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第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限.)0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解 原式=⎰∑=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→1011lim aani n x n n i dx =a a x a +=++11111.例2 求极限 ⎰+∞→1021lim xx n n dx . 解法1 由10≤≤x ，知nn x x x ≤+≤210，于是⎰+≤1210x x n ⎰≤1n x dx dx .而⎰10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101，由夹逼准则得⎰+∞→1021lim xx n n dx =0.解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba⎰()()⎰=bax g f dx ξdx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号），().101111212≤≤+=+⎰⎰n n nn dx x dx xx ξξ由于11102≤+≤nξ，即211nξ+有界，()∞→→+=⎰n n dx x n01110，故⎰+∞→1021lim x x nn dx =0. 注 （1）当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R -型可作相应变换.如对积分()⎰++3122112xxdx，可设t x tan =；对积分()02202>-⎰a dx x ax x a，由于()2222a x a x a x --=-，可设t a a x s i n =-.对积分dx e x ⎰--2ln 021，可设.sin t e x =-（2）()0,cos sin cos sin 2≠++=⎰d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下：将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]'，可求出22d c bdac A ++=，22dc adbc B +-=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+'++=⎰.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ⎰-1211arcsin分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()dxx x x ⎰-1211arcsin 2t x xt ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==-⎰⎰.1632π= 解法2 ()dx x x x⎰-1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=⎰u du u u uu u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分（1）⎰+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx xx x I ⎰+=2032cos sin cos π； （2）.1cos 226dx e xx ⎰--+ππ解 （1）⎰+=2031cos sin sin πxx xdxI)(sin cos cos 2023du uu uu x -+-=⎰ππ=.sin cos cos 223⎰=+πI dx xx x故dx xx xx I I ⎰++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022-=+-⎰ππdx x x x x . （2）=I .1cos 226dx e xx ⎰--+ππ()dxe xdu e uu x x u ⎰⎰--+=-+-=2262261cos 1cos ππππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎰⎰--2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x xx.3252214365cos cos 21206226πππππ=⨯⨯⨯===⎰⎰-xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dx xdx n n⎰⎰=2020cos sin ππ()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅⨯-⨯--=⨯-⨯--=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。
