2017年吉林省延边州高考数学一模试卷(理科)(解析版)

2017年吉林省延边州高考数学仿真试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={3a，3}，B={a2+2a，4}，A∩B={3}，则A∪B等于（）A．{3，5}B．{3，4}C．{﹣9，3}D．{﹣9，3，4}2．复数z满足zi=1﹣i（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣﹣iB．﹣i C．i D．﹣i3．已知向量，，且||=2，与的夹角为，⊥（3﹣），则||等于（）A．6 B．6C．12 D．124．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．25．如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（）A．5 B．4 C．3 D．26．某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示：根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+，依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为（）A．4.5亿元B．4.4亿元C．4.3亿元D．4.2亿元7．已知a=2﹣1.2，b=log36，c=log510，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b8．若x，y满足，且当z=y﹣x的最小值为﹣12，则k的值为（）A．B．﹣C．D．﹣9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．设函数f（x）=sin（2x+）（x∈[0，]），若方程f（x）=a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+2x2+x3的值为（）A．πB．C．D．11．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，则异面直线A1E与AF 所成角的余弦值为（）A． B．C．D．12．设函数f（x）=﹣x，若不等式f（x）≤0在[﹣2，+∞）上有解，则实数a的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．若（1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则=．14．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=2a4=2，则S6=．15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成假设这个原来持金为x，按此规律通过第8关，则第8关需收税金为x．16．已知抛物线y=x2，A，B是该抛物线上两点，且|AB|=24，则线段AB的中点P 离x轴最近时点的纵坐标为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，sinB=2sinA．（1）若C=，求a，b的值；（2）若cosC=，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在棱柱ABC﹣A1B1C1中，点C在平面A1B1C1内的射影点为的A1B1中点O，AC=BC=AA1，∠ACB=90°．（1）求证：AB⊥平面OCC1；（2）求二面角A﹣CC1﹣B的正弦值．19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展新机遇，2016年双11期间，某网络购物平台推销了A，B，C三种商品，某网购者决定抢购这三种商品，假设该名网购者都参与了A，B，C三种商品的抢购，抢购成功与否相互独立，且不重复抢购同一种商品，对A，B，C三件商品抢购成功的概率分别为a，b，，已知三件商品都被抢购成功的概率为，至少有一件商品被抢购成功的概率为．（1）求a，b的值；（2）若购物平台准备对抢购成功的A，B，C三件商品进行优惠减免，A商品抢购成功减免2百元，B商品抢购成功减免4比百元，C商品抢购成功减免6百元．求该名网购者获得减免总金额（单位：百元）的分别列和数学期望．20．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，由椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成一个等边三角形．它的面积为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动点B（m，n）（mn≠0）在椭圆上，点A（0，2），直线AB交x轴于点D，点B′为点B关于x轴的对称点，直线AB′交x轴于点E，若在y轴上存在点G（0，t），使得∠OGD=∠OEG，求点G的坐标．21．（12分）已知函数f（x）=2lnx﹣3x2﹣11x．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1恒成立，求整数a的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=3时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣3|，∀x∈R，f（x）+g（x）≥5，求a的取值范围．2017年吉林省延边州高考数学仿真试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={3a，3}，B={a2+2a，4}，A∩B={3}，则A∪B等于（）A．{3，5}B．{3，4}C．{﹣9，3}D．{﹣9，3，4}【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】利用交集性质求出a=﹣3，从而求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={3a，3}，B={a2+2a，4}，A∩B={3}，∴，解得a=﹣3，∴A={﹣9，3}，B={3，4}，A∪B={﹣9，3，4}．故选：D．【点评】本题考查交集、并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．复数z满足zi=1﹣i（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣﹣iB．﹣i C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵zi=1﹣i，∴．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．已知向量，，且||=2，与的夹角为，⊥（3﹣），则||等于（）A．6 B．6C．12 D．12【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得||．【解答】解：∵||=2，与的夹角为，⊥（3﹣），∴•（3﹣）=3﹣=3•12﹣2•||•cos=0，∴||=12，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式、通项公式列出方程组，由此能求出公差．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，∴，解得a3=﹣2，d=4．故选：B．【点评】本题考查公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，a，n的值，当s=时，不满足条件，退出循环，输出n的值即可．【解答】解：s=0，a=2，n=1；s=2，a=，n=2；s=，a=，n=3；s=＞3，a=；输出n=3；故选：C．【点评】本题主要考查了算法和程序框图，属于基本知识的考查．6．某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示：根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+，依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为（）A．4.5亿元B．4.4亿元C．4.3亿元D．4.2亿元【考点】线性回归方程．【分析】根据表中数据，计算、以及回归系数，写出回归方程，利用回归方程计算x=7时的值即可．【解答】解：根据表中数据，计算=×（2.2+2.6+4.0+5.3+5.9）=4，=×（0.2+1.5+2.0+2.5+3.8）=2，∴=2﹣0.8×4=﹣1.2，∴回归直线方程为=0.8x﹣1.2，计算x=7时=0.8×7﹣1.2=4.4（亿元），即2017年该公司收入为7亿元时的支出为4.4亿元．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．7．已知a=2﹣1.2，b=log36，c=log510，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】a=2﹣1.2＜1，b=log36=1+log32，c=log510=1+log52，而log32＞log52＞0，可得b ＞c．即可得出．【解答】解：a=2﹣1.2＜1，b=log36=1+log32，c=log510=1+log52，而log32＞log52＞0，∴b ＞c．∴b＞c＞a．故选：D．【点评】本题考查了对数函数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．若x，y满足，且当z=y﹣x的最小值为﹣12，则k的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据目标是的最小值建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：由z=y﹣x得y=x+z，要使z=y﹣x的最小值为﹣12，即y=x﹣12，则不等式对应的区域在y=x﹣12的上方，先作出对应的图象，由得，即C（12，0），同时C（12，0）也在直线kx﹣y+3=0上，则12k+3=0，得k=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，结合图中数据即可求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，画出直观图如图所示；则几何体的体积为V几何体=V三棱柱+V三棱锥=××2+×××2=．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题目．10．设函数f（x）=sin（2x+）（x∈[0，]），若方程f（x）=a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+2x2+x3的值为（）A．πB．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由x∈[0，]求出2x+的范围，由正弦函数的图象画出函数的大致图象，由函数的图象，以及正弦图象的对称轴求出x1+x2、x2+x3的值，即可求出x1+2x2+x3的值．【解答】解：由题意x∈[0，]，则2x+∈[，]，画出函数的大致图象：由图得，当时，方程f（x）=a恰好有三个根，由2x+=得x=，由2x+=得x=，由图知，点（x1，0）与点（x2，0）关于直线对称，点（x2，0）与点（x3，0）关于直线对称，∴x1+x2=，x2+x3=，即x1+2x2+x3=+=，故选C．【点评】本题考查正弦函数的图象，以及正弦函数图象对称性的应用，考查整体思想，数形结合思想．11．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，则异面直线A1E与AF 所成角的余弦值为（）A． B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与AF所成角的余弦值．【解答】解以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z 轴，建立空间直角坐标系，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，∴A1（4，0，6），E（2，2，3），F（0，0，4），A（4，0，0），=（﹣2，2，﹣3），=（﹣4，0，4），设异面直线A1E与AF所成角所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线A1E与AF所成角的余弦值为．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．12．设函数f（x）=﹣x，若不等式f（x）≤0在[﹣2，+∞）上有解，则实数a的最小值为（）A．B．C． D．【考点】函数恒成立问题．【分析】依题意，可得2a≥[]min（x≥﹣2），构造函数g（x）==﹣，利用导数法可求得g（x）的极小值g（1）=1+﹣6+2﹣=﹣﹣，也是最小值，从而可得答案．【解答】解：f（x）=﹣x≤0在[﹣2，+∞）上有解⇔2ae x≥﹣x在[﹣2，+∞）上有解⇔2a≥[]min（x≥﹣2）．令g（x）==﹣，则g′（x）=3x2+3x﹣6﹣=（x﹣1）（3x+6+），∵x∈[﹣2，+∞），∴当x∈[﹣2，1）时，g′（x）＜0，g（x）在区间[﹣2，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时g′（x）＞0，g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；∴当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=1+﹣6+2﹣=﹣﹣，也是最小值，∴2a≥﹣﹣，∴a≥．故选：C．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想，突出分离参数法、构造法与导数法的综合运用，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．若（1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则=﹣2．【考点】二项式系数的性质．=（﹣2x）r=（﹣2）r x r，分别令r=3，r=2，即可得【分析】由通项公式可得：T r+1出．=（﹣2x）r=（﹣2）r x r，令r=3，则a3==【解答】解：由通项公式可得：T r+1﹣80；令r=2，则a2==40．∴==﹣2．故答案为：2．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=2a4=2，则S6=．【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3=2a4=2，∴q=，=2，解得a1=8．则S6==．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成假设这个原来持金为x，按此规律通过第8关，则第8关需收税金为x．