝BD，DO＝CD，AB⊥CO，∴四边形OACB为菱形．【例5】下列命题：（1）垂直于弦的直线平分弦；（2）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦的直线必过圆心；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。

第07讲垂径定理（核心考点讲与练）【知识梳理】一．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．二．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【核心考点精讲】一．垂径定理（共5小题）1．（2022•拱墅区一模）已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（）A．4B．4C．6D．62．（2016秋•北仑区期末）⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝6，EB＝2，∠CEA＝30°，则弦CD的长为（）A．8B．4C．2D．23．（2022春•长兴县月考）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB＝10，BE＝2，则OF的长度是（）A．B．3C．D．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．B．C．D．5．（2021秋•北仑区校级期中）如图，⊙•O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（）A．B．C．2﹣D．﹣1二．垂径定理的应用（共4小题）6．（2021秋•鹿城区校级期中）如图是一个小圆同学设计的一个鱼缸截面图，弓形ACB是由优弧AB与弦AB组成，AC是鱼缸的玻璃隔断，弓形AC部分不注水，已知CD⊥AB，且圆心O在CD上，AB＝CD＝80cm．注水时，当水面恰好经过圆心时，则水面宽EF为cm；注水过程中，求水面宽度EF的最大值为cm．7．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米8．（2021秋•温岭市期末）把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是cm．9．（2021秋•诸暨市期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝12，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022春•市中区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，OC＝5，则弦AB的长为（）A．5B．10C．5D．102．（2021秋•温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知OC＝5，OD＝4，则弦AB的长为（）A．3B．4C．5D．63．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（）A．2B．4C．4D．84．（2021秋•嵊州市期末）如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，连结AD．若CD＝8，BM＝2，则AD的长为（）A．10B．5C．4D．35．（2021秋•东阳市期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm．A．1B．3C．3或4D．1或7 6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（）A．3cm B．cm C．cm D．cm 7．（2021秋•拱墅区期中）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则DE的长为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共8小题）8．（2021秋•余姚市期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为米．9．（2021秋•瑞安市期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝3，则AE长为．10．（2021秋•拱墅区期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD＝4cm．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了cm（结果保留根号）．11．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为米．12．（2022•瑞安市开学）如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝．13．（2021秋•镇海区期末）⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为cm．14．（2020•金华模拟）如图，依据九上教材中的丁字尺，小明开始自制丁字尺：F、A、D、E在同一直线上，AF⊥AB，AB∥CD，AF＝4cm，AD＝DE＝2cm．（1）现有一圆经过F、E，弧EF为劣弧，且与AB交于G，如果测得AG的长为10cm，那么圆的半径为；（2）小明在DC上制作单位刻度时不小心把尺子割断了，只余DM＝1cm，此时只运用这把残破的丁字尺的已知数据（一条线段不能分段测量且不能作延长线），能计算或测量（不计误差）得到的最大半径是．15．（2022•海曙区一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P 的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为；作弦DE∥AB，CH ⊥DE于H，则CH的最大值为．三．解答题（共5小题）16．（2021秋•西湖区校级月考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CE＝8，DE＝2，求AB的长．17．（2021•柯桥区模拟）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝2．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的周长．18．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB 的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．19．（2021秋•下城区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM 为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．20．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD 交AC于点E，AD＝CD．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．。

