2019矩阵分析复习提纲

第一章 线性空间与线性变换1、 充分理解抽象线性空间的概念,掌握向量的线性表出,线性相关,线性无关的判断与性质.P5,例1.1.82、 掌握线性空间的基,维数,坐标的定义与求法,掌握基变换与坐标变换,明确过渡矩阵必可逆,会求过渡矩阵.P12,例1.2.63、 理解线性子空间的概念,重点掌握齐次线性方程组的解空间与生成子空间,理解线性子空间的交与和以及维数公式,了解子空间的直和与补子空间.P19,例1.3.54、 掌握线性映射(变换)的概念, 线性映射(变换)的矩阵表示以及一个线性变换在不同基下矩阵之间的(相似)关系.P30,例1.4.8,P35,例1.6.15、 会求线性映射的核与值域,理解秩与零度定理P33,例1.5.16、 理解线性变换不变子空间的定义与性质.7、 会求矩阵(线性变换)的特征值与特征向量,理解矩阵(线性变换)的特征值与特征向量的性质8、 掌握矩阵可对角化的条件,理解矩阵族同时可对角化的含义.第二章 λ-矩阵与矩阵的Jordan 标准形1、会求λ-矩阵的Smith 标准形2、会求λ-矩阵的不变因子,行列式因子和初等因子.明确三者之间的关系(特别是:初等因子+矩阵秩可决定不变因子) .P72,例2.2.1, 例2.2.23、理解λ-矩阵等价的几个充分必要条件.4、掌握矩阵Jordan 标准形的定义,会求矩阵的Jordan 标准形及其相似变换矩阵. P79例2.3.3第三章 内积空间, 正规矩阵, Hermite 矩阵1、掌握欧氏空间和酉空间的定义与性质,掌握Hermite 矩阵的定义与性质,会求欧氏(酉)空间的度量矩阵(P94),明确欧氏空间的度量矩阵为实对称阵, 酉空间的度量矩阵为Hermite 矩阵. 例:在线性空间[]3x R 中定义内积()⎰-=11)()()(),(dx x g x f x g x f(1) 、证明[]3x R 是欧氏空间;(2) 、求基1,2,x x 的度量矩阵; (3) 、求21)(x x x f +-=与2541)(x x x g --=的内积.2、掌握线性无关向量组的Schmidt 正交化与单位化方法P100,例3.2.13、掌握酉矩阵和正交矩阵的定义与性质,理解酉变换与正交变换的定义与性质4、掌握Schur 引理的内容及实现过程,掌握正规矩阵的定义与性质P114,例3.5.1第四章 矩阵分解1、掌握矩阵满秩分解的定义以及具体分解方法,明确矩阵满秩分解表达式不唯一,及其应用于求矩阵广义逆.2、掌握矩阵正交三角分解的定义以及具体分解方法,理解矩阵正交三角分解与Schmidt 正交化与单位化方法之间的关系.P148,例4.2.1例:求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101011110A 的正交三角(UR)分解.第五章 向量与矩阵范数1、理解向量范数的定义,会判断所给定义是否可作为向量范数,会求向量的p-范数,1-范数,2-范数, ∞-范数,学习指导上例5.12、理解矩阵范数的定义,会判断所给定义是否可作为矩阵范数3、理解矩阵范数与向量范数的相容性,掌握诱导范数的定义,会求矩阵的1-范数(列和范数), 2-范数(谱范数),∞-范数(行和范数),谱半径,学习指导上例5.6,例5.7 4、理解矩阵序列极限与矩阵序列敛散性的含义,会求矩阵序列极限,会判断矩阵序列敛散性,学习指导上例5.185、掌握矩阵幂级数敛散性的含义,会判断矩阵幂级数的敛散性,并会求收敛幂级数的和,学习指导上例5.20,例5.21,例5.22。

【最新整理，下载后即可编辑】矩阵和行列式复习知识梳理9.1矩阵的概念： 矩阵：像[27]，[4202]，[945354]的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写字母A 、B 、C…表示三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵；① 矩阵行的个数在前。