【考点】数列的应用．【分析】第1关收税金：x；第2关收税金：（1﹣）x=x；第3关收税金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8关收税金．【解答】解：第1关收税金：x；第2关收税金：（1﹣）x=x；第3关收税金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8关收税金：x，即x．故答案为：．【点评】本题考查了数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知抛物线y=x2，A，B是该抛物线上两点，且|AB|=24，则线段AB的中点P 离x轴最近时点的纵坐标为8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点坐标，由三角形的性质丨AB丨≤丨AF丨+丨BF丨利用抛物线的性质可知y1+y2≥16，根据中点坐标可得线段AB的中点P离x轴最近时点的纵坐标．【解答】解：抛物线的标准方程x2=16y，焦点F（0，4），设A（x1，y1）、B（x2，y2），由丨AB丨≤丨AF丨+丨BF丨=（y1+4）+（y2+4）=y1+y2，∴y1+y2≥16，则线段AB的中点P点的纵坐标y=≥8，∴线段AB的中点P离x轴最近时点的纵坐标8，故答案为：8．【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，三角形的两边之和大于第三条边，考查数形结合思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）（2017•延边州模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，sinB=2sinA．（1）若C=，求a，b的值；（2）若cosC=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理可得b=2a，利用余弦定理可求a的值，进而可求b；（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC，又b=2a，利用余弦定理可解得c=2a，从而可求a，b，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵C=，sinB=2sinA，∴由正弦定理可得：b=2a，…2分∵c=2，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即：12=a2+4a2﹣2a2，∴解得：a=2，b=4…6分（2）∵cosC=，∴sinC==，又∵b=2a，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+4a2﹣a2=4a2，解得：c=2a，…9分∵c=2，可得：a=，b=2，=absinC==…12分∴S△ABC【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．（12分）（2017•延边州模拟）如图，在棱柱ABC﹣A1B1C1中，点C在平面A1B1C1内的射影点为的A1B1中点O，AC=BC=AA1，∠ACB=90°．（1）求证：AB⊥平面OCC1；（2）求二面角A﹣CC1﹣B的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出CO⊥A1B1，A1C1=C1B1，C1O⊥A1B1，从而A1B1⊥平面CC1O，再由A1B1∥AB，能证明AB⊥平面CC1O．（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CO为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CC1﹣B的正弦值．【解答】证明：（1）∵点C在平面内的射影点为A1B1的中点O，∴CO⊥A1B1，∵AC=BC，∴A1C1=C1B1，∵O为A1B1的中点，∴C1O⊥A1B1，∵C1O∩CO=O，∴A1B1⊥平面CC1O，∵A1B1∥AB，∴AB⊥平面CC1O．解：（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CO为z轴，建立空间直角坐标系，设AC=1，则CC1=1，C1O=，∵∠COC1=，∴CO==，则C（0，0，0），C1（﹣，），A（1，0，0），B（0，1，0），∴=（﹣，），=（1，0，0），=（0，1，0），设平面ACC1的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（0，），同理得平面BCC1的法向量=（），设二面角A﹣CC1﹣B的平面角为θ，则cosθ==．sinθ==，∴二面角A﹣CC1﹣B的正弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2017•延边州模拟）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展新机遇，2016年双11期间，某网络购物平台推销了A，B，C三种商品，某网购者决定抢购这三种商品，假设该名网购者都参与了A，B，C三种商品的抢购，抢购成功与否相互独立，且不重复抢购同一种商品，对A，B，C三件商品抢购成功的概率分别为a，b，，已知三件商品都被抢购成功的概率为，至少有一件商品被抢购成功的概率为．（1）求a，b的值；（2）若购物平台准备对抢购成功的A，B，C三件商品进行优惠减免，A商品抢购成功减免2百元，B商品抢购成功减免4比百元，C商品抢购成功减免6百元．求该名网购者获得减免总金额（单位：百元）的分别列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由题意利用相互独立及其对立事件的概率计算公式可得．（Ⅱ）由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量X（单位：百元），则X的值可以为0，2，4，6，8，10，12．再利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得，因为a＞b，解得．…（4分）（Ⅱ）由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量X（单位：百元），则X的值可以为0，2，4，6，8，10，12．…而；；；；；；．…（9分）所以X的分布列为：于是有…（12分）【点评】本题考查了相互独立及其对立事件的概率计算公式、分布列及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）（2017•延边州模拟）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，由椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成一个等边三角形．它的面积为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动点B（m，n）（mn≠0）在椭圆上，点A（0，2），直线AB交x轴于点D，点B′为点B关于x轴的对称点，直线AB′交x轴于点E，若在y轴上存在点G（0，t），使得∠OGD=∠OEG，求点G的坐标．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的短轴的一个端点和两个焦点构成等边三角形的三个顶点，它的面积为4．建立方程关系，求出a，b，即可得椭圆方程．（2）设D（x1，0），E（x2，0）．由A，D，B，三点共线．得x1=．同理可得x2=．又∠OGD=∠OEG，得．由于，故．【解答】解：（1）由已知得，∴，∴椭圆C的方程：．（2）设D（x1，0），E（x2，0）．由A，D，B，三点共线．得，即x1=．同理可得x2=．又∵∠OGD=∠OEG，∴．∵﹣2，且n≠0，∴，由于，∴，∴t=±4，点G的坐标为（0，±4）．【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，方程思想是解题的关键，属于中档题．21．（12分）（2017•榆林二模）已知函数f（x）=2lnx﹣3x2﹣11x．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1恒成立，求整数a的最小值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f′（1），进一步求出f（1），代入直线方程的点斜式，化简可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（a﹣3）x2﹣（2a﹣13）x﹣1=2lnx﹣ax2+（2﹣2a）x﹣1，求其导函数g′（x）=．可知当a≤0时，g（x）是（0，+∞）上的递增函数．结合g（1）＞0，知不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1不恒成立；当a＞0时，g′（x）=．求其零点，可得g（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．得到函数g（x）的最大值为g（）=≤0．令h（a）=．由单调性可得h（a）在（0，+∞）上是减函数，结合h（1）＜0，可得整数a的最小值为1．【解答】解：（1）∵f′（x）=，f′（1）=﹣15，f（1）=﹣14，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣14=﹣15（x﹣1），即y=﹣15x+1；（2）令g（x）=f（x）﹣（a﹣3）x2﹣（2a﹣13）x﹣1=2lnx﹣ax2+（2﹣2a）x﹣1，∴g′（x）=．当a≤0时，∵x＞0，∴g′（x）＞0，则g（x）是（0，+∞）上的递增函数．又g（1）=﹣a+2﹣2a﹣1=1﹣3a＞0，∴不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1不恒成立；当a＞0时，g′（x）=．令g′（x）=0，得x=，∴当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0．因此，g（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．故函数g（x）的最大值为g（）=≤0．令h（a）=．则h（a）在（0，+∞）上是减函数，∵h（1）=﹣2＜0，∴当a≥1时，h（a）＜0，∴整数a的最小值为1．【点评】本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，是高考试题中的压轴题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2017•延边州模拟）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，可得ρ=±4，即可求A、B两点的极坐标；（Ⅱ）由ρ2cos2θ=8，得直角坐标方程为x2﹣y2=8，直线（t为参数），代入整理可得t2+4﹣8=0，利用弦长公式求线段MN的长度．【解答】解：（Ⅰ）由ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，可得ρ=±4，∴A、B两点的极坐标分别为（4，），（4，﹣）；（Ⅱ）由ρ2cos2θ=8，得直角坐标方程为x2﹣y2=8，直线（t为参数），代入整理可得t2+4﹣8=0，∴|MN|==4．【点评】本题考查直线参数方程的运用，考查极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•延边州模拟）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=3时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣3|，∀x∈R，f（x）+g（x）≥5，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=3时，由已知得|2x﹣3|+3≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣3|+|2x﹣a|+a≥5，根据绝对值的性质通过讨论a的范围，去掉绝对值，由此能求出a的取值范围【解答】解：（1）a=3时，f（x）≤6等价于|2x﹣3|+3≤6，即|2x﹣3|≤3，解得：0≤x≤3，故不等式的解集是{x|0≤x≤3}；（2）x∈R时，f（x）+g（x）=|2x﹣3|+|2x﹣a|+a≥5，故2|x﹣|+2|x﹣|+a≥5，故|﹣|+≥，故|a﹣3|+a≥5①，a≤3时，3﹣a+a≥5，无解，a＞3时，a﹣3+a≥5，解得：a≥4，故a的范围是[4，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。

