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一次函数与三角形面积专题 姓名： 知识要点：一次函数与三角形面积问题，其本质是一次函数的图象在平面直角坐标系与坐标轴或其他直线所形成的三角形面积问题，一类问题是正向求三角形面积，另一类是逆向的根据三角形面积求点坐标.解决此类问题一定要画图，选择合理的计算方法求三角形面积，或列出计算面积的方程. 1.正向求面积：通过求点坐标，然后从坐标到距离（要加绝对值），求其面积； 例1：直线y =2x +4与坐标轴围成的三角形面积：如图，先求直线与x 、y 轴交点A 、B 的坐标A （-2,0）、B （0,4），S △ABC =4422121=⨯⨯=⋅⋅OB OA . 例2：直线y=2x +4、y= －x +1与x 轴围成的三角形面积：如图，先分别求出两条直线与x 轴的交点A 、C 的坐标A （-2,0）、C （1,0），在联立方程组求两出两条直线的交点D 的坐标D （-1,2）， S △ACD =32)2(12121=⨯--⨯=⋅⋅C y AC .2. 根据面积逆向求坐标（表达式）：一般地，通过求距离到坐标（要注意双解），然后求其坐标（或表达式）； 例3：如图，在直线y= －x +1上，求点P 使得.6=∆ACP S 此时4,632121==⨯⨯=⋅⋅=∆P P P ACP y y y AC S ∴P （-3,4）或（5,-4）3.关于双轨平行线：若ABC ABP S S ∆∆=，由同底等高可以得出：点P 在与AB 平行，且到AB 的距离等于点C 到AB 的距离的两条直线上.然后求其直线表达式，求交点坐标.4.关于铅垂高与水平宽：一般的，由三角形的任意顶点向对边作y 轴平行线，该顶点与另一边的交点之间的线段叫铅垂高，另两点之间的水平距离叫水平宽，此时水平宽铅垂高⨯⨯=∆21S . 典型练习：1．直线y ＝－2x +4与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，则△AOB 的面积为 ；过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，且使OP ＝2OA ，△P AB 的面积为 ．2．直线y ＝－x +4、直线y ＝2和直线x=1围成的三角形面积为 ．3．直线y ＝－2x +4、直线y ＝—x －1与x 轴围成的三角形面积为 ．4．一次函数y ＝（m +1）x +23的图象与x 轴的相交于点A ，与y 轴相交于点B ，若△OAB 的面积为43，则m 的值为 ．5．直线y ＝－2x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．过点A 作直线AP 与y 轴交于点P ，若S △ABP ＝2S △ABO ，则P 点坐标为 ；若S △ABP ＝2S △APO ，则直线AP 的表达式为 ．D C7．如图，已知直线y ＝2x +10，与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ．若点P （a ，b ）为线段AB 上的一个动点，作PE ⊥y 轴于点E ，PF ⊥x 轴于点F ，连接EF ，则：①若△PBO 的面积为S ，则S 关于a 的函数关系式为 ；（并写出自变量取值范围）②EF 的最小值为 ．8．如图，直线y ＝32 x +2与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，∠BAC ＝90°，则点C 的坐标为 ；若点P （1，a ）为坐标系中的一个动点，要使得△ABC 和△ABP 的面积相等，则a的值为 ．9．如图，在平面直角坐标系中，直线l 1与y 轴交于点A ，点B （﹣3，3）也在直线l 1上，将点B 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C ，点C 恰好也在直线l 1上．（1）求直线l 1的表达式；（2）若将点C 先向左平移3个单位，再向上平移6个单位得到点D ，请你判断点D 是否在直线l 1上；（3）已知直线l 2：y ＝x +b 经过点B ，与y 轴交于点E ，那么是否在直线l 2上存在点P ，使得S △AEP =S △AEC ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－34x +4与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，点D 在y 轴的负半轴上，若将△DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处．（1）求直线CD 的表达式；（2）若直线AB 与直线CD 交于点E ，求△ADE 的面积；（3）直线CD 上是否存在点P ，使得S △ABP ＝2S △ABO ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
一次函数与x轴y轴围成的三角形面积公式在咱们学习数学的旅程中，一次函数可是个重要的角色。
今天，咱们就来好好聊聊一次函数与 x 轴、y 轴围成的三角形面积公式这个有趣的话题。
还记得我上初中那会，有一次数学考试，最后一道大题就考到了这个知识点。
当时我拿到试卷，心里还美滋滋的，想着前几天刚认真复习过，这题肯定能拿下。