二重积分中值定理的证明一、引言在数学分析中，二重积分是一个重要的概念，它可以理解为对一个平面上的区域进行加权求和。
而二重积分中值定理则是研究二重积分的性质和存在性的一个重要定理。
本文将从基本概念出发，逐步引出二重积分中值定理，并进行证明。
二、二重积分的基本概念首先我们回顾一下二重积分的基本概念。
设有一个函数f(x,y)定义在一个闭区域D上，可以将D分成许多小的面积元素△S，其中△S的边界曲线记作∂△S。
定义函数f(x,y)在△S上的面积△A为：△A=∬f△S(x,y)dS即f(x,y)在区域△S上的平均值乘以△S的面积。
当将区域D分成无穷多个小的面积元素△S，并且让这些面积元素的面积趋于零，我们就得到了二重积分：∬fD(x,y)dS三、二重积分中值定理的提出在进行二重积分的计算时，我们常常遇到一个问题，即如何将函数f(x,y)的平均值与积分联系起来。
这就引出了二重积分中值定理。
中值定理的主要思想是，如果一个函数在一个区域上连续，那么它在该区域上一定存在至少一个点，使得函数在该点的值等于在整个区域上的平均值。
更具体地说，如果函数f(x,y)在闭区域D上连续，那么存在一个点(c,d)，使得：f(c,d)=1A(D)∬fD(x,y)dS其中A(D)是区域D的面积。
这个等式的意义是，函数f(x,y)在闭区域D上必然存在一个平均值的点(c,d)。
四、二重积分中值定理的证明为了证明二重积分中值定理，我们需要借助于微积分的基本定理和中值定理。
首先，我们考虑一个辅助函数F(t)，使得F′(t)=f(x,y)，其中(x,y)是闭区域D上的任意一点。
根据微积分的基本定理，我们可以得到：F(b)−F(a)=∫fba(x,y)dx其中a和b是闭区域D上的两个点。
如果我们令b对应到区域D的任意一点(x,y)，那么上述等式可以改写为：F(x,y)−F(a)=∫f∂△S(x,y)ds其中∂△S是区域D上从点a到点(x,y)的曲线。
衡阳师范学院毕业论文（设计）题目：积分中值定理的推广及应用学号：姓名：年级：学院：信息科学技术学院系别：数学系专业：信息与计算科学指导教师：完成日期：年月日摘要本论文讲述的主要内容是积分中值定理及其应用，我们将它主要分为以下几个方面：积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点ξ的渐进性，积分中值定理的应用。
有关ξ点的渐进性，我们对第一积分中值定理的ξ点的做了详细的讨论，给出详细清楚的证明过程。
而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形，其它证明过程只做简要说明。
对于应用，我们给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。
我们讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二积分中值定理，而且还给出了这些定理的详细证明过程。
在此基础上，我们还讨论了在几何形体Ω上的黎曼积分第一中值定理，它使得积分中值定理更加一般化，此情形对于讨论一般实际问题有很显著作用。
在积分中值定理的推广方面，我们由最初的在闭区间[,]f x的积分中值a b讨论函数()定理情形转换为在开区间(,)a b上讨论函数()f x上的积分中值定理，这个变化对于解决一些实际的数学问题更为方便。
不仅如此，我们还将几何形体Ω上的黎曼积分第一中值定理推广到第一、第二曲线型积分中定理和第一、第二曲面型积分中值定理情形。
关键词：积分中值定理；推广；应用；渐进性AbstractThe main content of this paper are the mean-value theorem and its application, it will be mainly divided into the following respects: integral mean-value theorem, the generalation of integral mean-value theorem, the asymptotic property of the “intermediate point”of integral median point, the application of integral mean-value theorem.About the Progressive of ξpoint, we have discussed the ξpoint of the mean-value theorem in detail and give clear proof of the process. While the gradual issues of the secondintegral mean value theorem has been demonstrated one of these situations. And the otherprocess of proving has been expressed in brief.According to application,we presented a simple situation, for example, estimate