吉林省延边朝鲜族自治州数学高三理数第一次高考适应性考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2017高三上·同心期中) 已知集合 ,则（）A .B .C .D .2. （1分）设为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A . 第四象限B . 第三象限C . 第二象限D . 第一象限3. （1分）对于平面直角坐标系内的任意两点A（x1,y1),B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x1-x2|+|y1-y2|．给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||;②在中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2；③在中，||AC||+||CB||>||AB||．其中真命题的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 34. （1分）已知，则的值为（）A .B .C .D .5. （1分） (2015高二下·淄博期中) 若∁ =∁（n∈N），且（2﹣x）n=a0+a1x+a2x2+…+anx n ，则a0﹣a1+a2﹣…+（﹣1）nan等于（）A . 81B . 27C . 243D . 7296. （1分）已知过点A（a，1）可以作两条直线与圆C：（x﹣1）2+y2=5相切，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1）B . （﹣1，3）C . [3，+∞）D . （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）7. （1分）(2017·太原模拟) 函数f（x）= 的图象大致为（）A .B .C .D .8. （1分） (2017高二下·天津期末) 已知随机变量ξ的分布如下：ξ1232a2P1﹣则实数a的值为（）A . ﹣或﹣B . 或C . ﹣或D . 或﹣9. （1分） (2016高二上·右玉期中) 三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA= ，则该三棱锥外接球的表面积为（）A . 5πB .C . 20πD . 4π10. （1分）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：1）∠B+∠DAC=90°；2）∠B=∠DAC；3）；4）AB2=BD•BC．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（）A . 3个B . 2个C . 1个D . 0个11. （1分）已知f（x）=x+1，g（x）=﹣2x，，则F（x）的最值是（）A . 有最大值为，无最小值B . 有最大值为- ，无最小值C . 有最小值为- ，无最大值D . 有最小值为，无最大值12. （1分）(2017·广州模拟) 已知双曲线C1：x2﹣y2=a2（a＞0）关于直线y=x﹣2对称的曲线为C2 ，若直线2x+3y=6与C2相切，则实数a的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·广东模拟) 已知实数满足，则的最大值是________．14. （1分） (2016高三上·泰兴期中) =________．15. （1分）(2017·南海模拟) 若函数没有零点，则实数a的取值范围是________．16. （1分） (2018高三上·河北月考) 已知函数下列四个命题：①f(f（1）)>f（3）；② x0∈(1,+∞),f'(x0)=-1/3；③f(x)的极大值点为x=1；④ x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≤1其中正确的有________（写出所有正确命题的序号）三、解答题 (共7题；共14分)17. （2分） (2017高一下·肇庆期末) 已知等差数列{an}满足a2=3，a3+a5=2（1）求{an}的通项公式；（2）求{an}的前n项和Sn及Sn的最大值．18. （2分） (2017高二下·新乡期末) 为了调查喜欢旅游是否与性别有关，调查人员就“是否喜欢旅游”这个问题，在火车站分别随机调研了50名女性和50名男性，根据调研结果得到如图所示的等高条形图（1）完成下列2×2列联表：喜欢旅游不喜欢旅游合计女性男性合计（2）能否在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢旅游与性别有关”附：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d）19. （2分） (2016高一上·舟山期末) 如图，M，N，K分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．（1）求证：AN∥平面A1MK；（2）求证：平面A1B1C⊥平面A1MK．20. （2分）(2017·江门模拟) 椭圆E：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2 ， D为椭圆短轴上的一个顶点，DF1的延长线与椭圆相交于G．△DGF2的周长为8，|DF1|=3|GF1|．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过椭圆E的左顶点A作椭圆E的两条互相垂直的弦AB、AC，试问直线BC是否恒过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．21. （2分） (2019高三上·西湖期中)（1）已知，证明：当时，；（2）当时，有最小值，记最小值为，求的值域.22. （2分）(2018·延边模拟) 已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .直线过点 .（1）若直线与曲线交于两点，求的值；（2）求曲线的内接矩形的周长的最大值.23. （2分） (2018高二下·黑龙江期中) 已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共14分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2017届吉林省延边州高三下学期高考仿真考试数学（文）试卷学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 集合，则（）A．B．C．D．2. 若是虚数单位，且，则的值为（）A．B．C．D．3. 已知向量，若，则实数（）A．或B．或D．C．4. 等差数列的前项和为，且，则公差（）A．B．C．D．5. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．B．C．D．收入（亿元）支出（亿元）根据表中数据可得回归直线方程为，依此估计如果2017年该公司收入为亿元时的支出为（）A．亿元B．亿元C．亿元D．亿元7. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．8. 若实数，满足，且，则的最大值为（）A．B．C．9 D．9. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．10. 设函数，若方程恰好有三个根，分别为，则的值为（）A．B．C．D．11. 已知三棱锥，满足，且，则该三棱锥外接球的表面积为（）C．D．A．B．12. 已知双曲线，点是抛物线上的一动点，且到双曲线的焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为，则双曲线的实轴长为（）A．B．C．D．二、填空题13. 已知函数，若，则__________．14. 设等比数列的前项和为，若，则__________．15. 我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余税金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的.5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为，按此规律通过第8关”，则第8关需收税金为__________ ．16. 点是圆上的动点，以点为直角顶点的另外两顶在圆上，且的中点为，则的最大值为__________．三、解答题17. 在中的内角的边分别为，且满足.（1）求的面积；（2）若,求的值.18. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面为上一点，且.（1）证明：；（2）若，求三棱锥的体积.19. 中新网2016年12月19日电根据预报，今天开始雾霾范围将进一步扩大，日夜间至日，雾霾严重时段部分地区浓度峰值会超过微克/立方米.而此轮雾霾最严重的时段，将有包括京津冀、山西、陕西、河南等个省市在内的地区被雾霾笼罩. 是指大气中直径小于或等于微米的顆粒物，也称为可人肺颗粒物. 日均值在微克/立方米以下空气质量为一级；在微克/立方米微克/立方米之间空气质量为二级；在微克/立方米以上空气质量为超标.某地区在2016年12月19日至28日每天的监测数据的茎叶图如下：（1）求出这些数据的中位数与极差；（2）从所给的空气质量不超标的天的数据中任意抽取天的数据，求这天中恰好有天空气质量为一级，另一天空气质量为二级的概率.20. 已知椭圆经过点,离心率为，点坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点任作一条不垂直于坐标轴的直线，交椭圆于两点，记弦的中点为，过作的垂线交直线于点，证明：点在一条定直线上.21. 已知函数.（1）当时，试求函数的单调区间；（2）若在区间内有极值，求的取值范围.22. 已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线，相交于两点.（1）求两点的极坐标；（2）曲线与直线为参数）分别相交于两点，求线段的长度.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）设函数.,,求的取值范围.。

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4 4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．85．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．357．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．168．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+29．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．1011．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．8【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．35【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B．【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+2【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．9．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．10【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题．　11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【考点】72：不等式比较大小．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=　2　．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为　﹣5　．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为　4cm3　．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】法一：由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h=，求出S△ABC=3，V==，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．法二：设正三角形的边长为x，则OG=，FG=SG=5﹣，SO=h===，由此能示出三棱锥的体积的最大值．【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG=，∴FG=SG=5﹣，SO=h===，∴三棱锥的体积V===，令b（x）=5x4﹣，则，令b'（x）=0，则4x3﹣=0，解得x=4，∴（cm3）．故答案为：4cm3．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB ⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3+3）=（9.334，10.606），进而需剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又t≠1，∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1。

延边州2010年高考复习质量检测理科数学第Ⅰ卷数学（理）试题头说明本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至3页，第II 卷4至6页，共150分。

其中第II 卷第22—24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2H 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题前，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：样本数据x 1, x 2, …, x n 的标准差 锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x n s n -++-+-=Sh V 31= 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高柱体积公式 球的表面积、体积公式Sh V = 24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设U=Z ，A={}9,7,5,3,1，B={}5,4,3,2,1，则图中阴影部 分表示的集合是A ．{}5,3,1B ．{}5,4,3,2,1C ．{}9,7D ．{}4,22．复数=-+-+-iii i 1111A ．０B ．2iC ．－2iD ．－4i 3．下列说法错误．．的是 A ．如果命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题; B ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”; C ．若命题p ：2,10x R x x ∃∈-+<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≥; D ．“1sin 2θ=”是“30θ=︒”的充分不必要条件. 4．函数(1)||xxa y a x =>的图象的大致形状是ABCD5．已知nxx )1(2+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为 A ．5 B ．10 C ．20 D ．406．已知圆1)1()1(22=-++y x 上一点P 到直线0343=--y x 距离为d, 则d 的最小值为A ．1B ．54 C ．52D ．2 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．32B ．323 C ．3 D ．3438．若下面的程序框图输出的S 是126，则①应为Ａ．?5≤n Ｂ．?6≤n Ｃ．?7≤n Ｄ．?8≤n3cm2 cm1 cm侧视图俯视图正视图第7题 第8题9．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案数为A ．540B ．300C ．180D ．150 10．等差数列{}na 的前n 项和为ns，5s =15，9s =18，在等比数列{}n b 中，b 3=a 3,b 5=a 5,则b 7的值为 A ．32 B ．34C ．2D ．3 11A ．4.99756.0ˆ+=x yB ．2.23163.0ˆ-=x yC ．4.50156.0ˆ+=x yD ．7.4004.60ˆ+=x y 12．定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ,)(x f '为)(x f 的导函数，已知)(x f y '=函数的图象如下图所示，若两正数b a ,满足，1)2(<+b a f则22++a b 的取值范围是 A ．( 21 , 3) B ．(-∞,21 )∪(3,+ ∞) C ．(31,21) D ．(-∞,-3) 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。

