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第十八章平行四边形18.1.1 平行四边形的性质第1课时平行四边形的边、角特征学习目标：1.掌握平行四边形的对边相等、对角相等的两条性质；2.根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明；3.经历“实验—猜想—验证—证明”的过程,发展学生的思维水平.重点：掌握平行四边形的对边相等、对角相等的两条性质.难点：根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明.一、知识回顾1.平行四边形的定义是什么？如何表示一个平行四边形？2.如图，DC∥GH ∥AB，DA∥EF∥CB，图中的平行四边形有多少个？将它们表示出来.一、要点探究探究点1：平行四边形的边、角的特征量一量1.画一个平行四边形ABCD，用尺子等工具度量它的四条边，并记录下数据，你能发现AB与DC，AD与BC之间的数量关系吗?2.再用量角器等工具度量它的四个角，并记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与∠D之间的数量关系吗? 思考你发现了什么规律？证一证已知：四边形ABCD是平行四边形.求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.证明：如图，连接AC.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD___BC，AB___CD,∴∠1___∠2，∠3___∠4.又∵AC是△ABC和△CDA的公共边，∴△ABC____△CDA,∴AD___BC，AB___CD，∠ABC___∠ADC.∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3，∴∠BAD___∠BCD.思考不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？要点归纳：平行四边形的对边____________；平行四边形的对角___________．例1如图，在平行四边形ABCD中.(1)若∠A =32°,求其余三个角的度数.(2)连接AC，已知平行四边形ABCD的周长等于20 cm，AC=7cm，求△ABC的周长.变式题(1)在平行四边形ABCD中,∠A:∠B=2:3,求各角的度数.(2)若平行四边形ABCD的周长为28cm,AB:BC=3:4,求各边的长度.方法总结:已知平行四边形的边角的比例关系求其他边角时，会用到方程思想，结合平行四边形的性质列方程. 例2如图，在平行四边形ABCD中,E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF，求证：BE=DF.针对训练1.如图，在平行四边形ABCD中.(1)若∠A=130°，则∠B=______ ，∠C=______ ，∠D=______.(2)若AB=3,BC=5,则它的周长= ______.(3)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=_____，∠B=______.2.如图，在平行四边形ABCD中，若AE平分∠DAB，AB=5cm,AD＝9cm,则EC＝_________.3.剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？探究点2：平行线间的距离想一想:如图,若m // n,作AB // CD // EF，分别交m于A、C、E，交n于B、D、F.由________________________易知四边形ABCD，CDEF均为__________________.由平行四边形的性质得AB______CD_______EF.填一填:如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E，F．求证：DE=BF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A_____∠C，AD______CB.又∠AED= ∠CFB=90°，∴△ADE____△CBF（_____）,∴AE_____CF.要点归纳：1.两条平行线之间的任何平行线段都__________.2.两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的_________.两条平行线间的距离__________.典例精析AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，S△ABC=12cm2，求△ABD中AB边上的高．二、课堂小结平行四边形内容定义两组对边分别平行的四边形性质1.两组对边分别平行，相等2.两组对角分别相等，邻角互补其它结论1.两条平行线间的距离相等2.两条平行线间的平行线段也相等(1)四平行四边形两组对边分别平行且相等 ( )(2)平行四边形的四个内角都相等 ( )(3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180° ( )(4)如果平行四边形相邻两边长分别是2cm和3cm，那么周长是10cm ( )(5)在平行四边形ABCD中，如果∠A=42°，那么∠B=48° ( )(6)在平行四边形ABCD中，如果∠A=35°，那么∠C=145°( )2.在平行四边形ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（）A .45° B. 55° C. 65° D. 753.如图，D、E、F 分别在△ABC的边AB、BC、AC上，且DE∥AC,DF∥BC,EF∥AB，则图中有_____个平行四边形.4.如图，直线AE//BD,点C在BD上,若AE=5，BD=8,△ABD的面积为16,则△ACE的面积为____________.5.已知在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC,BF平分∠ABC.求证:AE=CF.6.有一块形状如图所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°且AE∥BC、AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？7.如图，在△ABC中,AD平分∠BAC,点M,E,F分别是AB,AD,AC上的点,四边形BEFM是平行四边形.求证：AF=BM.当堂检测第2题图第3题图第4题图第2课时平行四边形的对角线的特征学习目标：1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质；2.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想，体会图形性质探究的一般思路. 重点：掌握平行四边形对角线互相平分的性质.难点：经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想，体会图形性质探究的一般思路.一、知识回顾1.你能说出平行四边形边、角的特征吗？平行四边形对边互相___________;平行四边形对边__________;平行四边形对角__________.二、要点探究探究点1：平行四边形的对角线的性质猜一猜如图，在□ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于点O. OA与OC,OB与OD有什么关系?证一证已知：如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.求证：OA=OC，OB=OD.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AD___BC，AD___BC,∴∠1___∠2，∠3___∠4,∴△AOD___△COB（______）,∴ OA____OC，OB____OD.要点归纳：平行四边形的性质:平行四边形的对角线互相_________.应用格式：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD.典例精析ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．方法总结:平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．变式题如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，平行四边形ABCD的周长是100cm，△AOB与△BOC的周长的和是122cm，且AC:DB= 2:1，求AC和BD的长．例2如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O.点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF. 变式题请判断下列图中，OE=OF还成立么？方法总结:过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等.针对训练1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AD=16，AC=24，BD=12，则△OBC的周长为（）A.26B.34C.40D.522.如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，则对角线AC、BD的长度的和是（）A.9B.18C.27D.363.如图,平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．典例精析ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，求平行四边形ABCD的面积.第1题图第2题图方法总结:已知平行四边形的高DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形性质列方程求解.例4平行四边形的对角线分平行四边形ABCD为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？方法总结：平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.例5变式题如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？方法总结：过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.针对训练1.把一个平行四边形分成3个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是9cm2和12cm2，求平行四边形的面积．2.如图，欢欢看到平行四边形的草地中间有一水井，为了浇水的方便，欢欢建议我们经过水井修小路，一样可以把草地分成面积相等的两部分，同学们，你知道聪明的欢欢是怎么分的吗？（）A. 10B. 14C. 20D. 222.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A．∠ABO=∠CDO B．∠BAD=∠BCDC．AO=CO D．AC⊥BD3.在□ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m, 则m的取值范围是 ( )A. 24<m<39B.14<m<62C.7<m<31D.7<m<124.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（）A.16B.14C.12D.105.如图，平行四边形ABCD的面积为20，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，CD上的点，且AE=D F，则图中阴影部分的面积为_______．6.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，则BD的长是_______.当堂检测平行四边形对角线的性质平行四边形对角线互相平分过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.且与对角线围成的三角形相对的两个全等.