高二级数学两个计数原理测试题(附答案)

圆梦教育中心 高中数学选修2-3计数原理第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若m 为正整数，则乘积()()()=+++2021m m m m （ ）A ．20m AB ．21m AC ．2020+m AD ．2120+m A2．若直线0=+By Ax 的系数B A ,同时从0,1,2,3,5,7六个数字中取不同的值,则这些方程表示不同的直线条数 （ ） A ． 22 B ． 30 C ． 12 D ． 153．四个编号为1，2，3，4的球放入三个不同的盒子里，每个盒子只能放一个球，编号为1的球必须放入，则不同的方法有 （ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．96种4．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第几个数 （ ） A ．6 B ．9 C ．10 D ．8 5．把一个圆周24等分,过其中任意三个分点可以连成圆的内接三角形,其中直角三角形的个数是 （ ） A ．2024 B ．264 C ．132 D ．1226. 在(a-b)99的展开式中，系数最小的项为( )A.T 49B.T 50C.T 51D.T 52 7. 数11100-1的末尾连续为零的个数是( )A.0B.3C.5D.78. 若425225+=x x C C ，则x 的值为 （ ）A ．4B ．7C ．4或7D ．不存在9．以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是 （ ） A ．34CB ．3718C CC ．3718C C -6D ． 1248-C10．从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则nm等于（ ） A ．101B ．51 C ．103 D ．52第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．设含有8个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，S的值为___________．则T12．有4个不同的小球，全部放入4个不同的盒子内，恰好有两个盒子不放球的不同放法的总数为．13．在(x-1)11的展开式中，x的偶次幂的所有项的系数的和为.14．六位身高全不相同的同学在“一滩”拍照留念，老师要求他们前后两排各三人，则后排每个人的身高均比前排同学高的概率是．三、解答题（共计76分）15．（12分）平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上，此外任三点不共线．（1）过每两点连线，可得几条直线?（2）以每三点为顶点作三角形可作几个?（3）以一点为端点作过另一点的射线，这样的射线可作出几条?（4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量?16．（11分）在二次项12)(n mbx ax (a ＞0,b ＞0,m,n ≠0)中有2m+n ＝0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项，求它是第几项? 17．（12分）由1，2，3，4，5，6，7的七个数字，试问： （1）能组成多少个没有重复数字的七位数？（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？（3）（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ （4）（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？18．（12分）2006年6月9日世界杯足球赛将在德国举行，参赛球队共32支，（1）先平均分成8个小组，在每组内进行单循环赛（即每队之间轮流比赛一次），决出16强（即取各组前2名）。

