轴对称最值问题专项提升附答案教学提纲

学生做题前请先回答以下问题问题1：解决几何最值问题的理论依据有哪些？问题2：解决几何最值问题的主要方法是______，通过变化过程中_____________的分析，利用_______________________等手段把所求量进行转化，构造出符合几何最值问题理论依据的___________进而解决问题．轴对称最值问题（线段和最小）（北师版）一、单选题(共7道，每道14分)1.在平面直角坐标系中，点M的坐标是（4，3），点N的坐标是（1，-2），点P是y轴上一动点，若使PM+PN最小，则点P的坐标是( )A.（0，0）B.（0，1）C.（0，-1）D.（-1，0）答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题2.如图，正方形ABCD的边长为8，点E，F分别在AB，BC上，AE=3，CF=1，P是对角线AC 上的动点，则PE+PF的最小值是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题3.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=8，C是OB的中点，D是AB边上一动点，则DC+OD的最小值是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题4.如图，等边三角形ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点．且AE=2，则EM+CM的最小值为( )A. B.4 C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题5.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的负半轴上，顶点B的坐标为，点C的坐标为（-1，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题6.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上找一点Q，OB上找一点R，使得△PQR周长最小，则此时△PQR的周长为( )A.10B.C.20D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题7.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小，则此时∠AMN+∠ANM=( )A.130°B.120°C.110°D.100°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：解决几何最值问题的理论依据有哪些？问题2：解决几何最值问题的主要方法是______，通过变化过程中____________的分析，利用_______________________等手段把所求量进行转化，构造出符合几何最值问题理论依据的___________进而解决问题．问题3：在平面直角坐标系中，点M的坐标是（4，3），点N的坐标是（1，-2），点P是y 轴上一动点，若使PM+PN最小，则点P的坐标是( )A．（0，0）B．（0，1）C．（0，-1）D．（-1，0）本题的特征是什么？目标是什么？如何操作？。

几何最值（轴对称最值问题）试卷简介:以考查线段和最小、差最大等问题为主检测学生对于几何最值的掌握情况。

从研究定点、动点入手，分析不变特征，常借助平移、对称等手段解决问题。

一、单选题(共4道，每道25分)1.如图，已知抛物线的对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0），C（0，-2）．若在对称轴上存在一点P，使得△PBC 的周长最小，则点P的坐标为( )A.（-1，-2）B.（-1，-4）C. D.答案：C解题思路：1．解题要点①△PBC的周长为PC+PB+BC，BC长度固定，要求周长的最小值，需先求PC+PB的最小值．②观察题目特征，B，C为定点，P为对称轴上的动点，点B，C在对称轴的同侧．要求PC+PB的最小值，调用轴对称最值模型，作其中一定点关于对称轴的对称点，利用两点之间线段最短解决问题．2．解题过程由题意得，点A和点B关于对称轴对称．如图，连接AC，与对称轴的交点即为PC+PB最小时对应的点P．∵A（-3，0），C（0，-2），∴直线AC：．∵点P的横坐标为-1，∴．试题难度：三颗星知识点：轴对称——线段之和最小2.如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）．N是抛物线对称轴上的一个动点，设d=|AN-CN|，当d的值最大时，点N的坐标为( )A.（-2，1）B.C. D.答案：D解题思路：∵抛物线过点B（3，0），∴，∴，∴，∴抛物线的对称轴为直线．如图，连接NA．由题意可知，点A，B关于对称轴对称，NA=NB，d=|AN-CN|=|BN-CN|．当B，C，N三点共线时，d最大，即为BC的长．如图所示，由B（3，0），C（0，2）可得直线BC的解析式为．∵点N的横坐标为，∴．试题难度：三颗星知识点：二次函数与几何综合3.如图，已知点A（-4，8）和点B（2，2）在直线上，将直线沿x轴向左平移，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为．点C（-2，0）是x轴上的点，当平移后直线的解析式为( )时，的值最小．A. B.C. D.答案：B解题思路：设直线的表达式为，由得，，∴．如图，设平移后的直线为，作点关于x轴的对称点，连接，则．在直线沿x轴向左平移的过程中，的斜率不变，点的相对位置不发生变化，即的长度不变．如图，当经过点C时，的值最小，即为．过作x轴的垂线，垂足分别为点D，E．由题意得，，直线的斜率为-1．易得，∴，∴，∴，∴，∴直线的解析式为．综上得，当平移后直线的解析式为时，的值最小．试题难度：三颗星知识点：轴对称——线段之和最小4.如图，抛物线与y轴交于点A，顶点为P，△ABC为等腰直角三角形（点B为直角顶点，且AB∥x轴），点C的坐标为（4，3）．平移抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．取BC的中点N，连接NQ，BQ，则的最大值为( )A. B.2C. D.答案：D解题思路：由题意得，B（4，-1），N（4，1）．设平移前抛物线的顶点为，则，∴点在AC上，且．顶点P在直线AC上滑动的过程中，为定值．要求的最大值，需先求出NQ+BQ的最小值．如图，作点B关于直线AC的对称点，则，，点的坐标为（0，3）．当三点共线时，的值最小，如图所示，此时．易求得，∴的最大值为．试题难度：三颗星知识点：轴对称——线段之和最小。