两条对角线分平行四边形为面积相等的四个三角形过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等.第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图第6题图7.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD，交BC于点E.若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长是多少？能力提升8.如图，已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，AC=24，BD=18，AB=16,求△OCD的周长及AD边的取值范围．第1课时平行四边形的判定（1）学习目标：1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路；2.掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证.重点：经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路.难点：掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证.一、知识回顾1.平行四边形的定义是什么？有什么作用？2.除了两组对边分别平行，平行四边形还有哪些性质？3.平行四边形上面的三条性质的逆命题各是什么？三、要点探究探究点1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形猜一猜将两长两短的四根细木条用小钉固定在一起,任意拉动，所得的四边形是平行四边形吗?证一证已知：四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.求证：四边形ABCD是平行四边形.课堂探究证明：连接AC，在△ABC和△CDA中,AB=CD ，AC=CA，∴△ABC_____△CDA(________).BC=DA，∴∠1____∠4 , ∠ 2_____∠3，∴AB_____CD , AD_____BC，∴四边形ABCD是________________.要点归纳：平行四边形的判定定理：两组对边分别_________的四边形是平行四边形.几何语言描述：在四边形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是_________________.典例精析例1如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：四边形PONM是平行四边形．例2如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．针对训练AC,BC⊥AC,且AB=CD,求证：四边形ABCD是平行四边形.探究点2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形猜一猜对于两组对角分别相等的四边形的形状你的猜想是什么?证一证已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵∠A+∠C+∠B+∠D=_______°，又∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴___∠A+___∠B=_______°，即∠A+∠B=______°，要点归纳：平行四边形的判定定理：两组对角分别________的四边形是平行四边形.几何语言描述：在四边形ABCD中，∵∠A=______，∠B=______,∴四边形ABCD是_______________.典例精析例3 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.(1)求∠D的度数；(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．针对训练1.判断下列四边形是否为平行四边形：2.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件：∠A:∠B:∠C:∠D的值为（）A. 1:2:3:4B. 1:4:2:3C. 1:2:2:1D. 3:2:3:2猜一猜如图,将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD.转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？证一证已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：在△AOB和△COD中,OA=OC，∠AOB=∠COD，∴△AOB______△COD(________).OB=OD，∴∠BAO_____∠OCD , ∠ ABO_____∠CDO,∴AB_____CD , AD_____BC，∴四边形ABCD是________________.要点归纳：平行四边形的判定定理：对角线互相________的四边形是平行四边形.几何语言描述：在四边形ABCD中，∵AO_____CO,DO_____BO,∴四边形ABCD是______________.典例精析例4(教材P46例3变式题)如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，四边形BMDN 是平行四边形吗？说说你的理由.例5昨天李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,他想回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来?然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢(A,B,C为三顶点,即找出第四个顶点D)？(请用多种方法)针对训练1.根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是（）A.两组对边分别相等B.两条对角线互相平分C.两条对角线相等D.两组对边分别平行2.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O.如果AC=8cm,BD=10cm,那么当AO=_____cm,BO=_____cm 时，四边形ABCD是平行四边形.二、课堂小结内容平行四边形的判定（1）定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.对角线互相平分的四边形是平行四边形.1.判断对错:(1)有一组对边平行的四边形是平行四边形. ( )(2)有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形( )(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形（）(4)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形( )(5)有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形( ）2.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（）A．OA=OC，OB=OD B．AB=CD，AO=COC．AB=CD，AD=BC D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD3.如图，在四边形ABCD中，(1)如果AB∥CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是 __________.(2)如果∠A：∠B：∠ C：∠D=a：b：a：b(a,b为正数),那么四边形ABCD是__________.(3)如果AD=6cm,AB=4cm,那么当BC=_______cm,CD=_____cm时,四边形ABCD为平行四边形.4.如图，五边形ABCDE是正五边形，连接BD、CE，交于点P．求证：四边形ABPE是平行四边形．5.如图，已知E，F，G，H分别是平行四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．当堂检测第2题图第3题图6.如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：(1)△AOC≌△BOD；(2)四边形AFBE是平行四边形．7.学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？第2课时平行四边形的判定（2）学习目标：1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.2.会进行平行四边形的性质与判定的综合运用.重点：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.难点：平行四边形的性质与判定的综合运用.一、知识回顾1.上节课我们学习了判定一个四边形为平行四边形的方法有哪几种？四、要点探究探究点1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形想一想我们知道，两组对分别平行或相等的是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？对于这个问题，有以下两种猜想：猜想1：一组对边相等的四边形是平行四边形；猜想2：一组对边平行的四边形是平行四边形.这两种猜想对吗？如果不对，你能举出反例吗？活动如图，将线段AB向右平移BC长度后得到线段CD，连接AD，BC，由此你能猜想四边形ABCD的形状吗？猜一猜经历了上面的活动，你现在能猜出，一组对边满足什么条件的四边形是平行四边形吗？一组对边平__________________的四边形是平行四边形.证一证如图，在四边形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，求证：四边形ABCD是平行四边形.∵AB∥CD，∴∠1=∠2.在△ABC和△CDA中,AB=CD，∠1=∠2，∴△ABC_____△CDA(________).AC=CA，∴ BC=DA.又∵AB= CD,∴四边形ABCD是________________.要点归纳：平行四边形的判定定理：一组对边________________的四边形是平行四边形.几何语言描述：在四边形ABCD中，∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.典例精析例1如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边形．变式题如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）求证：四边形CBED是平行四边形.针对训练1.已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，BC=AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的选法是（）A．AB∥CD，AB=CDB．AB∥CD，BC∥ADC．AB∥CD，BC=ADD．AB=CD，BC=AD2.四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD 是平行四边形.探究点2：平行四边形的性质与判定的综合运用典例精析例2 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE相等吗？为什么？例3如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．求证：四边形BCED′是平行四边形.方法总结:此题利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，再结合平行四边形的判定及性质进行解题.针对训练1.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )A．3种B．4种C．5种D．6种2.如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，写出图中除▱ABCD以外的所有的平行四边形.