题目是这样的：已知一次函数 y = 2x + 4 ，求它与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积。
我一开始信心满满，先求出了与 x 轴、y 轴的交点坐标。
当 y = 0 时，2x + 4 = 0 ，解得 x = -2 ，所以与 x 轴的交点坐标是（-2，0）；当 x = 0 时，y = 4 ，与 y 轴的交点坐标就是（0，4）。
然后我就按照老师教的方法，算出了三角形的底和高。
以与 x 轴的交点到原点的距离为底，长度是 2 ；以与 y 轴的交点到原点的距离为高，长度是 4 。
最后用三角形面积公式 S = 1/2 ×底 ×高，算出面积是4 。
做完这道题，我心里那个得意呀，觉得自己肯定能拿高分。
可等到试卷发下来，我傻眼了，居然因为粗心，计算过程中少写了一个负号，扣了好几分。
那叫一个懊悔啊！好了，言归正传，咱们来说说一次函数与 x 轴、y 轴围成的三角形面积公式到底是怎么回事。
对于一次函数 y = kx + b （k≠0），它与 x 轴的交点坐标为（ -b/k ，0 ），与 y 轴的交点坐标为（0，b）。
那这个三角形的底就是与 x 轴交点的横坐标的绝对值，也就是 | -b/k | ；高就是与 y 轴交点的纵坐标的绝对值，即 | b | 。
所以，这个三角形的面积 S 就可以表示为：S = 1/2 × | -b/k | × | b | 。
为了更好地理解这个公式，咱们再来看几个例子。
比如一次函数 y = 3x - 6 ，它与 x 轴的交点，令 y = 0 ，3x - 6 = 0 ，解得 x = 2 ，交点坐标就是（2，0）；与 y 轴的交点，令 x = 0 ，y = -6 ，交点坐标是（0，-6）。
专题：一次函数与坐标轴围成的图形面积问题复习：知识回顾：复习1、函数y=-5x+2与x 轴的交点是 ，与y 轴的交点是 ,与两坐标轴围成的三角形面积是 。
复习2.已知直线y =x +6与x 轴、y 轴围成一个三角形，则这个三角形面积为 ___ 。
复习3.已知：一次函数y ＝(1－2m)x+m －2，问是否存在实数m ，使（1）经过原点（2）y 随x 的 增大而减小（3）该函数图象经过第一、三、四象限（4）与x 轴交于正半轴（5）平行于直线y ＝-3x －2（6）经过点（-4，2）复习4.已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当1x <时，y 的取值范围是（ ） Ａ．20y -<<Ｂ．40y -<< Ｃ．2y <- Ｄ．4y <-复习5.一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中，正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3a b + 第5题例1：已知直线y=3x-6，画出函数图像，并求出一次函数图像与两坐标轴围成的三角形面积2、作业：直线y=4x－2与直线y=－x+13及x轴所围成的三角形的面积？3、作业：求直线y=2x－7，直线1122y x=-+与y轴所围成三角形的面积．例2已知一次函数的图像过点B（0，4）且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求此一次函数的解析式？变形1：已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，求直线解析式；变形2：已知一次函数的图像经过点A（2，0），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求此一次函数的解析式？例3：一次函数图像交于x轴于点A（6，0），与正比例函数图像交于点B，且点B在第一象限，其横坐标是4，若△ABO的面积等于15，求这个正比例函数和一次函数的解析式？巩固练习：已知已知直线L1经过点A（-1，0）与点B（2，3），另一条直线L2经过点B，且与x轴相交于点p（m，0）若△APB的面积等于3，求m值和L1、L2的解析式？例4.直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点，直线L经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分成1：1两部分，求直线L的解析式；例5..已知一次函数y＝kx＋b的图像经过点（－1，－5），且与正比例函数1y=x2的图像相交于点（2，a），求（1）a的值；（2）k、b的值；（3）这两个函数图像与坐标轴所围成的三角形面积。
