七年级数学竞赛 第1讲 质数、合数与因数分解

七年级数学质数知识点总结数学中，质数是一类特殊的整数，指只能被1和本身整除的正整数，如2、3、5、7等。

而合数则是指可以被多个正整数整除的正整数，如4、6、8、9等。

质数与合数是数学上的基本概念，掌握质数的知识对于理解数学的基础知识、解决实际问题等都有着重要的作用。

下面就让我们一起来总结一下七年级数学中的质数知识点。

一、质数的定义和性质1.定义：质数是指只能被1和本身整除的正整数。

2.性质：（1）质数只能被1和本身整除；（2）除了2以外，其他的质数都是奇数；（3）没有大于1的质数是其他质数的平方。

二、从质因数分解的角度理解质数1.质因数分解的定义：将一个合数分解成若干个质因数相乘的形式。

例如：24=2×2×2×3，36=2×2×3×3。

2.质因数分解的基本步骤：将合数分解成质数，即不断地将合数分解，直到不能再分解为止。

例如：48=2×2×2×2×3。

3.利用质因数分解的知识，可以求出一个数的因数、最大公因数、最小公倍数等。

三、如何判断一个数是否为质数1.试除法：将该数分别除以2、3、4、5、6、……，如果存在一个数能够整除该数，则该数不是质数，否则就是质数。

例如：判断17是否为质数，分别将其除以2、3、4、5、6、……，发现都不能整除17，所以17是质数。

2.规律法：在一定范围内，如果一个数不能被这个范围内的其他质数整除，则该数为质数。

例如：判断101是否为质数，范围在2～10之间的质数有2、3、5、7，发现都不能整除101，所以101是质数。

四、素数和合数的关系1.素数是指只有1和自身两个因数的数，即质数。

2.合数是指不是素数的数，即除了1和本身还有其他因数的数。

3.素数和合数是互不相同的，每个自然数必定是素数或是合数之一。

五、质数在生活中的应用1.密码学：例如RSA加密算法、Diffie-Hellman密钥交换算法等都是基于质数的知识而设计的。

奥数质数合数分解质因素讲义及答案数的整除（2）质数、合数、分解质因数教室姓名学号【知识要点】1、质数与合数自然数按其因数的个数可以分成三类：（1）单位1：只含有1这一个因数的自然数。

（2）质数（也称为素数）：只含有1与它本身这两个因数的自然数。

（质数有无穷多个，不存在最大的质数，但有最小的质数2，而且2是质数中唯一的偶数。

）（3）合数：含有三个或三个以上因数的自然数。

（4）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

（5）因数个数定理：例如：1980=22×32×5×11所以：（T表示因数个数）T（1980）=（1+2）×（1+2）×（1+1）×（1+1）=36 （6）因数和的定理：例如：1980=22×32×5×11所以：S（1980）=（02+12+22）×（03+13+23）×（05+15）×（011+111）=7×13×6×12=6552【典型例题】例1、两个质数的和是49，这两个质数的积是多少？解：因为两个质数的和49是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数中只有2是质数，于是另一个质数是49－2=47，从而得到它们的积是2×47=94。

例2、有三张卡片，上面分别写着2、3、4三个数字，从中任意抽出一张、两张、三张，按任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，写出其中的质数。

解：由于2+3+4=9是3的倍数，所以任意排出的三位数都不是质数。

任意取两张卡片排出的两位数，末尾数字不能是2和4，只能排3.所以用2、3、4三个数字排出两位质数有23和43.取一张卡片排出的质数有2和3.所以最后排出的质数有2、3、23、43这四个。

例3、360这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？解：360=2×2×2×3×3×5=23×32×5，所以360有（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个因数。