微专题 垂径定理与勾股定理【方法技巧】利用垂径定理构造直角三角形，再运用勾股定理进行计算．一、利用三合一构造垂直1．如图，⊙O 过B 、C ，圆心0在等腰直角△ABC 的内部，AB ＝AC ，OA ＝1，BC ＝6，求⊙O 的半径长．2．如图，AB 是⊙O 的直径，D 为AC 的中点，DE ⊥AB 于E ，交AC 于F ，AC 、BD 交于G. (1)求证：AC ＝2DE ； (2)求证：AF ＝DF ；(3)求证：OF ∥BD ；(4)若⊙O 的直径为10，AC ＝8，求AF 的长．解：(1)延长DE 交⊙O 于M ，则AM AD CD ==，∴DM AC =，∴AC ＝DM ＝2DE . (2)∵AM CD =，∴∠ADF ＝∠DAF ，∴AF ＝DF .(3)∵∠ADG ＝900，AF ＝DF ，∴.AF ＝FG ，∵OA ＝OB ，∴OF ∥BG. (4)连OD 交AC 于N ，则OD ⊥AC ，AN ＝CN ，∴ON ＝12BC ＝12×6＝3，易证△AON ≌△DOE ，∴OE ＝ON ＝3，∴AE ＝2，易证DE ＝12AC ＝4，设AF ＝DF ＝x ，则EF ＝4－x ，在△AEF 中，x 2＝(4－x)2＋22，∴5x=2，∴AF ＝52.3．如图，△DBC 内接于⊙O ，DB=DC ，⌒AB =⌒CB ，DB 交AC 于E. （1）求证：BC=EC ；（2）若BC=4，AC=6，求BE 的长及⊙O 的半径长.解：（1）证明：∵⌒AB =⌒CB ，∴∠ACB=∠BDC ，∵∠BEC=∠BDC+∠ACD ，∠DBC=∠DCB=∠ACB+∠ACD ，∴∠BEC=∠DBC ，∴BC=EC ；（2）①连接OB 交AC 于F ，OB ⊥AC ，∴AF=CF=3∵BC=CE=4，∴EF=1. 在Rt △BFC 中，由勾股定理得：722==CF BC BF ,2222=+=EF BF BE .②连接OC,设⊙O 的半径为R ，则OF=OB-BF=R-7,在Rt △OFC 中有：2223)7(+=R R∴778=R . 小结：利用⌒AB =⌒CB 构建OB ⊥AC 是解题的关键.4．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB=AC ，点P 是⌒AB 的中点，连接PA ，BC=48，⊙O 的半径为25.（1）求AB 的长； （2）求PA 的长.解：（1）连接AO 并延长交BC 于M ，连接OB ，易证AM ⊥BC ，∵OB=25，∴BM=CM=24， ∴722==BM O B O M ，∴AM=OA+OM=32，∴4022=+=BM AM AB ；（2）连接OP ，交AB 于N ，证OP ⊥AB ，∴AN=BN=20，∴1522==AN O A O N ，∴PN=OP-ON=10，∴51022=+=P N AN P A .小结：利用⌒AB =⌒AC 构建AM ⊥BC ，利用⌒PA =⌒PB 构建OP ⊥AB 是解题的关键。

勾股定理详解哎呀，说起勾股定理，这可是个老朋友了。

记得我上初中那会儿，数学老师一提这个定理，我就觉得头大。

不过，现在回头看看，其实勾股定理挺有意思的，它就像是数学世界里的一个老大哥，简单又实用。

勾股定理，说白了，就是直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

用数学公式表示就是：a² + b² = c²。

这里的a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。

让我给你举个栗子，咱们来聊聊这个定理是怎么来的。

想象一下，你有个朋友，他有一块正方形的地，这块地的边长是a+b。

然后他决定在这块地的一角建一个直角三角形的花园，这个花园的两条直角边分别是a和b，斜边是c。

他想知道这个花园占了多少地，这时候勾股定理就派上用场了。

你的朋友可以先计算出整个正方形的面积，也就是(a+b)²。

然后，他需要减去三角形外面的两个小正方形的面积，这两个小正方形的边长分别是a和b，所以面积分别是a²和b²。

这样，剩下的面积就是那个直角三角形花园的面积了，也就是c²。

所以你看，a² + b² =c²，这就是勾股定理的直观解释。

说到勾股定理的应用，那可真是太多了。

比如，你站在楼顶上，想量量对面楼的高度，但是你又不想跑过去，这时候勾股定理就能帮你大忙。

你只需要量量你到对面楼的距离，再量量你所在的楼顶到地面的高度，然后一算，对面楼的高度就出来了。

还有，比如你要装修房子，想在墙上挂个画，但是又怕挂歪了，这时候勾股定理也能帮到你。

你只需要量量画的宽度和高度，然后根据勾股定理，就能算出画的对角线长度，这样挂画的时候就不怕挂歪了。

总之，勾股定理就像是数学里的瑞士军刀，看似简单，实则用途广泛。

它不仅仅是一个定理，更是我们日常生活中的一个好帮手。

下次你再遇到需要量距离、算面积的时候，不妨想想这个老大哥，说不定它就能帮你大忙呢。