吉林省延边州2017届高三下学期高考仿真考试数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合{}{}|23,|1A x x B x x =-≤≤=<-，则()RA B =( ）A ．{}|1x x >-B ．{}|1x x ≥-C ．{}|21x x -≤≤-D ．{}|13x x -≤≤2.若,R,i a b ∈是虚数单位，且()322i 1i b a +-=-，则a b +的值为 （ ) A ．56 B ．76- C ．16-D ．163. 已知向量()()1,2,,3a m b m =-=-，若a b ⊥，则实数m =( ）A ．2或3-B ．2-或3C ．35D ．34。

等差数列{}na 的前n 项和为nS ，且52515,2S a a =-+=-，则公差d = ( ）A ．5B ．4 C. 3 D ．25。

某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ )A ．2B ．3-C 。

5D ．1-6. 某公司在2012—2016年的收入与支出情况如下表所示：收入x （亿元） 2.22.64.05.35.9支出y （亿元）0.21.52.02.53.8根据表中数据可得回归直线方程为0.8y x a =+,依此估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为 （ )A ．4.5亿元B ．4.4亿元 C. 4.3亿元D ．4.2亿元 7.已知函数()()21x f x x x e =+-，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为( )A ．32y ex e =-B ．34y ex e =-C 。

45y ex e =-D ．43y ex e =- 8。

若实数,x y 满足22026003x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤≤⎩，且3z x y =-,则z 的最大值为(）A ．32B ．32- C.9D ．3-9。

2016年吉林省延边州高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题卡上．1．若M⊆{a1，a2，a3，a4，a5}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}，则满足上述要求的集合M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．复数的共轭复数是（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i3．若向量=（3，4），且存在实数x，y，使得=x，则可以是（）A． =（0，0），=（﹣1，2）B． =（﹣1，3），=（2，﹣6）C． =（﹣1，2），=（3，﹣1）D． =（﹣，1），=（1，﹣2）4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为（）A．B．C．D．45．在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（）A．﹣32 B．0 C．32 D．16．若x，y满足约束条件则z=3x+2y 的取值范围（）A．[，5] B．[，5] C．[，4] D．[，4]7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是（）A ．2B ．3C ．9D ．278．在△ABC 中，若a 2﹣b 2=bc ，且=2，则角A=（ ）A ．B ．C ．D ．9．下列四种说法中，正确的个数有（ ）①命题“∀x ∈R ，均有x 2﹣3x ﹣2≥0”的否定是：“∃x 0∈R ，使得”；②∃m ∈R ，使是幂函数，且在（0，+∞）上是单调递增；③不过原点（0，0）的直线方程都可以表示成；④回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为=1.23x+0.08． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个10．如图所示，M ，N 是函数y=2sin （ωx+ϕ）（ω＞0）图象与x 轴的交点，点P 在M ，N 之间的图象上运动，当△MPN 面积最大时，PM⊥PN，则ω=（ ）A ．B ．C ．D ．811．已知抛物线y 2=4px （p ＞0）与双曲线有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a 的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数）A．（0，）B．[，] C．（0，）D．[，e]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．13．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是．14．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有种（用数字作答）．15．三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．16．给出下列命题：①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）=0.3；②f（x﹣1）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是；④已知a＞0，b＞0，函数y=2ae x+b的图象过点（0，1），则的最小值是．其中正确命题的序号是（把你认为正确的序号都填上）．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．数列{a n}是首项a1=4的等比数列，s n为其前n项和，且S3，S2，S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=log2|a n|，设T n为数列{}的前n项和，求证T n＜．18．2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．19．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，O是AE的中点，以AE为折痕向上折起，使D为D′，且D′B=D′C．（Ⅰ）求证：平面D′AE⊥平面ABCE；（Ⅱ）求CD′与平面ABD′所成角的正弦值．20．已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点F（1，0）为定点，且满足=，=0．（Ⅰ）求动点N的轨迹E的方程；（Ⅱ）过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点C，使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立，请说明理由．21．设函数f（x）=ax﹣sinx，x∈[0，π]．（1）当a=时，求f（x）的单调区间；（2）若不等式f（x）≤1﹣cosx恒成立，求实数a的取值范围．请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知ΘO1和ΘO2相交于A，B两点．过点A作ΘO1的切线交ΘO2于点C，过点B作两圆的割线，分别交ΘO1，ΘO2于点D，E，DE与AC相交于点P，（Ⅰ）求证：PE•AD=PD•CE；（Ⅱ）若AD是ΘO2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，设M是圆C上任一点，连结OM并延长到Q，使|OM|=|MQ|．（Ⅰ）求点Q轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与点Q轨迹相交于A，B两点，点P的直角坐标为（0，2），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．2016年吉林省延边州高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题卡上．1．若M⊆{a1，a2，a3，a4，a5}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}，则满足上述要求的集合M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】子集与交集、并集运算的转换．【分析】根据交集的关系判断出a1，a2是集合M中的元素，a3不是M的元素，再由子集的关系写出所有满足条件的M．【解答】解：∵M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}，∴a1，a2∈M且a3∉M，∵M⊆{a1，a2，a3，a4，a5}，∴M={a1，a2，a4，a5}或{a1，a2，a4}或{a1，a2，a5}或{a1，a2}，故选D．【点评】本题考查了交集的性质，以及子集的定义的应用，属于基础题．2．复数的共轭复数是（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求其共轭得答案．【解答】解：∵，∴，故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．若向量=（3，4），且存在实数x，y，使得=x，则可以是（）A． =（0，0），=（﹣1，2）B． =（﹣1，3），=（2，﹣6）C． =（﹣1，2），=（3，﹣1）D． =（﹣，1），=（1，﹣2）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】由平面向量基本定理便知，与不共线，这样根据共面向量基本定理容易判断A，B，D中的向量与共线，而根据共线向量的坐标关系可判断C中的不共线，从而便得出正确选项为C．【解答】解：根据平面向量基本定理知：不共线；A.，共线；B.，共线；C.，∴﹣1×（﹣1）﹣2×3=﹣5≠0，∴与不共线，即该选项正确；D.，∴共线．故选：C．【点评】考查共面向量基本定理，平面向量基本定理：，其中要求不共线，以及共线向量的坐标关系．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为（）A． B．C． D．4【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】三棱柱的侧视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．【解答】解：由题意知三棱柱的侧视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是2×=，∴侧视图的面积是2．故选A．【点评】本题考查简单的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观察三视图的大小，本题是一个易错题，易错点在侧视图的宽，错成底边的边长．5．在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（）A．﹣32 B．0 C．32 D．1【考点】二项式系数的性质．【专题】转化思想；定义法；二项式定理．【分析】由二项式系数的性质求出n的值，再令x=1求出展开式中各项系数的和．【解答】解：二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，∴2n=32，解得n=5；令x=1，可得展开式中各项系数的和为（3×12﹣）5=32．故选：C．【点评】本题考查了二项式系数和与展开式中各项系数的和的计算问题，是基础题．6．若x，y满足约束条件则z=3x+2y 的取值范围（）A．[，5] B．[，5] C．[，4] D．[，4]【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】由题意作出其平面区域，令z=3x+2y，从而可化得y=﹣x+，再解出C，D两点的坐标，由的几何意义及图象求解即可．【解答】解：由题意作出其平面区域，令z=3x+2y，则y=﹣x+；由解得，x=y=；故C（，）；由解得，x=y=1；故D（1，1）；结合图象及的几何意义知，3×+2×≤3x+2y≤3×1+2×1；即≤3x+2y≤5；故选A．【点评】本题考查了线性规划的应用及学生的作图用图能力，属于中档题．7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是（）A．2 B．3 C．9 D．27【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值，当Q=0时，满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为3．【解答】解：模拟执行程序，可得P=153，Q=63不满足条件Q=0，R=27，P=63，Q=27不满足条件Q=0，R=9，P=27，Q=9不满足条件Q=0，R=0，P=9，Q=0满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为9．故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8．在△ABC中，若a2﹣b2=bc，且=2，则角A=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由已知及正弦定理可得c=2b，结合a2﹣b2=bc，可得a2=7b2，由余弦定理可求cosA=，结合范围A∈（0，π），即可求得A的值．【解答】解：∵在△ABC中， ==2，由正弦定理可得： =2，即：c=2b，∵a2﹣b2=bc，∴a2﹣b2=b×2，解得：a2=7b2，∴由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．9．下列四种说法中，正确的个数有（）①命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x0∈R，使得”；②∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上是单调递增；③不过原点（0，0）的直线方程都可以表示成；④回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为=1.23x+0.08．A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】特称命题；全称命题．