integralvalue ,solve the limits of definite integral, define integral sign, compare the magnitude of integralvalue, prove the monotonic of function and Abel test and Dirichlet testWe have discussed the definite integral mean-value theorem, the first mean value theorem,the second integral mean-value theorem, and have given a detailed proof of these theoremsprocess. On this basis, we also have discussed the Riemann first integral mean-value theorem onthe geometryΩ. It makes the integral mean-value theorem is more general, the case has asignificant role in the discussion of practical issues in general.In the promotion of integral mean value theorem, we have discussed the integralmean-value theorem of function ()a b in the case off x in the initial closed interval [,]discussing it in the open interval(,)a b, the change has more convenience in solving some practical mathematical problem. In addition, we will promote the Riemann first integral mean-value theorem on the geometryΩto the situation of the first and second type curve in integral theorem and The second type surface integral mean-value theorem.Key words: integral mean-value; theorem promotion ;apply;progressive目录1 引言 (1)2 积分中值定理的证明 (2)2.1 定积分中值定理 (2)2.2 积分第一中值定理 (3)2.3 积分第二中值定理 (3)2.4 几何形体上黎曼积分第一中值定理 (6)3 积分中值定理的推广 (9)3.1 定积分中值定理的推广 (9)3.2 定积分第一中值定理的推广 (9)3.3 定积分第二中值定理的推广 (11)3.4 第一曲线积分中值定理 (12)3.5 第二曲线积分中值定理 (12)3.6 第一曲面积分中值定理 (13)3.7 第二曲面积分中值定理 (14)4 第一积分中值定理中值点的渐进性 (16)5 第二积分中值定理中值点的渐进性 (20)6 积分中值定理的应用 (23)6.1 估计积分值 (23)6.2 求含定积分的极限 (24)6.3 确定积分号 (24)6.4 比较积分大小 (25)6.5 证明函数的单调性 (25)6.6 证明定理 (25)7 结论 (29)谢辞 (30)参考文献 (31)1引言随着时代的发展，数学也跟着时代步伐大迈步前进。
三重积分中值定理引言三重积分中值定理是微积分中的重要定理之一，在多元函数的积分学中占有重要地位。
它是基于多元函数的连续性和有界性的前提下，给出了一个实数值与三重积分之间的关系。
本文将介绍三重积分中值定理的概念、证明方法以及一些应用。
一、概念1.1 三重积分在空间内，我们常常需要对某个区域内的函数进行求和或平均等运算。
这时就需要使用到三重积分。
设有一个空间区域V，其边界为S，函数f(x, y, z)在V上连续，则称f(x, y, z)在V上可积。
记V为D立体区域，D是xy平面上一个封闭区域，z=h_1(x,y)与z=h_2(x,y)所围成的曲面为S，则三重积分可以表示为：1.2 中值定理中值定理是微积分中常见的定理之一，用于描述函数在某个区间内的平均值与极值之间的关系。
在三重积分中，中值定理给出了一个实数值与三重积分之间的关系。
二、定理表述2.1 定理设函数f(x, y, z)在闭区域V上连续，且在该区域上有界，则必存在一点(xi, yi, zi)，使得：dxdydz)其中，(xi, yi, zi)为闭区域V内的某个点，V为闭区域V的体积。
2.2 证明思路要证明中值定理，我们需要运用微积分中的一些方法。
首先，我们可以利用紧致性原理证明函数f(x, y, z)在闭区域V上有界。
然后，通过将闭区域V划分成许多小立方体，并取这些小立方体内部的任意一点作为(xi, yi, zi)，再利用极限运算和求和得到三重积分的结果。