② 矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。

行向量、列向量单位矩阵的定义：主对角线元素为1，其余元素均为0的矩阵 增广矩阵的含义及意义：在系数矩阵的右边添上线性方程组等号右边的值的矩阵。

通过矩阵变换，解决多元一次方程的解。

9.2矩阵的运算 【矩阵加法】不同阶的矩阵不可以相加；记11122122A A A A A =⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11122122B B B B B =⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=+2222212112121111B A B A B A B A B A ，【矩阵乘法】，[A 1A 2]×[A 1A 2]=11122122A B A B A B A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=22221221212211212212121121121111B A B A B A B A B A B A B A B A AB 【矩阵的数乘】().ij kA Ak ka ==【矩阵变换】相似变换的变换矩阵特点：k [1001]等轴对称变换的变换矩阵：[−1001]、[100−1]、[0110]等旋转变换的变换矩阵：[0−110]等9.3二阶行列式【行列式】行列式是由解线性方程组产生的一种算式； 行列式是若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。

行列式行数、列数一定相等；矩阵行数、列数不一定相等。

二阶行列式的值a d D ac bd bc==-展开式ac - bd【二元线性方程组】 对于二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩，通过加减消元法转化为方程组xy D x D D y D ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩其中111111222222,,x y a b c b a c D D D a b c b a c ===方程的解为{A =A A A A =AAA用行列式来讨论二元一次方程组解的情况。

1矩阵的基本知识正规矩阵：实对称阵，实反对称阵，实正交矩阵，hermite 矩阵，反hermite 矩阵，酉矩阵2.1矩阵的特征值与特征向量2.2矩阵的相似对角化2.3矩阵的Jordan 标准型1、不变因子、初等因子、行列式因子的定义2、Jordan 标准型的求法：初等变换法、行列式因子法3、相似变换矩阵的求法：J=P-1AP→AP=PJ，k i j 的形式、二项式系数4、相似对角化的条件：r 重根需对应r 特征向量，否则不能对角化2.4hamilton-cayley 定理()()()0,det =-=A A I n ϕλλϕ则,用此公式简化矩阵运算2.5矩阵的酉相似1、smit 正交化，shur 分解2、酉矩阵的定义，正规矩阵的定义，酉相似定义，酉相似对角化及充要条件3、酉对角化步骤4、正定hermite 的性质A=GG H3.1矩阵的三个基本分解1、满秩分解：只能是行变换A=FG2、方阵的Jordan 分解、shur 分解3.2矩阵的三角分解1、三角分解的定义及可逆矩阵的三角分解条件，不可逆矩阵也是可以三角分解的2、Doolittle、crout、LDR 分解的形式、正定hermite 矩阵的cholesky 分解3.3矩阵的QR 分解1、householder 变换（1）取记住复数向量的模为sqrt(x hx)αe1Hx 则,2uu 1H 令(3)αe1x αe1x u 取2x α1H=-=--==）（）（2、利用householder 变换求矩阵的QR 分解Q=H1H2H3...Hn-13、矩阵奇异值分解的一般步骤4.1向量范数和矩阵范数的定义∑==ni ix x 115.0122⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=ni i x x pni p i px x11⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ix xmax =∞∑∑===ni nj ijm a A 111()AA a A H n i n j ij Ftr 5.0112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==ijm a n A max ⋅=∞∑=≤≤=ni ij nj a A 111max 最大列模和∑=≤≤∞=nj ij ni a A 11max 最大行模和H AA A ==12σA 的最大奇异值谱半径与范数的关系：()AA ≤ρ4.2矩阵级数，矩阵幂级数，收敛性()1-∞=-=∑A I A k k,当级数∑∞=0k kA收敛时即()1<A ρ4.3矩阵函数：几个常用的矩阵函数∑∞==0!k kAk A e ()()120!121sin +∞=∑+-=k k kAk A ()()kk k Ak A 20!21cos ∑∞=-=()()()10111ln +∞=∑+-=+k K kAk A 矩阵函数值的计算方法：1、Hamilton-cayley 定理或零化多项式进行求解2、Jordan 分解：()100-∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑P J a P A a A f k k k k kk ()()()100-∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑P Jt a P At a At f K k k k kk 3、待定系数法矩阵函数()A f 的特征值对应()i f λ5、矩阵的特征值界的估计∞≤m A λ()∞+≤m HA A 5.0ReλHA A -≤5.0Im λ矩阵特征值的分布区域：圆盘定理，行和列盖尔圆特征值的隔离()~1ii ii R R a z αα-+≤-()x R max 1=λ，()x R n min =λ6、广义逆矩阵P l l l I Q X r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222112{1}广义逆的求法⎥⎦⎤⎢⎣⎡0nm I I A 初等变换→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000Q P I r。