二、课堂小结平行四边形的判定(2)平行四边形的性质与判定的综合运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.个条件不可以是（）A．AF=CE B．AE=CFC．∠BAE=∠FCD D．∠BEA=∠FCE2.已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，周长为40cm，两邻边的比是3：2，则较大边的长度是（）A．8cm B．10cmC．12cm D．14cm3.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形的个数共有____个.4.如图，点E，C在线段BF上，BE=CF，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，求证：四边形ABED为平行四边形．5.如图，△ABC中，AB=AC=10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE +DF的值．能力提升6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D 点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s)．（1）用含t的代数式表示：AP=_____；DP=________；BQ=________；CQ=________；（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？当堂检测第1题图第3题图第3课时三角形的中位线学习目标：1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理；2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.重点：理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.难点：能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.一、知识回顾1.平行四边形的性质和判定有哪些？边：①AB∥CD,AD____BC②AB=CD,AD____BC平行四边形ABCD ③AB∥CD,AB_____CD角：∠BAD____∠BCD，∠ABC____∠ADC对角线：AO____CO,DO____BO五、要点探究探究点1：三角形的中位线定理概念学习三角形中位线：连接三角形两边中点的线段.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE. 则线段DE就称为△ABC的中位线.想一想 1.一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？2.三角形的中位线与中线有什么区别？猜一猜如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的位置关系，又有怎样的数量关系？猜想：三角形的中位线________三角形的第三边且________第三边的________．量一量度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？证一证如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点.1.2DE BC DE BC求证：∥，性质判定分析：证法1：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接AF 、CF 、DC ． ∵AE=EC ，DE=EF ，∴四边形ADCF 是_______________． ∴CF ∥AD ,CF=AD ，∴CF_____BD ,CF_____BD ，∴四边形BCFD 是________________， ∴DF_____BC ,DF_______BC ，12DE DF =又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC. 证法2：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接FC ．∵∠AED=∠CEF ，AE=CE ， ∴△ADE_____△CFE ．∴∠ADE=∠_____,AD=_______, ∴CF______AD,∴BD______CF.∴四边形BCFD 是___________________. ∴DF_______BC.12DE DF =又∵，∴DE_____BC ,DE=______BC.要点归纳：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 符号语言：△ABC 中，若D 、E 分别是边AB 、AC 的中点， 12=.DE BC DE BC 则，重要结论：①中位线DE 、EF 、DF 把△ABC 分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE 和BDEF ，四边形BFED 和CFDE ，四边形ADFE 和DFCE. ②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.典例精析ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 的中点，AF 平分∠CAB ，交DE 于点F.若DF ＝3，求AC 的长.倍长DE 至F DF 与AC 互相平分构造全等 三角形 角、边相等平行四边形线段相等、平行例2 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．例3 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD ＝2CE.方法总结：恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．针对训练1.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点．（1）若DE=5，则BC=________．（2）若∠B=65°，则∠ADE=_________°.（3）若DE+BC=12，则BC=_________.2.如图，A，BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离为______m．典例精析ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．方法总结:顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形第1题图第2题图EGFHB CDA变式题 如图，E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四边之中点．求证：四边形EFGH 为平行四边形.例5 如图，等边△ABC 的边长是2，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，延长BC 至点F ，使CF=12BC ，连接CD 和EF ．（1）求证：DE=CF ；（2）求EF 的长．针对训练1. 如图，在△ABC 中，AB=6，AC=10，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则四边形ADEF 的周长为( )A.8B.10C.12D.162.如图，▱ABCD 的周长为36，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，BD=12，求△DOE 的周长．二、课堂小结三角形的中位线定理的应用三角形的中位线定理 三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半 三角形的中位线1.如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．若EF的长为2，则BC的长为（）A.1B.2C.4D.82.A.2B.3C.4D.53.如图，点 D、E、F 分别是△ABC 的三边AB、BC、AC的中点.（1）若∠ADF=50°，则∠B=____________°；（2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8，则△ DEF的周长为_____________.4.在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是_____5. 如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=10cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，BD的延长线交AC于点F，E为BC 的中点，求DE的长．6.如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD 于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．当堂检测第1题图第2题图第3题图7.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．18.2.1 矩形第1课时矩形的性质学习目标：1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题；3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.重点：理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.难点：会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.一、知识回顾1.平行四边形是什么？它有哪些性质？2.你还记得长方形是什么吗？二、新知预习1.如图，现有一个活动的平行四边形，使它的一个内角变化，当内角变化为90°时，这是我们学过的哪个图形？2.自主学习：(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做_________，也就是长方形.(2)矩形是特殊的平行四边形，平行四边形_________是矩形.三、自学自测1.矩形是常见的图形，你能举出一些生活中的实例吗？2.矩形是特殊的平行四边形，你能根据平行四边形的性质，说出3条矩形的性质吗？六、要点探究探究点1：矩形的性质思考因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？活动准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四个角度数和对角线的长度,并记录测量结果.AC BD ∠BAD ∠ADC ∠ABC ∠BCD橡皮擦课本桌子猜想1 矩形的四个角都是_________.猜想2 矩形的对角线__________.证一证如图,四边形ABCD是矩形,∠B=90°.求证：∠B=∠C=∠D=∠A=90°.证明：∵四边形ABCD是矩形,∴∠B____∠D,∠C____∠A, AB____DC.∴∠B+∠C=_____°.又∵∠B = 90°,∴∠C =____°.∴∠B=∠C=∠D=∠A =_____°.如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相较于点O.求证：AC=DB.证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AB____DC,∠ABC=∠DCB=_____°,在△ABC和△DCB中,∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB,∴△ABC____△DCB.∴AC____DB.思考请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考. 矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?要点归纳：矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：1.矩形的四个角都是_______.矩形的对角线________.2.矩形是_________图形,它有_____条对称轴.几何语言描述：在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB.典例精析例1如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC.例2如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．针对训练ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（）A．AB∥DC B．AC=BDC．AC⊥BD D．OA=OB2.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的_________.3.如图，在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,∠DAE：∠BAE＝3：1,求∠BAE和∠EAO的度数．探究点2：直角三角形斜边上的中线的性质活动如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半.第1题图第2题图。