一次函数与坐标轴围成的面积专题05081.已知一次函数和的图象都经过点A（2，0），且与y轴分别交于B，C两点，则△ABC的面积是多少？2.已知一次函数y=kx+(k-3)与一次函数y=2x+b交于点A（1，3），则两条直线的函数图象与x 轴所围成的三角形的面积是多少？3.已知一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，10），且与正比例函数y=2x的图象相交于点A（2，a），则这两个函数图象与y轴所围成的三角形的面积是多少？4.已知一次函数y=kx+b的图象经过点（3，-3），且与直线y=4x-3的交点在x轴上，则此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为多少？5.已知一次函数的图象经过点（-2，0），它与坐标轴围成的三角形面积等于1，则这个一次函数的函数表达式是多少？课后练习1、下列函数中，不是函数关系的是（ ）A 、y=x （x>0）B 、y=x -（x<0）C 、y=±x （x>0）D 、 y=－x （x>0）; 2、下列各图象中，y 不是x 函数的是（ ）A 、B 、C 、D 、 3、 下列函数中，表示同一函数的是（ ）A 、y=x 与y=x2x B 、y=x 与y=()2x C 、y= x 与y=33x D.y= x 与y=2x4、当时，函数和的函数值相等，则.5、已知等腰三角形的周长为16cm ，将底边长y （cm ）表示成腰长x （cm ）的函数关系式是，自变量x 的取值范围是.6、已知函数，当时，自变量x 的取值范围是，当时，函数值y 的取值范围是 .7、函数231y +=x 的图像经过点A （，0）和点B （0，）. 8、用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(m 2)与一边长l (m)之间的函数关系式为________，自变量l 的取值范围是_________． 9、函数112++--=x x x y 的自变量x 的取值范围为. 10、钓鱼岛自古就是中国领土，中国政府已对钓鱼岛开展常态化巡逻.某天，为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速前进，结果恰好准点到达.如图是该艇行驶的路程y （海里）与所用时间t （小时）的函数图象，则该巡逻艇原计划准点到达的时刻是．2x =2y kx =-2y x k =-k =1y x =-12y ≤<33x -≤≤x11.已知点P（3，m）、Q（n，2）都在函数y=x+b的图像上，求m+n的值.12、已知等腰直角三角形△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm ，AC与MN 在同一直线上，开始A与M重合，让△ABC向右移动，最后C与N重合，试写出重叠部分cm与MA的长度x cm之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。
专题09 一次函数中的三角形问题知识对接考点一、怎样解直线与坐标轴围成图形的面积问题1．求直线与坐标围成的三角形的面积时，一般将在坐标轴上的其中一边作为底，另一边作为高来求面积专项训练一、单选题1．已知直线1:1l y kx k =++与直线2:(1)2l y k x k =+++，（k 为正整数），记直线1l 和2l 与x 轴围成的三角形面积为k S ，则12310S S S S +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．511B ．1011C ．920D ．50101【答案】A 【分析】变形解析式得到两条直线都经过点(1,1)-，即可证出无论k 取何值，直线1l 与2l 的交点均为定点(1,1)-；先求出1y kx k =++与x 轴的交点和(1)2y k x k =+++与x 轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出k S ，求出11112124S =⨯=⨯，21(2S =⨯11)23-，以此类推101(2S =⨯11)1011-，相加后得到11(1)211⨯-． 【详解】解：直线1:1(1)1l y kx k k x =++=++，∴直线1:1l y kx k =++经过点(1,1)-；直线2:(1)2(1)(1)1(1)(1)1l y k x k k x x k x =+++=++++=+++，∴直线2:(1)2l y k x k =+++经过点(1,1)-．∴无论k 取何值，直线1l 与2l 的交点均为定点(1,1)-．直线1:1l y kx k =++与x 轴的交点为1(k k+-，0)， 直线2:(1)2l y k x k =+++与x 轴的交点为2(1k k +-+，0)， 1121||1212(1)K k k S k k k k ++∴=⨯-+⨯=++， 11112124S ∴=⨯=⨯；123101111[]212231011S S S S ∴+++⋯+=++⋯⨯⨯⨯111111[(1)()()]22231011=-+-+⋯+- 11(1)211=⨯- 110211=⨯ 511=， 故选：A ． 【点睛】此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x 轴的交点的纵坐标为0，与y 轴的交点的横坐标为0．2．已知2,2a b b a +=≤，那么对于一次函数y ax b =+，给出下列结论：①函数y 一定随x 的增大而增大；①此函数图象与坐标轴所围成的三角形面积最大为43，下列判断正确的是（ ）A ．①正确，①错误B ．①错误，①正确C ．①，①都正确D ．①，①都错误【答案】A 【分析】根据一次函数的性质、配方法即可解决问题； 【详解】 解：2a b +=，2b a ∴=-，2b a ≤，22a a ∴-≤，23a ∴≥， 2y ax a ∴=+-，0a >，y ∴随x 的增大而增大，故①正确，函数图象与坐标轴所围成的三角形面积211||||22b b S b a a==，此函数没有最大值，故①错误， 故选：A ． 