轴对称最值问题（讲义）➢课前预习1.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到奶站的距离之和最小？街道居民区B 居民区A➢知识点睛1.轴对称最值问题基本结构分析（1）求和最小：①特征：有定点，有动点，动点在____________上运动，求线段和（周长）最小．②解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，________________，利用两点之间线段最短进行处理．例题：在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP 最小．BAl（2）求差最大：①特征：有定点，有动点，动点在____________上运动，求线段差最大．②解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，__________________，利用三角形两边之差小于第三边进行处理．例题：在直线l上找一点P，使得在直线两侧的点A，B到点P的距离之差AP BP最大．ABl2. 解决几何最值问题的理论依据：①___________________________________（已知两个定点）②___________________________________（已知一个定点、一条定直线） ③___________________________________（已知两边长固定或其和、差固定）➢ 精讲精练1. 某平原上有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水，某同学用直线l （虚线）表示小河，P ，Q 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）A ．MlB ．MQ PlC ．lD．l2. 已知：如图，点P ，Q 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的两个定点，在BC 上求作一点R ，使△PQR 的周长最小．PEDC B A第2题图 第3题图3. 如图所示，正方形ABCD 的边长是5，在正方形内作等边△ABE ，P 为对角线AC 上的一动点，则PD +PE 的最小值为__________． 4. 如图，等边三角形ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边的中点．当EF +CF 取得最小值时，∠ECF 的度数为____________．FEDC B AM FED C B A第4题图 第5题图5. 如图，等腰三角形ABC 的底边BC 的长为4 cm ，面积是12 cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边的中点，M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的最小周长为_________．6. 如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，P 是CD 边上的一动点，要使PA +PB 的值最小，则点P 应满足的条件是（ ） A ．PB =PA B ．PC =PD C ．∠APB =90°D ．∠BPC =∠APD7. 如图，已知点P 为∠O 内一定点，分别在∠O 的两边上找点A ，B ，使△PAB 周长最小的是（ ）DC BAA．PO BAB．PO BAC．PO BAD．P2P1PO BA8.已知：如图，∠ABC=30°，P为∠ABC内部一点，BP=4，如果点M，N分别为边AB，BC上的两个动点，请画图说明当M，N在什么位置时使得△PMN的周长最小，并求出△PMN周长的最小值．9.如图，M为∠AOB内一定点，E，F分别是射线OA，OB上一点，当△MEF周长最小时，若∠OME=40°，则∠AOB的度数为__________．BO10.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=110°，在BC，CD上分别找一点M，N．当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为__________．A BCD MNDCBA11. 已知：如图，点P ，Q 为∠AOB 内部两点，点M ，N 分别为OA ，OB 上的两个动点，作四边形PMNQ ，请作图说明当点M ，N 在何处时，四边形PMNQ 的周长最小．12. 如图，在锐角三角形ABC 中，AB =4，△ABC 的面积为8，BD 平分∠ABC ，若M ，N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8MNDCBABCD AMN第12题图 第13题图13. 如图，正方形ABCD 的边AB =8．在线段AC ，AB 上各有一动点M ，N ，则BM +MN 的最小值是__________．14. 如图，两点A ，B 在直线MN 的同侧，已知AB =5，点P 在直线MN 上运动，则|PA -PB |的最大值为_________．15.上的动点，则|PA -PB |的最大值为________．FE PCBA16. 如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有两个格点A ，B 和直线l ．（1）求作点A 关于直线l 的对称点A 1；（2）P 为直线l 上一点，连接BP ，AP ，求△ABP 周长的最小值．【参考答案】➢课前预习1.图略➢知识点睛1.（1）①定直线；②折转直图略（2）①定直线；②折转直图略2.①两点之间，线段最短；②垂线段最短③三角形两边之差小于第三边➢精讲精练1. C2.图略3. 54.30°5.8 cm6. D7. D8.作图略，△PMN周长的最小值为4．9.50°10.40°11.如图所示：点M，N即为所求．12.B13.814.515.316.（1）图略；（2）△ABP周长最小为10。

