利用轴对称解决最值问题

与轴对称有关的最值问题【典型题型一】：如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB最小。

APD BEC图（5）【典型题型二】如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB最小。

【练习】 1、( 温州中考题 ) 如图（ 5），在菱形 ABCD中，AB=4a,E 在 BC上，EC=2a，∠ BAD=1200, 点 P 在 BD上，则 PE+PC 的最小值是（）解：如图（ 6），由于菱形是轴对称图形，因此 BC中点 E 对于对角线 BD的对称点 E 必定落在 AB的中点 E1，只需连结 CE1，CE1 即为 PC+PE的最小值。

这时三角形 CBE1 是含有 30 角的直角三角形， PC+PE=C1E=23 a 。

因此选（ D）。

2、如图（ 13），一个牧童在小河南 4 英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋 B 西 8 英里北 7 英里处，他想把他的马牵到小河畔去饮水，而后回家，他可以达成这件事所走的最短距离是（）（A） 4+ 185 英里（B） 16 英里（C） 17 英里（D） 18 英里3．如图， C为线段 BD上一动点，分别过点 B、D作 AB⊥BD，ED⊥BD，连结 AC、EC。

已知 AB=5，DE=1，BD=8，设 CD=x.请问点 C知足什么条件时， AC＋CE的值最小 ?ＡＣ' 4．如图，在△ ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°， D是 BC边的中点， E是 AB边上一动点，则 EC＋ED的最小值为 _______。

E即是在直线 AB上作一点 E，使 EC+ED最小作点 C对于直线 AB的对称点 C' ，连结 DC'交AB E DC' EC+ED DBC' DB=1 BC=2 于点，则线段的长就是的最小值。

在直角△中，，依据勾股定理可得， DC'= 55．如图，等腰 Rt△ABC的直角边长为 2，E是斜边 AB的中点， P 是 AC边ＣＢD Ａ上的一动点，则 PB+PE的最小值为E 即在 AC上作一点 P，使 PB+PE最小P作点 B对于 AC的对称点 B' ，连结 B'E，交 AC于点 P，则 B'E = PB'+PE = PB+PEB'E 的长就是 PB+PE的最小值B' ＣＢF在直角△ B'EF 中，EF = 1 ，B'F = 3 依据勾股定理， B'E = 10A D6．如下图，正方形 ABCD的面积为 12，△ ABE是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD内，E 在对角线 AC上有一点 P，使 PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）P A．2 3 B．2 6 C．3 D． 6B C即在 AC上求一点 P，使 PE+PD的值最小点 D对于直线 AC的对称点是点 B，连结 BE交 AC于点 P，则 BE = PB+PE= PD+PE，BE的长就是 PD+PE的最小值 BE = AB = 2 37．如图，若四边形 ABCD是矩形， AB = 10cm ，BC = 20cm，E 为边 BC上的一个动点， P 为C'BD上的一个动点，求 PC+PD的最小值；A D作点 C对于 BD的对称点 C' ，过点 C'，作 C'B⊥BC，交 BD于点 P，则 C'E 就是 PE+PC的最小20值直角△ BCD中，CH= 错误！不决义书签。

最值问题专题（轴对称的应用）1、线段之和的最值。

（将军饮马问题）（1）如图，A、B在直线l的同侧，在l上求作一点P，使PA+PB最小。

作法：i）作点A关于l的对称点：作AO⊥l于O，在AO延长线上截。

ii）连结，交l于点P。

点P即为所求。

（2）如图，A、B在直线l同侧，在l上求作两点P、Q（P在Q左侧）且PQ=a，使四边形APQB的周长最小。

分析：四边形APQB周长=AP+PQ+QB+AB。

其中PQ、AB为定值，问题转化为AP+QB最小，与（1）不同，将军不是去河边饮了马就折走，而是要沿河走一段线段a，如果能把这段a提前走掉就可以转化为问题（1）了，于是考虑从A沿平行的方向走a至c，之后同问题（1）。