【点睛】本题考查一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是灵活运用一次函数知识解决问题，属于中考常考题型．3．将一次函数y ＝2x +4的图象向右平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是9，则平移距离是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B 【分析】直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积公式得出答案 【详解】设平移的距离为k （k ＞0），则将一次函数y =2x +4向右平移后所得直线解析式为：y =2（x -k ）+4=2x -2k +4． 易求得新直线与坐标轴的交点为（k -2，0）、（0，-2k +4）所以，新直线与坐标轴所围成的三角形的面积为：2?2429k k --+÷=，变形得229k -=（），解得k =5或k =-1（舍去）． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出平移后解析式是解题关键． 4．下列关于一次函数2y x =-+的图象性质的说法中，不正确的是（ ） A ．直线与x 轴交点的坐标是(0,2) B ．与坐标轴围成的三角形面积为2 C ．直线经过第一、二、四象限 D ．若点(1,)A a -，(1,)B b 在直线上，则a b >【答案】A 【分析】根据一次函数的图像与性质可直接进行排除选项． 【详解】解：由一次函数2y x =-+，可得：10,20k b =-<=>， ①一次函数经过第一、二、四象限，故C 不符合题意； 令x=0时，则y=2，令y=0时，则02x =-+，解得：2x =， ①直线与x 、y 轴的交点坐标为()2,0和()0,2，故A 错误，符合题意； ①直线与坐标轴围成的三角形面积为12222⨯⨯=，故B 正确，不符合题意；①k ＜0，①y 随x 的增大而减小，①若点(1,)A a -，(1,)B b 在直线上，则a b >，故D 正确，不符合题意； 故选A ．【点睛】本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．5．如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP①AB于点A．若点C 是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与①AOB 全等，则OD的长为（）A．2B．3C．2D．3【答案】D【分析】利用一次函数与坐标轴的交点求出①AOB的两条直角边，并运用勾股定理求出AB．根据已知可得①CAD＝①OBA，分别从①ACD＝90°或①ADC＝90°时，即当①ACD①①BOA时，AD ＝AB，或①ACD①①BAO时，AD＝OB，分别求得AD的值，即可得出结论．【详解】解：①直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝2，①A（1，0），B（0，2）．①OA＝1，OB＝2．①AB①AP①AB，点C是射线AP上，①①BAC＝90°，即①OAB＋①CAD＝90°，①①OAB＋①OBA＝90°，①①CAD＝①OBA，若以C、D、A为顶点的三角形与①AOB全等，则①ACD＝90°或①ADC＝90°，即①ACD①①BOA或①ACD①①BAO．如图1所示，当①ACD①①BOA时，①ACD＝①AOB＝90°，AD＝AB，①OD＝AD＋OA1；如图2所示，当①ACD①①BAO时，①ADC＝①AOB＝90°，AD＝OB＝2，①OD＝OA＋AD＝1＋2＝3．综上所述，OD的长为31．故选：D．【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．6．将一次函数y＝3x向左平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是24，则平移距离（）A．4B．6C．D．12【答案】A【分析】根据题意直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积公式。
一次函数与坐标轴的交点及所形成三角形的面积编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（一次函数与坐标轴的交点及所形成三角形的面积）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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一次函数与坐标轴的交点及所形成三角形的面积1、如果直线y=—2x+k 与两坐标轴所围成的三角形面积是9,则k 的值为_____．2、若直线和直线的交点坐标为（），则____________。