高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载两个基本计数原理1.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法有 种.答案 122.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有 种.答案 53.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有 种不同的选法.答案 204.将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有 种.答案 365.有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？（2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？（3）若只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？解 （1）“完成这件事”只需从老师、学生中选1人即可，共有3+8+5=16种.(2)“完成这件事”需选2人，老师、学生各1人，分两步进行：选老师有3种方法，选学生有8+5=13种方法，共有3×13=39种方法.(3)“完成这件事”需选3人，老师、男同学、女同学各一人，可分三步进行，选老师有3种方法，选男同学有8种方法，选女同学有5种方法，共有3×8×5=120种方法.例1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？解 方法一 按十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类计数原理知，符合题意的两位数的个数共有：8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）.方法二 按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个，所以按分类计数原理共有：1+2+3+4+5+6+7+8=36（个）.例2 已知集合M ={-3,-2,-1,0,1,2},P (a ,b )表示平面上的点(a ,b ∈M ),问:(1)P 可表示平面上多少个不同的点?(2)P 可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P 可表示多少个不在直线y =x 上的点?解 （1）确定平面上的点P (a ,b )可分两步完成：第一步确定a 的值，共有6种确定方法；基础自测高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载第二步确定b的值，也有6种确定方法.根据分步计数原理，得到平面上的点数是6×6=36.（2）确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0,所以有3种确定方法；第二步确定b,由于b＞0，所以有2种确定方法.由分步计数原理，得到第二象限点的个数是3×2=6.（3）点P（a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y=x上的点有6个.由（1）得不在直线y=x上的点共有36-6=30个.例3（16分）现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解（1）分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.所以，共有不同的选法N=7+8+9+10=34（种）.4分（2）分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N=7×8×9×10=5 040（种）.8分（3）分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法，14分所以共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431（种）.16分1.从1到20这20个整数中,任取两个相加,使其和大于20,共有几种取法?解当一个加数是1时,另一个加数只能是20,1种取法.当一个加数是2时,另一个加数可以是19,20,2种取法.当一个加数是3时,另一个加数可以是18,19,20,3种取法.……当一个加数是10时,另一个加数可以是11,12,…,20,10种取法.当一个加数是11时,另一个加数可以是12,13,…,20,9种取法.……当一个加数是19时,另一个加数是20,1种取法.由分类计数原理可得共有1+2+3+…+10+9+8+…+1=100种取法.2.某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注.若高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载这个人要把这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？解先分三步选号，再计算总钱数.按号段选号，分成三步.第一步从01至17中选3个连续号，有15种选法；第二步从19至29中选2个连续号，有10种选法；第三步从30至36中选1个号，有7种选法.由分步计数原理可知，满足要求的号共有15×10×7=1 050(注),故至少要花1 050×2=2 100(元).3.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动.（1）任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（2）三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（3）选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？解（1）分三类：第一类从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二类从高二年级选一个班，有7种不同方法；第三类从高三年级选1个班，有8种不同方法.由分类计数原理，共有6+7+8=21种不同的选法.（2）每种选法分三步：第一步从高一年级选一个班，有6种不同方法；第二步从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三步从高三年级选1个班，有8种不同方法.由分步计数原理，共有6×7×8=336种不同的选法.（3）分三类，每类又分两步.第一类从高一、高二两个年级各选一个班，有6×7种不同方法；第二类从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同方法；第三类从高二、高三年级各选一个班，有7×8种不同的方法，故共有6×7+6×8+7×8=146种不同选法.一、填空题1.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有种.答案322.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位中带有数字“4”或“7”的一律作为优惠卡，则这组号码中“优惠卡”共有个.答案 5 9043.从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列共有个.答案84.如图所示，用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有种.高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载答案1805.一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有种.答案486.（2008·全国Ⅰ文）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有种.++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++答案127.在2008年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有种.答案 2 8808.若一个m,n均为非负整数的有序数对（m,n)，在做m+n的加法时各位均不会进位，则称（m,n)为“简单的”有序数对，m+n称为有序数对（m,n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序数对的个数是 .答案300二、解答题9.（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？解（1）要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四个都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有：3×3×3×3=81种报名方法.（2）完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步.而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能的情况，于是共有：4×4×4=43=64种可能的情况.10.用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？解完成该件事可分步进行.涂区域1，有5种颜色可选.涂区域2，有4种颜色可选.涂区域3，可先分类：若区域3的颜色与2相同，则区域4有4种颜色可选.若区域3的颜色与2不同，则区域3有3种颜色可选，此时区域4有3种颜色可选.所以共有5×4×（1×4+3×3）=260种涂色方法.11.在平面直角坐标系内，点P（a，b）的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}的元素,又点P到高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载原点的距离|OP|≥5.求这样的点P的个数.解按点P的坐标a将其分为6类:(1)若a=1,则b=5或6,有2个点;(2)若a=2,则b=5或6,有2个点;(3)若a=3,则b=5或6或4,有3个点;(4)若a=4,则b=3或5或6,有3个点;(5)若a=5,则b=1,2,3,4,6,有5个点;(6)若a=6,则b=1,2,3,4,5,有5个点;∴共有2+2+3+3+5+5=20（个）点.12.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？解设由左到右五块田中要种a,b,c三种作物，不妨先设第一块种a,则第二块可种b,c,有两种选法.同理，如果第二块种b,则第三块可种a和c,也有两种选法，由分步计数原理共有1×2×2×2×2=16.其中要去掉ababa和acaca两种方法.故a种作物种在第一块田中时的种法数有16-2=14（种）.同理b种或c种作物种在第一块田中时的种法数也都为14种.所以符合要求的种植方法共有3×(2×2×2×2-2)=3×(16-2)=42(种).。

