离散数学之一阶逻辑

离散数学第二章一阶逻辑知识点总结数理逻辑部分第2章一阶逻辑2.1 一阶逻辑基本概念个体词（个体）: 所研究对象中能够独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域: 个体变项的取值范围有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2}无限个体域，如N, Z, R, …全总个体域: 宇宙间一切事物组成谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：F(a)：a是人谓词变项：F(x)：x具有性质F一元谓词: 表示事物的性质多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x y，…0元谓词: 别含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项量词: 表示数量的词全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等如x 表示对个体域中所有的x存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一具等如x表示在个体域中存在x一阶逻辑中命题符号化例1 用0元谓词将命题符号化要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲符号化为p, 这是真命题在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲符号化为F(a)例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字分不取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域.解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为x G(x)(2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为x G(x)(b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中(1) x (F(x)G(x))(2) x (F(x)G(x))这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用.例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 正数都大于负数(2) 有的无理数大于有的有理数解注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域(1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值(2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数,L(x,y)：x>yx(F(x)y(G(y)L(x,y)))或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值几点注意：1元谓词与多元谓词的区分无特殊要求，用全总个体域量词顺序普通别能随便颠倒否定式的使用考虑：①没有别呼吸的人②别是所有的人都喜爱吃糖③别是所有的火车都比所有的汽车快以上命题应怎么符号化？2.2 一阶逻辑合式公式及解释字母表定义字母表包含下述符号：(1) 个体常项：a, b, c, …, a i, b i, c i, …, i1(2) 个体变项：x, y, z, …, x i, y i, z i, …, i 1(3) 函数符号：f, g, h, …, f i, g i, h i, …, i1(4) 谓词符号：F, G, H, …, F i, G i, H i, …, i1(5) 量词符号：,(6) 联结词符号：, , , ,(7) 括号与逗号：(, ), ，定义项的定义如下：(1) 个体常项和个体变项是项.(2) 若(x1, x2, …, x n)是任意的n元函数，t1,t2,…,t n是任意的n个项，则(t1, t2, …, t n) 是项.(3) 所有的项基本上有限次使用(1), (2) 得到的.个体常项、变项是项，由它们构成的n元函数和复合函数依然项定义设R(x1, x2, …, x n)是任意的n元谓词，t1,t2,…, t n 是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, t n)是原子公式.原子公式是由项组成的n元谓词.例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式定义合式公式（简称公式）定义如下：(1) 原子公式是合式公式.(2) 若A是合式公式，则(A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B),(A B)也是合式公式(4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式(5) 惟独有限次地应用(1)~(4)形成的符号串是合式公式.请举出几个合式公式的例子.定义在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在x和x的辖域中，x的所有浮现都称为约束浮现，A中别是约束浮现的其他变项均称为是自由浮现的.