分解质因数知识点总结一、质数与合数的概念1. 质数的定义：质数是指大于1的自然数，除了1和自身外没有其他的因数的数。

例如，2、3、5、7、11、13等都是质数。

2. 合数的定义：合数是指大于1的自然数，除了1和自身外还有其他的因数的数。

例如，4、6、8、9、10等都是合数。

3. 1既不是质数也不是合数。

二、分解质因数的基本概念1. 质因数的定义：一个大于1的自然数，如果它除了1和自身之外没有其他的因数，那么就称为这个数的质因数。

2. 分解质因数的概念：任何一个大于1的自然数都可以被分解成一些质数的乘积，这种分解的过程就是分解质因数。

三、分解质因数的方法1. 分解质因数的主要方法：不断地用最小的质因数去除给定的数，直到剩下的商是一个质数为止。

2. 举例说明：例如，要分解120的质因数，首先用最小的质数2去除，得60，再用2去除，得30，然后用2去除，得15，再用3去除，得5，所以120=2×2×2×3×5。

四、分解质因数的基本定理1. 分解质因数的基本定理：任何一个大于1的合数，都可以唯一地分解成有限个质数的乘积，而且这种分解只有一种方式。

2. 定理的说明：这个定理表明，任何一个合数都可以被唯一地分解成一些质数的乘积，而且这种分解方法是唯一的。

五、分解质因数的实际问题1. 在数学中的应用：分解质因数是数学中的一个基本技能，它应用广泛，比如在约分分数、求最大公因数和最小公倍数、解方程和解不定方程组等问题中都会用到分解质因数的知识。

2. 在实际生活中的应用：分解质因数在实际生活中也有着广泛的应用，比如在化简分式、计算最优组合、分配资源和解决排队等问题中都可以用到分解质因数的知识。

六、分解质因数的拓展应用1. 在素因子分解定理中的应用：素因子分解定理是分解质因数的一个重要拓展，它进一步说明了任何一个合数都可以被分解成有限个质数的乘积，且这种分解方法是唯一的。

2. 在公因数和公倍数中的应用：分解质因数可以帮助我们求最大公因数和最小公倍数，这些问题经常出现在实际生活和数学中。

初中数学知识归纳分解质因数质因数是数学中一种非常重要的概念，对于初中学生来说，理解和掌握分解质因数的方法和技巧是非常必要的。

本文将对初中数学知识中关于分解质因数的理论和应用进行归纳总结，以帮助读者更好地掌握这一知识点。

一、质数和合数在分解质因数之前，我们首先要了解质数和合数。

质数指的是只能被1和自身整除的自然数，而大于1且不是质数的自然数称为合数。

根据这个定义，我们可以得到一个结论：每个自然数要么是质数，要么可以唯一地分解为几个质数的乘积。

这个结论就是分解质因数的基本思想。

二、分解质因数的基本方法1. 短除法短除法是分解质因数的一种常用方法，它适用于较小的数。

具体步骤如下：（1）将待分解的数写成一个等式：被分解数=质因数 ×商。

（2）找到被分解数的最小质因数，用这个质因数去除被分解数，得到商和余数。

（3）如果余数为0，那么这个质因数就是待分解数的一个因数，同时商就是新的被分解数。

回到（1）继续进行下一轮操作。

（4）如果余数不为0，那么需要寻找下一个质因数进行操作。

（5）重复上述步骤，直到商为1为止。

2. 利用分解质因数的结果求最大公因数和最小公倍数分解质因数不仅可以用来分解一个数，还可以用来求两个数的最大公因数和最小公倍数。

（1）求最大公因数：将两个数分别进行分解质因数，然后取相同的质因数相乘，得到的结果就是这两个数的最大公因数。

（2）求最小公倍数：将两个数分别进行分解质因数，然后取不同的质因数和相同的质因数的最高次幂相乘，得到的结果就是这两个数的最小公倍数。

三、应用举例为了更好地理解和掌握分解质因数的方法，下面通过一些具体的例子进行应用讲解。

1. 分解质因数的例子（例一）分解质因数：36首先我们可以发现36可以被2整除，所以36=2×18。

然后再继续分解18，可以发现18可以被2整除，所以18=2×9。

继续分解9，可以发现9可以被3整除，所以9=3×3。

质数和合数的判定与因数分解一、质数和合数的定义1.质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数。