作法：i）作线段且ii）作点C关于的对称点：。

iii）连结BC’’交L于点Qiv）在L上Q左侧截PQ=a。

四边形APQB即为所求。

（3）如图，A、B、C三点在直线同侧，在上求作一点P，使四边形APBC周长最小。

分析：四边形APBC的周长=AP+PB+BC+AC其中BC+AC为定值所以要使周长最小，即使PA+PB最小于是转化为问题（1）。

（4）如图，点M在锐角∠AOB内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使△MPQ周长最小。

作法：i）作M关于OA对称点M1，作M关于OB对称点M2。

ii）连结M1M2分别交OA、OB于P、Q，△MPQ即为所求。

（5）如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小。

作法：i）作M关于OB的对称点。

ii）作MH垂直OA于H，交OB于点P。

点P即为所求。

初中几何最值问题常用解法初中几何最值问题一直是学生们的难点，但通过一些常用的解法，我们可以轻松解决这些问题。

以下将介绍9种常用的解法，帮助您更好地理解和学习。

一、轴对称法轴对称法是一种常用的解决最值问题的方法。

通过将图形进行轴对称变换，可以将问题转化为相对简单的问题，从而找到最值。

二、垂线段法垂线段法是指在几何图形中，利用垂线段的性质来求取最值。

例如，在矩形中，要使矩形的周长最小，可以将矩形的一条边固定，然后通过调整其他边的长度，使得矩形的周长最小。

三、两点之间线段最短两点之间线段最短是几何学中的基本原理。

在解决最值问题时，我们可以利用这个原理，找到两个点之间的最短距离。

四、利用三角形三边关系三角形三边关系是指在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

利用这个关系，可以解决一些与三角形相关的最值问题。

五、利用余弦定理求最值余弦定理是三角学中的基本定理，它可以用来解决一些与角度和边长相关的问题。

通过余弦定理，我们可以找到一个角的最大或最小余弦值，从而求得最值。

六、利用基本不等式求最值基本不等式是指在一个数列中，平均值总是小于等于几何平均值。

利用这个不等式，可以解决一些与数列相关的最值问题。

七、代数运算求最值代数运算是一种基本的数学运算方法，它可以用来解决一些与代数式相关的最值问题。

例如，通过求导数或微分的方法，可以找到一个函数的最大或最小值。

八、代数方程求最值代数方程是一种基本的数学方程形式，它可以用来解决一些与代数方程相关的最值问题。

例如，通过解二次方程或不等式的方法，可以找到一个表达式的最大或最小值。

九、几何变换求最值几何变换是指在几何图形中，通过平移、旋转、对称等方式改变图形的形状和大小。

利用几何变换的方法，可以解决一些与图形变换相关的最值问题。

例如，在矩形中，要使矩形的面积最大。

「初中数学」利用对称求线段和最值用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系或两点之间线段最短解决问题，即化折为直。

常见的类型笔者归纳为五种：即两定一动型，一定两动型，两定两动型，两定滑动型（架桥），三动型等类型一：两定一动型【模型介绍】已知直线l同侧有A,B两点，在l上找一点P，使得PA+PB最小。

作法：作点A关于直线l的对称点A',连接A'B，与直线l的交点就是点P，线段A'B的长度即为最小值。

验证：如图，AQ+BQ=A'Q+BQ>A'B【例1】如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AB=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是__________.【分析】这是两定一动模型，需要作一个定点关于动点所在直线的对称点，根据本题图形特征，B点关于AC的对称点恰好是C点，连接CE，CE即为所求的最小值。

【答案】10【例2】如图，在平面直角坐标系中，A（2，1），B（5，5），P是x轴上一动点，当PA+PB值最小时，求点P坐标【分析】这是两定一动模型，作A点关于x轴的对称点A'，A'B 与x轴的交点即为P，P点坐标可以用直线解析式或勾股定理求，初三学生也可用相似。