数学两个根本计数原理专题练习及答案数学的复习不能离开做题。

以下是的两个根本计数原理专题练习，请考生仔细练习。

1.奥运选手选拔赛上，8名男运发动参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，那么安排这8名运发动比赛的方式共有种.[解析] 分两步安排这8名运发动.第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，所以安排方式有432=24(种).第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有54321=120种.安排这8人的方式有24120=2 880(种).[答案] 28802.将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，那么不同的涂色方案有种.[解析] 因为只有三种颜色，又要涂六条棱，所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色.故有321=6种涂色方案.[答案] 63.(xx北京高考)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有个(用数字作答).[解析] 用2,3组成四位数共有2222=16(个)，其中不出现2或不出现3的共2个，因此满足条件的四位数共有16-2=14(个).[答案] 144.从集合{1,2,3，，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的有个.[解析] 以1为首项的等比数列为1,2,4;1,3,9;以2为首项的等比数列为2,4,8;以4为首项的等比数列为4,6,9.把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列，故所求数列有8个.[答案] 85.集合P={x,1}，Q={y,1,2}，其中x，y{1,2,3，，9}，且.把满足上述条件的一个有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，那么这样的点的个数是.[解析] 当x=2时，xy，点的个数为17=7(个).当x2时，由，x=y.x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法.因此满足条件的点共有7+7=14(个).[答案] 146.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择，四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，那么他的车牌号码可选的所有可能情况有种.[解析] 按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二位号码有3种选法，其余三位号码各有4种选法.因此车牌号码可选的所有可能情况有53444=960(种).[答案] 9607.在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有个.[解析] 把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有84=32(个).第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32+8=40(个).[答案] 408.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，那么这样的四位数有个.[解析] 由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次，第一步确定谁被使用2次，有3种方法;第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法;第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法.故共可组成332=18个不同的四位数.[答案] 189.一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，那么不同的种法总数有多少种.[解] 可依次种A，B，C，D四块，当C与A种同一种花时，有4313=36(种)种法;当C与A所种花不同时，有4322=48(种)种法.由分类加法计数原理，不同的种法种数为36+48=84种.10.电视台在欢乐在今宵节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中优秀的观众来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，假设先从中确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果?[解] (1)幸运之星先在甲箱中抽，选定幸运之星，再在两箱内各抽一名幸运观众有302920=17 400(种).(2)幸运之星先在乙箱中抽取，有20XX30=11 400(种).共有不同结果17 400+11 400=28 800(种).。