2.合数：一个大于1的自然数，除了1和它本身以外还有其他因数。

二、质数和合数的判定方法1.试除法：从2开始，依次用自然数去除该数，如果都不能整除，则为质数；如果有一个能整除，则为合数。

2.埃拉托斯特尼筛法：用于找出一定范围内所有质数。

三、因数分解1.定义：把一个合数写成几个质数的乘积的形式。

a.从最小的质数开始，依次尝试去除该数，直到无法整除为止。

b.把每次除得的质数写在下方，乘积写在上方。

c.最后得到的乘积就是该数的因数分解式。

四、质数和合数在数学中的应用1.数论：质数和合数是数论中的基本概念，广泛应用于密码学、信息安全等领域。

2.因数分解：在数学、物理、化学等领域中，经常需要对数值进行因数分解，以找出基本的因子。

3.最大公约数和最小公倍数：质数和合数在求解最大公约数和最小公倍数问题时具有重要意义。

五、质数和合数的性质1.质数是无限的，且分布没有规律。

2.除了2以外的所有质数都是奇数。

3.任何一个合数都可以写成几个质数的乘积。

4.质数和合数在自然数中是交替出现的。

六、质数和合数的相关定理1.费马小定理：如果p是一个质数，a是小于p的整数，那么a^(p-1)≡ 1 (mod p)。

2.中国剩余定理：解决同余方程组的问题。

七、质数和合数的问题拓展1.孪生素数猜想：猜想存在无穷多对素数，它们的差为2。

2.哥德巴赫猜想：任何大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。

3.黎曼猜想：研究复平面上的黎曼ζ函数的零点分布。

八、质数和合数在生活中的应用1.密码学：利用质数的性质，设计安全的密码系统。

2.计算机科学：在算法设计、加密技术等领域中广泛应用。

3.信息安全：质数和合数在加密算法、数字签名等领域具有重要意义。

质数和合数是数学中的基本概念，掌握它们的定义、判定方法和因数分解对于深入学习数学具有重要意义。

24.质数、合数与因数分解知识纵横一个大于1的正整数,若除了1与它自身,再没有其他的约数,•这样的正整数叫做质数;一个大于1的正整数,除了1与它自身,若还有其他的约数,这样的正整数称为合数,这样,我们可以按约数个数将正整数分为三类:正整数1⎧⎪⎨⎪⎩单位质数合数质数、合数有下面常用的性质:1.1不是质数,也不是合数;2是惟一的偶质数.2.若质数p│ab,则必有p│a或p│b.3.若正整a,b的积是质数p,则必有a=p或b=p.4.算术基本定理:任意一个大于1的整数N能分解成k个质因数的乘积,•若不考虑质因数之间的顺序,则这种分解是惟一的,从而N可以写成标准分解形式:N=p1a1·p2a2·…p k ak其中p1<p2<…<p k,p i为质数,a i为非负整数.(i=1,2,…k).例题求解【例1】已知三个不同的质数a,b,c满足ab b c+a=2000,那么a+b+c=_____.(第15届江苏省竞赛题) 思路点拨运用乘法分配律、算术基本定理,从因数分解入手,突破a的值.解:42 提示：由a(b b c+1)=24×53.【例2】不超过100的所有质数的乘积减去不超过60且个位数字为7•的所有质数的乘积所得之差的个位数字是( ).A.3B.1C.7D.9思路点拨从寻找适合题意的质数入手.解:选D 提示2与5的积为10，不超过60且个位数字为7的所有质数共4个，它们是7，17，37，47，10-1=9。