一、定义设V 是一个非空集合， F 为数域．上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么 就称为数域 F 上的线性空间．[ V, F, “+”, “.”, 8 ]判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．R[X]n 是次数不超过n 的多项式，构成了向量空间，其基是[1,X,X 2,……, X n ]。

P[X]n 是次数不超过n-1的多项式，构成了向量空间，其基是[1,X,X 2,……,X n-1]。

Q[X]n 是次数不超过n 的多项式，其中an 不等于0，不构成了向量空间,。

Ax=0的解空间，称为矩阵A 的核（零）空间，记N （A ）设A 为实数（或复数）m*n 矩阵，x 为n 维列向量，则m 维列向量集合V={y ∈R m (C m )|y=Ax,x ∈R n (C n ),A ∈R m*n (C m*n)}构成实（或复）数域R （或C ）上的线性空间，称为A 的列空间或A 的值域，记R （A ）。

线性相关与无关略所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性空间．对于 中的矩阵例 1.1.11⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000,0100,0010,000122211211E E E E ,4321224213122111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++k k k k E k E k E k E k 有,0000 224213122111⎪⎪⎭⎫⎝⎛==+++O E k E k E k E k 因此 03321====⇔k k k k .,,,22211211线性无关即E E E E()(),,,,,,, 2121P n n αααβββ =基变换公式矩阵P 称为由基n ααα,,,21到基n βββ,,,21 的过渡矩阵．坐标变换公式 ,'''2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x P x x x 例1.2.6略P11设V l ，V 2是线性空间V 的两个子空间， 可以验证: 21V V 构成V 的线性子空间．称为 21V V 为V l 与 V 2 的交空间．可以验证: 21V V + 构成V 的线性子空间．称21V V +为 V l 与 V 2 的和空间例1.3.5◆{}{}2122112121,span ,,span ,1,3,5,1,1,3,5,4,1,31,1,131,2ββααββαα==-=-=--==V V T TT T ）（）（），（），，（试求；(1)V l +V 2的基与维数；(2) 21V V 的基与维数● [解] (1)由定理3知{}212121,,,span ββαα=+V V 121,,βαα是极大无关组．故它是V 1+V 2的基，维数＝3，于是且，即）设（21212V V V V ∈∈∈ααα 24132211ββαααk k k k +=+=把2121,,,ββαα的坐标代入上式，解之得4342132,35,0k k k k k -===于是. 35,5,35,35214的向量表示为V V k T⎪⎭⎫ ⎝⎛--=α其维数=l线性映射：设V1，V2是数域F 上的两个线性空间，映射T ：V1->V2,如果对于任何两个向量a1,a2∈V1和任何数Ｋ∈Ｆ，都有T （a1+a2）=T(a1)+T(a2)；T （Ka1）=KT(a1)便称为映射。

矩阵分析复习第一章线性空间与线性变换一、线性空间1．线性空间：设V 是一个非空集合。

如果V 满足:（I）在V 中定义一个“加法”运算，即当V y x ，时，有唯一的和V y x （封闭性），且加法运算满足下列性质: （1）结合律z y x z y x )()(； （2）交换律x y y x ；（3）零元律O V ，称为零元， x V 有x O x ； （4）负元律x V ， y V 称为x 的负元，使O y x 。

（II）在V 中定义一个“数乘”运算，即当K k V x ,时，有唯一的V kx （封闭性），且数乘运算满足下列性质: （5）数因子分配律ky kx y x k )(； （6）分配律lx kx x l k )(； （7）结合律x kl lx k )()( ；（8）恒等律x x 1；[数域中一定有1]2．线性空间的基与维数基：设V 是数域K 上的线性空间，)1(,,21 r x x x r 是属于V 的r 个任意元素，如果它满足（1）r x x x ,,21 线性无关；（2）V 中任一向量x 均可由r x x x ,,21 线性表示。

