2015年秋季新版华东师大版九年级数学上学期22.2、一元二次方程的解法同步练习8

一元二次方程根与系数的关系55号教学目标：（一）知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。

（二）过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。

（三）情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。

教学重点：根与系数关系及运用教学难点：定理的发现及运用。

教学过程：一、 创设情境，激发探究欲望我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理。

那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？探究规律 先填空，再找规律：思考：观察表中1x +2x 与1x .2x 的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？ 二、 得出定理并证明（韦达定理）若一元二次方程a 2x +bx+c=0（a ≠0）的两根为1x 、2x ，则1x +2x = -b a 1x . 2x =ca特殊的：若一元二次方程2x +px+q=0的两根为1x 、2x ，则1x +2x =-p 1x . 2x =q证明此处略（师生合作完成） 三、 运用定理解决问题练习：不解方程说出下列方程的两根的和与两根的积各是多少？⑴ X 2－3X+1=0 ⑵ 3X 2－2X=2 ⑶ 2X 2+3X=0 ⑷ 3X 2=1 1.已知方程x 2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.2.方程2x 2-3x+1=0的两根记作x 1,x 2，不解方程，求：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。

3.（2013•荆州）已知：关于x 的方程kx 2－(3k －1)x +2(k －1)=0（1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x 1，x 2, 且│x 1－x 2│=2,求k 的值. 四、 课堂小结：让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨。

班级：______姓名：___________ 年级九年级科目数学课型运算课课时 1 主备主讲课题一元二次方程的解法——配方法教研组长签字教学副校长签字一、教学目标1.能准确找到配方所需的常数；会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

2.让学生经历配方法的探究过程，培养学生的应用意识，转化思想，提高学生的运算能力；3.感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心二、教学过程知识预备 1. 用直接开平方法解方程：27)132=+x（2.问题导入：学校要建一个操场，要求长比宽多10m，并且面积为375m2，那么操场的长和宽分别为多少？自主探究（一）探究配方所需的常数1.回顾: 完全平方公式：2)ba±（= ，说出公式的特点2.根据你所掌握的公式特点，将下列代数式配成完全平方的形式试一试：2x＋6x＋（）= x（）22x- 5x＋（） = x（）22x＋8x＋（） = x（）23、思考：当二次项系数为1时，常数项与一次项系数有怎样的关系？常数项为一次项系数一半的平方（二）用配方法解一元二次方程1、尝试解一元二次方程375102=+xx2.解下列方程。

(1)016-62=+xx（2）024-2=+xx课堂小结配方法解一元二次方程的一般步骤：1、将二次项系数化为1；2、将常数项移到方程的右边；3、方程两边都加上一次项系数一半的平方；4、写成()2mx n p+=的形式，用直接开平法求解。