专题1 两个计数原理类型一、加法原理【例1】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种． 【解析】18+38=56．【例2】若a 、b 是正整数，且6a b ≤+，则以()a b ，为坐标的点共有多少个？ 【解析】66=36´．【例3】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A ．324B ．328C ．360D ．648【解析】由题意知本题要分类来解， 当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有884256创= 当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果， 共有98172创=根据分类计数原理知共有25672328+= 故选：B ．【例4】用数字12345，，，，组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）A ．8B ．24C ．48D ．120【解析】由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有122A =种排法， 其余三位数从余下的四个数中任取三个有3443224A =创=种排法， 根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有22448?（个)．故选：C ．【例5】用012345，，，，，这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．【解析】分四类：①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有352120A =个； ②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有124448A A =个；③千位数字为5时，百位数字是4，十位数字是0,1之一时，有11236A A =个；最后还有5420也满足题意. 所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个. 故答案为 175． 类型二、乘法原理【例6】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法． 【解析】根据题意，要求从从任一门进，从任一门出， 则进门的方法有4种，出门的方法也有4种， 则不同的走法有4416?种【例7】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_______． 【解析】根据题意，依次对3个小球进行讨论：第一个小球可以放入任意一个盒子，即有4种不同的放法， 同理第二个小球也有4种不同的放法， 第三个小球也有4种不同的放法， 即每个小球都有4种可能的放法，根据分步计数原理知共有即44464创=不同的放法， 故答案为：64．【例8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有 种．【解析】分两步完成，第一步先安排甲学校参观，共六种安排方法；第二步安排另外两所学校，共有25A 安排方法，故不同的安排种法有256120A ?，故答案为120．【例9】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．【解析】111838684C C = 【例10】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？【解析】每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法63729=种．【例11】六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？ 【解析】由题意，每项比赛的冠军都有6种可能，因为有3项体育比赛，所以冠军获奖者共有36666创=种可能【例12】用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【解析】解析：可分三步来做这件事： 第一步：先将3、5排列，共有22A 种排法；第二步：再将4、6插空排列，插空时要满足奇偶性不同的要求，共有222A 种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有15C 种排法．由分步乘法计数原理得共有221225240A A C =（种)． 答案为：40【例13】从集合{12311}，，，，中任选两个元素作为椭圆方程22221x y m n +=中的m 和n ，则能组成落在矩形区域{()|||11B x y x ，，=<且||9}y <内的椭圆个数为（ ） A ．43B ．72C ．86D ．90【解析】椭圆落在矩形内，满足题意必须有，m n ¹，所以有两类， 一类是m ，n 从{1，2，3，6¼，7，8}任选两个不同数字，方法有2856A = 令一类是m 从9，10，两个数字中选一个，n 从{1，2，3，6¼，7，8}中选一个 方法是：2816?所以满足题意的椭圆个数是：561672+= 故选：B ．【例14】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为2y x =-，值域为{19}，--的“同族函数”共有（ ）A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个【解析】定义域是集合的子集，且子集中至少应该含有1-、1中的一个和3-、3中的一个，满足条件的定义有：{1-，3}-、{1-，3}、{1，3}-、{1，3}、{1-，1，3}-、{1-，1，3}、{1-，3-，3}、{1，3-，3}、{1-，1，3-，3}，共9个．故选：C ．【例15】某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0．这样设计出来的密码共有（ ）A ．90个B ．99个C ．100个D ．112个【例16】从集合{4321012345}，，，，，，，，，----中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的个数为（ ）A ．10B ．32C ．110D ．220【解析】从集合{1-，2-，3-，4-，0，1，2，3，4，5}中，随机选出5个数组成 子集，共有105C 种取法，即可组成105C 个子集，记“这5个数中的任何两个数之和不等于1”为事件A ，而两数之和为1的数组分别为(1,2)-，(2,3)-，(3-，4)(4-，5)，(0,1)，A 包含的结果有①只有有一组数的和为1，有5422213111160C C C C C =种结果②有两组数之和为1，有562160C C =种， 则A 包含的结果共有220种 故答案为：220．【例17】若x 、y 是整数，且6x ≤，6x ≤，则以()x y ，为坐标的不同的点共有多少个？ 【解析】整数x ，y 满足6x ≤，6x ≤ 则{6,5,4,3x A?----，2-，1-，0，1，2，3,4,5,6}，{6,5,4y B?---，3-，2-，1-，0，1，2，3，4,5,6}，从A 种选一个共有13种方法，从B 选一个共有13种方法， 故有1313169?种．故答案为：169．【例18】用0，1，2，3，4，5这6个数字：⑴可以组成______________个数字不重复的三位数． ⑵可以组成______________个数字允许重复的三位数．【解析】（1）根据题意，分2步分析：①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选1个，则百位有5种方法， ②、在剩下的5个数字中任选2个，安排在十位、个位，有2520A =种选法， 则可以组成520100?个无重复数字的三位数（2）分3步进行分析：①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选1个，则百位有5种选法，②、再选十位，十位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则十位有6种选法， ③、最后分析个位，个位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则个位有6种选法， 则可以组成566180创=个数字允许重复的三位数；【例19】六名同学报名参加三项体育比赛，共有多少种不同的报名结果？ 【解析】63333333创创?【例20】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案共有（ ）种．A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少1名教师， 只有一种结果1，2，首先从3个人中选2个作为一个元素， 使它与其他两个元素在一起进行排列，共有22326C A =种结果， 故选：B ．类型三、基本计数原理的综合应用【例21】用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答） 【解析】按首位数字的奇偶性分两类： 一类是首位是奇数的，有：2323A A ；另一类是首位是偶数，有：322322()A A A -则这样的五位数的个数是：2332223322()20A A A A A +-=． 故答案为：20．【例22】若自然数n 使得作竖式加法(1)(2)n n n ++++均不产生进位现象．则称n 为“可连数”．例如：32是“可连数”，因323334++不产生进位现象；23不是“可连数”，因232425++产生进位现象．那么，小于1000的“可连数”的个数为（ ）A ．27B ．36C ．39D ．48【解析】如果n 是良数，则n 的个位数字只能是0，1，2，非个位数字只能是0，1，2，3（首位不为0)， 而小于1000的数至多三位， 一位的良数有0，1，2，共3个二位的良数个位可取0，1，2，十位可取1，2，3，共有339?个三位的良数个位可取0，1，2，十位可取0，1，2，3，百位可取1，2，3，共有34336创=个． 综上，小于1000的“良数”的个数为393648++=个 故选：D ．【例23】由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？【解析】依题意，正方体的8个顶点所确定的平面有：6个表面，6个对角面，8个正三角形平面共20个. 故答案为：20【例24】分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和．【解析】因为3855711=⨯⨯，在1~385这385个自然数中，5的倍数有385[]775=（个)， 7的倍数有385[]557=（个)，11的倍数有385[]3511=（个)，5735⨯=的倍数有385[]1135=（个)，51155⨯=的倍数有385[]755=（个)， 71177⨯=的倍数有385[]577=（个)，385的倍数有1个． 由容斥原理知，在1~385中能被5、7或11整除的数有775535(1175)1145++−+++=（个)， 而5、7、11互质的数有385145240−=（个)．即分母为385的真分数有240（个)． 如果有一个真分数为385a，则必还有另一个真分数385385a −，即以385为分母的最简真分数是成对出现的， 而每一对之和恰为1．故以385为分母的240最简分数可以分成120时，它们的和为1120120⨯=． 【例25】用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成_______个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．【解析】分四类：①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有352120A =个； ②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有124448A A =个；③千位数字为5时，百位数字是4，十位数字是0,1之一时，有11236A A =个；最后还有5420也满足题意. 所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个. 故答案为 175．【例26】某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000创创创?”到“9999创创创?”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）A ．2000B ．4096C ．5904D ．8320【解析】10000个号码中不含4、7的有484096=， \ “优惠卡”的个数为1000040965904-=，故选：C ．【例27】同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（ ）A ．6B ．9种C ．11种D ．23种【解析】设四人分别为a 、b 、c 、d ，写的卡片分别为A 、B 、C 、D ， 由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故a 有三种拿法，不妨设a 拿了B ，则b 可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，c 和d 只能有一种拿法， 所以共有33119创?种分配方式，故选：B．【例28】某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（）A．504B．210C．336D．120【解析】由题意知将这3个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，\三个新节目一个一个插入节目单中，原来的6个节目形成7个空，在这7个位置上插入第一个节目，共有7种结果，原来的6个和刚插入的一个，形成8个空，有8种结果，同理最后一个节目有9种结果根据分步计数原理得到共有插法种数为789504创=，故选：A．【例29】某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共（）A．15种B．12种C．9种D．6种【解析】同种树苗不相邻且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗，\只有中间三个坑需要选择树苗，当中间一个种甲时，第二和第四个坑都有2种选法，共有4种结果，当中间一个不种甲时，则中间一个种乙或丙，当中间这个种乙时，第二和第四个位置树苗确定，当中间一个种丙时，第二和第四个位置树苗确定，共有2种结果，\总上可知共有426+-种结果，故选：D．【例30】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．648【解析】由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有884256创=当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有98172创=根据分类计数原理知共有25672328+=故选：B．【例31】足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有( )A．3种B．4种C．5种D．6种【解析】得3分最多6场，则1分的1场，剩余的场次均得0分；若3分的共5场，则1分的共4场；若3分的共4场，则1分的共7场；若得3分的共3场，则1分的共9场；若得3分的2场，则1分的13场，不合题意，故选B.。