【例3】求这样的质数,当它加上10和14时,仍为质数. (上海市竞赛题)思路点拨由于质数的分布不规划,不妨从最小的质数进行实验,但这样的质数惟一吗?还需按剩余类的方法进行讨论.解:3符合要求提示：当p=3k+1时，p+10=3k+11,P+14=3(k+5),显然p+14是合数；当p=3k+2时，p+10=3(k+4)是合数，当p=3k时，只有k=1才符合题意。

初中数学竞赛辅导资料0103质数合数3. 质数合数甲内容提要 1. 正整数的一种分类：合数质数1质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）.合数的定义：一个正整数除了能被1和它本身整除外，还能被其它的正整数整除，这样的正整数叫做合数.2. 根椐质数定义可知① 质数只有两个正约数，1和它本身.② 质数中是偶数的只有一个，它就是2.如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2.3. 任何合数都可以分解为几个质数的积；能写成几个质数的积的正整数就是合数. 乙例题例1.己知：两个整数的积等于质数m.求：这两个数.解：∵质数m 只含两个正约数1和m,又∵（－1）（－m ）=m ，∴所求的两个整数是1和m ；或者是－1和－m..例2.己知：三个质数a, b, c 它们的积等于30.求：适合条件的a, b, c 的值.解：分解质因数：30＝2×3×5.适合条件的值共有： 235a b c =??=??=?，，；253a b c =??=??=?，，；325a b c =??=??=?，，；352a b c =??=??=?，，；523a b c =??=??=?，，；532.a b c =??=??=?，，应注意上述六组值的书写排列顺序.本题如果改为4个质数a, b, c, d 它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7，那么适合条件的a ，b ，c ，d 值共有24组，试把它写出来. 例3.已知三个质数 a 、b 、c 满足等式a+b+c+abc=99,那么a c c b b a ?+?+?的值等于多少？（2000年江苏省初中数学竞赛题）解：要使四个自然数a 、b 、c 、abc 的和等于奇数99，它们中必须有1个或3个是偶数（本题不可能是1个偶数），而质数中的偶数只有2，故可令a=b=2 (∵题中a 、b 、c 是轮换对称)，得2+2+c+4c=99, c=19,∴a c c b b a ?+?+?＝17170++－＝34 例4.试写出4个连续正整数，使它们个个都是合数.解：（本题答案不是唯一的）.设N 是不大于5的所有质数的积，即N ＝2×3×5.那么N ＋2，N ＋3，N ＋4，N ＋5就是适合条件的四个合数.∴32，33，34，35就是所求的一组数.本题可推广到n 个正整数. 令N 等于不大于n+1的所有质数的积，那么：N ＋2，N ＋3，N ＋4，……N ＋（n+1）.就是所求的n 个合数.丙练习31. 小于100的质数共___个，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2. 己知质数P 与奇数Q 的和是11，则P ＝＿＿，Q ＝＿＿.3. 己知两个素数的差是41，那么它们分别是＿＿＿＿＿.4. 如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是＿＿＿.如果两个整数的积等于73，那么它们是＿＿＿＿.如果两个质数的积等于15，则它们是＿＿＿＿＿.5. 两个质数x 和y ，己知xy=91,那么x=＿＿＿, y=＿＿＿；或x=＿＿，y=＿＿.6. 三个质数a, b, c 它们的积等于1990.那么===c b a 7. 能整除311＋513的最小质数是（）（A ）2；（B ）3；（C ）5；（D ）311＋513；（E ）以上都不对.（美国中学数学竞赛试题）8. 己知：两个质数A 和B ，适合等式A ＋B ＝99，AB ＝M.求：M 及B A ＋AB 的值. 9. 试写出6个连续正整数，使它们个个都是合数.10. 具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？11. 求适合下列三个条件的最小整数：①大于1. ②没有小于10的质因数③不是质数.12. 某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，那么这个质数是＿＿＿.13. 一个质数加上10或减去14都仍是质数，试写出满足条件的任意3个质数.14. 若510510的所有质因数按照从小到大排列为a 1,a 2,a 3,……,a k (k 为最大质因数的序号)，则（a 1－a 2）（a 2－a 3）（a 3－a 4）.…（a k －1－a k ）的值是＿＿.（2000年希望杯邀请赛初二试题）15. 已知a=162005+?，则a 是（）（A ）合数；（B ）质数；（C ）偶数；（D ）负数.（2005年希望杯邀请赛培训初一试题）16. 在正整数中，不能写成三个不相等合数之和的最大奇数是＿＿.（2001年希望杯邀请赛初一试题）17. 当x 取1到10的整数时，整式x 2+x+11所对应的数值中质数的个数是（）（A ）10；（B ）9；（C ）8；（D ）7. （2002年希望杯邀请赛初一试题）部分参考答案练习31. 25个2. 2，93. 2，434. 1，19； 1，73或－1，－73； 3，5.5 ==713y x ?==137y x 6. 1990＝2×5×199 有6组：2,2,5,5,199,199,5,199,2,199,2,5,199;5;199;2;5; 2.a a a a a a b b b b b b c c c c c c ==================??????7.（A ） 8. ==972B A ==297B A 9. 令N ＝2×3×5×7＝210，所求合数为N ＋2，N ＋3，……，N+7.10. 分母只含2和5的质因数11. 11×11 12. 3713. 19, 31，37. 14. 128 ∵510510＝2×3×5×7×11×13×1715.（A ） 16. 17 17.（B ）。