新人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形及其性质(一)》导学案教学目标知识与技能理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．过程与方法问题引入，合作探究情感态度价值观培养学生探究意识，促其勤奋学习。
教材分析重难点重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．教学设想教法先学后教导学法学法小组合作学习教具幻灯片课堂设计一．目标展示理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．二，预习检测1.由条线段首尾顺次连接组成的多边形叫四边形；四边形有条边，个角,四边形的内角和等于度；2.如图AB与BC叫边，AB与CD叫边；∠A与∠B叫角，∠D与∠B叫角;3多边形中不相邻顶点的连线叫对角线，如图四边形ABCD中对角线有条，它们是4.有两组对边的四边形叫平形四边形，平行四边形用“”表示，平行四边形ABCD记作。
5.如图□ABCD中，对边有组，分别是，对角有_____组，分别是_________________，对角线有______条，它们是___________________。
你能归纳ABCD的边、角各有什么关系吗？并证明你的结论。
如图，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少？个平行四边形的一个外角是38°，这个平行四边形的各个内角的度数分别是：（3） ABCD有一个内角等于40°，则另外三个内角分别为：（4）平行四边形的周长为50cm，两邻边之比为2：3，则两邻边分别为： 1.ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A.1：2：3：4B.3：4：4：3C.3：3：4：4D.3：4：3：42. ABCD 的周长为40cm，△ABC的周长为27cm,AC的长为（）A.13cmB.3 cmC.7 cmD.11.5cm。
18.1.1平行四边形性质（1）学习目标：1、理解平行四边形的定义，会画平行四边形.2、掌握平行四边形对边、对角相等的性质，会用它们解决简单的平行四边形的计算问题. 学习重点和难点重点：平行四边形性质的应用难点：平行四边形性质的推到过程一、预习内容1、探究平行四边形定义 (自主学习)1、阅读书本41页完成以下内容（1）的四边形是平行四边形.（2）平行四边形的数学符号是“”，平行四边形ABCD可以记作： .读作：(3) 对角：∠A和∠B和，对边：AB和 BC和，（4）几何语言∵∥ , ∥∴四边形ABCD是平行四边形反之∵四边形ABCD是平行四边形∴∥ , ∥归纳：：平行四边形定义既是判定也是性质二、数学概念探究平行四边形性质( 小组合作)ABDC1、根据平行四边形的定义,请画一个平行四边形. 观察你所画的平行四边形除了“两组对边分别平行”之外，它的边之间还有什么关系？角之间还有什么关系？度量一下，（记录下数据）和你的猜想一样吗？AB= BC= CD= AD=∠A= ∠B= ∠C= ∠D=2、猜想：（1）平行四边形的对边（2）平行四边形的对角3、拼一拼：用两个全等三角形能拼一个平行四边形？4、证一证：已知：如图ABCD，求证：AB=CD AD=BC ∠A=∠C ∠B=∠D归纳：有关平行四边形的问题常常可转化为三角形问题来处理. 思考：不添加辅助线，你能证明对角相等吗？5、结论：平行四边形性质定理：1)平行四边形2)平行四边形几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=____，AD=_____( )∠A=_____,∠B =____( ) 三、例题讲解（精讲）例1 如图，在平行四边形 ABCD中，DE⊥AB，DABDCABDCBF⊥CD，垂足分别为E、F.求证：AE=CF例题仿写1、已知： ABCD中，AE⊥BD， CF⊥BD，垂足为E、F ，求证：EB=DF四、总结反思1.说说你的收获；2.你还有什么问题？五、反馈练习（1）如图:在 ABCD中AB=30cm，BC=32cm,∠B=60°则∠A= ∠C= ∠D=_____AD= CD= 周长是_____.(2)如图:D、 E、F 在三角形边上, DE∥AC ,DF∥BC , EF∥AB问图中有哪几个EFDCBADEFCBAA BD CEF平行四边形?六、能力提升1、在平行四边形ABCD中，（1）已知AB=5,周长是16，BC= CD=_____. （2）已知∠A+∠C =140°, ∠A= ∠D=_____.2.如图, ABCD的周长是28cm,△ABC的周长是22cm,求AC的长.3、△ABC是等腰三角形，AB=AC, P是底边BC上一动点，PE∥AB，PF∥AC，点E，F分别在AC，AB上．求证：PE+PF=AB．ABDC七、 作业布置AB CEF P八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．证明：平行四边形对角线互相平分． 已知：四边形ABCD 是平行四边形，如图所示． 求证：AO CO =，BO DO =以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是 ①ABO CDO ∠=∠，BAC DCA ∠=∠．②四边形ABCD 是平行四边形．③AB CD ∴∥，AB DC =．④AOB COD ∆≅∆．⑤OA OC ∴=，OB OD =（ ）A ．②①③④⑤B ．②③⑤①④C ．②③①④⑤D ．③②①④⑤【答案】C【解析】利用平行四边形的性质证三角形全等，进而得出对应边相等，由此即可明确证明顺序. 【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形AB CD ∴∥，AB DC =ABO CDO ∴∠=∠，BAC DCA ∠=∠ AOB COD ∴∆≅∆OA OC ∴=，OB OD =所以正确的顺序应为②③①④⑤ 故答案为：C【点睛】本题考查了平行四边形对角线互相平分的证明，明确证明思路是解题的关键.2．如图所示的两个三角形全等，则1∠的度数是( )A．50︒B．72︒C．58︒D．82︒【答案】A【分析】根据全等三角形对应角相等解答即可．【详解】解：在△ABC中，∠B=180-58°-72°=50°，∵两个三角形全等，∴∠1=∠B=50°．故选A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，确定出对应角是解题的关键．3．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）．A．25︒B．30︒C．35︒D．40︒【答案】B【解析】试题分析：作点P关于OA对称的点P3,作点P关于OB对称的点P3,连接P3P3,与OA交于点M,与OB交于点N,此时△PMN的周长最小．由线段垂直平分线性质可得出△PMN的周长就是P3P3的长，∵OP=3，∴OP3=OP3=OP=3．又∵P3P3=3，,∴OP3=OP3=P3P3,∴△OP3P3是等边三角形, ∴∠P3OP3=60°，即3（∠AOP+∠BOP）=60°，∠AOP+∠BOP=30°,即∠AOB=30°，故选B．考点：3．线段垂直平分线性质；3．轴对称作图．4．多边形每一个内角都等于150°，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为（）A．6条B．8条C．9条D．12条【答案】C【分析】设这个多边形是n边形．由多边形外角和等于360°构建方程求出n即可解决问题．【详解】解：设这个多边形是n边形．由题意360n ︒＝180°﹣150°，解得n＝12，∴则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为12﹣3＝9条，故选：C．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，多边形的对角线等知识，解题的关键是熟练掌握多边形外角和等于360°．5．如图，ABC 中，90,30,ACB B CD AB ∠=︒∠=︒⊥于D ，AE 平分CAB ∠交CD 于F ，点E 到AB 的距离为4cm ，则CEF △的周长为( )A ．4cmB ．8cm C ．12cm D ．1?6cm 【答案】C【分析】由角平分线的性质易得CE=点E 到AB 的距离等于4cm ，根据等角的余角相等可得CEF CFE ∠=∠得CF CE 4cm ==，再证明△CEF 是等边三角形即可得到结论．【详解】∵ACB 90∠=︒，CD AB ⊥于点D ，AE 平分CAB ∠ ∴CE=点E 到AB 的距离等于4cm ，BAE CAE ∠=∠AEC CAE 90∠︒∠+=，AFD BAE 90∠+∠=︒， AEC AFD ∴∠=∠， CFE AFD ∠=∠， CEF CFE ∴∠=∠，CF CE 3cm ∴==，∵CD AB ⊥， ∴90CDB ∠=︒，∵30B ∠=︒， ∴60BCD ∠=︒， ∵CF CE =∴△CEF 是等边三角形∴△CEF 的周长为：4×3=12cm ． 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质和等边三角形的判定，注意利用直角三角形的性质． 6．如图，△ABC 和△DEF 中，AB=DE 、角∠B=∠DEF ，添加下列哪一个条件无法证明△ABC ≌△DEF （ ）A ．AC ∥DFB ．∠A=∠DC ．AC=DFD ．∠ACB=∠F【答案】C【解析】试题分析：根据全等三角形的判定定理，即可得出： ∵AB=DE ，∠B=∠DEF ，∴添加AC ∥DF ，得出∠ACB=∠F ，即可证明△ABC ≌△DEF ，故A 、D 都正确； 添加∠A=∠D ，根据ASA ，可证明△ABC ≌△DEF ，故B 都正确；添加AC=DF 时，没有SSA 定理，不能证明△ABC ≌△DEF ，故C 都不正确． 故选C ．考点：全等三角形的判定．7．如图，在长方形ABCD 中，点E ，点F 分别为BC 和AB 上任意一点，点B 和点M 关于EF 对称，EN 是MEC ∠的平分线，若60BFE ∠=︒，则MEN ∠的度数是( )A ．30B ．60︒C ．45︒D ．50︒【答案】B 【分析】根据对称的性质可得∠MEF 的度数，再由EN 是MEC ∠的平分线，可算出∠MEN 的度数.【详解】解：由题意可得：∠B=90°，∵∠BFE=60°，∴∠BEF=30°，∵点B 和点M 关于EF 对称，∴∠BEF=∠MEF=30°，∴∠MEC=180-30°×2=120°，又∵EN 是MEC ∠的平分线，∴∠MEN=120÷2=60°.故选B.【点睛】本题考查了轴对称的性质和角平分线的性质，根据已知角利用三角形内角和、角平分线的性质计算相关角度即可，难度不大.8．下列命题是真命题的是（）A．和是180°的两个角是邻补角；B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；C．两点之间垂线段最短；D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.【答案】D【分析】由邻补角的定义判断A，由过直线外一点作已知直线的平行线判断B，两点之间的距离判断C，由点到直线的距离判断D，从而可得答案．