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；概率与统计；简易逻辑．【分析】根据命题的否定判断①，根据幂函数的定义判断②，根据直线方程判断③，根据线性回归方程判断④．【解答】解：①命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x0∈R，使得﹣3x0﹣2＜0，故①错误；②∃m=1，使是幂函数，且在（0，+∞）上是单调递增，故②正确；③不过原点（0，0）的直线方程不都可以表示成，比如a=0或b=0时，故③错误；④回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为=1.23x+0.08，故④正确；故选：B．【点评】本题考查了命题的否定，幂函数的定义，直线方程以及线性回归方程问题，是一道基础题．10．如图所示，M，N是函数y=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0）图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，当△MPN面积最大时，PM⊥PN，则ω=（）A．B．C．D．8【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】由图形可以看出当P位于M、N之间函数y=2sin（wx+φ）（ω＞0）图象的最高点时，△MPN面积最大，再根据此时=0得到△MPN为等腰直角三角形，由三角函数的最大值求出周期，然后利用周期公式求解ω的值．【解答】解：由图象可知，当P位于M、N之间函数y=2sin（wx+φ）（ω＞0）图象的最高点时，△MPN面积最大．又此时=0，∴△MPN为等腰直角三角形，过P作PQ⊥x轴于Q，∴|PQ|=2，则|MN|=2|PQ|=4，∴周期T=2|MN|=8．∴ω==．故选：A．【点评】本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系，考查了y=Asin（ωx+φ）的图象，训练了三角函数周期公式的应用，属于中档题．11．已知抛物线y2=4px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设双曲线的左焦点为F'，连接AF'，由抛物线方程求得A（p，2p），结合双曲线的焦距，得到△AFF'是以AF'为斜边的等腰直角三角形．再根据双曲线定义，得实轴2a=2p（），而焦距2c=2p，由离心率公式可算出该双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线的左焦点为F'，连接AF'∵F是抛物线y2=4px的焦点，且AF⊥x轴，∴设A（p，y0），得y02=4p×p，得y0=2p，A（p，2p），因此，Rt△AFF'中，|AF|=|FF'|=2p，得|AF'|=2p∴双曲线的焦距2c=|FF'|=2p，实轴2a=|AF'|﹣|AF|=2p（）由此可得离心率为：e====故选：B【点评】本题给出双曲线与抛物线有共同的焦点，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线、抛物线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．12．已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）A．（0，）B．[，] C．（0，）D．[，e]【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a 表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）．故选：B．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．13．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是．【考点】定积分；几何概型．【专题】计算题．【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，利用几何概型解决，只须利用定积分求出叶形图的面积，最后利用它们的面积比求得即可概率．【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积为S==，所以p=．故答案为：．【点评】本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．14．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有60 种（用数字作答）．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；概率与统计．【分析】9个数中，有5个奇数4个偶数，同时取4个不同的数，其和为奇数，包括1奇3偶和3奇1偶两类，然后利用分布乘法原理分别求每一类中的方法种数，最后作和．【解答】解：9个数中，有5个奇数4个偶数同时取4个不同的数，和为奇数分下面几种情况1个奇数3个偶数，共有=20种取法；3个奇数1个偶数，共有=40种取法．∴不同的取法共有60种．故答案为60．【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，解答的关键是正确分类，是中档题．15．三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；数形结合法；空间位置关系与距离；球．【分析】证明PA⊥PC，PB⊥PC，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，∴△PAB≌△PAC≌△PBC．∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PB⊥PC．以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图：则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2=4π×=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．16．给出下列命题：①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）=0.3；②f（x﹣1）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是；④已知a＞0，b＞0，函数y=2ae x+b的图象过点（0，1），则的最小值是．其中正确命题的序号是①②（把你认为正确的序号都填上）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】①根据正态分布的性质进行判断，②根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断，③根据直线垂直的等价条件进行判断，④根据基本不等式的性质进行判断即可．【解答】解：①若ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）===0.3，故①正确，②f（x﹣1）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则f（x）关于x=﹣1对称，且在（﹣1，+∞）上单调递增，＞1，log2=﹣3，（）2∈（0，1），则f（log2）=f（﹣3）=f（1），则f（）＞f（1）＞f（（）2），即f（）＞f（log2）＞f（（）2），故②正确，③当b=0，a=0时，两直线分别为l1：3y﹣1=0，l2：x+1=0，满足l1⊥l2，故l1⊥l2的充要条件是错误，故③错误，④已知a＞0，b＞0，函数y=2ae x+b的图象过点（0，1），则2a+b=1，则=（）（2a+b）=2+1++≥3+2=3+2，即则的最小值是3+2．故④错误，故答案为：①②．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．数列{a n}是首项a1=4的等比数列，s n为其前n项和，且S3，S2，S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=log2|a n|，设T n为数列{}的前n项和，求证T n＜．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式；等差数列的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，先看当q=1时，S3，S2，S4不成等差数列，不符合题意，判断出q≠1，进而根据等比数列求和公式表示出S3，S2，S4，根据等差中项的性质建立等式，求得q，则数列{a n}的通项公式可得．（Ⅱ）把（1）中的a n代入b n=，进而利用裂项法求得前n项的和，根据．原式得证．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q．当q=1时，S3=12，S2=8，S4=16，不成等差数列∴q≠1，2S 2=S 3+S 4， ∴，即q 4+q 3﹣2q 2=0．∵q≠0，q≠1，∴q=﹣2， ∴a n =4（﹣2）n ﹣1=（﹣2）n+1（Ⅱ）b n =log 2|a n |=log 2|（﹣2）n+1|=n+1， ∴∴，∴．【点评】本题主要考查了数列的求和．应熟练掌握常用的数列求和的方法，如公式法，错位相减法，裂项法等．18．2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b ，c ，a+b ，c+d ，a+c ，b+d ，a+b+c+d 的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：，．【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图． 【专题】计算题；规律型；转化思想；概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，即可估计小区平均每户居民的平均损失；（Ⅱ）由频率分布直方图可得，损失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6户，损失为6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，损失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，即可求这两户在同一分组的概率； （Ⅲ）求出K 2，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为元，则： =（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360… （Ⅱ）由频率分布直方图可得，损失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6户，损失为6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户， 损失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户， 因此，这两户在同一分组的概率为P==…（Ⅲ）如图：K 2=≈4.046＞3.841，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．… 【点评】本题考查频率分布直方图，独立性检验知识，考查古典概型，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．19．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=2，E 是CD 的中点，O 是AE 的中点，以AE 为折痕向上折起，使D 为D′，且D′B=D′C．（Ⅰ）求证：平面D′AE⊥平面ABCE ； （Ⅱ）求CD′与平面ABD′所成角的正弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角． 【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离．【分析】（I ）取BC 中点F ，连结OF ，D′O，D′F，则BC⊥平面D′OF，于是BC⊥OD′，又OD′⊥AE，于是OD′⊥平面ABCE ，故而平面D′AE⊥平面ABCE ；（II ）以O 为原点建立平面直角坐标系，求出平面ABD′的法向量，则CD′与平面ABD′所成角的正弦值等于|cos ＜，＞|．【解答】解：（I ）取BC 中点F ，连结OF ，D′O，D′F，则BC⊥OF， ∵D′B=D′C，∴BC⊥D′F，又∵OF ⊂平面D′OF，D′F ⊂平面D′OF，OF∩D′F=F， ∴BC⊥平面D′OF，∵D′O ⊂平面D′OF， ∴BC⊥D′O，∵DA=DE，即D′A=D′E，∴D′O⊥AE，又∵AE ⊂平面ABCE ，BC ⊂平面ABCE ，AE 与BC 相交，∴D′O⊥平面ABCE，∵D′O⊂平面D′AE，∴平面D′AE⊥平面ABCE．（II）以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则A（1，﹣1，0），B（1，3，0），C（﹣1，3，0）．D′（0，0，）．∴=（1，﹣1，﹣），=（1，3，﹣）. =（﹣1，3，﹣）．设平面ABD′的法向量为=（x，y，z），则，．∴，令z=，得x=2，y=0，∴=（2，0，）．||=，||=2.=﹣4．∴cos＜，＞==﹣．∴CD′与平面ABD′所成角的正弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面角的求解方法，属于中档题．20．已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点F（1，0）为定点，且满足=，=0．（Ⅰ）求动点N的轨迹E的方程；（Ⅱ）过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点C，使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设出N点的坐标，由已知条件可知P为MN的中点，由题意设出P和M的坐标，求出和的坐标，代入•可求动点N的轨迹E的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系写出A，B两点的纵坐标的和与积，假设存在点C（m，0）满足条件，则，由|CA|2+|CB|2=|AB|2成立得到，代入坐标后得到关于m的一元二次方程，分析知方程有解，从而得到答案．【解答】解：（Ⅰ）设N（x，y），则由，得P为MN的中点．∴，M（﹣x，0）．∴，．∴，即y2=4x．∴动点N的轨迹E的方程y2=4x．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣1），由，消去x得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1y2=﹣4．