22.2.2 配方法知识点 1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程1．用配方法解方程x 2－6x ＝16时，应在方程两边同时加上( )A ．3B ．9C ．6D ．362．把方程x 2－10x ＝－3的左边化成含x 的完全平方式，其中正确的是( )A ．x 2－10x ＋(－5)2＝28B ．x 2－10x ＋(－5)2＝22C ．x 2＋10x ＋52＝22D ．x 2－10x ＋5＝23．填空，将左边的多项式配成完全平方式：(1)x 2＋4x ＋______＝(x ＋______)2；(2)x 2＋43x ＋______＝(x ＋______)2； (3)x 2－2x ＋______＝(x －______)2.4．将方程x 2－10x ＋16＝0配方成(x ＋a )2＝b 的形式，则a ＝________，b ＝________．5．用配方法解下列方程：(1)［2016·淄博］x 2＋4x －1＝0；(2) x 2－6x －4＝0；(3)［2016·安徽］x 2－2x ＝4；(4)t 2＋15＝8t.知识点 2 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程6．用配方法解方程2x 2＋4x －1＝0的步骤：移项，得________________，二次项系数化为1，得____________________________________________，方程两边同时加上1，得___________________________________________________， 即________________，解得____________________________．7. 用配方法解方程3x 2－6x ＋1＝0，则方程可变形为( )A ．(x －3)2＝13B ．3(x －1)2＝13C ．(3x －1)2＝1D ．(x －1)2＝238．某学生解方程3x 2－x －2＝0的步骤如下：解：3x 2－x －2＝0→x 2－13x －23＝0①→x 2－13x ＝23②→⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＝23＋49③→x －23＝±103④→x 1＝2＋103，x 2＝2－103⑤. 上述解题过程中，开始出现错误的是( )A ．第②步B ．第③步C ．第④步D ．第⑤步9．用配方法解方程：(1)4x 2＋12x ＋9＝0; (2)2x 2－8x ＋3＝0；(3)2x 2＋4x ＋1＝0; (4)6x 2－x －12＝0.10．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上9的方程是( )A ．3x 2－3x ＝8B ．x 2＋6x ＝－3C ．2x 2－6x ＝10D ．2x 2＋3x ＝311．在用配方法解下列方程时，配方错误的是( )A ．x 2－2x －99＝0⇒(x －1)2＝100B ．2t 2－7t －4＝0⇒(t －74)2＝818C ．x 2＋8x －9＝0⇒(x ＋4)2＝25D ．y 2－4y ＝2⇒(y －2)2＝612．利用配方法将x 2＋2x ＋3＝0化为a (x －h )2＋k ＝0(a ≠0)的形式为( )A．(x－1)2－2＝0 B．(x－1)2＋2＝0C．(x＋1)2＋2＝0 D．(x＋1)2－2＝013．已知方程x2＋4x＋n＝0可以配方成(x＋m)2＝3，则(m－n)2018＝________．14．当x＝__________时，代数式3x2－2x＋1有最________值，这个值是________．15．解方程：(1)x(2x＋1)＝5x＋70；(2)x2＋3＝2 3x.16．用配方法说明代数式2x2－4x－1的值总大于x2－2x－4的值．17．阅读材料后再解答问题：阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程x2＋2x－35＝0的一个解．[阿尔·花拉子米解法]如图22－2－1，将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长为x，宽为1的长方形拼合在一起，面积就是x2＋2·x·1＋1×1，而由x2＋2x－35＝0变形可得x2＋2x＋1＝35＋1，即左边为边长是x＋1的正方形的面积，右边为36，所以(x＋1)2＝36，取正根得x＝5.请你运用上述方法求方程x2＋8x－9＝0的正根．图22－2－11．B2．B [解析] x 2－10x ＝－3，x 2－10x ＋(－5)2＝－3＋(－5)2，即x 2－10x ＋(－5)2＝22. 故选B.3．(1)4 2 (2)49 23(3)1 1 4．－5 9 [解析] 将原方程配方，得(x －5)2＝9.5．解：(1)原方程可化为(x 2＋4x ＋4－4)－1＝0，即(x ＋2)2＝5，直接开平方，得x ＋2＝±5，解得x 1＝－2＋5，x 2＝－2－ 5.(2)移项，得x 2－6x ＝4.配方，得x 2－6x ＋9＝4＋9，即(x －3)2＝13.直接开平方，得x －3＝±13，所以x 1＝3＋13，x 2＝3－13.(3)原方程两边都加上1，得x 2－2x ＋1＝4＋1，即(x －1)2＝5，直接开平方，得x －1＝±5，所以x ＝1±5，所以x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5.(4)移项，得t 2－8t ＝－15，两边同时加上16可得t 2－8t ＋16＝－15＋16，即(t －4)2＝1，直接开平方，得t －4＝±1，所以t ＝4±1，所以t 1＝5，t 2＝3.6．2x 2＋4x ＝1 x 2＋2x ＝12 x 2＋2x ＋1＝12＋1 (x ＋1)2＝32 x 1＝－1＋62，x 2＝－1－627．D [解析] 原方程为3x 2－6x ＋1＝0，移项，二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－13， 配方，得x 2－2x ＋1＝－13＋1，所以(x －1)2＝23. 8．B [解析] 第③步，应在方程两边加上一次项系数一半的平方．9．解：(1)移项，得4x 2＋12x ＝－9， 二次项系数化为1，得x 2＋3x ＝－94， 配方，得(x ＋32)2＝0， 解得x 1＝x 2＝－32. (2)∵2x 2－8x ＋3＝0，∴2x 2－8x ＝－3，∴x 2－4x ＝－32， ∴x 2－4x ＋4＝－32＋4， 即(x －2)2＝52， ∴x ＝2±102， ∴x 1＝2＋102，x 2＝2－102. (3)2x 2＋4x ＋1＝0，∴2x 2＋4x ＝－1，∴x 2＋2x ＝－12， ∴x 2＋2x ＋1＝－12＋1， 即(x ＋1)2＝12，则x ＋1＝±12， ∴x ＝－1±22， 即x 1＝－1＋22，x 2＝－1－22. (4)6x 2－x －12＝0，∴6x 2－x ＝12，∴x 2－16x ＝2， ∴x 2－16x ＋1144＝2＋1144， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1122＝289144， ∴x －112＝±1712， ∴x ＝112±1712， 即x 1＝32，x 2＝－43. 10．B 11．B 12．C13．1 14．13 小 2315．解：(1)x (2x ＋1)＝5x ＋70.去括号，得2x 2＋x ＝5x ＋70.移项、合并同类项，得2x 2－4x ＝70.两边同除以2，得x 2－2x ＝35.配方，得x 2－2x ＋1＝35＋1，即(x－1)2＝36.解得x1＝7，x2＝－5.(2)移项并配方，得x2－2 3x＋(3)2＝－3＋(3)2，即(x－3)2＝0，∴x1＝x2＝ 3.16．：因为(2x2－4x－1)－(x2－2x－4)＝2x2－4x－1－x2＋2x＋4＝x2－2x＋3＝(x2－2x＋1)＋2＝(x－1)2＋2＞0，所以代数式2x2－4x－1的值总大于x2－2x－4的值．17．如图所示，大正方形的边长为x＋4，四个图形面积的和为x2＋4x＋4x＋16＝x2＋8x ＋16，而x2＋8x－9＝x2＋8x＋16－25＝0，所以x2＋8x＋16＝25，即(x＋4)2＝25，取正根得x＝1.。