最后，通过取极限得到中值定理。
三、证明过程3.1 准备工作首先，我们需要证明函数f(x, y, z)在闭区域V上有界。
这可以通过紧致性原理来证明。
由于闭区域V是有界的，所以存在一个球S，使得闭区域V完全包含在球S内。
而函数f(x, y, z)在球S上连续，根据紧致性原理，它在闭区域V上也是有界的。
3.2 划分小立方体接下来，我们将闭区域V划分成许多小立方体。
假设划分后共有n个小立方体，第i个小立方体的体积为ΔVi。
高等数学中积分中值定理的几个基本应用作者：朱碧来源：《新教育时代》2014年第14期摘要：对于积分中值定理，在教材中提到的用法大多是去掉积分符号，把复杂的问题简单化，在解决积分不等式、含积分的极限等问题中，往往应用积分中值定理的这些作用，使得问题得到更容易的解决。
关键词：积分中值定理应用一、积分中值定理定理：若函数f（x）在[a，b]上是连续的。
那么至少存在一点，使得成立。
推论：如果上连续，并且g（x）在[a，b]上不变号，那么至少存在一点使得成立。
[1]二、积分中值定理的几个简单应用积分中值定理在定积分的计算应用中具有重要的作用，下面我们给出几个具体的常见的例子，通过实际应用来加深对积分中值定理的理解。
1.中值定理应用于定积分不等式的证明和积分估计（1）证明不等式 .证：由积分中值定理又因为可得.（2）估计的积分解：设，那么f（x）在区间[0，1]上连续可导，且有所以，又，则，所以而，所以2.中值定理应用于含有定积分的极限的计算（3）计算其中连续.解：因为连续，则由积分中值定理，可以得出所以3.积分中值定理在等式证明中的应用（4）证明：如果f（x）在[a，b]上连续，g是连续可微的单调函数，那么存在，有证：令，那么有由已知g（x）是单调函数，所以g`（x）不变号，根据积分中值定理，存在，使得三、结论：积分中值定理是积分学说中的一个重要结论，在数学学习中起到承前启后作用的重要枢纽。
对于定积分的计算，证明等都有着不可忽视的作用，文中所举的例子并不算多，对比现在的研究来说是比较少的，并且在讨论时所给定的条件也相对单一。
但是也给出了当今积分中值定理的大概研究方向。
参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析/上册[M].高等教育出版社.1981.4（2007再版）[2]刘宁. 强化积分中值定理结论，使其更具应用性.金华职业技术学院学报[J].2004.6[3]Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis[M].Mc Graw Hill Education.[4]龙爱芳，积分中值定理积分点研究的一个新结果[J].数学的实践与认知.2011.10[5]戴嘉尊.数学物理方程.东南大学出版社[M].2002.2（2008再版）[6]衡美芹.关于积分中值定理的进一步探讨[J]. 牡丹江教育学院学报，2011，02.[7]华东师范大学数学系.数学分析/下册[M].高等教育出版社.1981.4（2007再版）[8]季孝达，薛兴恒，陆英.数学物理方程[M].科学出版社.2005.7[9]周燕. 积分中值定理的推广与应用[J]. 林区教学，2008，10.作者简介：朱碧。
二重积分第一中值定理
（原创实用版）
目录
1.二重积分的概念
2.二重积分的第一中值定理
3.第一中值定理的证明
4.第一中值定理的应用
正文
一、二重积分的概念
二重积分是多元函数积分的一种，它指的是对一个函数在空间中曲面上的值进行积分。
二重积分的被积函数是一个关于空间两个变量的函数，而积分的区域是一个曲面。
二重积分在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
二、二重积分的第一中值定理
二重积分的第一中值定理是指，对于一个在曲面上连续的函数，如果在曲面上选取两个相交的曲线，分别绕这两条曲线进行积分，那么这两个积分的值之和等于在曲面上选取的一个曲面元的值与该曲面元所对应的两个曲线长度的乘积的积分。
三、第一中值定理的证明
为了证明这个定理，我们可以将曲面分解为无数小的曲面元，然后对每个曲面元进行积分。
由于曲面元是无穷小，所以每个曲面元的积分可以看作是该曲面元上的一个值与该曲面元面积的乘积。
然后我们将所有的曲面元积分相加，就可以得到整个曲面上的积分值。
四、第一中值定理的应用
第一中值定理在实际应用中有广泛的应用，它可以用来求解很多物理量的平均值，如速度、压力等。
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二重积分的中值定理：深度解析与应用在数学的大千世界里，有一个非常核心的定理，它像一颗璀璨的明珠，照亮了许多复杂问题的解决之路，这便是二重积分的中值定理。
它不仅仅是一个抽象的数学概念，更是一种具有广泛应用价值的工具。
**定理的表述与意义**二重积分的中值定理，简而言之，是指在一个有界闭区域上的连续函数，存在至少一个点，使得该点的函数值等于该区域上的平均函数值。
用数学符号表示就是：设函数f(x,y)在闭区域D上连续，且D 的面积为A，则存在一点(x0,y0)属于D，使得∬Df(x,y)dxdy = f(x0,y0)A。
这个定理的背后蕴含着深刻的数学内涵。