假设存在点C（m，0）满足条件，则，，∴===．∵，∴关于m的方程有解．∴假设成立，即在x轴上存在点C，使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立．【点评】本题考查了轨迹方程的求法，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的关系问题是考查的中点，常和弦长问题、存在性问题结合考查，解答时往往采用“设而不求”的解题方法，借助于一元二次方程的根与系数关系解题，该种类型的问题计算量较大，要求学生有较强的运算能力，是难题．21．设函数f（x）=ax﹣sinx，x∈[0，π]．（1）当a=时，求f（x）的单调区间；（2）若不等式f（x）≤1﹣cosx恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；作图题；数形结合；导数的综合应用．【分析】（1）当a=时，f（x）=x﹣sinx，x∈[0，π]，从而求导f′（x）=﹣cosx，从而判断函数的单调性；（2）化简可得ax﹣sinx≤1﹣cosx，作函数y=ax﹣1与函数y=sinx﹣cosx的图象，结合图象求解即可．【解答】解：（1）当a=时，f（x）=x﹣sinx，x∈[0，π]，f′（x）=﹣cosx，故x∈[0，）时，f′（x）＜0，x∈（，π]时，f′（x）＞0；故f（x）在[0，）上是减函数，在[，π]上是增函数；（2）由题意得，ax﹣sinx≤1﹣cosx，故ax﹣1≤sinx﹣cosx，作函数y=ax﹣1与函数y=sinx﹣cosx的图象如图，结合图象可得，a≤=；故实数a的取值范围为（﹣∞，]．【点评】本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，属于中档题．请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知ΘO1和ΘO2相交于A，B两点．过点A作ΘO1的切线交ΘO2于点C，过点B作两圆的割线，分别交ΘO1，ΘO2于点D，E，DE与AC相交于点P，（Ⅰ）求证：PE•AD=PD•CE；（Ⅱ）若AD是ΘO2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）连接AB，根据弦切角定理和圆周角定理的推论得到∠CAB=∠D，∠CAB=∠E，则∠F=∠D，根据内错角相等，得到AD∥CE，即可证明PE•AD=PD•CE；（Ⅱ）利用△PCE∽△PAD，结合相交弦定理，切割线定理，即可求AD的长．【解答】（1）证明：连接AB，∵CA切⊙O1于A，∴∠CAB=∠D，∵∠CAB=∠E，∴∠E=∠D．∴AD∥CE，∴△PCE∽△PAD．∴．∴PE•AD=PD•CE；（Ⅱ）解：设BP=x，PE=y，∵PA=6，PC=2，∴xy=12①∵△PCE∽△PAD，∴，∴②由①②可得或（舍去），∴DE=9+x+y=16，∵AD是ΘO2的切线，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12．【点评】本题考查三角形相似的证明，考查相交弦定理，切割线定理，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，设M是圆C上任一点，连结OM并延长到Q，使|OM|=|MQ|．（Ⅰ）求点Q轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与点Q轨迹相交于A，B两点，点P的直角坐标为（0，2），求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，把代入即可得直角坐标方程：x2+y2=4x，设Q（x，y），则，代入圆的方程即可得出．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入点Q的方程可得，利用根与系数的关系及其|PA|+|PB|=|t1+t2|即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=4x，配方为（x﹣2）2+y2=4，设Q（x，y），则，代入圆的方程可得，化为（x﹣4）2+y2=16．即为点Q的直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入（x﹣4）2+y2=16．得令A，B对应参数分别为t1，t2，则，t1t2＞0．∴．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程、弦长公式，考查了计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．。

2017年吉林省延边州高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{a，4}，B＝{2，a2}，且A∩B＝{4}，则A∪B＝（）A．{2，4}B．{﹣2，4}C．{﹣2，2，4}D．{﹣4，2，4} 2．（5分）若复数x满足（3+4i）x＝|4+3i|，则x的虚部为（）A．B．﹣4C．﹣D．43．（5分）下列说法中正确的是（）A．命题“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题B．命题“∀x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是“∃x°∈（0，+∞），2x°≤1”C．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是“若a2＜b2，则a＜b”D．设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的必要而不充分条件4．（5分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β，⇒m∥nC．m∥n，n⊥α⇒m⊥αD．m⊥α，m⊥n⇒n∥α5．（5分）执行如图的算法程序框图，输出的结果是（）A．211﹣2B．211﹣1C．210﹣2D．210﹣1 6．（5分）在△ABC中，|+|＝|﹣|，AB＝4，AC＝2，E，F为线段BC的三等分点，则•＝（）A．B．4C．D．7．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为（）A．2B．1C．D．48．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则等于（）A．3B．9C．27D．819．（5分）如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨10．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2＝8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，3）B．（﹣1，1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）∪（1，3）11．（5分）设F1、F2是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满足（+）•＝0（O为坐标原点），且3||＝4||，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．512．（5分）已知定义在R上的函数满足：f（x）＝，且f （x+2）＝f（x），g（x）＝，则方程f（x）＝g（x）在区间[﹣7，3]上的所有实数根之和为（）A．﹣9B．﹣10C．﹣11D．﹣12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）已知＝dx，那么（x2﹣）n的展开式中的常数项为．14．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y＝a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．15．（5分）已知等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，其前n项和为S n，若直线y＝a1x+m与圆x2+（y﹣1）2＝1的两个交点关于直线x+y﹣d＝0对称，则数列（）的前100项的和为．16．（5分）关于函数f（x）＝cos x sin2x，下列说法中正确的是①y＝f（x）的图象关于（π，0）中心对称；②y＝f（x）的图象关于直线对称③y＝f（x）的最大值是；④f（x）即是奇函数，又是周期函数．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知函数f（x）＝sin2wx﹣sin2（wx ﹣）（x∈R，w 为常数且＜w ＜1），函数f（x）的图象关于直线x＝π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，f（A）＝．求△ABC面积的最大值．18．（12分）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，已知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2．（1）确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图；（2）为进一步了解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随积选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1的中点，E为BC的中点．（1）求证：直线AE∥平面BDC1；（2）若三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，AB＝2，AA1＝4，求平面BDC1与平面ABC所成二面角的正弦值．20．（12分）已知三角形ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|+|AC|＝4．（Ⅰ）求动点A的轨迹M的方程；（Ⅱ）P为轨迹M上动点，△PBC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，当P 在M上运动时，求的最小值．21．（12分）已知f（x）＝x2﹣ax，g（x）＝lnx，h（x）＝f（x）+g（x）．（1）若h（x）的单调减区间是（，1），求实数a的值；（2）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）设h（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，）．若h（x1）﹣h（x2）＞m 恒成立，求m的最大值．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的方程为x+y+3＝0，以直角坐标系中x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆M的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（Ⅰ）写出圆M的直角坐标方程及过点P（2，0）且平行于l的直线l1的参数方程；（Ⅱ）设l1与圆M的两个交点为A，B，求+的值．选修4-5：不等式选讲23．设f（x）＝|x﹣a|，a∈R（Ⅰ）当a＝5，解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）当a＝1时，若∃x∈R，使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立，求实数m的取值范围．2017年吉林省延边州高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

吉林省延边州2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数z=（1+2i）i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为( ) A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（2， 1）D．（﹣2，﹣1）2．已知集合A={x|2x﹣1≥4}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩（∁R B）等于( )A．{x|x≥3}B．{x|x＞3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|x≥3或x≤﹣1} 3．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则其渐近线的方程为( )A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x4．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=4，则公差d等于( )A．1 B．C．2 D．35．为了了解某学校1500名高中男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况．根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在70～78kg的人数为( )A．240 B．210 C．180 D．606．已知两个单位向量，的夹角为60°，=（1﹣t）+t，若•=﹣，则实数t的取值是( )A．2 B．﹣2 C．D．﹣7．执行如图所示程序框图所表达的算法，若输出的x值为48，则输入的x值为( )A．3 B．6 C．8 D．128．函数y=的图象可能是( )A．B．C．D．9．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是( )A．2B．2C．2D．410．已知函数，将函数f （x）的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，且，则φ=( ) A．B．C．D．11．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为( )A．B．C．1 D．12．已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g（x）=|2x ﹣1|的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的最小值为( ) A．1 B．log23 C．log26 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.13．在（x﹣）6的二项式展开式中，常数项等于__________．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值__________．