一次函数之轴对称最值问题（人教版）（专题）一、单选题(共7道，每道15分)1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，点B(-2，1)，在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标( )A.(0，0)B.(0，1)C.(0，-1)D.(-1，0)答案：D解题思路：1.思路分析：2.解题过程：如图，作点A关于x轴的对称点C，连接BC，则直线BC与x轴的交点即为使点P到A，B两点的距离之和最小的点．设点B，C所在直线的表达式是y=kx+b，∵B(-2，1)，C(2，-3)，在直线y=kx+b上，∴，∴，∴，∴当y=0时，x=-1，∴图象与x轴交于点(-1，0)．故选D．试题难度：三颗星知识点：略2.已知点M(1，2)和点N(5，6)，点P是y轴上的一个动点，当△PMN的周长最小时，点P 的坐标是( )A.(0，)B.(0，1)C.(，0)D.(-1，0)答案：A解题思路：1.思路分析：C△PMN=PM+PN+MN，MN的长度固定，可转化为PM+PN最小2.解题过程：如图，作点M关于y轴的对称点M′，连接M′N，则直线M′N与y轴的交点即为使PM+PN最小的点．设点M′，N所在直线的表达式是y=kx+b，∵M′(-1，2)，N(5，6)在直线y=kx+b上，∴，∴，∴，∴当x=0时，y=，∴图象与y轴交于点(0，)．故选A．试题难度：三颗星知识点：略3.如图，已知A（1，3），B（5，1），长度为2的线段PQ在x轴上平行移动，当AP+PQ+QB 的值最小时，点P的坐标为( )A. B.C.（1，0）D.（5，0）答案：B解题思路：1．思路分析2．解题过程通过题意可知，PQ的长固定，所以若要AP+PQ+QB的值最小，则AP+BQ最小即可．如图，BQ向左平移两个单位到，此时就转化为要求即可．作出点关于x轴的对称点，此时连接，与x轴的交点即为所求的点P．根据题意可得，点的坐标为(3，-1)，∴的直线解析式为：，∴点P的坐标为．故选B试题难度：三颗星知识点：略4.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．若E，F为边OA上的两个动点，且EF=2，则当四边形CDEF的周长最小时，点F的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：1．思路分析2．解题过程通过题意可知，EF和CD的长固定，所以若要四边形CDEF的周长最小，则DE+CF最小即可．如图，CF向左平移两个单位到，此时就转化为要求即可．作出点D关于x轴的对称点，此时连接，与x轴的交点即为点E．根据题意可得，点的坐标为(1，4)，点的坐标为(0，-2)，∴的直线解析式为：，∴点E的坐标为，∴点F的坐标为．故选B试题难度：三颗星知识点：略5.如图，当四边形PABN的周长最小时，a的值为( )A. B.1C.2D.答案：A解题思路：1．思路分析2．解题过程通过题意可知，PN和AB的长固定，且PN=2，所以若要四边形PABN的周长最小，则AP+BN最小即可．如图，BN向左平移两个单位到，此时就转化为要求即可．作出点关于x轴的对称点，此时连接，与x轴的交点即为点P．根据题意可得，点的坐标为(2，-1)，∴的直线解析式为：，∴点P的坐标为，∴．故选A试题难度：三颗星知识点：略6.如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（3，-4），在x轴上有一点P，当的值最大时，点P的坐标是( )A. B.（0，0）C.（-1，0）D.（3，0）答案：C解题思路：1．思路分析2．解题过程故选C试题难度：三颗星知识点：略7.如图，已知直线是第一、三象限的角平分线，A，B两点的坐标分别为，B(1，2)，在直线上找一点P，使的值最大，则此时点P的坐标是( )A.（-1，-1）B.C.（-2，-2）D.答案：A解题思路：1．思路分析2．解题过程故选A试题难度：三颗星知识点：略第11页共11页。

授课教案学员姓名：________________ 学员年级：________________ 授课教师：_________________ 所授科目：_________ 上课时间：______年____月____日 （ ～ ）； 共_____课时 （以上信息请老师用正楷字手写）轴对称最值问题专项提升【知识点】最短路径两点之间，线段最短例：四边形ABCD 中，∠BAD=0120，∠B=∠D=090,在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，使∆AMN 周长最小，则∠AMN+∠ANM 的度数是（ ）A.0130B.0120C.0110D.0100例：如图，P ，Q 分别为∆ABC 的边AB ，AC 上的定点,在BC 上求作一点M ，使∆PQM 周长最小。

一．解答题（共6小题）1．已知：如图所示，M （3，2），N （1，﹣1）．点P 在y 轴上使PM+PN 最短，求P 点坐标．2．如图，△ABC 的边AB 、AC 上分别有定点M 、N ，请在BC 边上找一点P ，使得△PMN 的周长最短． 保留作图痕迹）3．如图△ABC 是边长为2的等边三角形，D 是AB 边的中点，P 是BC 边上的动点，Q 是AC 边上的动点，当P 、Q 的位置在何处时，才能使△DPQ 的周长最小？并求出这个最值．4．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10，OA上有一点Q，OB上有一定点R．若△PQR周长最小，求它的最小值．5．如图，已知A、B是锐角α的OM边上的两个定点，P在ON边上运动．问P点在什么位置时，PA2+PB2的值最小？6．如图，两个生物制药厂A与B座落于运河河岸的同一侧．工厂A和B距离河岸l分别为4千米和2千米，两个工厂的距离为6千米．现要在运河的工厂一侧造一点C，在C处拟设立一个货物运输中转站，并建设直线输送带分别到两个工厂和河岸，使直线运送带总长最小．如图建立直角坐标系．（1）如果要求货物运动中转站C距离河岸l为a千米（a为一个给定的数，0≤a≤2），求C点设在何处时，直线输送带总长S最小，并给出S关于a的表达式．（2）在0≤a≤2范围内，a取何值时直线输送带总长最小，并求其最小值．2014年09月09日752444625的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共6小题）1．已知：如图所示，M（3，2），N（1，﹣1）．点P在y轴上使PM+PN最短，求P点坐标．，解得y=﹣，2．如图，△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得△PMN的周长最短．（写出作法，保留作图痕迹）3．如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值．DF=AD•cos30°=1×=，QF=AF=，DD''=×2=DD'=×2=D''==30°'=2DD'•cos30°=2×4．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10，OA上有一点Q，OB上有一定点R．若△PQR周长最小，求它的最小值．5．如图，已知A、B是锐角α的OM边上的两个定点，P在ON边上运动．问P点在什么位置时，PA2+PB2的值最小？x=cosα6．如图，两个生物制药厂A与B座落于运河河岸的同一侧．工厂A和B距离河岸l分别为4千米和2千米，两个工厂的距离为6千米．现要在运河的工厂一侧造一点C，在C处拟设立一个货物运输中转站，并建设直线输送带分别到两个工厂和河岸，使直线运送带总长最小．如图建立直角坐标系．（1）如果要求货物运动中转站C距离河岸l为a千米（a为一个给定的数，0≤a≤2），求C点设在何处时，直线输送带总长S最小，并给出S关于a的表达式．（2）在0≤a≤2范围内，a取何值时直线输送带总长最小，并求其最小值．BE===（，﹣S=AB′=；S=2，S=2=6故答案为：。