【答案】P（2.5，0）类型二：一定两动型【模型介绍】已知，在∠AOB内有一点M，在边OA,OB上分别找点P,Q，使MP+MQ+PQ最小。

作法：作M关于OA的对称点M‘，关于OB的对称点M''，连接M'M''，交OA于点P，交OB于点Q，此时则MP+MP+PQ的值最小，最小值即为线段M'M''的长。

验证: 如图，OA上取一点P',OB上取一点Q'，连接M'P',M''Q',则MP'+MQ'+P'Q'=M'P'+M''Q'+P'Q'>M'M''(两点之间线段最短)【例3】五边形ABCDE中，∠A=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=1，AE=DE=2，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小，则△AMN周长的最小值为____.【分析】这是一定两动模型，作点A关于BC的对称点A’，关于ED的对称点A''，连接A'A''，交BC于M，交ED于N，此时△AMN 的周长最小，最小值即为A'A''的长。

轴对称最值问题（讲义）➢课前预习1.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到奶站的距离之和最小？街道居民区B 居民区A➢知识点睛1.轴对称最值问题基本结构分析（1）求和最小：①特征：有定点，有动点，动点在____________上运动，求线段和（周长）最小．②解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，________________，利用两点之间线段最短进行处理．例题：在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP 最小．BAl（2）求差最大：①特征：有定点，有动点，动点在____________上运动，求线段差最大．②解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，__________________，利用三角形两边之差小于第三边进行处理．例题：在直线l上找一点P，使得在直线两侧的点A，B到点P的距离之差AP BP最大．ABl2. 解决几何最值问题的理论依据：①___________________________________（已知两个定点）②___________________________________（已知一个定点、一条定直线） ③___________________________________（已知两边长固定或其和、差固定）➢ 精讲精练1. 某平原上有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水，某同学用直线l （虚线）表示小河，P ，Q 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）A ．MlB ．MQ PlC ．lD．l2. 已知：如图，点P ，Q 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的两个定点，在BC 上求作一点R ，使△PQR 的周长最小．PEDC B A第2题图 第3题图3. 如图所示，正方形ABCD 的边长是5，在正方形内作等边△ABE ，P 为对角线AC 上的一动点，则PD +PE 的最小值为__________． 4. 如图，等边三角形ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边的中点．当EF +CF 取得最小值时，∠ECF 的度数为____________．FEDC B AM FED C B A第4题图 第5题图5. 如图，等腰三角形ABC 的底边BC 的长为4 cm ，面积是12 cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边的中点，M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的最小周长为_________．6. 如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，P 是CD 边上的一动点，要使PA +PB 的值最小，则点P 应满足的条件是（ ） A ．PB =PA B ．PC =PD C ．∠APB =90°D ．∠BPC =∠APD7. 如图，已知点P 为∠O 内一定点，分别在∠O 的两边上找点A ，B ，使△PAB 周长最小的是（ ）DC BAA．PO BAB．PO BAC．PO BAD．P2P1PO BA8.已知：如图，∠ABC=30°，P为∠ABC内部一点，BP=4，如果点M，N分别为边AB，BC上的两个动点，请画图说明当M，N在什么位置时使得△PMN的周长最小，并求出△PMN周长的最小值．9.如图，M为∠AOB内一定点，E，F分别是射线OA，OB上一点，当△MEF周长最小时，若∠OME=40°，则∠AOB的度数为__________．BO10.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=110°，在BC，CD上分别找一点M，N．当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为__________．A BCD MNDCBA11. 已知：如图，点P ，Q 为∠AOB 内部两点，点M ，N 分别为OA ，OB 上的两个动点，作四边形PMNQ ，请作图说明当点M ，N 在何处时，四边形PMNQ 的周长最小．12. 如图，在锐角三角形ABC 中，AB =4，△ABC 的面积为8，BD 平分∠ABC ，若M ，N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8MNDCBABCD AMN第12题图 第13题图13. 如图，正方形ABCD 的边AB =8．在线段AC ，AB 上各有一动点M ，N ，则BM +MN 的最小值是__________．14. 如图，两点A ，B 在直线MN 的同侧，已知AB =5，点P 在直线MN 上运动，则|PA -PB |的最大值为_________．15.上的动点，则|PA -PB |的最大值为________．FE PCBA16. 如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有两个格点A ，B 和直线l ．（1）求作点A 关于直线l 的对称点A 1；（2）P 为直线l 上一点，连接BP ，AP ，求△ABP 周长的最小值．【参考答案】➢课前预习1.图略➢知识点睛1.（1）①定直线；②折转直图略（2）①定直线；②折转直图略2.①两点之间，线段最短；②垂线段最短③三角形两边之差小于第三边➢精讲精练1. C2.图略3. 54.30°5.8 cm6. D7. D8.作图略，△PMN周长的最小值为4．9.50°10.40°11.如图所示：点M，N即为所求．12.B13.814.515.316.（1）图略；（2）△ABP周长最小为10。