【详解】解：邻补角：有公共的顶点，一条公共边，另一边互为反向延长线，所以：和是180°的两个角是邻补角错误；故A错误；经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故B错误；两点之间，线段最短；故C错误；直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；正确，故D正确；故选：.D【点睛】本题考查的是命题的真假判断，同时考查邻补角的定义，作平行线，两点之间的距离，点到直线的距离，掌握以上知识是解题的关键．9．如图，点A 的坐标为（8，0），点B 为y 轴负半轴上的一动点，分别以OB ，AB 为直角边在第三、第四象限作等腰直角三角形OBF ，等腰直角三角形ABE ，连接EF 交y 轴与P 点，当点B 在y 轴上移动时，则PB 的长度是（ ）A ．2B ．4C ．不是已知数的定值D ．PB 的长度随点B 的运动而变化【答案】B 【分析】作EN ⊥y 轴于N ，求出∠NBE=∠BAO ，证△ABO ≌△BEN ，求出∠OBF=∠FBP=∠BNE=90°，证△BFP ≌△NEP ，推出BP=NP ，即可得出答案．【详解】解：如图，作EN ⊥y 轴于N ，∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，∴∠NBE=∠BAO ，在△ABO 和△BEN 中，AOB BNE BAO NBE AB BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABO ≌△BEN （AAS ），∴OB=NE=BF ，∵∠OBF=∠FBP=∠BNE=90°，在△BFP 和△NEP 中，FPB EPN FBP ENP BF NE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BFP ≌△NEP （AAS ），∴BP=NP ，又∵点A 的坐标为（8，0），∴OA=BN=8，∴BP=NP=4，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，全等三角形的对应角相等，对应边相等．10．已知2221x M x y x y÷=--，则M 等于（ ） A ．xx y 2 B ．2x y x + C ．2x x y - D ．2x y x- 【答案】A 【解析】试题解析：试题解析：()()222122.1x x x y x M x y x y x y x y x y-=÷=⋅=--+-+ 故选A.二、填空题11．若关于x 的方程233x m x +=-的解不小于1,则m 的取值范围是_______． 【答案】m ≥-8 且m≠-6【分析】首先求出关于x 的方程233x m x +=-的解，然后根据解不小于1列出不等式，即可求出. 【详解】解：解关于x 的方程233x m x +=- 得x=m+9因为x 的方程233x m x +=-的解不小于1，且x ≠3 所以m+9≥1 且m+9≠3解得m ≥-8 且m≠-6 .故答案为：m ≥-8 且m≠-6【点睛】此题主要考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，重点注意分式方程存在的意义分母不为零.12．如图，∠AOB=30°，P 是∠AOB 的角平分线上的一点，PM⊥OB 于点M ，PN∥OB 交OA 于点N ，若PM=1，则PN=_________．【答案】2【分析】过P作PF⊥AO于F，根据平行线的性质可得∠FNP=∠AOB=30°，根据角平分线的性质即可求得PF的长,再根据30度所对的直角边是斜边的一半可求得PN的长．【详解】过P作PF⊥AO于F，∵PN∥OB，∴∠FNP=∠AOB=30°，∵OP平分∠AOB，PM⊥OB于点M，PF⊥OA于F，∴PF=PM=1．∴在Rt△PMF中，PN=2PF=2，故答案为2．【点睛】本题考查了角平分线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记性质是解题的关键．13．当x______时，分式12xx-+有意义．【答案】x≠-1【分析】根据分式有意义的条件是：分母不等于0，即可求解．【详解】解：根据题意得：x+1≠0，解得：x≠-1．故答案是：x≠-1．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，是一个基础题．14．如图，已知12∠=∠ ，45B ∠=︒ 则DCE ∠= _________．【答案】45°【分析】根据三角形外角的性质得出∠ACD=∠2+∠B ，再利用12∠=∠即可求出∠DCE 的度数.【详解】∵∠ACD=∠2+∠B=∠1+∠DCE ，45B ∠=︒∴DCE ∠=45B ∠=︒，故答案为：45°.【点睛】此题考查三角形的外角性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质并熟练运用是解题的关键.15．a 、b 、c 为△ABC 的三条边，满足条件点（a ﹣c ，a ）与点（0，﹣b ）关于x 轴对称，判断△ABC 的形状_____．【答案】等边三角形．【解析】由两点关于x 轴对称可得a-c=0，a=b ，进而根据三角形三边关系判断△ABC 的形状即可．【详解】解：∵点（a-c ，a ）与点（0，-b ）关于x 轴对称，∴a-c=0，a=b ，∴a=b=c ，∴△ABC 是等边三角形，故答案为等边三角形．【点睛】此题主要考查两点关于x 轴对称的坐标的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 16．定义:两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形，在Rt ABC 中，90,C ∠=,,AB c AC b BC a ===，且b a >，如果Rt ABC 是奇异三角形，那么::a b c =______________.【答案】1【分析】由△ABC 为直角三角形，利用勾股定理列出关系式c 2＝a 2＋b 2，记作①，再由新定义两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，列出关系式2a 2＝b 2＋c 2，记作②，或2b 2＝a 2＋c 2，记作③，联立①②或①③，用一个字母表示出其他字母，即可求出所求的比值．【详解】∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，∴根据勾股定理得：c 2＝a 2＋b 2，记作①，又Rt △ABC 是奇异三角形，∴2a 2＝b 2＋c 2，②，将①代入②得：a 2＝2b 2，即a b （不合题意，舍去），∴2b 2＝a 2＋c 2，③，将①代入③得：b2＝2a 2，即b a ，将ba 代入①得：c 2＝3a 2，即c ，则a ：b ：c ＝1故答案为：1．【点睛】此题考查了新定义的知识，勾股定理．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用． 17．已知，点(,)A a b 在第二象限，则点(,)B a b --在第_________象限．【答案】四【分析】首先根据点A 所在的象限可判定0,0a b ＜＞，然后即可判定点B 所在的象限.【详解】∵点(,)A a b 在第二象限，∴0,0a b ＜＞∴0,0a b --＞＜∴点B 在第四象限故答案为四.【点睛】此题主要考查根据坐标判定点所在的象限，熟练掌握，即可解题.三、解答题18．如图，由5个全等的正方形组成的图案，请按下列要求画图：（1）在图案（1）中添加1个正方形，使它成轴对称图形但不是中心对称图形．（2）在图案（2）中添加1个正方形，使它成中心对称图形但不是轴对称图形．（3）在图案（3）中添加1个正方形，使它既成轴对称图形，又成中心对称图形．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析【分析】（1）根据轴对称、中心对称的性质作图，即可完成求解；（2）根据轴对称、中心对称的性质作图，即可完成求解；（3）根据轴对称、中心对称的性质作图，即可完成求解．【详解】（1）如图所示（2）如图所示（3）如图所示．【点睛】本题考查了轴对称、中心对称的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、中心对称的性质，从而完成求解．19．某区在实施居民用水额定管理前，对居民生活用水情况进行了调查，下表是通过简单随机抽样获得的50个家庭去年月平均用水量（单位：吨），并将调查数据进行如下整理：4.7 2.1 3.1 2.35.2 2.8 7.3 4.3 4.86.74.55.16.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.53.5 3.5 3.64.9 3.7 3.85.6 5.5 5.96.25.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.26.4 3.54.5 4.5 4.65.4 5.66.6 5.8 4.5 6.27.5频数分布表分组划记频数2.0＜x≤3.5正正113.5＜x≤5.0195.0＜x≤6.56.5＜x≤8.08.0＜x≤9.5 2合计50（1）把上面频数分布表和频数分布直方图补充完整；（2）从直方图中你能得到什么信息？（写出两条即可）；（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？【答案】详见解析【分析】（1）根据题中给出的50个数据，从中分别找出5.0＜x≤6.5与6.5＜x≤8.0的个数，进行划记，得到对应的频数，进而完成频数分布表和频数分布直方图．（2）本题答案不唯一．例如：从直方图可以看出：①居民月平均用水量大部分在2.0至6.5之间；②居民月平均用水量在3.5＜x≤5.0范围内的最多，有19户．（3）由于50×60%=30，所以为了鼓励节约用水，要使60%的家庭收费不受影响，即要使30户的家庭收费不受影响，而11+19=30，故家庭月均用水量应该定为5吨．【详解】解：（1）频数分布表如下：分组划记频数2.0＜x≤3.5正正113.5＜x≤5.0195.0＜x≤6.5136.5＜x≤8.0 58.0＜x≤9.5 2合计50（2）从直方图可以看出：①居民月平均用水量大部分在2.0至6.5之间；②居民月平均用水量在3.5＜x≤5.0范围内的最多，有19户．（3）要使60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为5吨，因为月平均用水量不超过5吨的有30户，30÷50=60%．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．（1）如图1，若直线AD与BC相交于M，过点B作AM的垂线，垂足为D，连接CD并延长BD 至E，使得DE＝DC，过点E作EF⊥CD于F，证明：AD＝EF+BD．（2）如图2，若直线AD与CB的延长线相交于M，过点B作AM的垂线，垂足为D，连接CD并延长BD至E，使得DE＝DC，过点E作EF⊥CD交CD的延长线于F，探究：AD、EF、BD之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）AD+BD＝EF，理由见解析．【分析】（1）将△ABD绕点A逆时针方向旋转90°至△ACG，得到BD＝CG，延长GC交DE于点H，证明四边形ADHG为正方形，则AD＝GH，证明△DEF≌△DCH，得到EF＝CH，则得出结论；（2）作CN⊥AM，证明△DEF≌△CDN，得到EF＝DN，证明△ADB≌△CNA．得到BD＝AN．则AD+AN＝DN＝EF．【详解】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，如图1，将△ABD绕点A逆时针方向旋转90°至△ACG，∴BD＝CG，延长GC交DE于点H，∵AD⊥BE，∠DAG＝∠AGC＝90°，AD＝AG，∴四边形ADHG为正方形，∴∠DHC＝90°，∴AD＝GH，∵DE＝DC，EF⊥CD，∠EDF＝∠CDH，∴△DEF≌△DCH（AAS），∴EF＝CH，∴AD＝GH＝GC+CH＝EF+BD；（2）AD+BD＝EF，理由如下：作CN⊥AM，∵AD⊥BE，∴∠EDF+∠ADC＝90°，∵∠DCN+∠ADC＝90°，∴∠EDF＝∠DCN，∵∠F＝∠DNC＝90°，DE＝DC，∴△DEF≌△CDN（AAS），∴EF＝DN，∵∠BAC＝90°，∴∠DAB+∠NAC＝90°，又∵∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠NAC＝∠DBA，∵AB＝AC，∴△ADB≌△CNA（AAS）．