轴对称最值问题（线段和最小或差最大）（北师版）一、单选题(共9道，每道11分)1.已知A，B两地在一条河的两岸，现要在河上建造一座桥MN，使从A到B的路径AM+MN+NB 最短，则应按照下列哪种方式来建造（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）( )A. B.C. D.答案：D解题思路：根据题意，无论桥建在哪个地方，MN的值都不会变，此时只要AM+BN最短即可，如图所示，将点A向下平移到D，使得AD＝MN，连接BD，交河岸b于点N，过点N作MN垂直于河岸b，交河岸a于点M，通过作图可知，最短时，AM∥DN，即AM∥BN．故选D试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题2.如图，已知A（1，3），B（5，1），长度为2的线段PQ在x轴上平行移动，当AP+PQ+QB 的值最小时，点P的坐标为( )A. B.C.（1，0）D.（5，0）答案：B解题思路：通过题意可知，PQ的长固定，所以若要AP+PQ+QB的值最小，则AP+BQ的值最小即可．如图，BQ向左平移两个单位到B′P，此时就转化为要求AP+B′P的最小值．作出点B′关于x轴的对称点B″，此时连接AB″，与x轴的交点即为所求的点P．根据题意可得，点B″的坐标为（3，-1），∴AB″的直线解析式为：y＝-2x+5，∴点P的坐标为．故选B试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题3.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．若E，F为边OA上的两个动点，且EF=2，则当四边形CDEF的周长最小时，点F的坐标为( )A. B.C.（2，0）D.（3，0）答案：B解题思路：通过题意可知，EF和CD的长固定，所以若要四边形CDEF的周长最小，则DE+CF的值最小即可．如图，CF向左平移两个单位到C′E，此时就转化为要求DE+C′E的最小值．作出点D关于x轴的对称点D′，此时连接C′D′，与x轴的交点即为点E．根据题意可得，点C′的坐标为（1，4），点D′的坐标为（0，-2），∴C′D′的直线解析式为：y＝6x-2，∴点E的坐标为，∴点F的坐标为．故选B试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题4.如图，当四边形PABN的周长最小时，a的值为( )A. B.1C.2D.答案：A解题思路：通过题意可知，PN和AB的长固定，且PN＝2，所以若要四边形PABN的周长最小，则AP+BN 的值最小即可．如图，BN向左平移两个单位到B′P，此时就转化为要求AP+B′P的最小值．作出点B′关于x轴的对称点B″，此时连接AB″，与x轴的交点即为点P．根据题意可得，点B″的坐标为（2，-1），∴AB″的直线解析式为：y＝-4x+7，∴点P的坐标为．故选A试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题5.如图，两点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=6，CD ＝4，P在直线MN上运动，则的最大值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：根据题意，若要的值最大，连接AB并延长与MN的交点即为点P，此时最大值即为线段AB的长．如图，过点B作BE⊥AC交AC于点E．∵AC=8，BD=6，CD＝4，∴AE＝2，BE＝4，∴AB＝．故选C试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题6.如图，已知两点A，B在直线的异侧，A到直线的距离AC=6，B到直线的距离BD=2，CD=3，点P在直线上运动，则的最大值为( )A. B.3C.1D.5答案：D解题思路：如图，作点B关于直线的对称点B′，连接AB′，AB′的长度即为所求．∵AC=6，BD=2，CD＝3，∴AE＝4，B′E＝3，∴AB＝5．故选D试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题7.如图，已知两点A，B在直线的异侧，A到直线的距离AC=5，B到直线的距离BD=2，DC=4，点P在直线上运动，则的最大值为( )A.1B.5C.3D.2答案：B解题思路：如图，作点B关于直线的对称点B′，连接AB′，AB′的长度即为所求．∵AC=5，BD=2，DC＝4，∴AE＝3，B′E＝4，∴AB＝5．故选B试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题8.如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（3，-4），在x轴上有一点P，当的值最大时，点P的坐标是( )A. B.（-1，0）C.（0，0）D.（3，0）答案：B解题思路：如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′并延长与x轴的交点即为点P．∵A（0，1），B（3，-4），∴A′（0，-1），∴A′B的直线解析式为：y＝-x-1，∴点P的坐标为（-1，0）．故选B试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题9.如图，在平面直角坐标系中，已知A（-2，1），B（1，2），若P是x轴上使得PA+PB的值最小的点，Q是y轴上使得的值最大的点，则的值是( )A. B.-3C. D.3答案：C解题思路：分别作点B关于x轴，y轴的对称点B′，B″，连接AB′与x轴的交点即为点P，连接AB″并延长与y轴的交点即为点Q．∵B（1，2），∴B′（1，-2），B″（-1，2），∴AB′的直线解析式为：y＝-x-1，AB″的直线解析式为：y＝x+3，∴P点坐标为（-1，0），Q点坐标为（0，3），∴．故选C试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题。