1.1 两个基本计数原理一、填空题1．高一年级三好学生中有男生6人，女生4人，从中选一人去领奖，共有________种不同的选法；从中选一名男生，一名女生去领奖，则共有________种不同的选法．【解析】从中选一人去领奖有6＋4＝10种方法．从中选一名男生一名女生去领奖有6×4＝24种选法．【答案】10242．由1，2，3，4可以组________个自然数．(数字可以重复，最多只能是四位数字) 【解析】组成的自然数可以分为以下四类：第一类：一位自然数，共有4个．第二类：两位自然数，又可分两步来完成．先取出十位上的数字，再取出个位上的数字，共有4×4＝16(个)．第三类：三位自然数，又可分三步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4＝64(个)．第四类：四位自然数，又可分四步来完成，每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4×4＝256(个)．由分类计数原理知，可以组成的不同的自然数为4＋16＋64＋256＝340(个)．【答案】3403．商店里有适合女学生身材的女上衣3种，裙子3种，裤子2种．若一位女生要买一套服装，则共有________种不同选法．【解析】3×(3＋2)＝15(种)．【答案】154．有一排4个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是________．【解析】3×3×3×3＝81(种)．【答案】815．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{6，7，8}中随机选取一个数为b，则组成数对(b，a)的数目为________．【解析】完成数对(b，a)可分2步：第一步从{6，7，8}中随机选取一个数为b，有3种方法；第二步从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，有5种方法．根据分步计数原理，组成数对(b，a)的数目为3×5＝15.【答案】156．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A 不能停在第3道上，则5列火车的停车方法共有________种．【解析】第3道上有4种停车方法，其余各道按1，2，4，5停车，分别有4，3，2，1种不同方法，所以共有4×4×3×2×1＝96(种)．【答案】967．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________．【解析】甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，由分步计数原理知，共有3×3＝9种不同的选法，即基本事件有9个，且每个基本事件等可能发生．两位同学参加同一个兴趣小组包括3个基本事件，即“同时参加第一个兴趣小组”，“同时参加第二个兴趣小组”和“同时参加第三个兴趣小组”，所以两位同学参加同一个兴趣小组的概率为39＝13. 【答案】138．用4种不同的颜色涂入如图1－1－3所示的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有________种．图1－1－3【解析】按A ，B ，C ，D 顺序涂色，共有4×3×2×3＝72种方法．【答案】72 二、解答题9．已知集合M ＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a ，b)表示平面上的点(a ，b ∈M)．(1)P 可表示平面上多少个不同的点？(2)P 可表示平面上多少个第二象限的点？【解】(1)确定平面上的点P(a ，b)可分两步完成：第一步，确定a 的值，共有6种方法；第二步，确定b 的值，也有6种方法．根据分步计数原理，知P 可表示平面上6×6＝36个不同的点．(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步，确定a，由于a<0，所以有3种方法；第二步，确定b，由于b>0，所以有2种方法.由分步计数原理，知P可表示平面上3×2＝6个第二象限的点．10.一般地，一个程序模块由许多子模块组成．如图1－1－4所示，它是一个具有许多执行路径的程序模块．问：这个程序模块有多少条不同的执行路径？图1－1－4【解】由分类计数原理，子模块1、子模块2和子模块3中的执行路径共有18＋45＋28＝91条；子模块4和子模块5中的执行路径共有38＋43＝81条．根据分步计数原理，整个模块的不同执行路径共有91×81＝7 371条．11．用5张100元币，4张1元币，1张5角币，2张2角币，可以组成多少种不同的币值？(一张不取，即0元0角不计在内)．【解】先分为三种币值：百元：0百元，1百元，2百元，3百元，4百元，5百元；元：0元，1元，2元，3元，4元；角：0角，2角，4角，5角，7角，9角．然后分3步进行：第一步从百元中选取有6种取法；第二步从元中选取有5种取法；第三步从角中选取有6种取法．根据分步计数原理，共有6×5×6＝180种取法．但应除去0元0角这1种情况，故可以组成179种不同的币值．。