初中数学竞赛辅导资料第一讲 数的整除一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除。

0能被所有非零的整数整除.能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除.如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686, 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99(能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。

求x,y解:x ，y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6。

∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位4x 能被4整除时，x ＝0，4，8∴x ＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4)－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263.练习一1、分解质因数：(写成质因数为底的幂的连乘积）①756②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2、若四位数ax能被11整除，那么x＝__________3、若五位数123435m能被25整除4、当m=_________时，59610能被7整除5、当n=__________时，n6、能被11整除的最小五位数是________，最大五位数是_________7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。

质数与合数的分解与因数分解质数与合数是数学中两个重要的概念，它们在数论和代数中都有广泛应用。

本文将详细讨论质数与合数的分解以及因数分解的相关知识。

一、质数的分解质数是指只能被1和自己整除的自然数，没有其他的因数。

质数的分解是将一个质数表示为几个较小质数的乘积的形式。

例如，数字17是一个质数，因此无法进行分解。

二、合数的分解合数是指除了能被1和自身整除外，还有其他因数的自然数。

合数的分解可以将一个合数表示为几个较小的质数的乘积的形式。

例如，数字12是一个合数，可以分解为2乘以2乘以3。

在实际运用中，合数的分解可以用于简化运算、找出公因数等。

通过将合数分解为质数的乘积，我们可以更方便地进行运算和分析。

三、因数分解因数分解是将一个数表示为几个因数的乘积的形式。

这些因数可以是质数或合数。

因数分解也被称为素因数分解或质因数分解。

对于任意一个数，我们都可以计算出它的因数分解式。

首先，我们可以找到这个数的一个因数，然后再继续对该因数进行因数分解，直到不能再分解为止。

最终得到的所有因数相乘即可得到原始数的因数分解式。

例如，我们将数字60进行因数分解：60 = 2 × 30= 2 × 2 × 15= 2 × 2 × 3 × 5因此，数字60的因数分解式为2 × 2 × 3 × 5。

因数分解在数论和代数中都有广泛应用。

它不仅可以帮助我们简化复杂的运算，还可以用于解决一些数学问题。

结论质数与合数的分解以及因数分解在数学中起着重要的作用。

质数的分解是将一个质数表示为较小质数的乘积的形式，而合数的分解是将一个合数表示为较小质数的乘积的形式。

因数分解是将一个数表示为几个因数的乘积的形式。

通过质数与合数的分解以及因数分解，我们可以更方便地进行数学运算、解决数学问题，以及探索数论和代数中更深入的知识。