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2一元二次方程的解法第五课时一元二次方程的根与系数的关系教学任务分析教学目标（1）掌握一元二次方程根与系数的关系。

（2)能运用根与系数的关系求方程的两根之和与两根之积。

（3）学生经历观察→发现→猜想→证明的思维过程，培养学生的分析能力和解决问题的能力。

教学过程问题与情景师生活动设计意图一、温故知新:分别用公式法、因式分解法解方程：22)25(96xxx-=+-复习因式分解及公式法解方程.二、自主学习：1、探究下表中的奥秘，并完成填空.2、将你发现的结论写下来：一元二次方程2=++qpxx的两根分别是1x和2x，那么将qpxx++2因式分解的结果为 .3、运用你发现的规律填空：（1）已知方程x2074-=-x的根是x1和x2，则21xx+= ；21xx=（2）已知方程x2+3x－5=0的根是x1和x2，则21xx+= ；21xx=4、猜想：如果方程0x2=++nmx的根是x1和x2,则21xx+= ;21xx=5、同学们，你们的猜想对不对呢，请同学们应用求根公式分组来证明你们的猜想,好吗？（合作探讨）同学们展示自己的证明。

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系:如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0）的两个根是x1，x2，那么我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0的根与系数的关系．一元二次方程两个根二次三项式因式分解122=+-xx1,121==xx)1)(1(122--=+-xxxx232=+-xx2,121==xx)2)(1(232--=+-xxxx232=-+xx1,2321-==xx)1)((323322+-=-+xxxx2522=++xx2,2211-=-=xx)2)((2252212++=++xxxx31342=++xx==21,xx))((431342++=++xxxx尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

23.2 一元二次方程的解法［课前预习］1、用直接开平方法解下列方程：（1）2(2)2x -=（2）(x －2m)2=4m 2－4mn+n 2 (x 为未知数) （3）(3x －1)2=－5（4）22(2)9(3)x x -=+2、用因式分解法解下列方程：（1）2(2)4(2)x x -=- （2）2(2)(24)(2)0x x x x -+-+=3、用配方法解方程：（1）02222=--t t （2）02=++q px x(x 为未知数)4、用公式法解方程：012=-+x x （精确到0.01）［课内练习］5、关于x 的方程043)5(2=+--mx x m x 是一元二次方程的条件是＿＿＿＿。

6、分式1||322---x x x 的值为零，则x ＝＿＿＿。

7、若最简二次根式132342+--x x x 与是同类二次根式，则x ＝＿＿＿。

8、解方程：m m x +=-3)(29、解关于x 的方程：（1）0)23(2=--x m x （2）0)1(2)1(2=-+-y y y（3）)0(0)(2≠=---m n x n m mx10、若(0)n n ≠是关于x 的方程02=++n mx x 的根，则m+n ＝＿＿＿＿。