在数学的世界中，很多问题的解决往往需要积分的帮助。
而这个定理提供了一种方式，让我们能够在庞大的积分计算中找到一个“中值点”，使得在该点的函数值与整个区域的平均函数值相等。
这无疑大大简化了积分计算的复杂性。
**应用与实例**积分中值定理在很多领域都有着广泛的应用。
例如，在物理学中，当研究物体的运动轨迹、速度和加速度时，我们常常需要用到这个定理。
在经济学中，当研究市场的供需关系、价格变动等问题时，也可以利用这个定理来建立数学模型。
举一个具体的例子，假设我们有一个二维平面上的曲线，我们需要计算这个曲线下的面积。
如果直接计算，可能会非常复杂。
但是，利用二重积分的中值定理，我们可以快速找到一个特殊的点，使得该点处的函数值等于整个区域的平均函数值。
通过这一点，我们可以将复杂的积分问题转化为一个相对简单的几何问题，大大简化了计算过程。
**几何解释与深入理解**除了在计算上的便利，二重积分的中值定理还具有深刻的几何意义。
这体现在该定理的几何解释上：在二维平面上，如果存在一个点(x0,y0)，使得在该点处的函数值等于整个区域的平均函数值，那么这个点必然位于区域D的垂直平分线上。
这一特性为我们提供了一种寻找特殊点的方法，使得该点处的函数值具有某种对称性。
这一特性在解决一些几何问题时特别有用。
积分中值定理二重积分积分中值定理是微积分中的重要定理之一，它在二重积分中有着广泛的应用。
本文将详细介绍积分中值定理二重积分的概念、定理及其应用。
我们来了解一下二重积分的概念。
二重积分是对二元函数在一个有界闭区域上的积分运算，表示为∬Df(x,y)dxdy，其中D是一个有界闭区域，f(x,y)是定义在D上的函数。
二重积分的结果是一个数值，表示该函数在D上的总体积。
积分中值定理是指如果函数f(x,y)在有界闭区域D上连续且有界，那么存在一点(xi,yi)使得f(xi,yi)乘以D的面积等于二重积分∬Df(x,y)dxdy。
换句话说，积分中值定理保证了在有界闭区域上的函数总存在一个平均值，使得该点的函数值与该平均值乘以区域面积相等。
以一个具体的例子来说明积分中值定理的应用。
考虑函数f(x,y)=x^2+y^2在单位圆盘D上的二重积分∬Df(x,y)dxdy。
根据积分中值定理，存在一个点(xi,yi)使得f(xi,yi)乘以D的面积等于二重积分的结果。
由于函数f(x,y)在D上是连续的，因此根据介值定理，f(x,y)在D上可以取到最大值M和最小值m。
所以，存在(xi,yi)使得m≤f(xi,yi)≤M。
又因为D的面积为π，所以∬Df(x,y)dxdy的结果介于πm和πM之间。
积分中值定理的应用不仅仅局限于求二重积分的结果，还可以用于证明一些重要的数学定理。
例如，我们可以利用积分中值定理证明平均值定理。
平均值定理是指如果函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，那么存在一个点(xi,yi)使得f(xi,yi)等于f(x,y)在D上的平均值。
利用积分中值定理，我们可以证明平均值定理成立。
首先，我们求出函数f(x,y)在D上的二重积分的结果，即∬Df(x,y)dxdy。
然后，根据积分中值定理，存在(xi,yi)使得f(xi,yi)乘以D的面积等于二重积分的结果。
由于D的面积为常数，我们可以得到f(xi,yi)等于二重积分的结果除以D的面积，即f(xi,yi)等于f(x,y)在D上的平均值。
积分中值定理的证明及其推广积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是指在一定条件下，函数在某个区间上的平均值等于函数在该区间上某一点的函数值。
下面我们来证明一下积分中值定理，并推广一下它的应用。
我们来证明积分中值定理。
假设函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么根据连续函数的介值定理，存在一个点c∈[a,b]，使得f(c)等于f(x)在[a,b]上的平均值，即：f(c) = 1/(b-a) * ∫[a,b] f(x)dx这就是积分中值定理的表述。
证明过程中，我们利用了连续函数的介值定理，即如果f(x)在[a,b]上连续，那么f(x)在[a,b]上取遍介于f(a)和f(b)之间的所有值。
接下来，我们来推广一下积分中值定理的应用。
首先，我们可以利用积分中值定理来证明柯西-施瓦茨不等式。
假设f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续可导，那么有：|∫[a,b] f(x)g(x)dx| ≤ ∫[a,b] |f(x)| |g(x)| dx证明过程中，我们可以将f(x)g(x)拆成两个函数的和，然后利用积分中值定理来证明不等式。
积分中值定理还可以用来证明泰勒公式的余项。
假设f(x)在区间[a,b]上n+1阶可导，那么有：f(x) = ∑[k=0,n] f^(k)(a)/k! * (x-a)^k + Rn(x)其中Rn(x)为余项，满足：Rn(x) = f^(n+1)(c)/(n+1)! * (x-a)^(n+1)其中c∈[a,x]。
证明过程中，我们可以利用拉格朗日中值定理来证明余项公式。