则称r x x x ,,21 为V 的一个基。

维数：基中的元素个数称为V 的维数，记为V dim 。

3.坐标：称线性空间n V 的一个基n x x x ,,21 为nV 的一个坐标系，nV x ，它在该基下的线性表示为：),2,1,,(1n i V x K x ni i ni ii则称n ,,21 为x 在该坐标系中的坐标或分量，记为Tn ),,(214.基变换与坐标变换：设n x x x ,,21 及n y y y ,,21 是nV 的两组基，),2,1(1n i x cy ni iij j即C x x x c c c c c c c c c x x x y y y n nn n n n n n n ,,,,,,212122221112112121其中C 称为过渡矩阵。

矩阵知识点归纳及例题一、矩阵知识点归纳。

（一）矩阵的定义。

1. 矩阵的概念。

- 由m× n个数a_ij(i = 1,2,·s,m;j = 1,2,·s,n)排成的m行n列的数表(a_11a_12·sa_1n a_21a_22·sa_2n ⋮⋮⋱⋮ a_m1a_m2·sa_mn)称为m× n矩阵，简称矩阵，其中a_ij称为矩阵的第i行第j列的元素。

2. 特殊矩阵。

- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，记为O。

- 方阵：行数与列数相等的矩阵，即m = n时的矩阵A称为n阶方阵。

- 对角矩阵：除主对角线元素外，其余元素都为0的方阵，即a_ij=0(i≠ j)的n 阶方阵(a_110·s0 0a_22·s0 ⋮⋮⋱⋮ 00·sa_nn)。

- 单位矩阵：主对角线元素都为1，其余元素都为0的n阶方阵，记为I或E，即(10·s0 01·s0 ⋮⋮⋱⋮ 00·s1)。

（二）矩阵的运算。

1. 矩阵的加法。

- 设A=(a_ij)和B=(b_ij)是两个m× n矩阵，则A + B=(a_ij+b_ij)，即对应元素相加。

- 矩阵加法满足交换律A + B=B + A和结合律(A + B)+C = A+(B + C)。

2. 矩阵的数乘。

- 设A=(a_ij)是m× n矩阵，k是一个数，则kA=(ka_ij)，即矩阵的每个元素都乘以k。

- 数乘满足分配律k(A + B)=kA + kB和(k + l)A=kA + lA（k、l为常数）。

3. 矩阵的乘法。

- 设A=(a_ij)是m× s矩阵，B=(b_ij)是s× n矩阵，则AB是m× n矩阵，其中(AB)_ij=∑_k = 1^sa_ikb_kj。

- 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB≠ BA（在A、B可乘的情况下），但满足结合律(AB)C = A(BC)和分配律A(B + C)=AB + AC，(A + B)C = AC+BC。

矩阵知识点总结框架
引言
-介绍矩阵的定义和基本概念
-解释矩阵在数学和其他领域中的重要性
第一部分：矩阵的基本概念
-介绍矩阵的定义和符号表示方法
-讨论矩阵的行数和列数
-解释矩阵的元素和主对角线
-说明特殊类型的矩阵，如方阵、对称矩阵和零矩阵
第二部分：矩阵的运算
-介绍矩阵的加法和减法
-讨论矩阵的数乘和矩阵的乘法
-解释矩阵的转置和逆矩阵
-说明矩阵的秩和行列式
-讨论矩阵的特征值和特征向量
第三部分：矩阵的应用
-介绍矩阵在线性代数中的应用
-讨论矩阵在几何学中的应用，如变换和投影
-解释矩阵在物理学和工程学中的应用，如方程组和电路分析 -说明矩阵在计算机图形学中的应用，如图像处理和三维动画第四部分：矩阵的高级概念
-介绍矩阵的奇异值分解（SVD）和特征分解
-讨论矩阵的广义逆和广义特征值
-解释矩阵的正定性和半正定性
-说明矩阵的范数和条件数
结论
-总结矩阵的基本概念、运算和应用
-强调矩阵在数学和其他领域中的重要性 -展望矩阵理论在未来的发展和应用前景。

矩阵总复习知识点梳理(学生)矩阵总复知识点梳理（学生）一、基础概念- 矩阵定义：矩阵是由数个数排成的矩形阵列，形如$$A=[a_{ij}]_{m\times n}$$。