15．正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点D 是线段BC的中点，过D作球O的截面，则截面面积的最小值为__________．16．设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，n=1，2，3…，若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，b n+1=，c n+1=，则∠A n的最大值是__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A，B，C（C为钝角）所对的边分别为a，b，c，且cos（A+B﹣C）=，a=2，=2．（1）求cosC的值；（2）求b的长．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=CA=2，点E是PC的中点．（1）求证：侧面PAC⊥平面PBC；（2）若异面直线AE与PB所成的角为θ，且，求二面角C﹣AB﹣E的大小．19．某单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个独立业务部门．对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5．该地区汽车限行规定如下：车尾号0和5 1和6 2和7 3和8 4和9限行日星期一星期二星期三星期四星期五现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车相互独立．（Ⅰ）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（Ⅱ）设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E（X）．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q（1，0）的直线l与椭圆C相较于A，B两点，且点P（4，3），记直线PA，PB 的斜率分别为k1，k2，当k1•k2取最大值时，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若对任意的x0∈（0，e]，在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g （x0）成立，求a的取值范围．四、选做题：请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．（l）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求⊙O的半径r的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标平面内，直线l过点P（1，1），且倾斜角α=以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若对任意a、b、c∈R（a≠c），都有f（x）≤恒成立，求x的取值范围；（2）解不等式f（x）≤3x．吉林省延边州2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数z=（1+2i）i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为( ) A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（2，1）D．（﹣2，﹣1）考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘法化简，求出在复平面内对应点的坐标得答案．解答：解：∵z=（1+2i）i=﹣2+i，∴，复数在复平面内对应的点的坐标为（﹣2，﹣1）．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知集合A={x|2x﹣1≥4}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩（∁R B）等于( ) A．{x|x≥3}B．{x|x＞3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|x≥3或x≤﹣1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．解答：解：由A中不等式变形得：2x﹣1≥4=22，即x﹣1≥2，解得：x≥3，即A={x|x≥3}，由B中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即B={x|﹣1＜x＜3}，∴∁R B={x|x≤﹣1或x≥3}，则A∩（∁R B）={x|x≥3}，故选：A．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则其渐近线的方程为( ) A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用双曲线的离心率的公式e==2，再由双曲线的a，b，c的关系，可得b==a，再由焦点在x轴上的渐近线方程，即可得到所求方程．解答：解：由e==2，即有c=2a，b==a，由双曲线的渐近线方程y=±x，可得渐近线方程为y=±x．故选C．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率公式的运用和渐近线方程的求法，属于基础题．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=4，则公差d等于( ) A．1 B．C．2 D．3考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．解答：解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，故选C．点评：本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．5．为了了解某学校1500名高中男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况．根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在70～78kg的人数为( )A．240 B．210 C．180 D．60考点：频率分布直方图．专题：图表型．分析：利用样本的频率分布直方图的纵坐标乘以组距求出样本的频率；利用样本的频率代替总体的频率；再利用频数等于频率乘以总体的容量求出该校1500名高中男生中体重在70～78kg的人数．解答：解：由频率分布直方图得到体重在70～78kg的男生的频率为（0.02+0.01）×4=0.12∴该校1500名高中男生中体重在70～78kg的人数大约为0.12×1500=180．故选C．点评：本题考查频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距、考查利用样本的频率近似代替总体的频率、考查频数等于频率乘以容量．6．已知两个单位向量，的夹角为60°，=（1﹣t）+t，若•=﹣，则实数t的取值是( )A．2 B．﹣2 C．D．﹣考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的定义可得•=，再由向量的平方即为模的平方，解方程即可得到t．解答：解：两个单位向量，的夹角为60°，则有•=1×1×cos60°=，由=（1﹣t）+t，且•=﹣，即有（1﹣t）•+t=﹣，即（1﹣t）+t=﹣，解得t=﹣2．故选：B．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．7．执行如图所示程序框图所表达的算法，若输出的x值为48，则输入的x值为( )A．3 B．6 C．8 D．12考点：循环结构．专题：图表型．分析：第一次进入循环时，x←2×x，n=1+1=2，满足n≤3，执行循环体，依此类推，最后一次：x←2×x=48，n=1+3=4，不满足n≤3，退出循环体，利用得到最后一次中x的值将以上过程反推，从而得出输入的x值．解答：解：模拟程序的执行情况如下：x←2x，n=1+1=2，满足n≤3，执行循环体；x=2×（2x）=4x，n=2+1=3，满足n≤3，执行循环体；x=2×（4x）=8x，n=3+1=4，不满足n≤3，退出循环体，由8x=48即可得x=6．则输入的x值为：6．故选B．点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用列举法对数据进行管理．8．函数y=的图象可能是( )A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：当x＞0时，，当x＜0时，，作出函数图象为B．解答：解：函数y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．当x＞0时，，当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数的图象关于原点对称．故选B点评：本题考查了函数奇偶性的概念、判断及性质，考查了分段函数的图象及图象变换的能力．9．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是( )A．2B．2C．2D．4考点：棱锥的结构特征；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：本题只要画出原几何体，理清位置及数量关系，由勾股定理可得答案．解答：解：由三视图可知原几何体为三棱锥，其中底面△ABC为俯视图中的钝角三角形，∠BCA为钝角，其中BC=2，BC边上的高为2，PC⊥底面ABC，且PC=2，由以上条件可知，∠PCA为直角，最长的棱为PA或AB，在直角三角形PAC中，由勾股定理得，PA===2，又在钝角三角形ABC中，AB==．故选C．点评：本题为几何体的还原，与垂直关系的确定，属基础题．10．已知函数，将函数f （x）的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，且，则φ=( )A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先将三角函数整理为cos（2x﹣φ），再将函数平移得到g（x）=cos（2x+﹣φ），由且，即可得到φ的值．解答：解：∵f（x）=sin 2xsinφ+cosφ（cos2x﹣）=sin 2xsinφ+cosφcos 2x=cos（2x﹣φ），∴g（x）=cos（2x+﹣φ），∵g（）=，∴2×+﹣φ=2kπ（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），∵0＜φ＜π，∴φ=．故答案为：D点评：本题考查的知识点是三角恒等变换及函数图象的平移变换，其中熟练掌握图象的平移变换法则“左加右减，上加下减”，是解答本题的关键．11．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为( )A．B．C．1 D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，再根据基本不等式，求得|AB|2的取值范围，代入化简即可得到答案．解答：解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，因为ab≤，则（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣=（a+b）2，即|AB|2≥（a+b）2，所以≥=3，则，即所求的最小值是，故选：D．点评：本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题．12．已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g（x）=|2x ﹣1|的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的最小值为( ) A．1 B．log23 C．log26 D．3考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：先表示出和，和，再表示出，，从而表示出，求出其范围，从而求出（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的范围，进而求出（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的最小值．解答：解：∵x1＜x2，∴，，又∵x3＜x4，∴，，∴，；∴；又，∴；∴x4﹣x3+x2﹣x1∈[log23，+∞），故选：B．点评：本题考察了函数的零点，方程的根的关系，求函数的值域问题以及指数函数的运算，是一道综合题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.13．在（x﹣）6的二项式展开式中，常数项等于﹣160．考点：二项式定理．专题：二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．解答：解：（x﹣）6的二项式展开式的通项公式为T r+1=•（﹣2）r•x6﹣2r，令6﹣2r=0，求得r=3，可得常数项为•（﹣2）3=﹣160，故答案为：﹣160．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值﹣8．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：作出变量x，y满足约束条件所对应的平面区域，采用直线平移的方法，将直线l：平移使它经过区域上顶点A（﹣2，2）时，目标函数达到最小值﹣8解答：解：变量x，y满足约束条件所对应的平面区域为△ABC如图，化目标函数z=x﹣3y 为将直线l：平移，因为直线l在y轴上的截距为﹣，所以直线l越向上移，直线l在y轴上的截距越大，目标函数z的值就越小，故当直线经过区域上顶点A时，将x=﹣2代入，直线x+2y=2，得y=2，得A（﹣2，2）将A（﹣2，2）代入目标函数，得达到最小值z min=﹣2﹣3×2=﹣8故答案为：﹣8点评：本题考查了用直线平移法解决简单的线性规划问题，看准直线在y轴上的截距的与目标函数z符号的异同是解决问题的关键．15．正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点D 是线段BC的中点，过D作球O的截面，则截面面积的最小值为．考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OD=．而经过点D的球O的截面，当截面与OD垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．解答：解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，结合O1C⊂平面ABC，可得O1O⊥O1C，∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，∴Rt△O1OC中，O1C==．