初中几何最值问题解题技巧初中几何最值问题是一个比较常见的问题，通常涉及到线段、角度、面积等几何元素的最小值或最大值的求解。

下面将详细讲解一些常见的解题技巧：1.利用轴对称性转化：对于一些具有轴对称性的几何图形，可以利用轴对称性将问题转化为更简单的问题。

例如，对于一个关于直线对称的图形，可以找到对称轴，然后将问题转化为求解对称轴上的点到原图形的最短距离或最大距离。

2.利用三角形不等式：三角形不等式是解决几何最值问题的重要工具。

例如，对于一个三角形，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

利用这些不等式，可以推导出一些关于几何元素的最值关系。

3.利用特殊位置和极端位置：在解决几何最值问题时，可以考虑特殊位置或极端位置的情况。

例如，对于一个矩形，当它的一条对角线与矩形的一条边垂直时，该对角线的长度达到最小值。

对于一个三角形，当它的一条边与另一条边的延长线垂直时，该三角形的面积达到最小值。

4.利用几何定理：几何定理是解决几何最值问题的有力工具。

例如，对于一个三角形，当它的一条边与另一条边的中线重合时，该三角形的周长达到最小值。

对于一个四边形，当它的一条对角线与另一条对角线的中线重合时，该四边形的面积达到最小值。

5.利用数形结合：数形结合是解决几何最值问题的常用方法。

通过将几何问题转化为代数问题，可以更容易地找到问题的解。

例如，对于一个圆上的点到圆心的距离的最大值和最小值，可以通过将问题转化为求解圆的半径的平方的最大值和最小值来解决。

以上是一些常见的初中几何最值问题的解题技巧，希望能够帮助你更好地解决这类问题。

专题复习1：利用轴对称求最值Ⅱ. 请你设计一个用时最少的方案.二、关于两（多）条线段和最小问题思路指导：此类问题一般通过适当的几何变换实现“折”转“直”。

即将连接两点的折线转化为线段最短问题1.直接运用两点间线段最短解决问题.例：如图8，已知A（1,1）B（3，-3），C为x轴上一个动点，当AC+BC最小时，C点坐标为，此时AC+BC的最小值为.练习：如图9，四边形ABCD为边长为5的正方形，以B为圆心4为半径画弧交BA与M，交BC于N，P在MN上运动，则PA+PB+PC的最小值为.2.平移后应用两点间线段最短例：已知：如图10，A(1，2),B(4，-2)，C(m，0)，D（m+2,0）（1）在图中作出当AC+CD+DB最小时C点的位置，并求出此时m的值（2）求AC+CD+DB的最小值.练习：如图11，NP，MQ为一段河的两岸（河的两侧为平坦的地面，可以任意穿行），NP∥MQ，河宽PQ 为60米，在NP一侧距离河岸110米处有一处藏宝处A，某人从MQ一侧距离河岸40米的B处出发，随身携带恰好横穿（与河岸垂直）河面的绳索（将绳索利用器械投掷至河对岸并固定，人扶绳索涉水过河），请计算此人从出发到目的地最少的行进路程，并确定固定绳索处（MQ一侧）到B处的最近距离.3.旋转后应用两点间线段最短例：如图12，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为31+时，求正方形的边长.练习：点O 为正方形ABCD内一点，（1）正方形边长为4，求OB+OD的最小值（2）若OB+OC+OD的最小值为26+，求正方形的边长4.对称后应用两点间线段最短数学模型已知：如图14，直线l 及直线同侧两点P、Q，在直线l 上求作点M，使线段PM+QM最小，并说明理由关系探究上图中：相等的角：线段关系：类型一：单动点单对称轴（直线同侧两线段和转化为异侧，进而应用两点间线段最短）练习：1.如图15，已知菱形ABCD的边长为6，M、N 分别为AB、BC边的中点，P为对角线AC上的一动点，则PM+PN的最小值.2. 如图16，已知菱形ABCD的边长为6，点E为AB边的中点，∠BAD=60°，点P为对角线AC上的一动点，则PE+PB的最小值..3. 