例如, 在公式x(F(x,y)G(x,z)) 中,A=(F(x,y)G(x,z))为x的辖域，x为指导变元, A中x的两次浮现均为约束浮现，y与z均为自由浮现.闭式: 别含自由浮现的个体变项的公式.给定公式A=x(F(x)G(x))成真解释: 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1代入得A=x(x>2x>1) 真命题成假解释: 个体域N, F(x): x>1, G(x): x>2 代入得A=x(x>1x>2) 假命题咨询: xF(x)x F(x) 有成真解释吗？xF(x)x F(x) 有成假解释吗？被解释的公式别一定全部包含解释中的4部分.闭式在任何解释下基本上命题，注意别是闭式的公式在某些解释下也也许是命题.永真式（逻辑有效式）：无成假赋值矛盾式（永假式）：无成真赋值可满脚式：至少有一具成真赋值几点讲明：永真式为可满脚式，但反之别真谓词公式的可满脚性（永真性,永假性)是别可判定的利用代换实例可判某些公式的类型定义设A0是含命题变项p1, p2, …,p n的命题公式，A1,A2,…,A n是n个谓词公式，用A i处处代替A0中的p i (1i n)，所得公式A称为A0的代换实例.例如:F(x)G(x), xF(x)yG(y) 等基本上p q的换实例，x(F(x)G(x)) 等别是p q 的代换实例.定理重言式的代换实例基本上永真式，矛盾式的代换实例基本上矛盾式.2.3 一阶逻辑等值式等值式定义若A B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A B，并称A B 为等值式.基本等值式:命题逻辑中16组基本等值式的代换实例如，xF(x)yG(y) xF(x)yG(y)(xF(x)yG(y)) xF(x)yG(y) 等消去量词等值式设D={a1,a2,…,a n} xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)量词否定等值式设A(x)是含x自由浮现的公式xA(x)x A(x)xA(x)x A(x)量词分配等值式x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)注意：对无分配律，对无分配律例将下面命题用两种形式符号化(1) 没有别犯错误的人(2) 别是所有的人都爱看电影解(1) 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))请给出演算过程，并讲明理由.(2) 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))给出演算过程，并讲明理由.前束范式定义设A为一具一阶逻辑公式, 若A具有如下形式Q1x1Q2x2…Q k x k B, 则称A为前束范式, 其中Q i(1i k)为或，B为别含量词的公式.例如，x y(F(x)(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))是前束范式, 而x(F(x)y(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))别是前束范式.定理（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式注意:公式的前束范式别惟一求公式的前束范式的办法: 利用重要等值式、置换规则、换名规则、代替规则举行等值演算.换名规则: 将量词辖域中浮现的某个约束浮现的个体变项及对应的指导变项，改成其他辖域中未曾浮现过的个体变项符号，公式中其余部分别变，则所得公式与原来的公式等值.代替规则: 对某自由浮现的个体变项用与原公式中所有个体变项符号别同的符号去代替，则所得公式与原来的公式等值.例求下列公式的前束范式(1) x(M(x)F(x))解x(M(x)F(x))x(M(x)F(x)) （量词否定等值式）x(M(x)F(x))两步结果基本上前束范式，讲明前束范式别惟一.(2) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x) （量词否定等值式）x(F(x)G(x)) （量词分配等值式）另有一种形式xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)xF(x)y G(y) ( 换名规则) x y(F(x)G(y)) ( 量词辖域扩张) 两种形式是等值的(3) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)x(F(x)G(x)) （为啥？）或x y(F(x)G(y)) （为啥？）(4) xF(x)y(G(x,y)H(y))解xF(x)y(G(x,y)H(y))zF(z)y(G(x,y)H(y)) （换名规则）z y(F(z)(G(x,y)H(y))) （为啥？）或xF(x)y(G(z,y)H(y)) （代替规则）x y(F(x)(G(z,y)H(y)))(5) x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))解用换名规则, 也可用代替规则, 这个地方用代替规则 x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))x(F(x,u)y(G(x,y)H(x,z)))x y(F(x,u)G(x,y)H(x,z)))注意：x与y别能颠倒。