11、若单项式22++m m m y ax 是六次单项式，则m ＝＿＿＿＿。

12、已知：关于x 的二次三项式102)42(22+-++-a a x a x 是完全平方式，求a 的值。

13、（1）方程02=++c bx ax 中，若0=++c b a ，则一定有一个根为＿＿＿。

（2）当m_______时，方程02)()1(22=-++-x m m x m 有一个根为1。

14、已知：的值求222222,10)2)(1(y x y x y x +=++-+。

15、已知：y x y x y xy x 43,012722===+-或求证：。

（求xy 呢）16、已知：x 、y 满足等式)(6)(y x y y x x -=+,求x y 的值。

22.2.1 第2课时因式分解法知识点 1 解形如ab＝0的方程1．因为(x－1)(x＋2)＝0，所以x－1________0或x＋2________0，解得x1＝________，x2＝________．2．下列一元二次方程中，两根分别为5和－7的是( )A．(x＋5)(x＋7)＝0 B．(x－5)(x－7)＝0C．(x＋5)(x－7)＝0 D．(x－5)(x＋7)＝0知识点 2 利用提公因式法解一元二次方程3．将方程4x2－3x＝0左边提公因式后，得x(4x－3)＝0，必有________＝0或________＝0，解这两个方程，得原方程的根为x1＝________，x2＝________．4．方程x2＝2x的根是( )A．x＝2 B．x1＝2，x2＝0C．x1＝2，x2＝0 D．x＝05．方程x(x－2)＋x－2＝0的根是( )A．x＝2 B．x1＝－2，x2＝1C．x＝－1 D．x1＝2，x2＝－16．用因式分解法解下列方程：(1)x(x－2)＝x；(2)3x(x－2)＝2(2－x)．知识点 3 利用平方差公式、完全平方公式解一元二次方程7．由4y2－9＝0，可得(______)2－32＝0，则(2y＋3)(______)＝0，所以______＝0或______＝0，解得y1＝________，y2＝________．8．方程x2－4x＋4＝0的解是____________．9．运用平方差公式或完全平方公式解方程：(1)9y2－16＝0; (2)16(x－1)2＝225；(3)2x2－4x＝－2; (4)25x2＝10x－1.10．定义一种新运算：a▲b＝a(a－b)，例如4▲3＝4×(4－3)＝4.若x▲2＝3，则x的值是( )A ．x ＝3B ．x ＝－1C ．x 1＝3，x 2＝1D ．x 1＝3，x 2＝－111．已知方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根分别为2和－5，则二次三项式x 2＋px ＋q 可分解为( )A ．(x ＋2)(x －5)B ．(x －2)(x ＋5)C ．(x ＋2)(x ＋5)D ．(x －2)(x －5) 12．［2016·青海改编］已知一个等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程(x －2)(x －4)＝0的两个根，则该等腰三角形的周长为( )A ．8B ．10C ．8或10D ．1213．关于x 的一元二次方程m (x －p )2＋n ＝0(m ，n ，p 均为常数，m ≠0)的根是x 1＝－3，x 2＝2，则方程m (x －p ＋5)2＋n ＝0的根是____________．14．用因式分解法解下列方程：(1)［教材例2(2)变式］3(x －2)＝5x (2－x )；(2)［教材例3(2)变式］12(2x －5)2－2＝0；(3)x 2＋3＝2(x ＋1)；(4)x 2－4x ＋4＝(3－2x )2.15．小红解方程x (2x －5)＋4(5－2x )＝0的过程如下：先将方程变为x (2x －5)－4(2x －5)＝0，移项得x (2x －5)＝4(2x －5)，方程两边都除以(2x －5)得x ＝4.请你判断小红的解法是否正确，若不正确，请给出正确解法．16．先化简，再求值：x －1x ＋2·x 2－4x 2－2x ＋1÷1x 2－1，其中x 2－x ＝1.17．如果方程ax 2－bx －6＝0与方程ax 2＋2bx －15＝0有一个公共根是3，求a ，b 的值，并分别求出两个方程的另一个根.18．阅读下面的材料，并回答问题．我们知道，把乘法公式(x ±y )2＝x 2±2xy ＋y 2和(x ＋y )(x －y )＝x 2－y 2的左右两边交换位置，就得到了因式分解的公式：x 2±2xy ＋y 2＝(x ±y )2和x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )．同样的道理，我们把等式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab的左右两边交换位置后，得到x2＋(a＋b)x＋ab ＝(x＋a)(x＋b)，也就是说，一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．