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它不仅可以用来计算函数在某个区间上的平均值，还可以推广到其他应用中，如柯西-施瓦茨不等式和泰勒公式的余项。
二重积分和三重积分的第二中值定理二重积分和三重积分的第二中值定理：
1、第二中值定理：对n次积分(n>=2)变量，存在存在着一个唯一的实值，使得该变量满足特定不等式；
2、二重积分的第二中值定理：在二重积分Y、X中，存在一个枢轴的位置，令Y>X，则随着枢轴的变动，Y、X的偏移幅度相同；
3、三重积分的第二中值定理：如果假设三重积分Y、X、Z中有两个枢轴，令Y、X、Z上有Y>X>Z，则每当枢轴变动时，Y、X、Z的偏移幅度均自动保持；
4、第二中值定理的应用：第二中值定理在统计学不仅仅被用于分析和研究双重、多重积分，还可以应用到回归分析和双因素实验等等；
5、多重积分的多项式拟合：对于多重积分中的数据，可以应用多项式拟合来拟合其分布规律，从而更深入地了解该积分的特性；
6、中心极限定理：中心极限定理是多重积分的一个特性，它表明当把多个双重随机变量求和时，可以通过极限定理得到一个正态分布；
7、生成函数求积分：多重积分可以使用相应的生成函数求解。
对于高
维积分，生成函数是一个有效的手段，可以解决许多复杂的多重积分问题。
《数学分析》自主研究课题：二、三重积分中值定理的证明和应用摘要：本报告探究的是由积分第一中值定理和推广的积分第一中值定理引伸出的推广形式的二重积分中值定理和二、三重积分中值定理的证明及其相关应用。
关键词：积分第一中值定理，推广形式的二重积分中值定理，二、三重积分中值定理 一、引言在《数学分析》的学习过程中我们已经详细了解了的积分第一中值定理（一重积分中值定理）及其证明和应用，而对二、三重积分中值定理并没有给出详细的证明和应用，所以本报告将详细的对其作出证明和说明其简单的应用.二、积分第一中值定理（一重积分中值定理）(积分第一中值定理)若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点ε∈[a,b],使得)()()(a b f dx x f ba-=⎰ε.和(推广形式的积分第一中值定理)若f 和g 都在[a,b]上连续，且）（x g 在[a,b]上不变号，则至少存在一点b][a,∈ε，使得⎰⎰=DDS f d y x f ),(),(ηεσ⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ε（明显当1g ≡）（x 时，即为积分第一中值定理） 三、推导二、三重积分中值定理及证明 由积分第一中值定理我们类似的推导出二重积分中值定理：若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则存在D ∈）ηε,(，使得 ⎰⎰=DDSf d y x f ),(),(ηεσ,这里S D 是区域D 的面积.证明：由于),(y x f 在有界闭区域D 上连续，S D 为这个区域的面积.存在最大值M 和最小值m ，得 m ≤),(y x f ≤M,D y x ∈),(, 使用积分不等式性质得mS D ≤⎰⎰Dd y x f σ),(≤MS D ,即 m ≤⎰⎰DD d y x f Sσ),(1≤M.再由连续函数的介值性，至少存在一点D ∈）ηε,(,使 ⎰⎰=DDd y x f S f ,),(1),(σηε即 由此定理得证.那对于二重积分是否也存在推广形式的二重积分中值定理：若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，),(y x g 在D 上可积且不变号，则存在一点D ∈）ηε,(，使得⎰⎰⎰⎰=DDd y x g f d y x g y x f σηεσ),(),(),(),(显然定理是存在的，下面我们就来证明一下证明：由于),(y x f 在有界闭区域D 上连续，所以),(y x f 在D 上存在最大值M 和最小值m ，有 m ≤),(y x f ≤M,D y x ∈),(, 又),(y x g 在D 上不变号，当),(y x g ≥0时，有m ),(y x g ≤),(y x f •),(y x g ≤M ),(y x g ，D y x ∈),(. 由二重积分的比较性质，可得⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤≤DDDd y x g M d y x g y x f d y x g m σσσ),(),(),(),(当⎰⎰=Dd y x g 0),(σ时，由上式知⎰⎰=Dd y x g y x f 0),(),(σ,这时对任意的D ∈）ηε,(，都可使 ⎰⎰⎰⎰=DDd y x g f d y x g y x f σηεσ),(),(),(),(成立.当⎰⎰Dd y x g σ),(>0时，由上式得Md y x g d y x g y x f m DD≤≤⎰⎰⎰⎰σσ),(),(),(,由闭区域连续函数的介值定理知，至少存在一点D ∈）ηε,(，使⎰⎰⎰⎰=DDd y x g d y x g y x f f σσηε),(),(),(),(，即 ⎰⎰⎰⎰=DDd y x g f d y x g y x f σηεσ),(),(),(),(.