考前过关训练(一)计数原理(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.若=,则的值为 ( )A.1B.20C.35D.7【解析】选C.由=得n=7,====35.2.已知等式x4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4,则b1,b2,b3,b4的值分别为 ( )A.0,0,0,0B.-4,6,-3,0C.4,-6,4,-1D.-4,6,-4,1【解题指南】由于x4=[(x+1)-1]4,所以可先利用二项式定理展开,然后由对应系数相等计算b1,b2,b3,b4.【解析】选D.根据题意,由于等式x4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4,则[(x+1)-1]4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4,b1,b2,b3,b4的值分别为-,,-,,可知答案为D.3.将5名学生分到A,B,C三个宿舍,每个宿舍至少1人至多2人,其中学生甲不到A宿舍的不同分法有( )A.18种B.36种C.48种D.60种【解析】选D.当甲一人住一个宿舍时有:×=12种,当甲和另一人住一起时有:×××=48,所以有12+48=60(种).4.的展开式中含x的正整数指数幂的项数是( )A.0B.2C.4D.6【解析】选B.的展开式中第r+1项为= (-1)r ,当5-为正整数时,r=0,2,所以项数为2.5.如图,花坛内有5个花池,有5种不同颜色的花卉可供栽种,每个花池内只能种同种颜色的花卉,相邻两池的花色不同,则栽种方案的种数为 ( )A.180B.240C.360D.420【解析】选D.本题中区域2,3,4,5地位相同(都与其他四个区域中的3个区域相邻),故应先种区域1,有5种栽种方案,再种区域2,有4种栽种方案,接着种区域3,有3种栽种方案,种区域4时应注意:区域2与4种同色花时,区域4有1种栽种方案,此时区域5有3种栽种方案;区域2与4种不同色花时,区域4有2种栽种方案,此时区域5有2种栽种方案,故共有5×4×3×(1×3+2×2)=420种栽种方案.【延伸探究】若将本例图改为如图,如何解决?【解析】分以下种情况讨论:(1)5种颜色的花全种,共有=120种方法.(2)只种4种颜色的花,分1,3同色;1,5同色;2,5同色;3,5同色共四种情况,共有4=480种方法.(3)只种3种颜色的花,只能是1,3,5同色,共有=60种方法.共有120+480+60=660种栽种方案.6.某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含x,y正半轴上的整点),其运动规律为(m,n)→(m+1,n+1)或(m,n)→(m+1,n-1).若该动点从原点出发,经过6步运动到(6,2)点,则有__________ 种不同的运动轨迹.( )A.15B.14C. 9D.10【解析】选C.如图,该动点从原点出发,按规律运动到A或B或C或D或F 各有一种,运动到E有两种,到G,H各三种,…,由此可知它符合二项式系数规律,如此下去可得经过6步运动到P(6,2)点,有-=9种不同的运动轨迹.7.二项式展开式中x的系数为__________.【解析】二项式展开式中,T r+1=(x2)5-r=x10-3r,令10-3r=1得,r=3,所以,二项式展开式中x的系数为=10.答案:108.若展开式的常数项是60,则常数a的值为__________ .【解析】T r+1=x6-r=(-1)r x6-3r,由6-3r=0⇒r=2,所以(-1)2a=60.解得a=4.答案:49.如下表所示,现有一种跳格游戏,从第1格跳到第8格,每次可跳一格或两格,那么不同的跳法有__________种.1 2 3 4 5 6 7 8【解析】按跳的步数进行分类.第一类7步跳完,只有1种方法;第二类6步跳完,即2,3,4,5,6,7格中有1个格不跳,有6种方法;第三类5步跳完,即2,3,4,5,6,7格中有不相邻的2格不跳,有10种方法; 第四类4步跳完,即2,3,4,5,6,7格中有不相邻的3格不跳,有4种方法, 故共有1+6+10+4=21(种)不同方法.答案:2110.由-1,0,1,2,3这五个数中选三个不同的数组成二次函数y=a2x+bx+c的系数.(1)开口向下的抛物线有几条?(2)开口向上且不过原点的抛物线有多少条?(3)与x轴的正、负半轴各有一个交点的抛物线有多少条?【解析】(1)a<0,a只能取-1,b,c有种选法,共有=12(条).(2)a>0且c≠0,共有=27(条).(3)ac<0,当a>0,c<0时,a,b,c分别有,,种选法;当a<0,c>0时,a,b,c有,,种选法,共有+=18(条).11.已知=40,设f(x)=.(1)求n的值.(2)f(x)的展开式中的哪几项是有理项(回答项数即可).(3)求f(x)的展开式中系数最大的项和系数最小的项(回答第几项即可).【解析】(1)由已知=40,可得n(n-1)(n-2)(n-3)=40·,求得n=7.(2)f(x)=的展开式的通项公式为T r+1=·(-1)r·,令7-为整数,可得r=0,3,6,故第1项、第4项、第7项为有理项.(3)由于f(x)的展开式中第r+1项的系数为·(-1)r,故当r=4时,即第5项的系数最大;当r=3时,即第4项的系数最小.【补偿训练】已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于展开式的常数项,而(a2+1)n展开式中的系数最大的项等于54,求a的值.【解析】展开式的通项为T r+1=·=,令=0,得r=4,所以常数项为T5=·=16.又因为(a2+1)n的展开式的各项系数之和等于2n.所以2n=16,所以n=4.由二项式系数的性质知,(a2+1)4展开式中系数最大的项是中间项,即第3项,T3=a4=54,解得a=±.。