∴BD＝AN．∴AD+AN＝DN＝EF，∴AD+BD＝EF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，旋转的性质，正确作出辅助线是解题的关键．21．解方程：(1)32322xx x+=+-; (2)242111xx x++=---.【答案】 (1) x＝4；(2) x＝13.【解析】试题分析：(1)方程两边都乘以公因式(x+2)(x-2)，化为整式方程后求解，注意验根；(2)方程两边都乘以公因式(x+1)(x-1)，化为整式方程后求解，注意验根；试题解析：(1)方程两边乘(x＋2)(x－2)，得3x(x－2)＋2(x＋2)＝3(x＋2)(x－2)．化简得－4x＝－16，解得x＝4.经检验，x＝4是原方程的解．所以原方程的解是x＝4；(2)方程两边都乘以(x ＋1)(x －1)，去分母，得4－(x ＋1)(x ＋2)＝－(x ＋1)(x －1)．解得x ＝13. 经检验，x ＝13是原方程的解． 所以原方程的解是x ＝13. 22．化简：22[(2)()(3)5]2x y x y x y y x +-+--÷【答案】-x+y【分析】根据整式的混合运算法则计算即可．【详解】解：原式()22222[44335]2x xy y x xy xy y y x =++--+--÷ ()22222443352x xy y x xy xy y y x +=++--+-÷ ()22=22x x x y +-÷ x y =-+．【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及乘法公式是解题关键．23．象山红美人柑橘是我省农科院研制的优质品种，宁波市某种植基地2017年种植“象山红美人”100亩，到2019年“象山红美人”的种植面积达到196亩．（1）求该基地这两年“象山红美人”种植面积的平均增长率；（2）市场调查发现，当“象山红美人”的售价为45元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“象山红美人”的平均成本价为33元/千克，若使销售“象山红美人”每天获利3150元，则售价应降低多少元？【答案】（1）平均增长率为40%；（2）售价应降低5元．【分析】(1)设该基地这两年种植面积的平均增长率为x，增长两次后种植面积为21001()x+，达到196亩即可列出方程2100(1)196x+=求解；(2)设售价应降低m元，则每天的销量为(20050)m+千克，每千克的利润为(45-m-33)元，再根据总利润=单个利润×数量即可列出方程求解．【详解】解：(1)设该基地这两年种植面积的平均增长率为x，根据题意可得:2100(1)196x+=，两边同时除以100，解得0.4x=或-2.4（舍去），∴平均增长率为40%，故答案为：40%；(2)设售价应降低m元，则每天的销量为(20050)m+千克，根据题意可得：(4533)(20050)3150m m--+=解得13m=或25m=，当13m=时，每天的销量为：200+50×3=350千克，当25m=时，每天的销量为：200+50×5=450千克，∵要减少库存，故每天的销量越多越好，∴售价应降低5元，故答案为：售价应降低5元．【点睛】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题目正确列出方程是解题的关键．24．已知:如图，AC BD 、相交于点,,O AC BD AB CD ==.若2OC =，求OB 的长.【答案】2OB =【分析】只要证明△ABC ≌△DCB （SSS ），即可证明∠OBC=∠OCB,即可得：OB=OC.【详解】在△ABC 和△DCB 中AC BD AB CD BC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DCB （SSS ）∴∠OBC=∠OCB∴OB=OC∵OC=2∴OB=2【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．25．已知一次函数2y mx =+与y nx b =+的图象如图所示，且方程组2mx y nx y b-=-⎧⎨-=-⎩的解为21x y =⎧⎨=⎩，点B 的坐标为()0,1-，试确定两个一次函数的表达式.【答案】12?12y x y x =-+=-，. 【解析】把A 的坐标代入2y mx =+，把A 、B 的坐标代入y nx b =+，运用待定系数法即可求出两个一次函数的表达式．【详解】方程组2mx y nx y b -=-⎧⎨-=-⎩即为2y mx y nx b =+⎧⎨=+⎩， ∵方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为(2，1)，把A 的坐标代入2y mx =+，得122m =+， 解得：12m =-， ∴122y x =-+， 把A 、B 的坐标代入y nx b =+，则211n b b +=⎧⎨=-⎩解得：11n b =⎧⎨=-⎩∴1y x =-． 所以，两个一次函数的表达式分别是12?12y x y x =-+=-，．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，同时考查了用待定系数法求一次函数的表达式．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，BC丄OC，CB =1，且OA = OB，则点A在数轴上表示的实数是（）A．3B．5C．-2 D5【答案】B【分析】根据数轴上的点，可知OC=2，且BC=1，BC⊥OC，根据勾股定理可求OB长度，且OA=OB，故A点所表示的实数可知．【详解】解：根据数轴上的点，可知OC=2，且BC=1，BC⊥OC，根据勾股定理可知：2222OB=OC BC=21=5++，又∵5∴A表示的实数为5故选：B．【点睛】本题考查了实数与数轴的表示、勾股定理，解题的关键在于利用勾股定理求出OB的长度．2．下列各分式中，是最简分式的是（）.A．22x yx y++B．22x yx y-+C．2x xxy+D．2xyy【答案】A【分析】根据定义进行判断即可．【详解】解：A 、22x y x y++分子、分母不含公因式，是最简分式； B 、22x y x y-+＝()()x y x y x y +-+＝x －y ，能约分，不是最简分式； C 、2x x xy+＝(1)x x xy +＝1x y +，能约分，不是最简分式； D 、2xy y ＝x y，能约分，不是最简分式． 故选A ．【点睛】本题考查分式的化简，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，然后对每一选项进行整理，即可得出答案．3．方格纸上有A 、B 两点，若以B 点为原点建立直角坐标系，则A 点坐标为(3,4)，若以A 点为原点建立直角坐标系，则B 点坐标是( )A ．(3,4)B ．(4,3)C ．(3,4)--D ．(4,3)-【答案】C【分析】明确A 、B 的坐标位置，即可判定坐标.【详解】以B 为原点建立平面直角坐标系，则A 点的坐标为（3，4）；若以A 点为原点建立平面直角坐标系，则B 点在A 点左3个单位，下4个单位处．故B 点坐标为（-3，-4）．故答案为C ．【点睛】此题主要考查平面直角坐标系中用坐标表示位置，熟练掌握其性质，即可解题.4．下列图形：线段、角、三角形、四边形，等边三角形、等腰三角形、正五边形、正六边形中，是轴对称图形的有( )个A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根据轴对称图形的定义判断即可.【详解】∵轴对称图形是：线段、角、等边三角形、等腰三角形、正五边形、正六边形共6个；故答案为：B.【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键.5．能说明命题“对于任何实数a, 都有a>-a”是假命题的反例是（）A．a=-2 B．a12=C．a=1 D．a=2【答案】A【分析】先根据假命题的定义将问题转化为求四个选项中，哪个a的值使得a a>-不成立，再根据绝对值运算即可得．【详解】由假命题的定义得：所求的反例是找这样的a值，使得a a>-不成立A、22(2)-==--，此项符合题意B、111222=>-，此项不符题意C 、111=>-，此项不符题意D 、222=>-，此项不符题意故选：A ．【点睛】本题考查了命题的定义、绝对值运算，理解命题的定义，正确转为所求问题是解题关键． 6．下列分解因式正确的是( )A ．22a 9(a 3)-=-B ．()24a a a 4a -+=-+C ．22a 6a 9(a 3)++=+D ．()2a 2a 1a a 21-+=-+【答案】C【解析】根据因式分解的方法（提公因式法，运用公式法），逐个进行分析即可.【详解】A. ()2a 9a 3a 3-=-+）（，分解因式不正确；B. ()24a a a 4a -+=--，分解因式不正确；C. 22a 6a 9(a 3)++=+ ，分解因式正确；D. ()2a 2a 1a 1-+=-2，分解因式不正确.故选：C【点睛】本题考核知识点：因式分解.解题关键点：掌握因式分解的方法.7．如图，∠A 、∠1、∠2的大小关系是（ ）A ．∠A ＞∠1＞∠2B ．∠2＞∠1＞∠AC ．∠A ＞∠2＞∠1D ．∠2＞∠A ＞∠1【答案】B【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角解答．【详解】∵∠1是三角形的一个外角，∴∠1＞∠A ，又∵∠2是三角形的一个外角，∴∠2＞∠1，∴∠2＞∠1＞∠A ．故选：B ．【点睛】此题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系，熟练掌握，即可解题.8．下列运算正确的是(A ．2235a a a +=B ．()3326a a =C ．()326a a =D ．632a a a ÷=【答案】C【分析】分别根据合并同类项的法则、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则和同底数幂的除法法则逐项计算即可．【详解】解：A 、22355a a a a +=≠，所以本选项运算错误，不符合题意；B 、()333286a a a =≠，所以本选项运算错误，不符合题意；C 、()326a a =，所以本选项运算正确，符合题意；D 、6332a a a a ÷=≠，所以本选项运算错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查的是合并同类项的法则和幂的运算性质，属于基础题型，熟练掌握幂的运算性质是解题关键．9．如图，在等腰Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，P 是斜边AB 的中点，DPE ∠交边AC 、BC 于点D 、E ，连结DE ，且90DPE ∠=︒，若13CE BE =，4AC =，则DPE ∆的面积是( )A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5 【答案】B 【分析】首先根据等腰直角三角形的性质和余角的性质可证明△BPE ≌△CPD ，可得PE=PD ，于是所求的DPE ∆的面积即为212PE ，故只要求出PE 2的值即可，可过点E 作EF ⊥AB 于点F ，如图，根据题意可依次求出BE 、BF 、BP 、PF 的长，即可根据勾股定理求出PE 2的值，进而可得答案．【详解】解：在Rt ABC ∆中，∵90ACB ∠=︒，AC=BC ，P 是斜边AB 的中点，∴AP=BP=CP ，CP ⊥AB ，∠B=∠BCP=∠DCP=45°，∵∠DPC+∠EPC=90°，∠BPE+∠EPC=90°，∴∠DPC=∠BPE ，在△BPE 和△CPD 中，∵∠B=∠DCP ，BP=CP ，∠BPE=∠DPC ，∴△BPE ≌△CPD （ASA ），∴PE=PD ， ∵13CE BE =，4AC BC ==，∴CE=1，BE=3， 过点E 作EF ⊥AB 于点F ，如图，则EF=BF=232BE =， 又∵BP=2242222BC =⨯=，∴22PF =， 在直角△PEF 中，22222232522PE PF EF ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴DPE ∆的面积=211 2.522PD PE PE ⋅==． 