轴对称变换中的最值问题教案教学目标：1.理解通过轴对称变换将两条线段转移到一条线段，并会求线段和的最小值2.在复杂图形中做出求最短线段的图3.通过类比的方法会求一动二定点、二动一定点及三动点的将军饮马型的题教学重点：通过轴对称变换作图求线段和的最小值教学难点：在复杂的图形中做出正确的图形教学过程：一、 基本图形引入（八上§2.1图形的轴对称）例：如图，直线l 表示草原上的一条河流。

一骑马少年从A 地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B 地的家中，他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条路线。

【点悟】 有关直线同侧几条线段的和最短的问题，一般都把它们转化到同一条直线上，然后利用“两点之间线段最短”来解决．设计意图：从熟悉的基本图形出发，低起点，充分理解通过轴对称求线段和的最小值，理解两点之间线段最短，为后面复杂图形作铺垫二、类比学习将军饮马三类型将军饮马之两定一动型【点悟】 找“定点”关于“河”的对称点，把不同的线段转化到同一条直线上，然后利用“两点之间线段最短”来解决．【点悟】 特殊图形的对称点经常在图形上，找对点是关键.将军饮马之两动一定型【点悟】 将点对称出去，通过轴对称将线段转化到同一条直线上，用“垂线段最短”解决 l A B的最小值求上的一个动点，是对角线，点且边上，在，点的边长是已知正方形例PC PE BD P CE BC E ABCD +=28.1的最小值上的一个动点，求是对角线的中点，点是，点，中，在菱形巩固PB PE AC P AB E BAD AB ABCD +=∠=︒602.1的最小值的动点，则上、分别是、、于点的平分线交，中，如图，在锐角例MN BM AB AD N M D BC BAC BAC AB ABC +∠=∠=∆︒,4524.2）小，则这个最小值为（最使上有一点内，在对角线在正方形点是等边三角形，，的面积为如图，正方形巩固PE PD P AC ABCD E ABE ABCD +∆,12.2设计意图：通过一个练习对用“垂线段最短”来求线段的最值巩固将军饮马之三动型三、 课堂小结：1.基本图形2.本质：通过轴对称将线段转移到一条直线上， 利用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”解决3.解题方法：找出基本图形，找对对称轴、找对对称点四、机动练习【点悟】 作图是关键【点悟】 一般固定某一个动点，然后将此点对称出去，利用“两点之间线段最短”解决的最小值动点，那么上的、分别为、，如果平分，，，中，如图，在巩固MN CM BC BD N M ABC BD AB BC AC ACB ABC +∠====∠∆︒543,90.1的最小值上动点，则和别是射线分、点中，在NM CM AC AB N M BAC AC ABC +=∠=∆︒,5.22,6.1周长最短，请你画一画使别找出点上分的内侧，在直线位于直线若点例QA PQ PA Q P n m n m A ++,,,,.3最小值为？的上的点，则、分别是、，，，如图，已知矩形EC EF AF CD AB F E AD AB ABCD ++==312.2A D C B E。