高二数学分类加法计数原理与分步乘法计数原理试题1.一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（）A．8B．15C．16D．30【答案】Ａ【解析】分两类：3+5=8，故选A。

【考点】本题主要考查分类计数原理的应用。

点评：简单题，审清题意。

2.由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（）A．25B．20C．16D．12【答案】Ｃ【解析】构成两位数，分两步考虑：十位数字不为零有4种选法，个位由4种选法，所以可组成无重复数字的两位数的个数是4×4=16，故选C。

【考点】本题主要考查分步计数原理的应用。

点评：特别注意十位数字不为零。

3.李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择方式（）A．24B．14C．10D．9【答案】Ｂ【解析】两类，一类是衬衣+裙子：分两步，衬衣有4种选择，裙子有3种选择，有4×3=12；第二类是连衣裙，永种选择，所以共有12+2=14，故选B。

【考点】本题主要考查分步计数原理的应用。

点评：稍具综合性的简单题，审清题意。

4.把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（）A．4种B．5种C．6种D．7种【答案】Ａ【解析】分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆最至少1个，只有2种分法。

三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆最至少1个，只有2种分法。

三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的。

【考点】本题主要考查分类计数原理的应用。

点评：本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始，分别计算不同分法，然后求和。

用列举法也可以，形象、直观易懂。

5.平面内有7个点，其中有5个点在一条直线上，此外无三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．【答案】12【解析】分三类：这5个在一条线上的点连成1条直线；其中每一点与直线外2点各连成一条直线，有10条；直线外2点又相互连成1条直线；这样直线应该有1+5+5+1=12条.【考点】本题主要考查分类计数原理的应用。

《7.1 两个基本计数原理》同步训练(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、在参加学校的科技创新比赛时，小明从A、B、C、D四个方面中任选两个进行项目研究。

不考虑顺序，一共有几种不同的选择方式？2、某班有男生35人，女生30人，如果要从中选出5名学生参加数学竞赛，要求至少有2名女生，则不同的选法共有（）A. 330种B. 406种C. 126种D. 45种3、从集合 {1, 2, 3, 4} 中任选两个不同的元素构成一个有序对 (a, b)，其中 a < b，共有多少种选择？A. 6B. 8C. 10D. 124、若集合A有10个元素，集合B有5个元素，且集合A与集合B的交集有3个元素，则集合A与集合B的并集共有多少个元素？A、15B、17C、18D、205、在排列问题中，从5名男生和4名女生中选出2人参加数学竞赛，不考虑性别，则不同的选法共有（）A.120种B.60种C.84种D.96种6、从4名男生和3名女生中选2人，分别担任正、副班长，共有多少种不同的选法？A. 14B. 24C. 35D. 487、在排练节目中，需要对6个不同的节目按照一定的顺序进行排列。