离散数学一阶逻辑离散数学是一门研究离散结构及其运算规律的学科，它涉及到数学中的逻辑、代数、集合论、图论等多个方面。

其中，一阶逻辑作为离散数学中的重要分支，具有广泛的应用和研究价值。

本文将从逻辑的基本概念、一阶逻辑的语法和语义、一阶逻辑的推理规则、一阶逻辑的应用等几个方面来介绍一阶逻辑，旨在帮助读者全面了解一阶逻辑的基本概念和使用方法，并为其后续学习和应用提供指导。

首先，我们来介绍逻辑的基本概念。

逻辑是研究判断的科学，它主要关注真理与推理的关系。

在逻辑中，我们使用语句来表示判断，语句可以是真或假。

同时，逻辑将语句分为简单语句和复合语句。

简单语句是指不能再分解为更简单语句的语句，而复合语句则由多个简单语句通过逻辑运算连接而成。

逻辑运算包括取反（¬）、合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）等。

接下来，我们进一步介绍一阶逻辑的语法和语义。

一阶逻辑是最基本且最常用的逻辑系统之一，它包括基本命题、谓词和量词。

基本命题是指具有真或假值的简单语句，如“今天是星期一”。

谓词是一种描述性的语句构造，它通过将一些对象与一些性质关联起来，来表示复杂的判断。

例如，“x是红色”的谓词可以表示成P(x)。

量词则用来表示概括性的判断，包括全称量词∀和存在量词∃。

例如，“对于任意x，P(x)”可以表示成∀xP(x)。

在一阶逻辑中，语义是根据给定的语句和模型来确定语句的真假值。

模型是一种对应关系，它将谓词与具体的对象元素相联系。

通过使用变元（变量）和量化符号（全称量词∀和存在量词∃），我们可以构造出不同的语句并进行语义推理，从而得到推理结论。

此外，一阶逻辑还有一些特殊的推理规则，例如代入规则和全称推广规则。

代入规则是指在一个语句中的某个位置用一个等价的语句替换。

全称推广规则是指在一个语句中添加一个全称量词，将一个具体对象概括为所有对象的性质。

最后，我们来介绍一阶逻辑的应用。

一阶逻辑在人工智能、计算机科学和数学等领域有着广泛的应用。

在命题逻辑中，命题是最基本的单位，对简单命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数量关系。

因而命题逻辑具有局限性，甚至无法判断一些简单而常见的推理。

考虑下面的推理:凡偶数都能被2整除；6是偶数。

所以，6能被2整除。

这个推理是我们公认的数学推理中的真命题，但是在命题逻辑中却无法判断它的正确性。

因为在命题逻辑中只能将推理中出现的三个简单命题依次符号化为p，q，r，将推理的形式结构符号化为(p∧q)→r由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确性。

为了克服命题逻辑的局限性，就应该将简单命题再细分，分析出个体词，谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的内在联系和数量关系，这就是一阶逻辑所研究的内容。

一阶逻辑也称一阶谓词逻辑或谓词逻辑。

4.1 一阶逻辑的符号化下面直接仿照1.1来对谓词逻辑进行符号化。

个体词，谓词和量词是一阶逻辑命题符号化的三个基本要素。

下面讨论这三个要素。

一、个体词个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。

例如，小王，小李，中国，，3等都可以作为个体词。

将表示具体或特定的客体的个体词称作个体常项，一般用小写英文字母a，b，c…表示；而将表示抽象或泛指的个体词称为个体变项，常用x，y，z…表示。

称个体变项的取值范围为个体域(或称论域)。

个体域可以是有穷集合，例如，{1，2，3}，{a，b，c，d}，{a，b，c，…，x，y，z}，…；也可以是无穷集合，例如，自然数集合N={0，1，2，…}，实数集合R={x|x是实数}…。

有一个特殊的个体域，它是由宇宙间一切事物组成的，称它为全总个体域。

本书在论述或推理中如没有指明所采用的个体域，都是使用全总个体域。

二、谓词谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。

考虑下面四个命题(或命题公式):(1)是无理数。

(2)x是有理数。

(3)小王与小李同岁。

(4)x与y具有关系L.在(1)中，是个体常项，“…是无理数”是谓词，记为F，并用F()表示(1)中命题。

离散数学一阶逻辑笔记一、一阶逻辑基本概念。

（一）个体词。

1. 定义。

- 个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。

- 例如，在“小王是学生”中，“小王”就是个体词；在“3是有理数”中，“3”是个体词。

2. 分类。

- 个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，常用a,b,c,·s表示。

“小李”可以用a表示。

- 个体变项：表示抽象或泛指的个体词，常用x,y,z,·s表示。

例如，“某个学生”可以用x表示。

（二）谓词。

1. 定义。

- 谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。

- 例如，在“小王是学生”中，“是学生”就是谓词，它刻画了“小王”的性质；在“3大于2”中，“大于”是谓词，它刻画了“3”和“2”之间的关系。

2. 分类。

- 谓词常项：表示具体性质或关系的谓词。

如“是偶数”是谓词常项。

- 谓词变项：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。

- 一元谓词：与一个个体词相联系的谓词。

例如P(x)，其中P表示“是学生”，x是个体变项。

- 二元谓词：与两个个体词相联系的谓词。

例如Q(x,y)，其中Q表示“大于”，x,y是个体变项。

- n元谓词：与n个个体词相联系的谓词，一般表示为P(x_1,x_2,·s,x_n)。

（三）量词。

1. 全称量词。

- 符号表示为“∀”，表示“所有的”“任意一个”等。

- 例如，“所有的人都会呼吸”可以表示为∀ x(P(x)to Q(x))，其中P(x)表示“x是人”，Q(x)表示“x会呼吸”。

2. 存在量词。

- 符号表示为“∃”，表示“存在一个”“至少有一个”等。

- 例如，“存在一个数是偶数”可以表示为∃ x(P(x)，其中P(x)表示“x是数且x是偶数”。

二、一阶逻辑公式及其解释。

（一）一阶逻辑合式公式（谓词公式）1. 原子公式。

- 设P(x_1,x_2,·s,x_n)是n元谓词，t_1,t_2,·s,t_n是项，则P(t_1,t_2,·s,t_n)称为原子公式。