中考数学《最值问题》及参考答案一、轴对称求最小值1.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，△ABC是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的值最小，求这个最小值．2.四边形ABCD中,∠BAD=122°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,当△AMN周长最小时,求∠MAN的度数．3.如图,∠AOB =45°,OC为∠AOB内部一条射线,点D为射线OC上一点,OD=√2,点E、F分别为射线0A、OB上的动点,求△DEF周长的最小值．二、垂线段最短求最值4.如图,矩形ABCD中,AD=3,AB=4,M为线段BD上一动点,MP⊥CD于点P,MQ⊥BC于点Q,求PQ 的最小值．5.如图,边长为6的等边三角形ABC中,E是对称轴AD上一个动点,连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF,则在点E运动的过程中,求DF的最小值．6.如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P为AB上一动点(不与A、 B重合),作PE ⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连接EF,求EF的最小值．7.如图,在ΔABC中,∠BAC=90,AB=6,BC=10,BD平分∠ABC,若P,Q分别是BD,AB上的动点,求PA+PQ的最小值．8.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以AB为边在AB上方作正方形ABDE,过点D作DF⊥CB,交CB的延长线于点F,连接BE,P,N分别为AC,BE上的动点,连接AN, PN,若DF=5,AC=9,求AN+PN的最小值.二、两点之间,线段最短求最值9.如图,等边△ABC的边长为4,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A´B´C´公关于直线l对称,D为线段BC´上一动点,求AD+CD的最小值是( )10.如图,在长方形ABCD中,AB=3,AD=4,动点P满足S△PCD=14S长方形ABCD´,求点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值．三、三角形三边的关系求最值问题11.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的坐标分别为A(-1,0)、B(0,2)、 C(4,2)、D(3,0),点P是AD边上的一个动点,若点A关于BP的对称点为A´,求则A´C的最小值．参考答案1.析：连接BP.因为点B 与点D 关于直线AC 对称，所以PB=PD .所以PD+PE =PB+PE≥BE，所以PD+PE 的最小值即为BE 的长．BE ＝AB ＝6，则PD+PE 的值最小为6．2.析：如图,延长AB 到A ´使得BA ´=AB,延长AD 到A ´使得DA"=AD,连接A ´A"与BC 、CD 分别交于点M 、N.∵∠ABC=∠ADC=90° ∴ A 、A ´关于BC 对称,A 、A"关于CD 对称,此时ΔAMN 的周长最小∵BA=BA ´,MB ⊥ AB ∴MA =MA ´同理:NA=NA" ∴∠A ´=∠MAB,∠A"=∠NAD∵∠AMN =∠A ´+∠MAB =2∠A ´,∠ANM =∠A"+∠NAD =2∠A"∴∠AMN +∠ANM = 2(∠A ´+∠A")∵∠BAD=122° ∴ ∠A ´+LA"=180°-∠BAD=58° ∴∠AMN +∠ANM=2x58°=116∴∠MAN =180-116°=64°3.析：作点D 作关于OA 的对称点P,点D 关于OB 的对称点Q,连接PQ,与OA 的交点为点E,与OB 的交点为点F.△DEF 的最小周长为DE +EF +QF =PE+EF+QF =PQ连接OP 、OQ,则OP=0Q=√2 ∵∠POQ =2∠AOB=90°∴ΔOPQ 是等腰直角三角形∴PQ =√2OD=2∴ΔDEF 的周长的最小值是2.4.析：如图,连接CM∵MP ⊥CD 于点P,MQ ⊥BC 于点Q ∴∠CPM =∠CQM=90°∴四边形ABCD 是矩形∴BC=AD=3,CD=AB=4,∠BCD=90°∴四边形PCQM 是矩形,PQ =CM∴BD =√32+42=5当CM ⊥BD 时,CM 最小,则PQ 最小,此时,S △BCD =1 2BD ·CM=12BC ·CD ∴PQ 的最小值为125.5.析：取线段AC 的中点G,连接EG∵ΔABC 为等边三角形,AD 为△ABC 的对称轴∴CD=CG=1 2AB=3,∠ACD =60° ∵ ∠ECF =60°∴∠FCD =∠ECG在ΔFCD 和ΔECG 中,FC =EC,∠FCD=∠ECG,DC=GC∴ΔFCD ≌AECG ∴DF =GE当EG ⊥AD 时,EG 最短,即DF 最短∵点G 为AC 的中点,EG=DF=1 2CD=32 6.析： 连接CP.∵∠C=90,AC=3,BC =4 ∴AB =√32+42=5∵PE ⊥AC,PF ⊥BC,∠C=90°∴四边形CFPE 是矩形∴EF =CP由垂线段最短可得CP ⊥AB 时,线段EF 的值最小S △ABC=1 2BC ·AC=12AB ·CP ∴1 2×4×3=12×5·CP ∴CP =2.4 7.如图,作点Q 关于直线BD 的对称点Q ´∵BD 平分∠ABC ∴点Q 在BC 上连接PQ ´,则PA+PQ 的最小值即为PA+PQ ´的最小值∴当A 、P 、Q ´三点共线且AQ ´⊥BC 时,PA+PQ 的值最小过点A 作AM ⊥BC 于点M,则PA+PQ 的最小值即为AM 的长∵AB=6,BC=10 ∴AC ²=10²-6²=64 ∴AC=8∵ S △ABC =1 2AM ·BC=1 2AB ·AC ∴AM=AB·AC BC =48 10=4.88.析：连接AD ，与BE 交于点O∵四边形ABDE 是正方形 ∴BE ⊥AD,OD =OA ，点A 与点D 关于直线BE 对称 求PN + AN 的最小值，只需D ，N ，P 在同一条直线上，由于P ，N 分别是AC 和BE 上的动点，过点D 作DP ⊥AC 于P 交BE 于点 N ，此时PN + AN =PN+ND=PD ，由△ABC ≌ △BDF 可知，BF= AC = 9，BC=DF=5，易知四边形DFCP 是矩形，CF=PD=BF+BC=9+5=149.析：如图,连接AD∵△ABC 是边长为4的等边三角形 ∴AB =BC=4,∠ABC=60° ∵△ABC 与△ A ´B ´C ´关于直线l 对称∴A ´B=BC,∠AB ´C ´=60°∴∠CBC ´=60°=∠A ´BD∴△BCD ≌△BA ´D(SAS)∴A ´D=CD ∴CD +AD =AD +A ´D当A 、D 、A ´三点共线时,AD+A ´D 最小,此时CD+AD 最小,最小为4+4=8.10.析：如图,设APC 的CD 边上的高是h.∵S △PCD =1 2S 长形ABCD ,AD=4 ∴1 2·CD ·h =1 4CD ·AD ∴h=12AD=2 ∵动点P 在与CD 平行且与CD 的距离是2的直线l 上连接AC 交直线l 于点P ´∵l//CD,AD=4,四边形ABCD 是长方形 ∴l ⊥AD,l ⊥BC∴直线l 是BC 边的垂直平分线 ∴BP ´=CP ´∴AP ´+BP ´=AP ´+CP ´ ∴ AC 的长是最短距离∴AC=√32+4=5,PA +PB 的最小值为5.11.析：连接BA ´∵AB=√5,BC =4若点A 关于BP 的对称点为A ´ ∴BA ´=BA=√5在△BA ´C 中,A ´C ≥BC-BA ´,即AC ´≥4-√5∴AC ´的最小值为4-√5。