已知其中有两个节目必须相邻出演，问共有多少种不同的排列方法？A. 720种B. 360种C. 240种D. 120种8、在排列问题中，若从5个不同的字母中取出3个字母进行排列，不同的排列方法共有（）种。

A. 60种B. 120种C. 30种D. 20种二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、在进行一个6人小组的活动安排中，需要选出2人担任组长和副组长的职责。

请问下列选项中哪些是正确的安排方式数？A. 60B. 30C. 15D. 1202、已知5位数字组成的无重复数字的6位数，排列方式的总数是：A. 720B. 7200C. 120D. 25203、下列说法中，属于两个基本计数原理应用的有：A. 计算从1到100的自然数中，有多少个偶数。

专题01 两个计数原理类型一、加法原理例1．（2023·全国·高三专题练习）某奥运村有A，B，C三个运动员生活区，其中A区住有30人，B区住有15人，C区住有10人.已知三个区在一条直线上，位置如图所示.奥运村公交车拟在此间设一个停靠点，为使所有运动员步行到停靠点路程总和最小，那么停靠点位置应在（）A．A区B．B区C．C区D．A，B两区之间例2．（2023·全国·高三专题练习）现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（）A．7种B．9种C．14种D．70种例3．（2023·全国·高三专题练习）2010年世界杯足球赛预计共有24个球队参加比赛，第一轮分成6个组进行单循环赛（在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（）场次．A．53B．52C．51D．50例4．（2023·全国·高三专题练习）在北京冬奥会短道速滑混合团体2000米接力决赛中，中国队成功夺冠，为中国体育代表团夺得本届冬奥会首金.短道速滑男女接力赛要求每队四名运动员，两男两女，假设男女队员间隔接力，且每位队员只上场一次，则不同的上场次序的种数为（）A．8B．16C．18D．24例5．（2023·高二单元测试）某学校为落实“双减政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排如下表.小明同学要在这一周内选择编程、书法、足球三门课，不同的选课方案共有（）A．15种B．10种C．8种D．5种类型二、乘法原理例6．（2023·高二课时练习）一次时装表演，有7顶不同款式的帽子，12件不同款式的上衣和8条不同款式的裤子．一位模特要从这些帽子、上衣和裤子中各选1款穿戴，则有______种不同的选法．例7．（2023·高二课时练习）4个学生各写一张贺卡放在一起，然后每人从中各取一张，要求不能取自己写的那张贺卡，但有1个学生取错了，则不同的取法共有______种．例8．（2023·高二课时练习）有四位学生参加三项竞赛，要求每位学生必须参加其中一项竞赛，有______种参赛情况．例9．（2023·高二课时练习）有四位学生参加三项竞赛，要求每项竞赛只需其中一位学生参加，有______种参赛情况．例10．（2023·高二课时练习）甲、乙、丙、丁四个人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己所写的贺卡，共有______种不同的取法．例11．（2023·高二课时练习）某酒店的大楼有18层，每层12个房间，如果每个房间都安装一个电话分机，那么用1、2、3、4、5、6这六个数字所组成的三位数作为各分机的号码，是否够用？例12．按序给出a，b两类元素，a类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，b类中的元素排序为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．在a，b两类中各取1个元素组成1个排列，求a类中选取的元素排在首位，b类中选取的元素排在末位的排列的个数．a类的10个元素叫作天干，b类的12个元素叫作地支．两者按固定顺序相配，形成古代纪年历法，求天干各地支相配可形成的纪年历法可以表示多少年.例13．某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？类型三、基本计数原理的综合应用例14．（2023秋·河北·高二河北省文安县第一中学校考期末）如图，要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为（）A．5B．7C．8D．12例15．（2023·高二单元测试）一杂技团有8名会表演魔术或口技的演员，其中有6人会表演口技，有5人会表演魔术，现从这8人中选出2人上台表演，1人表演口技，1人表演魔术，则不同的安排方法有______种．例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有_____________条不同的线路（每条线路仅含一条通路）．例17．（2023春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字．如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒．若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数有______个例18．（2023·全国·高三专题练习）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：（1）每位学生每天最多选择1项；（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：例19．（2023·高二课时练习）书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．(1)从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？(2)从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？(3)从这些书中取不同科目的书共两本，有多少种不同的取法？例20．（2023·高二单元测试）在某次国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数是多少？。