3、在直角坐标系中,已知A （1，1),在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形,则符合条件的点P 共有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D)4个6、如图，A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点，点P （2，p ）在第一象限,直线PA 交y 轴于点C （0，2），直线PB 交y 轴于点D ，△AOP 的面积为6；（1）求△COP 的面积；（2）求点A 的坐标及p 的值；（3)若△BOP 与△DOP 的面积相等，求直线BD 的函数解析式.7、已知:经过点（-3，-2），它与x 轴，y 轴分别交于点B 、A ，直线经过点（2，-2），且与y 轴交于点C （0,-3）,它与x 轴交于点D(1）求直线的解析式;（2）若直线与交于点P ，求的值。
a x y +-=b x y +=8,m =+b a (2,p)yxP O F E D C B A9、如图，直线L:与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点C （0，4),动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动。
（1)求A 、B 两点的坐标；(2）求△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；（3)当t 何值时△COM≌△AOB ，并求此时M 点的坐标。
专题：一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积问题类型1 已知图象求三角形的面积例1.【教材母题】点P(x，y)在第一象限，且x＋y＝8，点A的坐标为(6，0)．设△OPA的面积为S.(1)用含x的式子表示S，写出x的取值范围，画出函数S的图象；(2)当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为多少？(3)△OPA的面积能大于24吗？为什么？解：(1)∵点A和点P的坐标分别是(6，0)，(x，y)，∴S＝12×6×y＝3y.∵x＋y＝8，∴y＝8－x.∴S＝3(8－x)＝24－3x.∴S＝－3x＋24.∵点P在第一象限，∴x＞0，y＞0，即x＞0，8－x＞0.∴0＜x＜8. 图象如图所示．(2)当x＝5时，S＝－3×5＋24＝9.(3)不能．理由：令S＞24，则－3x＋24＞24.解得x＜0.∵由(1)，得0＜x＜8，∴△OPA的面积不能大于24.针对练习：1．如图，直线l 1在平面直角坐标系中，直线l 1与y 轴交于点A ，点B(－3，3)也在直线l 1上，将点B 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C ，点C 恰好也在直线l 1上．(1)求点C 的坐标和直线l 1的解析式；(2)已知直线l 2：y ＝x ＋b 经过点B ，与y 轴交于点E ，求△ABE 的面积．解：(1)由题意，得点C 的坐标为(－2，1)．设直线l 1的解析式为y ＝kx ＋c ，∵点B(－3，3)，C(－2，1)在直线l 1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋c ＝3，－2k ＋c ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，c ＝－3.∴直线l 1的解析式为y ＝－2x －3.(2)把点B 的坐标代入y ＝x ＋b ，得3＝－3＋b ，解得b ＝6.∴y ＝x ＋6.∴点E 的坐标为(0，6)．∵直线y ＝－2x －3与y 轴交于点A ，∴A 的坐标为(0，－3)．∴AE ＝6＋3＝9.∵B(－3，3)，∴S △ABE ＝12×9×|－3|＝13.5.2．如图，在平面直角坐标系中，点A (0，4)在y 轴上，点B (－8，0)在x 轴上．(1)求直线AB 的函数解析式；(2)若x 轴上有一点P 使得∠APO ＝2∠ABO ，求△ABP 的面积．解：(1)设直线AB 的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将A (0，4)，B (－8，0)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，－8k ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝4，∴直线AB 的函数解析式为y ＝12x ＋4. 设点P 的坐标为(t ，0)，分两种情况考虑，如图所示．①点P 在x 轴上原点的左侧．当PB ＝AP 时，∠APO ＝2∠ABO .在Rt △APO 中，AP＝BP＝t－(－8)＝t＋8，AO＝4，PO＝－t，∵AP2＝AO2＋PO2，即(t＋8)2＝42＋(－t)2，解得t＝－3，∴BP＝8－3＝5.∴S△ABP＝12BP·AO＝12×5×4＝10.②点P在x轴上原点的右侧．由对称性，可得点P′的坐标为(3，0)，此时，BP′＝8＋3＝11，∴S△ABP′＝12BP′·AO＝12×11×4＝22.综上，△ABP的面积为10或22.3．如图，点A，B的坐标分别为(0，2)，(1，0)，直线y＝12x－3与y轴交于点C、与x轴交于点D.(1)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，求直线AB与CD交点E的坐标；(2)四边形OBEC的面积是4．解：把A(0，2)，B(1，0)代入y＝kx＋b，得。