轴对称之最值问题（一）（北师版）（专题）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，直线是一条河，P，Q两地位于的同侧，欲在上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：特征：定点：P，Q；动点：M；动点在定直线l上运动，所求为PM+QM的和最短，属于轴对称路径最短问题操作：作定点P关于定直线l的对称点，则，根据两点之间线段最短，连接交直线l于点M，则PM+QM即为所求最短距离．故选B．试题难度：三颗星知识点：略2.如图，A，B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A，B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料都最短．图中，点是点A关于直线b的对称点，分别交直线b，a于点C，D；点是点B关于直线a 的对称点，分别交直线b，a于点E，F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是( )A.F和CB.F和EC.D和CD.D和E答案：A解题思路：首先根据特征判断此题为轴对称路径最短问题，需要明确输水和输煤气分管道的位置，点B关于直线a的对称点为，则线段与a的交点F就是应建的输水分管道的连接点位置．点A关于直线b的对称点为，则线段与b的交点C就是应建的输煤气分管道的连接点位置．故选A．试题难度：三颗星知识点：略3.如图，等边三角形ABC的边长为4，AD平分∠BAC，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则点F的位置为( )A.AD的中点B.点D的位置C.AD与BE的交点D.AD上任意位置答案：C解题思路：特征：定点：E，C；动点：F；动点在AD上运动，所求为EF+CF的和最短，属于轴对称路径最短问题操作：应作定点关于定直线AD的对称点，观察图形，△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，故点C的对称点为点B，考虑作C的对称点，即为点B如图，连接BE交AD于点F，此时EF+CF取得最小值，则点F落在AD与BE的交点处．故选C．试题难度：三颗星知识点：略4.如图所示，正方形ABCD，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，下列作图求出点P的位置，其中正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：特征：定点：D，E；动点：P；动点在AC上运动，所求为PD+PE的和最短，属于轴对称路径最短问题操作：应作定点关于定直线AC的对称点，在正方形ABCD中，定点D关于直线AC的对称点即为点B，故考虑作点D的对称点，连接交直线AC于点P，此时PD+PE的距离最短．故选D．试题难度：三颗星知识点：略5.P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA，OB的对称点，，连接，，则下列结论正确的是( )A.B.C.D.答案：B解题思路：如图，∵点P关于直线OA，OB的对称点分别为，，∴，，∴，∴而∠AOB的度数不知道，∴不一定成立．故选B．试题难度：三颗星知识点：略6.如图1，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一动点E，OB上有一动点F，求△PEF周长的最小值．如图2，某同学分别作点P关于OA，OB的对称点，则下列结论错误的是( )A.B.C.D.答案：C解题思路：选项A：由题意，OA垂直平分线段，则，OB垂直平分线段，则，所以，正确；选项B：由题意，∵∠AOB=30°∴，正确；选项C：由选项A，B可得，是等边三角形，∴，错误；选项D：由题意，，，∴，△PEF周长的最小值等于的长，正确．故选C．试题难度：三颗星知识点：略7.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD．若点A到河岸CD的中点的距离为300米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是( )A.300米B.600米C.900米D.1200米答案：B解题思路：特征：定点：A，B；动点：牛饮水的位置；动点在CD上运动，所求为距离最短，属于轴对称路径最短问题操作：应作定点关于定直线CD的对称点，作出点A关于直线CD的对称点，连接与CD相交于M，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是的长．如图：∵AC=BD，∴．∵A，B到河岸的距离分别为AC和BD，∴AC⊥CD，BD⊥CD，∴．又∵，∴，∴CM=DM，，∴M为CD的中点．由于A到河岸CD的中点的距离为300米，即AM=300，所以到M的距离为300米，．因此最短距离是600米．故选B．试题难度：三颗星知识点：略8.如图，已知∠AOB=α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=2，点E，F分别是OA，OB上的动点．若△PEF周长的最小值等于2，则α=( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案：A解题思路：特征：定点：P；动点：E，F；动点E在定直线OA上运动，动点F在定直线OB上运动，所求为△PEF的周长最小，属于轴对称路径最短问题操作：应作定点关于定直线的对称点，如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，交OB于F．此时，△PEF的周长最小，即为CD的长，由题可知CD=2．连接OC，OD，PE，PF．由对称可知OC=OD=OP=2，∠AOC=∠AOP，∠BOD=∠BOP，因此△COD为等边三角形，∠COD=60°，即2(∠AOP+∠BOP)=2α=60°，α=30°．故选A．试题难度：三颗星知识点：略。

轴对称——最值问题（通用版）试卷简介:检测学生对于最值问题中一类题目的做题思路，如奶站问题，天桥问题等，需要学生利用轴对称将线段和（差）进行转化，借助相关定理（如两点之间线段最短，三角形三边关系等）解决问题。

