等式约束优化的信赖域法

MA对偶-信赖域算法在非线性不等式约束优化问题中的应用
研究
任志明;姜冬菊;李磊;丁侦原
【期刊名称】《应用力学学报》
【年(卷),期】2014(0)5
【摘要】针对含有非线性不等式约束条件的优化问题,提出了MA对偶-信赖域算法。

在每次迭代过程中,基于信赖域方法和问题的逼近属性,构造了原优化问题中目标函数和约束函数的移动渐进线函数,由此建立简单的子优化问题。

运用对偶方法求解子问题得到原优化问题的下降方向,再用线搜索方法取得搜索步长,最后得到下一步的迭代点。

应用数学推理证明了该算法的全局收敛性。

以悬臂梁最小柔度问题为例,应用MA对偶-信赖域算法对优化问题进行了求解,数值算例的结果表明,MA 对偶-信赖域算法在求解非线性约束优化问题时比MMA和GCMMA算法的迭代次数少,收敛速度快。

【总页数】9页(P789-795)
【作者】任志明;姜冬菊;李磊;丁侦原
【作者单位】河海大学力学与材料学院;江苏省交通规划设计院股份有限公司【正文语种】中文
【中图分类】O178
【相关文献】
1.一类线性不等式约束优化问题的信赖域算法
2.线性不等式约束优化问题的仿射内点信赖域子空间算法
3.线性不等式约束优化问题的强信赖域算法
4.非线性不等式约束优化问题的一个修正BFGS信赖域算法
5.带非线性不等式约束优化问题的信赖域算法
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信赖域方法概论非线性优化中的信赖域方法及其应用摘要信赖域方法是非线性优化的一类重要的数值计算方法它在近二十年来受到了非线性优化研究界非常的重视。

特别是最近几年，一直是非线性优化的研究热点。

目前，信赖域方法已经和传统的线收索方法并列为非线性规划的两类主要数值方法。

关键词：信赖域法非线性优化约束条件引言非线性最优化是20世纪50年代发展起来的，它讨论非线性决策问题的最佳选择之特性，构造寻求最佳解的计算方法，研究这些计算方法的理论性质及实际计算表现。

随着电子计算机的发展和应用，非线性最优化理论和方法有了很大发展。

目前，它已成为运筹学的一个重要分支，并且在自然科学，工程技术，经济管理，系统工程，特别是“优化设计”等诸多领域得到广泛的应用，成为一门十分活跃的学科。

非线性优化的传统方法几乎都是线搜索类型的方法，即每次迭代时产生一搜索方向，然后在搜索方向上进行精确的或不精确的一维搜索，以得到下一个迭代点。

信赖域方法是一类很新的方法，它和线搜索法并列为目前求解非线性规划的两类主要的数值方法。

信赖域方法思想新颖，算法可靠，具有很强的收敛性，它不仅能很快地解决良态问题,而且也能有效地求解病态(ill-conditioned)的优化问题。

因而对信赖域方法的研究是近20年来非线性规划领域的一个重要的研究方向，是当今寻求如何构造新的优化计算方法的主要途径。

信赖域方法的研究起源于Powell 1970 年的工作，他提出了一个求解无约束优化问题的算法，该算法在每次迭代时强制性地要求新的迭代点与当前的迭代点之间的距离不超过某一控制量。

引入控制步长是因为传统的线搜索方法常常由于步长过大而导致算法失败，特别是当问题是病态时尤为如此。

控制步长实质上等价于在以当前迭代点为中心的一个邻域内对一个近似于原问题的简单模型求极值。

这种技巧可理解为只在一个邻域内对近似模型信赖，所以此邻域被称为信赖域(trust region)。

利用这一技巧的方法也就被称为信赖域法。

最优化方法信赖域方法Trusted Domain Method of Optimization Methods一、概述信赖域（Trusted Domain）法是一种针对多目标最优化问题的优化方法，属于启发式优化技术，又被称为受信域法（Credible Domain）法或者受信域增强法（Credible Domain Enhancement）。

它由A.K.Chentsov在1980年提出，目前已经在工业优化、控制优化、混合模糊优化等领域有广泛的应用。

信赖域法使多目标最优化问题中的搜索变得更加有效和快捷，可以很好地处理多目标最优化问题中的非凸性和高维问题，使最优解更容易被获取。

二、原理信赖域方法优化的原理是：在解空间中划分子空间，在每个子空间中进行最优优化，同时进行领域大小的优化，以找到最优解。

（1）划分的子空间划分的子空间由一组不可分割的解空间，即称为“信赖域（Trusted Domain）”确定，有一种收敛性的在同一信赖域上的解空间集合，该信赖域中必须包含一个或多个最优解点。