所以在解方程x2＋3x＋2＝0时，可以把方程变形为(x＋1)(x＋2)＝0，所以x1＝－1，x2＝－2.请模仿这种解法，解下列方程：(1)x2－2x－3＝0；(2)x2－5x＋4＝0.教师详答1．＝ ＝ 1 －2 2. D3．x 4x －3 0 344．B [解析] x 2－2x ＝0，x (x －2)＝0，x ＝0或x －2＝0，所以x 1＝0，x 2＝2. 故选B.5．D [解析] 提取公因式x －2，解方程即可．6．解：(1)移项，得x (x －2)－x ＝0，提公因式，得x (x －2－1)＝0，即x (x －3)＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.(2)由原方程，得(3x ＋2)(x －2)＝0，所以3x ＋2＝0或x －2＝0，解得 x 1＝－23，x 2＝2.7．2y 2y －3 2y ＋3 2y －3 －32 328．x 1＝x 2＝29．解：(1)原方程可化为(3y ＋4)(3y －4)＝0， ∴3y ＋4＝0或3y －4＝0，∴y 1＝－43，y 2＝43.(2)∵16(x －1)2－152＝0，∴[4(x －1)＋15][4(x －1)－15]＝0， ∴4x ＋11＝0或4x －19＝0， ∴x 1＝－114，x 2＝194.(3)原方程可化为2x 2－4x ＋2＝0，两边同时除以2，得x 2－2x ＋1＝0，所以()x －12＝0，解得x 1＝x 2＝1.(4)原方程可化为25x 2－10x ＋1＝0，∴(5x －1)2＝0，∴x 1＝x 2＝15.10．D [解析] ∵x ▲2＝3，∴x (x －2)＝3，整理得x 2－2x －3＝0，(x －3)(x ＋1)＝0，x －3＝0或x ＋1＝0，所以x 1＝3，x 2＝－1.故选D.11． B 12． B[解析] ∵(x －2)(x －4)＝0，∴x 1＝4，x 2＝2. 由三角形的三边关系可得腰长是4，底边长是2， 所以该等腰三角形的周长是4＋4＋2＝10. 故选B.13． x 1＝－8，x 2＝－3 [解析] ∵关于x 的一元二次方程m (x －p )2＋n ＝0(m ，n ，p 均为常数，m ≠0)的根是x 1＝－3，x 2＝2，将方程m (x －p ＋5)2＋n ＝0变形为m [(x ＋5)－p ]2＋n ＝0，则此方程中x ＋5＝－3或x ＋5＝2，解得x ＝－8或x ＝－3.14．解：(1)原方程可化为3(x －2)＋5x (x －2)＝0，∴(x －2)(3＋5x )＝0， ∴x －2＝0或3＋5x ＝0，∴x 1＝2，x 2＝－35.(2)原方程可化为(2x －5)2－22＝0， ∴(2x －5＋2)·(2x －5－2)＝0， ∴(2x －3)(2x －7)＝0，∴2x －3＝0或2x －7＝0，∴x 1＝32，x 2＝72.(3)原方程可化为x 2－2x ＋1＝0，∴(x －1)2＝0，∴x 1＝x 2＝1. (4)原方程可变形为(x －2)2＝(3－2x )2，∴(x －2)2－(3－2x )2＝0， ∴[(x －2)＋(3－2x )][(x －2)－(3－2x )]＝0， 即(1－x )(3x －5)＝0， ∴1－x ＝0或3x －5＝0， ∴x 1＝1，x 2＝53.15．小红的解法不正确．正确解法如下：x (2x －5)＋4(5－2x )＝0， x (2x －5)－4(2x －5)＝0， (2x －5)(x －4)＝0， 2x －5＝0或x －4＝0， ∴x 1＝52，x 2＝4.16．原式＝x －1x ＋2·（x ＋2）（x －2）（x －1）2÷1（x ＋1）（x －1）＝x －1x ＋2·（x ＋2）（x －2）（x －1）2·(x ＋1)(x －1) ＝(x －2)(x ＋1) ＝x 2－x －2.∵x 2－x ＝1，∴原式＝1－2＝－1.17．把x ＝3分别代入两个方程，得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b －6＝0，9a ＋6b －15＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.把a ＝1，b ＝1代入ax 2－bx －6＝0，得 x 2－x －6＝0，即(x －3)(x ＋2)＝0， 解得x 1＝3，x 2＝－2，所以方程ax 2－bx －6＝0的另一个根为－2.把a ＝1，b ＝1代入ax 2＋2bx －15＝0，得x2＋2x－15＝0,即(x－3)(x＋5)＝0，解得x1＝3，x2＝－5，所以方程ax2＋2bx－15＝0的另一个根为－5. 18．解：(1)因为x2－2x－3＝0，所以(x－3)(x＋1)＝0，即x1＝3，x2＝－1.(2)因为x2－5x＋4＝0，所以(x－1)(x－4)＝0，即x1＝1，x2＝4.。