一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底5cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿5cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( )cmA. B.15C. D.12答案：B解题思路：解决蚂蚁爬最短路线问题，画出圆柱的侧面展开图，找到A，C两点对应的位置．沿着A点所在的母线展开，得到下图：其中EA=CD=5cm，BD=9cm．因为题干条件给出的点A和点C分别是杯外和杯内的点，所以问题转化成在线段EF上找到一点P，使得PA+PC的值最小．解法如下：如下图，作点A关于EF的对称点．的长度即为要求的最短距离，过C点作EB的垂线通过勾股定理易求得．试题难度：三颗星知识点：轴对称——最值问题2.如图，在锐角三角形ABC中，，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D．若M，N分别是线段AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是( )A.4B.5C.6D.2答案：A解题思路：如图，作点N关于AD的对称点E，则点E落在直线AC上，此时（当B，M，E三点共线时等号成立），由垂线段最短可知，当BE⊥AC，点M是BE和AD的交点时，BM+MN的值最小，此时．试题难度：三颗星知识点：轴对称——最值问题3.如图，正方形ABCD的边长为8，点E，F分别在AB，BC上，AE=3，CF=1，P是对角线AC 上的动点，则PE+PF的最小值是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：如图，作点F关于AC的对称点，则点落在CD边上，且．此时．根据两点之间线段最短可得，的最小值为的长度．如图，过点作⊥AB于点G．根据题意可得，，∴．试题难度：三颗星知识点：轴对称——最值问题4.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为( )A.1B.C.2D.答案：B解题思路：如图，作点Q关于BD的对称点，则点落在AD边上，且．∵点Q是CD上任意一点，∴点是AD边上任意一点．题目转化为求的最小值，根据题意可知，当⊥AD时，最小．如图，过点C作CE⊥AD，则．∵四边形ABCD为菱形，∴∠CDE=180°-∠A=60°，CD=AB=2，在Rt△CDE中，．试题难度：三颗星知识点：轴对称——最值问题5.如图，两点A，B在直线的异侧，点A到的距离AC=2，点B到的距离BD=1，CD=3，P 在直线上运动，则的最大值为( )A. B.C.3D.答案：D解题思路：要求最大值，使点在直线同侧．如图，作点B关于直线的对称点，连接并延长，与直线的交点即为使得取最大值时对应的点P．此时．如图，过点作于点E．易知则四边形为矩形，∴，，∴AE=1．在中，，AE=1∴，即的最大值为．试题难度：三颗星知识点：轴对称——最值问题6.如图所示，已知，为反比例函数图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是( )A. B.（1，0）C. D.答案：D解题思路：由题意，得，，如图，连接AB并延长，与x轴的交点即为线段AP与线段BP之差达到最大时的点P，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A，B的坐标代入得：，解得：，∴直线AB的解析式是，当y=0时，，∴，故选D试题难度：三颗星知识点：三角形三边关系定理7.如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，．在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的值最小，则此时AM+NB=( )A.6B.8C.10D.12答案：B解题思路：如图，将点A向下平移距离为4，到，连接交直线b于点N，过点N作NM⊥直线a于点M，连接AM．∵a与b之间的距离为4，∴，∴四边形是平行四边形，∴．此时，其值最小．过点B作BE⊥，交的延长线于点E，易得AE=2+4+3=9，，，在Rt△AEB中，，在中，．试题难度：三颗星知识点：轴对称——最值问题8.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是( )A.10B.15C.20D.30答案：A解题思路：点P是定点，点Q和点R是在定直线运动的动点．如图，分别作点P关于射线OA，OB的对称点，连接，使得三角形的三边转化为首尾相接的折线，此时△PQR的周长即是折线的长，由于折线两端是定点，所以当点Q、R分别是与OA、OB的交点时，最小，为线段的长，如图所示．如下图，连接，由对称可知，，，∴，∴是等边三角形，∴即△PQR最小周长为10试题难度：三颗星知识点：轴对称——最值问题9.如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AD=DC=4，BC=8，点N在BC上，CN=2，E是AB中点．在AC上找一点M使EM+MN的值最小，则最小值为( )A.6B.8C.4D.答案：A解题思路：如图，作点N关于AC的对称点，连接交AC于M，连接MN，此时EM+MN的值最小．∵AD∥BC，AD=DC=4，∴∠DAC=∠ACB，∠DAC=∠DCA，∴∠ACB=∠DCA，∴点N关于AC的对称点在CD上，．又∵DC=4，∴为CD中点，∴为梯形ABCD的中位线，∴，∴EM+MN最小值为．试题难度：三颗星知识点：轴对称——最短路线问题10.如图，在平面直角坐标系中，AO=BO=8，C是BO边的中点，连接AB，D是AB边上一动点，则DC+OD的最小值是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：点C和点O是定点，点D是AB边上一动点，作点O关于AB的对称点，将线段转化即可．如图，作点O关于AB的对称点E，连接EC交AB于点D，连接DO，此时点D满足DC+DO 最小，为EC的长．∵△ABO是等腰直角三角形，由对称可知，连接EA，EB，四边形EBOA是正方形，如图所示在Rt△EBC中，EB=BO=4，∴即DC+OD的最小值是试题难度：三颗星知识点：轴对称——最值问题。