（2）之分的子空间有效性在信赖域中，有一种收敛性的解空间，该解空间必须包含一个或多个最优解点，且此处解的收敛性可以满足要求。

由此可以看出，划分的子空间有效的充分利用解空间，能够使对最优解的搜索效率更高，更快地找到最优解。

（3）领域大小的优化在划分解空间时，信赖域方法重点考虑领域大小的优化，以缩小搜索空间大小，并引导搜索过程朝最优解的方向发展。

三、应用1.工业优化信赖域方法已经在工业优化领域得到应用，使多目标工业优化问题中的搜索更加有效和快捷，可以很好地处理多目标最优化问题中的非凸性和高维问题，使最优解更容易被获取。

2.控制优化由于信赖域方法能够有效地处理多目标非凸性和高维问题，因此已经在控制优化中得到应用，用于设计准确性好的控制系统。

3.混合模糊优化信赖域方法在混合模糊优化领域也有应用，可以用来解决特殊类型的模糊控制优化问题，来有效地提高优化中的效率和准确性。

信赖域方法程序信赖域方法是一种常用的数值优化方法，在求解优化问题时具有较高的效率和准确性。

其核心思想是通过构建信赖域模型来近似原始问题，并利用信赖域模型的特性进行优化。

首先，我们来介绍信赖域方法的基本原理。

给定一个优化问题，目标是找到使目标函数达到最小值的自变量。

信赖域方法通过不断迭代的方式逼近最优解，主要分为以下几个步骤：1. 构建信赖域模型：将原始问题近似为一个二次函数模型。

这个模型可以通过利用目标函数的一阶和二阶导数信息进行构建。

2. 模型优化：对信赖域模型进行优化，找到使模型最小化的自变量值。

这一步一般可以通过解析求解或数值优化方法来实现。

3. 信赖域半径更新：根据模型和原始问题的目标函数值来更新信赖域半径。

如果模型的优化效果良好，信赖域半径会增大；反之，如果模型的优化效果不好，则会减小。

4. 收敛判断：根据一定的收敛准则来判断迭代过程是否结束。

常见的准则包括梯度的大小、目标函数的下降程度等。

在信赖域方法的迭代过程中，确保信赖域模型在每一步内都能够产生较好的优化效果对于方法的有效性是十分重要的。

因此，信赖域方法的关键在于如何适应性地调整信赖域半径，以使得模型的变化与实际问题的变化保持一致。

信赖域方法的优点在于其相对简单的求解过程和较好的收敛性质。

由于信赖域方法可以通过对模型的二次型特征化来近似原始问题，所以往往能够在有限的迭代步数内达到较高的精度。

同时，信赖域方法在处理非光滑、非凸优化问题时也表现出良好的适应性。

然而，信赖域方法也存在一些限制。

首先，构建信赖域模型需要计算目标函数的一阶和二阶导数信息，而这些信息计算起来往往比较耗时。

其次，信赖域方法对信赖域半径的初始设定比较敏感，如果选择了不合适的初始半径，可能会导致收敛过程过早终止或者迭代步数过多。

总的来说，信赖域方法是一种广泛应用于各个领域的优化方法，其简单有效的优化过程和良好的收敛性质使其成为许多实际问题求解的首选方法之一。

未来，信赖域方法在进一步提高收敛速度和扩展到更复杂的优化问题方面还有很大的发展空间。

最优化方法信赖域方法例题信赖域方法是求解无约束优化问题的一种常用方法，其基本思想是在当前点附近构造一个局部模型，并利用这个模型来引导下一步搜索方向，以期望加速收敛。

以下是一个信赖域方法的例题：假设要求解如下无约束优化问题：minimize f(x) = 2x1^2 + x2^2 - 2x1x2 - 4x1其中x = (x1, x2)T为变量向量。

根据信赖域方法的思路，首先需要在当前点xk处构造一个局部二次模型来近似目标函数f(x)，即：m(k)(p)=f(xk)+g(k)Tp+0.5TpTB(k)T p其中p表示搜索方向，g(k)和B(k)分别表示目标函数在xk处的梯度和Hessian矩阵。

然后，需要找到信赖域半径δk，使得在搜索方向p的范数不超过δk的条件下，局部模型能够较好地近似目标函数。

具体来说，需要最小化如下子问题：minimize m(k)(p)subject to ||p||<=δk对于上述例题，可以通过以下步骤来求解：1. 初始点为x0 = (0, 0)T，初始信赖域半径为δ0 = 1。