故选：B ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理和三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．10．25的平方根是（ ）A ．±5B ．﹣5C ．5D ．25 【答案】A【分析】如果一个数x 的平方等于a ，那么x 是a 是平方根，根据此定义即可解题．【详解】∵（±1）2=21∴21的平方根±1．故选A.二、填空题11．如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．当∠A = 70°时，则∠BPC的度数为________．【答案】125°【详解】∵△ABC中,∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−70°=110°∴BP，CP分别为∠ABC与∠ACP的平分线，∴∠2+∠4=12(∠ABC+∠ACB)=12×110°=55°∴∠P=180°−(∠2+∠4)=180°−55°=125°故答案为125°.12．如图，直线y=﹣12x+3与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连接CQ．若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为_____．【答案】2或4【解析】先求出点C坐标，然后分为两种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质求出即可.【详解】∵由132y xy x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，得22xy=⎧⎨=⎩，∴C（2，2）；如图1，当∠CQO=90°，CQ=OQ，∵C（2，2），∴OQ=CQ=2，∴t=2；如图2，当∠OCQ=90°，OC=CQ，过C作CM⊥OA于M，∵C（2，2），∴CM=OM=2，∴QM=OM=2，∴t=2+2=4，即t的值为2或4，故答案为2或4.【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组、等腰直角三角形等知识，综合性比较强，熟练掌握相关知识、运用分类讨论以及数形结合思想是解题的关键.13．如图，ABC 中，55A ∠=︒，将ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A '处．如果70A EC ∠'=︒，那么A DE ∠'的度数为_________．【答案】70°【分析】首先由折叠的性质，得出∠A=∠DA′E ，∠ADE=∠A′DE ，∠AED=∠A′ED ，然后根据70A EC ∠'=︒，得出∠AED=∠A′ED=55°，再由三角形内角和定理即可得解.【详解】由已知，得∠A=∠DA′E ，∠ADE=∠A′DE ，∠AED=∠A′ED∵70A EC ∠'=︒∴∠AED=∠A′ED=12（180°-∠A′EC ）=12（180°-70°）=55° 又∵55A ∠=︒∴∠ADE=∠A′DE=180°-∠A-∠AED=180°-55°-55°=70° 故答案为70°.【点睛】此题主要考查利用三角形翻折的性质求角的度数，熟练掌握，即可解题.14．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()3,2、()1,0-，若将线段BA 绕点B 顺时针旋转90得到线段BA'，则点A'的坐标为________．【答案】()1,4-【分析】作AC ⊥x 轴于C ，利用点A 、B 的坐标得到AC=2，BC=4，根据旋转的定义，可把Rt △BAC 绕点B 顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图，利用旋转的性质得BC′=BC=4，A′C′=AC=2，于是可得到点A′的坐标．【详解】作AC ⊥x 轴于C ，∵点A 、B 的坐标分别为（3，2）、（-1，0），∴AC=2，BC=3+1=4，把Rt △BAC 绕点B 顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图，∴BC′=BC=4，A′C′=AC=2，∴点A′的坐标为（1，-4）．故答案为（1，-4）．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是把线段的旋转问题转化为直角三角形的旋转．15．请写出一个小于4的无理数：________.， 等【分析】开放性的命题，答案不唯一，写出一个小于4的无理数即可.等．等．【点睛】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．16．等腰三角形的一个角是110°，则它的底角是_____．【答案】35°．【分析】题中没有指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．【详解】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣110°）÷2＝35°；②当这个角是底角时，另一个底角为110°，因为110°+110°＝240°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．。
第18章 平行四边形第一课时——平行四边形及性质（1）【使用说明】1.用10分钟预习课本P41-P42，用红笔划出重点。
2.结合课本上的基础知识完成预习案、探究案，重点掌握平行四边形的性质。
3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。
【学习目标】1.理解平行四边形的定义，能根据定义探究平行四边形的边、角性质。
2.能根据平行四边形的性质解决简单的实际问题。
3.培养学生数形结合，自主探究、合作交流的能力。
预习案1.平行四边形是我们常见的图形，小区的伸缩门、庭院的篱笆、载重汽车的防护栏等等，都是平行四边形的形象，请再给一些例子： 。
2. 平行四边形的定义：有 分别 的 叫做平行四边形，平行四边形用“ ”表示， 如图，平行四边形ABCD 记作 。
探究案探究1：平行四边形的性质1. 观察预习案中的平行四边形，除了“两组对边分别平行”外，它的边、角之间还有什么关系？2.度量一下各条边和各个角，写出结果，验证猜想：3.请证明你发现的结论：已知：在四边形AB CD 为平行四边形 求证：①AB=CD AD=BC ②∠A=∠C ∠B=∠D(提示：连接AC)4.归纳性质：①②你会用数学语言表示吗？BD探究2：平行四边形性质的应用1.小明用一根36米长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB 长为8米，其他三条边各长多少？2.一个平行四边形的一个外角是380，这个平行四边形的每个内角的度数是多少？为什么？探究3：如图，在平行四边形ABCD 中，CE ⊥AB,AF ⊥CD ，垂足分别为E, F.求证：AF=CE.训练案1.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形（1）若周长为30㎝，CD ＝6 ㎝，则AB ＝ ㎝； BC ＝ ㎝；AD ＝ ㎝。
（2）若∠A ＝70°，则∠B ＝ ；∠C ＝ ；∠D ＝ （3）若∠A ＋∠C=80°，则∠A ＝ ；∠D ＝ 。
（4）若平行四边形ABCD 的周长是40cm ，且AB 比BC 长4cm ，则CD ＝______，AD ＝_______ 。
18.1.1平行四边形的性质（一）课型: 新授课上课时间：课时： 1学习目标：1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．3.培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．学习重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．学习难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．学习过程：一、忆一忆：1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？2.你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？3.你能总结出平行四边形的定义吗？。
如图，平行四边形ABCD可以表示为：，几何表示定义：二、想一想：1、由定义可知平行四边形具有什么性质？2、自己亲自动手画一个平行四边形，观察一下，除了“两组对边分别平行”以外，它的边，角之间有什么关系？度量一下，是否和你的猜想一致？结论：平行四边形的性质：；。
你能证明你所得出的结论吗？证明：3、如图所示，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中AB边长为8m，其他三边的长各是多少？4、如图，在平行四边形ABCD中，A E=CF，求证：AF=CE．三、练一练：1、课本练习；2.计算（1）在平行四边形ABCD中，∠A=500，求∠B、∠C、∠D的度数。
（2）在平行四边形ABCD中，∠A=∠B+400，求∠A的邻角的度数。
（3）平行四边形的两邻边的比是2：5，周长为28cm，求四边形的各边的长。
（4）在平行四边形ABCD中，若∠A：∠B=2：3，求∠C、∠D的度数。
5. 如图，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．6．（选择）在下列选项中，平行四边形不一定具有的是（）．360（A）对角相等（B）对角互补（C）邻角互补（D）内角和是7．如图：在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（）．（A）4个（B）5个（C）8个（D）9个8．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证：AB=CE四、拓展拓展：1.在□ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是（ ） A.1∶2∶3∶4B.1∶2∶2∶1C.1∶1∶2∶2D.2∶1∶2∶12．□ABCD 的周长为36 cm ，AB=75BC ，则较长边的长为（ ） A.15 cmB.7.5 cmC.21 cmD.10.5 cm3. 平行四边形的周长为36 cm ，一组邻边之差为4 cm ，求平行四边形各边的长.4.如图，在□ABCD 中，AB=AC ，若□ABCD 的周长为38 cm ，△ABC 的周长比□ABCD 的周长少10 cm ，求□ABCD 的一组邻边的长.五、小结与反思：2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则该三角形最长边的长为（）A．5B．32C．17D．522．如图，经过点B(1，0)的直线y＝kx+b与直线y＝4x+4相交于点A(m，83)，则kx+b＜4x+4的解集为()A．x＞13-B．x＜13-C．x＜1 D．x＞13．15介于两个相邻整数之间，这两个整数是( )A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和64．已知m2-n2=mn，则n mm n-的值等于（）A．1 B．0 C．-1 D．-1 45．在直角三角形中，若两条直角边的长分别是1cm，2cm，则斜边的长（）cm.A．3 B．5C．3D．3或56．下面各式计算正确的是（）A．（a5）2＝a7B．a8÷a2＝a6C．3a3•2a3＝6a9D．（a+b）2＝a2+b27．下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．8．已知二次函数y= 2x2+8x-1的图象上有点A（-2，y1），B（-5，y2），C（-1，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（ ） A ．123y y y >>B ．213y y y >>C ．231y y y >>D ．321y y y >>9．实数a,b 在数轴上的位置如图所示,则化简代数式|a+b|−a 的结果是( )A ．2a+bB ．2aC ．aD ．b10．某校规定学生的学期数学成绩由研究性学习成绩与期末卷面成绩共同确定，其中研究性学习成绩占40%，期末卷面成绩占60%，小明研究性学习成绩为80分，期末卷面成绩为90分，则小明的学期数学成绩是（ ） A ．80分 B ．82分C ．84分D ．