如图17,已知正方形ABCD的边长为2，点M为BC 边的中点，P为对角线BD上的一动点，则PM+PC的最小值4. 如图18，正方形ABCD的面积为a，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，PD+PE的和最小值为4，则a= .5.如图19，已知⊙O的半径为1，AB、CD为⊙O的两互相垂直的直径，点M在弧AD上，且∠MOD=30°，点P为半径OD上的一动点，则PM+PA的最小值.6. 如图20，已知⊙O的半径为1，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且∠CAB=30°点M是弧CB的中点，，点P为直径AB上的一动点，则PM+PC的最小值.7.如图21，⊙O的直径为10，A,B在圆周上，AC⊥MN，BD⊥MN，AC=6，BD=8.P为MN上一个动点，则PA+PB的最小值为.8.如图22，已知∠AOB=60°，OA=6，C为OA的中点，OD平分∠AOB，M为OD上一动点，则AM+CM的最小值为9．如图23，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(4，3)，则这束光从点A到点B所经过路径的长为．10.如图24，已知抛物线y=x2-2x-3,与x轴相交于点A、B两点（点A在点B的左边），与y轴相较于点C，P 为抛物线对称轴上的一点，则PO+PC的最小值是.11.如图25，以正方形ABCD中AB为边向外作等边三角形AMB，N为对角线BD上一点，若AN+MN的最小值为2226，则正方形边长为.12.一次函数y=kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)．(1)求该函数的解析式；(2)O为坐标原点，设C为AB的中点，P为OB上一动点，求PC＋PA取最小值时P点的坐标．13.如图27，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由14.如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．类型二：双动点单对称轴（在类型一基础上应用垂线段最短）例：如图，已知∠CAB=30°，BA=6，AF平分∠BAC，P,Q分别为AB，AF上的动点，则BQ+PQ的最小值为练习:1.如图29，正方形ABCD中，AE为∠BAC的平分线，M,N分别为AE，AB上的动点，若MN+BM最小值为3，则正方形边长为.2.如图30，在锐角△ABC中，AB=42,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________ ．3.如图31，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，M，N分别为BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为. 类型三：单动点双对称轴例：如图32，已知：∠AOB=30°，P为∠AOB内一点，OP=6，M，N分别为OA，OB上的动点，则△PMN的周长最小值为.练习：1.如图33，已知：∠AOB=60°，P为∠AOB内一点，OP=10，M，N分别为OA，OB上的动点，则△PMN的周长最小值为.2.如图34，两个镜子成45°角，P为夹角内一个光源，P距离交点2米，光线从P发出后经过OB，OA反射后经过点P，则光线经过的路线长为.3.如图35，已知A（3,2）为坐标平面上一点，在x，y 轴上确定点M,N，使△AMN周长最小，并求出此时M，N坐标.类型四. 双动点双对称轴例：已知P，Q为∠AOB内两个定点，M，N分别为OA，OB上的动点。