2. 计算目标函数在x0处的梯度和Hessian矩阵：g(0) = (-4, 0)TB(0) = [[4, -2], [-2, 2]]3. 解信赖域子问题，得到搜索方向pk和对应的模型改进量mk： pk = argmin m(k)(p)subject to ||p||<=δkpk = (0.5, -0.5)Tmk = -0.254. 计算实际改进量rk和相应的系数ηk：rk = f(xk) - f(xk+pk)γk = rk/mkif γk < 0.25:δk+1 = 0.5δkelse if γk > 0.75:δk+1 = 2δkelse:δk+1 = δk5. 根据信赖域半径更新规则，计算下一次迭代的点xk+1和信赖域半径δk+1：if γk > 0:xk+1 = xk + pkelse:xk+1 = xkδk+1 = δk6. 重复步骤2-5，直到收敛。

2012-2013（1）专业课程实践论文信赖域法董文峰，03，R数学08-1班伊广旭，03，R数学08-1班李超，04，R数学08-1班一、算法理论信赖域方法与线搜索技术一样, 也是优化算法中的一种保证全局收敛的重要技术. 它们的功能都是在优化算法中求出每次迭代的位移, 从而确定新的迭代点.所不同的是: 线搜索技术是先产生位移方向(亦称为搜索方向), 然后确定位移的长度(亦称为搜索步长)。

而信赖域技术则是直接确定位移, 产生新的迭代点。

信赖域方法的基本思想是:首先给定一个所谓的“信赖域半径”作为位移长度的上界，并以当前迭代点为中心以此“上界”为半径确定一个称之为“信赖域”的闭球区域。

然后,通过求解这个区域内的“信赖域子问题”(目标函数的二次近似模型) 的最优点来确定“候选位移”。

若候选位移能使目标函数值有充分的下降量, 则接受该候选位移作为新的位移,并保持或扩大信赖域半径, 继续新的迭代。

否则, 说明二次模型与目标函数的近似度不够理想,需要缩小信赖域半径，再通过求解新的信赖域内的子问题得到新的候选位移。

如此重复下去，直到满足迭代终止条件。

信赖域方法解决无约束线性规划f(x)Rx ∈min的基本算法结构。

设k x 是第k 次迭代点，记)f(x f k k =，)f(x g k k ∇=，k B 是Hesse 阵)f(x k 2∇的第k 次近似，则第k 次迭代步的信赖域子问题具有如下形式：,21g (d)min T kd B d d q k Tk += k d t s ∆≤..其中k∆是信赖域半径，•是任一种向量范数，通常取2-范数或∞-范数。

定义kf ∆为f 在第k 步的实际下降量：),d f(x f Δf k k k k +=-定义k q ∆对应的预测下降量：()().-0k k k k d q q q =∆定义他们的比值为：kkk q f r ∆∆=一般的，我们有0>∆k q 。

因此，若0<k r ，则0<∆k f ，k k d x +不能作为下一个迭代点，需要缩小信赖半径重新求解问题。

有界变量与线性等式约束优化的信赖域内点算法
信赖域内点优化是指在有界变量与线性等式约束条件优化中，利用信赖域搜索算法思想寻找内点（即，内部最优点），用有限次求解内点来实现优化问题求解的一种数学算法。

信赖域内点优化的具体步骤可简要概括如下：
信赖域内点优化具有如下特点：
显然，信赖域内点优化是在有界变量与线性等式约束条件下求解优化问题的一种有效的算法。

适用于当量级大，存在难以定义的局部最优解，有效地解决全局最优解的求解问题。

信赖域策略优化算法
信赖域策略优化算法（Trust Region Policy Optimization，TRPO）是一种用于优化策略的算法，广泛应用于深度强化学习中。

TRPO算法的目标是最大化策略在长期奖励上的期望值。

与传统的策略梯度方法不同，TRPO算法通过引入一个信赖域来限制优化的步长，以保证策略改进的稳定性，防止策略更新过大导致性能恶化。

TRPO算法的核心思想是，在每次迭代中，优化一个近似的目标函数。

具体来说，算法通过线性化策略在当前策略参数点附近并计算策略的优势函数，得到一个最优的步长，使得策略在信赖域内取得显著的改进。

然后，新的策略参数通过此最优步长进行更新，并通过线搜索来找到使目标函数达到最大化的步长大小。

TRPO算法的优点是可以保证每次策略更新都会带来性能的提升，并且相对于其他策略优化算法，比如策略梯度方法，更具稳定性。

然而，TRPO算法的计算复杂度较高，对于大规模问题存在一定的挑战。

近年来，TRPO算法的改进版本也相继提出，如Proximal Policy Optimization（PPO）。

这些改进算法对TRPO进行了一些改动，以提高计算效率和收敛性能。

总的来说，TRPO算法是一种信赖域策略优化算法，通过限制策略更新的步长来确保性能的改进稳定性。

该算法在深度强化学习中有着广泛的应用。