86分二、填空题11．已知一个直角三角形斜边上的中线长为6 cm ，那么这个直角三角形的斜边长为______cm.12．某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，已知每个B 型包装箱比A 型包装箱多装15件文具，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个.设A 型包装箱每个可以装x 件文具，根据题意列方程为 .13．请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式 ．14．在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若14AC =，8BD =，10AB =，则OAB ∆的周长为_________.15．某汽车在某一直线道路上行驶，该车离出发地的距离S （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系如图所示（折线ABCDE ）．根据图中提供的信息，给出下列四种说法： ①汽车共行驶了120千米； ②汽车在行驶途中停留了0.5小时； ③汽车在行驶过程中的平均速度为803千米/小时； ④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度不变． 其中说法正确的序号分别是_____（请写出所有的）．16．如图，在边长为2cm 的菱形ABCD 中，60B ∠=︒，E 是BC 边的中点，P 是对角线BD 上的动点，连接EP ，CP ，则EP CP +的最小值______．17．学校校园歌手大奖赛共有12位选手入围，按成绩取前6位进入决赛．如果王晓鸥同学知道了自己的成绩，要判断能否进入决赛，用数据分析的观点看，她还需要知道的数据是这12位同学的___． 三、解答题18．如图，矩形OABC 放置在平面直角坐标系上，点,A C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点B 的坐标是()4,m ，其中4m >，反比例函数y= 16x()0x >的图象交AB 交于点D .（1）BD =_____（用m 的代数式表示）（2）设点P 为该反比例函数图象上的动点，且它的横坐标恰好等于m ，连结,PB PD . ①若PBD ∆的面积比矩形OABC 面积多8，求m 的值。
第十八章平行四边形平行四边形18.1.1 平行四边形的性质第1课时平行四边形的边、角特征1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质.2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证.3.培育学生发觉问题、解决问题的能力及逻辑推理能力.自学指导：阅读讲义41页至43页，完成下列问题.知识探讨1.两组对边别离平行的四边形叫做平行四边形.2.平行四边形相对的边称为对边.相对的角称为对角.3.平行四边形的对边相等，对角相等.4.平行四边形是由两个全等的三角形组成.自学反馈如图是某区部份街道示用意，其中BC∥AD∥EG，AB∥FH∥DC.(1)图中的平行四边形共有__________个.(2)从B站搭车到D站只有两条线路有直接抵达的公交车，线路1是B—E—A—F—D，线路2是B—H—O—G—D，请比较两条线路路程的长短，并说明理由.解：(1)9；(2)一样长.因为BC∥AD∥EG,AB∥FH∥DC,所以四边形AEOF、BEOH、OFDG是平行四边形.所以BE=OH，AE=OF=DG，BH=OE=AF，DF=OG.所以BE+AE+AF+FD=OH+DG+BH+OG.所以线路1与线路2长度相等.活动1 小组讨论例1 证明平行四边形的对边相等，对角相等.已知：□ABCD求证：AB=CD ，BC=DA ；∠B=∠D ，∠A=∠C.证明：连接AC∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB ∥CD ，AD ∥BC∴∠1＝∠2，∠3＝∠4在△ABC 和△CDA 中1234AC CA ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABC ≌△CDA(ASA)∴AB ＝CD ，BC ＝DA ，∠B ＝∠D又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3即∠BAD ＝∠DCB解决平行四边形问题能够连接对角线.例2 如图小明用一根36 m 长的绳索围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB 长为8 m ，其他三条边各长多少?解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB=CD,AD=BC∵AB=8 m∴CD=8 m又AB+BC+CD+AD=36∴AD=BC=10 m活动2 跟踪训练1.如图，在□ABCD中,按照已知你能取得哪些结论？为何？解：CD=30 cm AD=32 cm ∠D=56°∠A=∠C=124°平行四边形中明白其中一角可求另外三个角，明白两条非对应边可求另外两边.2.如图,□ABCD的周长是28 cm,△ABC的周长是22 cm,则AC的长为( )cm cm cm cm3.如图,在□ABCD中,∠A∶∠B=7∶2,求∠C的度数.解:按照平行四边形的对边相等，可知AB+BC=□ABCD的周长的一半=14 cm，∴AC=22-14=8(cm).3. 140°. 按照平行四边形的对边平行，∠A+∠B=180°，∠A∶∠B=7∶2,可得∠A=140°.又平行四边形的对角相等，所以∠C=140°.4.如图，在平行四边形ABCD中，若BE平分∠ABC，则ED＝___________.5.如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，点E为垂足，若是∠A=125°，则∠BCE的度数为多少？解：4. 4 cm 5. 35°4.按照平行四边形对边相等，求出AD=BC;再按照等腰三角形性质，求出AE=AB.5.按照平行四边形对边平行，邻角互补，再按照三角形内角和为180°，就可以够求出. 活动3 课堂小结1.平行四边形概念.2.平行四边形性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩对边平行对边相等对角相等邻角互补3.连接对角线能够帮忙解决平行四边形问题.。
⼋年级数学下册18.1平⾏四边形18.1.1平⾏四边形的性质教案（新版）新⼈教版18.1.1 平⾏四边形的性质尊敬的各位评委、⽼师：⼤家好！今天我说课的题⽬是《平⾏四边形的性质》，下⾯我将从五个⽅⾯谈谈对本节课的理解与做法。
⼀、教材及学情分析《平⾏四边形的性质》是在学⽣掌握了平⾏线、三⾓形及简单图形的平移等⼏何知识的基础上学习的。
学习它不仅是对已学知识的综合应⽤和深化，⼜是进⼀步学习矩形、菱形、正⽅形等知识的基础，起着承上启下的作⽤。
⼆、学习⽬标分析学习⽬标：（1）学⽣通过观察、讨论、合作、交流，掌握平⾏四边形的定义及性质，会⽤平⾏四边形的性质解决相关问题（2）让学⽣在探索问题的过程中，体验解决问题的⽅法和乐趣，增强学习兴趣，以提⾼数学语⾔规范表达的能⼒学习重、难点：【重点：】平⾏四边形的定义及性质【难点：】证明平⾏四边形的性质三、前置作业的设计分析前置作业：（⼀）什么是平⾏四边形？请举出⽣活中的例⼦。
你会如何表⽰下⾯这个平⾏四边形？（三）请设计⼀道应⽤你发现的结论能解决的问题，在课堂上考考⼤家!设计说明：⽣本理念下前置作业的基本原则：简单，根本，开放。
简单就是要能照顾到中等⽣、学困⽣；根本就是要直击重难点；开放就是能培养学⽣的创新精神，激发学⽣的学习兴趣。
“简单”原则体现在：问题⼀中“请举出⽣活中的例⼦”，问题⼆中“请动⼿做⼀个平⾏四边形”，设计这两个问题也是基于⼋年级学⽣抽象思维⽇益占主导地位但还有赖于具体形象，和学⽣爱动脑动⼿爱实践的认知特点，这样可以让学⽣从已有的经验出发利⽤剪⼑、直尺、量⾓器等⼯具探究平⾏四边形的边、⾓有怎样的关系”，轻松解决问题。
“根本”原则体现在：如问题⼀中“你会如何表⽰下⾯这个平⾏四边形？”和问题⼆中“并试着证明你发现的结论”。
这两个问题的直接提出让学⽣可了解到本节课的重点，问题的解决可有赖于学⽣⾃学课本后会发现证明的⽅法，或是学⽣在探究平⾏四边形的边、⾓有怎样的关系时也可以发现将四边形连接对⾓线后就转换成了熟悉的三⾓形问题。
八年级(下)数学导学案 18.1.1 平行四边形的性质（1）导学目标：知识与技能：理解并掌握平行四边形的相关概念和性质，培养学生初步应用这些 知识解决问题的能力。
过程与方法：通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力。
情感态度与价值观：学生亲自经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，体会 解决问题策略的多样性．导学重点：理解并掌握平行四边形的概念及其性质．导学难点：运用平移、旋转的图形变换思想探究平行四边形的性质． 导学过程：一、创设情境，引入新知探究活动（一）探索平行四边形的定义平行四边形是我们常见的图形，小区的伸缩门，庭院的竹篱笆，载重汽车的防护栏等都是平行四边形的形象。
1、定义：有两组对边__________________的四边形叫平形四边形，请你用几何语言 给平行四边形下个定义：∵ ∥ , ∥ ∴四边形ABCD 是平行四边形 2、表示：平行四边形用符号“______”表示，右上图的平行四边形记作_____ 注意：表示平行四边形时，一般按一定的方向依次写出各顶点字母3、对角线的定义：平行四边形 两个顶点连成的 ，叫做它的对角线。
4、如图ABCD 中，对边有______组，分别是___________________，对角有_____组，分别是____________，对角线有____条，它们是___________ 二、自主学习，探究新知。
探究活动（二）探索平行四边形的性质1、拼一拼：由两个全等三角形一边重合拼成的四边形 ABCD 平行四边形吗？请说明理由。
2、量一量：用直尺、量角器测量如图ABCD 的边、角。
AB= ____；DC=____； AD=____ ；BC= ____ ∠A= ____；∠C=____； ∠B=____；∠D=____3、猜一猜：仔细分析上面的测量结果，你能发现平行四边形的对边与对角有什么数量关系？ 猜想： 4、证一证：我们需推理证明猜想的正确性，你能完成证明吗？ 已知：如图，求证： AB=CD,AD=BC, ∠A=∠C, ∠B=∠D 证明：AB C ED FABCDA BCA BC归纳：平行四边形的性质1：平行四边形。
人教版八年级下数学精品教案：第十八章平行四边形18.1平行四边形课题18.1.1平行四边形的性质（1）课型新授三维目标知识目标理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质。
能力目标会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证。
情感目标培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力。
教学重点平行四边形的性质。
教学难点运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算。
教学方法讲练结合教学过程创设情境，导入新课观察图形，引出平行四边形。
明晰概念，证实发现你能总结出平行四边形的定义吗？(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？（1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．）（2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等．下面证明这个结论的正确性．已知：如图ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）证明：连接AC，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA（ASA）．∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD．由此得到：平行四边形性质1 平行四边形的对边相等．平行四边形性质2平行四边形的对角相等．范例点击，演练提高教材P42例1应用新知，练习巩固教材43页练习1,2题。