- 矩阵元素：矩阵中的每个数称为矩阵的元素或元。

- 矩阵的行列数：矩阵A的行数为m，列数为n，记作A（m×n）。

- 矩阵的相等：两个矩阵A和B相等，当且仅当它们的行数、列数相等，并且对应元素相等。

- 矩阵的转置：把矩阵的行变成同序数的列，列变成同序数的行，得到的新矩阵叫作矩阵A的转置矩阵，记作A^T。

- 矩阵的乘法：两个矩阵A（m×n）和B（n×p）的乘积是一个矩阵C（m×p），其中C的每个元素$$c_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$$。

- 单位矩阵：对角线上元素都为1，其它元素都为0的矩阵叫作单位矩阵，记作E。

- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵叫作零矩阵，记作O。

二、矩阵运算- 矩阵的加法：两个矩阵A和B相加，得到的矩阵C（m×n）每个元素等于对应位置的元素相加。

- 矩阵的减法：两个矩阵A和B相减，得到的矩阵C（m×n）每个元素等于对应位置的元素相减。

- 矩阵的数乘：矩阵A的每个元素乘以数k得到的矩阵C（m×n）每个元素等于对应位置的元素乘以k。

三、矩阵求逆- 可逆矩阵：一个n阶矩阵A如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，那么矩阵A叫作可逆矩阵，矩阵B 叫作矩阵A的逆矩阵，记作A^{-1}。

- 矩阵求逆的条件：矩阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0。

- 矩阵求逆的方法：高斯-约当消元法、伴随矩阵法、初等变换法等。

- 矩阵的逆的性质：若A、B均为可逆矩阵，则AB也可逆，且(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}。

四、矩阵的特殊类型- 对称矩阵：如果一个n阶矩阵A满足A=A^T，那么矩阵A叫作对称矩阵。

- 反对称矩阵：如果一个n阶矩阵A满足A=-A^T，那么矩阵A叫作反对称矩阵。

矩阵知识点总结大纲一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义1.2 矩阵的元素1.3 矩阵的维数1.4 矩阵的转置1.5 矩阵的特殊矩阵二、矩阵运算2.1 矩阵的加法2.2 矩阵的数乘2.3 矩阵的乘法2.4 矩阵的转置2.5 矩阵的幂2.6 矩阵的逆2.7 矩阵的行列式2.8 矩阵的秩三、线性方程组与矩阵3.1 矩阵的行简化阶梯形式3.2 矩阵的列简化阶梯形式3.3 矩阵的增广矩阵3.4 矩阵的系数矩阵3.5 矩阵的齐次线性方程组3.6 矩阵的非齐次线性方程组四、矩阵的应用4.1 线性代数4.2 计算机图形学4.3 信号处理4.4 优化问题4.5 统计学4.6 量子力学五、矩阵分析5.1 矩阵的迹5.2 矩阵的本征值与本征向量5.3 矩阵的相似矩阵5.4 矩阵的对角化5.5 矩阵的奇异值分解5.6 矩阵的正交矩阵六、矩阵的特征6.1 矩阵的周期性6.2 矩阵的稀疏性6.3 矩阵的对称性6.4 矩阵的正定性6.5 矩阵的随机性七、矩阵的发展历程7.1 矩阵的起源7.2 矩阵的发展7.3 矩阵的应用八、矩阵的未来发展8.1 矩阵的应用领域拓展8.2 矩阵的理论深化8.3 矩阵的计算方法改进九、矩阵的教学与研究9.1 矩阵的教学模式9.2 矩阵的教学资源9.3 矩阵的研究方向十、矩阵的未来前景10.1 矩阵的应用前景10.2 矩阵的教学前景10.3 矩阵的研究前景十一、矩阵的总结与展望11.1 矩阵的总结11.2 矩阵的展望结语矩阵知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个按照长方形排列的数表。

其中的元素可以是数字、符号或数学式。

矩阵是线性代数的基本概念，应用非常广泛，涉及几何学、概率论、微分方程以及物理学和工程学等各个学科。

1.2 矩阵的元素矩阵的元素是矩阵中的一个具体数值或符号。

1.3 矩阵的维数一个矩阵的维数是指矩阵的行数与列数。

如果一个矩阵有m行n列，则称其为m×n阶矩阵。