同理可证当),(y x g <0时，⎰⎰⎰⎰=DDd y x g f d y x g y x f σηεσ),(),(),(),(也成立.由此，定理得证.特别的，当1),(≡y x g 时，即为二重积分中值定理.三重积分中值定理：若),,(z y x f 在三维空间可求体积的有界闭区域V 上连续，则存在V ∈),,(ζηε,使得 ⎰⎰⎰=Vv V f dV z y x f ),,(),,(ζηε,这里V v 是积分区域V 的体积.证明：由于),,(z y x f 在三维空间可求体积的有界闭区域V 上连续，V v 为这个区域的体积.存在最大值M 和最小值m,有 m ≤),,(z y x f ≤M, V y x ∈)z ,,(. 使用积分不等式性质得m V v ≤⎰⎰⎰VdV z y x f ),,(≤M V v ,即 m ≤⎰⎰⎰dV z y x f V ),,(1v≤M.再由连续函数的介值性，至少存在一点V ∈),,(ζηε使⎰⎰⎰=VvdV z y x f V f ),,(1),,(ζηε，即 ⎰⎰⎰=Vv V f dV z y x f ),,(),,(ζηε.由此定理得证.同样的，对于三重积分中值定理，也有推广形式的三重积分中值定理，这里不详细证明了.四、二、三重积分中值定理的应用1.设),(y x f （),,(z y x f ）有界闭区域D(V)上的连续函数，)(V D ∆∆是包含定点P 0),(00y x （P 0),,(000z y x ）的D(V)的有界闭子域，由积分中值定理得,存在D ∈),(ηε(V ∈),,(ζηε),使 ⎰⎰∆∆=DD S f d y x f ),(),(ηεσ(⎰⎰⎰∆∆=Vv V f dV z y x f ),,(),,(ζηε)其中显然D ∆∈),(ηε（V ∆∈),,(ζηε），)(D D V S 是区域D(V)的面积（体积）.当)(V D ∆∆的区域d 趋于零，便有),(),(lim ),(1d 0d lim y x f f d y x f SDD==⎰⎰∆→∆→ηεσ.（),,(),,(lim ),,(1d 0d lim z y x f f dV z y x f VVV==⎰⎰∆→∆→ζηε）这个极限过程与证明变上限定积分对上限求导的极限过程是类似的，所以上式的极限为重积分在点P 0),(00y x （P 0),,(000z y x ）处对区域的导数.根据重积分中值定理，可以证得一个连续函数的重积分对区域的导数等于其被积函数.2.应用重积分中值定理估计积分值例： 估计积分⎰⎰≤+++=1022cos cos 100y x y x d I σ的值. 解：由于),(y x f =yx 22cos cos 1001++在有界闭区域}10|),{(≤+=y x y x D 上连续，则由中值定理DDS y x d •++=++⎰⎰ηεσ2222cos cos 1001cos cos 100(其中D ∈),(ηε).而1001cos cos 10011021,20022≤++≤=ηεD S ，则⎰⎰≤+≤++≤10222cos cos 10051100y x y x d σ.3.求极限： 例1.求⎰⎰≤+→222,),(1lim 20ρρσπρy xd y x f 其中),(y x f 为连续函数.解：由积分中值定理，至少有一点D ∈),(ηε，D={(x,y)|222ρ≤+y x },使⎰⎰=Df d y x f ),,(),(12ηεσπρ则 ⎰⎰≤+→→→==222)0,0(),(lim ),(1lim 02ρηερηεσπρy x f f d y x f .例2.证明⎰⎰=+∞→Dn n d y x 0)(sin lim 22σ，}20|),{(22π≤+≤=y x y x D . 证明：对)2,0(πε∈∀，存在0<δ<ε,有σσσπδπδππd y x d y x d y x y x n y x n y x n ⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤--≤+≤≤+≤+++=+222220222022222222)(sin )(sin )(sinσσπδπδπd y x d y x y x n y x n ⎰⎰⎰⎰≤+≤--≤+≤+++≤222220222222|)(sin ||)(sin | +-•≤)2(sin δπξnσπδπd y x ⎰⎰≤+≤-22221δπξ+•<2sin n其中ξ∈[0,δπ-2],所以|sin ξ|<1,故存在N ，当n>N 时，有ξnsin <ε.故上式为：επεπεσπ)12(2)(sin202222+=+•<+⎰⎰≤+≤d y x y x n即⎰⎰=+∞→Dn n d y x 0)(sin lim 22σ五、体会通过这次的自主探究实践，让我得出所研究课题的结论，让我体会到数学知识的紧密联系，在学习的过程中不断积累知识，从而去解决更深一层的问题，做到不抛开条件去解决问题，比如在证明过程中用到的介值定理和积分不等式性质等，在掌握这些定理的同时，要学会应用。
在得出结论后，应善于利用这些定理和结论去解决更实际的问题，例如求极值，证明极限存在等。
通过学习数学，希望自己能够培养严谨，善于质疑的学习态度，能够提高自己的逻辑思维，积极参与自主研究课题，锻炼自己的实践能力。