又∵D为BC的中点，∴Rt△O1DC中，O1D=O1C=．∴Rt△OO1D中，OD==．∵过D作球O的截面，当截面与OD垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OD垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r===，可得截面面积为S=πr2=．故答案为：点评：本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．16．设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，n=1，2，3…，若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，b n+1=，c n+1=，则∠A n的最大值是．考点：基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理的应用．专题：解三角形；不等式的解法及应用．分析：根据数列的递推关系得到b n+c n=2a1为常数，然后利用余弦定理以及基本不等式即可得到结论．解答：解：∵a n+1=a n，∴a n=a1，∵b n+1=，c n+1=，∴b n+1+c n+1=a n+=a1+，∴b n+1+c n+1﹣2a1=（b n+c n﹣2a1），又b1+c1=2a1，∴当n=1时，b2+c2﹣2a1=（b1+c1+﹣2a1）=0，当n=2时，b3+c3﹣2a1=（b2+c2+﹣2a1）=0，…∴b n+c n﹣2a1=0，即b n+c n=2a1为常数，则由基本不等式可得b n+c n=2a1≥2，∴b n c n，由余弦定理可得=（b n+c n）2﹣2b n c n﹣2b n c n cosA n，即（a1）2=（2a1）2﹣2b n c n（1+cosA n），即2b n c n（1+cosA n）=3（a1）2≤2（a1）2（1+cosA n），即3≤2（1+cosA n），解得cosA n，∴0＜A n，即∠A n的最大值是，故答案为：点评：本题考查数列以及余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，难度较大．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A，B，C（C为钝角）所对的边分别为a，b，c，且cos（A+B﹣C）=，a=2，=2．（1）求cosC的值；（2）求b的长．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知第二个等式利用正弦定理化简，把a的值代入求出c的值，第一个等式中的角度变形后，利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，即可求出cosC的值；（2）利用余弦定理列出关系式，把a，c，cosC的值代入即可求出b的值．解答：解：（1）由正弦定理得：===2，即c=2a=4，∵cos（A+B﹣C）=cos（π﹣2C）=﹣cos2C=﹣2cos2C+1=，∴cosC=﹣；（2）由余弦定理得：cosC=，把a=2，c=4，cosC=﹣代入得：b=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及诱导公式，熟练掌握定理是解本题的关键．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=CA=2，点E是PC的中点．（1）求证：侧面PAC⊥平面PBC；（2）若异面直线AE与PB所成的角为θ，且，求二面角C﹣AB﹣E的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）利用线面垂直的性质可得PB⊥AC，利用线面垂直的判定即可得出AC⊥平面PBC，利用面面垂直的判定定理即可证明结论；（2）通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出BC的长度，进而利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．解答：（1）证明：∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AC；∵∠BCA=90°，∴AC⊥BC；又∵PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC；又∵AC⊂平面PAC，∴面PAC⊥面PBC（2）以C为原点，CA、CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，设BC=m＞0，则C（0，0，0），A（2，0，0），E（0，，1），B（0，m，0），P（0，m，2）．∴，，．由，得，由==，∴，解得m=．则，．设平面ABE的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，则y=，z=1，∴=（1，，1）．取平面ABC的一个法向量=（0，0，1），∴===．∴．∴二面角C﹣AB﹣E的大小为60°．点评：本题综合考查了通过建立空间直角坐标系求异面直线的夹角、二面角，线面、面面垂直的判定与性质定理，需要较强的推理能力、计算能力和空间想象能力．19．某单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个独立业务部门．对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5．该地区汽车限行规定如下：车尾号0和5 1和6 2和7 3和8 4和9限行日星期一星期二星期三星期四星期五现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车相互独立．（Ⅰ）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（Ⅱ）设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：综合题；概率与统计．分析：（Ⅰ）利用互斥事件的概率公式，可求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3，求出随机变量取每一个值的概率值，即可求X的分布列及其数学期望E（X）．解答：解：（Ⅰ）设A车在星期i出车的事件为A i，B车在星期i出车的事件为B i，i=1，2，3，4，5，则由已知可得P（A i）=0.6，P（B i）=0.5．设该单位在星期一恰好出车一台的事件为C，则P（C）=P（）=+=0.6×（1﹣0.5）+（1﹣0.6）×0.5=0.5，∴该单位在星期一恰好出车一台的概率为0.5；（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3，则P（X=0）==0.4×0.5×0.4=0.08，P（X=1）==0.5×0.4+0.4×0.5×0.6=0.32，P（X=2）==0.6×0.5×0.4+0.5×0.6=0.42，P（X=3）=P（A1B1）P（A2）=0.6×0.5×0.6=0.18，∴X的分布列为X 0 1 2 3P 0.08 0.32 0.42 0.18EX=1×0.32+2×0.42+3×0.18=1.7．点评：求随机变量的分布列与期望的关键是确定变量的取值，求出随机变量取每一个值的概率值．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q（1，0）的直线l与椭圆C相较于A，B两点，且点P（4，3），记直线PA，PB 的斜率分别为k1，k2，当k1•k2取最大值时，求直线l的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可得：b=c=，a=2，即可得出椭圆C的标准方程为=1．（2）当直线l的斜率为0时，利用向量计算公式可得k1k2=；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立可得（m2+2）y2+2my﹣3=0，利用斜率计算公式与根与系数的关系可得k1•k2==，令t=4m+1，只考虑t＞0时，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）由题意可得：b=c=，a=2，∴椭圆C的标准方程为=1．（2）当直线l的斜率为0时，k1k2==；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为（m2+2）y2+2my﹣3=0，，y1y2=，又x1=my1+1，x2=my2+1，∴k1•k2=====，令t=4m+1，只考虑t＞0时，∴k1•k2=+=≤1，当且仅当t=5时取等号．综上可得：直线l的方程为：x﹣y﹣1=0．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、直线斜率计算公式、基本不等式的性质，考查了换元法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若对任意的x0∈（0，e]，在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g （x0）成立，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，f′（x）=1﹣=．分别解出f′（x）＜0，f′（x）＞0，即可得出函数的单调区间．（2）g′（x）=（1﹣x）e1﹣x，分别解出g′（x）＞0，g′（x）＜0，即可得出函数g（x）的单调性极值与最值．因此函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．当a=2时，不适合题意；当a≠2时，f′（x）=，x∈（0，e]．由于在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，可得：函数f（x）在（0，e]上不单调，于是．解得①，此时，当x变化时，可得函数f（x）的单调性极值与最值．由于x→0时，f（x）→+∞，，f（e）=（2﹣a）（e﹣1）﹣2．由题意当且仅当满足：≤0②，f（e）≥1③．再利用导数研究其单调性极值与最值即可．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，f′（x）=1﹣=．由f′（x）＜0，解得0＜x＜2；由f′（x）＞0，解得2＜x．∴函数f（x）的单调递增区间为（2，+∞）；单调递减区间为（0，2）．（2）g′（x）=（1﹣x）e1﹣x，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；当1＜x时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减．∵g（0）=0，g（1）=1，1＞g（e）=e•e1﹣e=e2﹣e＞0，∴函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．当a=2时，不适合题意；当a≠2时，f′（x）=，x∈（0，e]．∵在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，∴函数f（x）在（0，e]上不单调，∴．∴①，此时，当x变化时，列表如下：xf′（x）﹣0 +f（x）单调递减极小值单调递增∵x→0时，f（x）→+∞，，f（e）=（2﹣a）（e﹣1）﹣2．由于对任意的x0∈（0，e]，在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，当且仅当满足：≤0②，f（e）≥1③．令h（a）=a﹣2，，h′（a）=．令h′（a）=0，解得a=0．当a∈（﹣∞，0）时，h′（a）＞0，函数h（a）为增函数；当a∈时，h′（a）＜0，函数h（a）为减函数．∴当a=0时，函数h（a）取得极大值即最大值，h（0）=0．即②式在恒成立．由③式解得a≤，④．由①④可得：当a∈时，对任意的x0∈（0，e]，在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法与恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．四、选做题：请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．（l）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求⊙O的半径r的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：（1）如图所示，连接OC．由AB∥DE，可得，由于OD=OE，可得OA=OB．由于AC=CB，可得OC⊥AB．即可得出直线AB是EO的切线．（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．由tan∠ACD=，可得tan∠F=．由于△ACD∽△AFC，可得，再利用切割线定理可得：AC2=AD•（AD+2r），即可得出．解答：（1）证明：如图所示，连接OC．∵AB∥DE，∴，∵OD=OE，∴OA=OB．∵AC=CB，∴OC⊥AB．∴直线AB是EO的切线．（2）解：延长AO交⊙O于点F，连接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．∵tan∠ACD=，∴tan∠F=．∵△ACD∽△AFC，∴，而AD=2，∴AC=4．由切割线定理可得：AC2=AD•（AD+2r），∴42=2×（2+2r），解得r=3．点评：本题考查了圆的切线的性质、切割线定理、相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标平面内，直线l过点P（1，1），且倾斜角α=以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由圆C的极坐标ρ=4sinθ根据x=ρcosθ、y=ρsinθ化为直角坐标方程．（Ⅱ）由题意可得直线的方程为，代入曲线方程化简求得t1和t2的值，可得|PA|•|PB|=|t1|•|t2|的值．解答：解：（Ⅰ）由圆C的极坐标ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程为 x2+（y﹣2）2=4，表示以（0，2）为圆心、半径等于2的圆．（Ⅱ）由直线l过点P（1，1），且倾斜角α=，可得直线的方程为．把直线方程代入曲线方程化简可得+﹣4（1+t），解得 t1=，t2=﹣，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=2．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线的参数方程，参数的几何意义，属于基础题．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若对任意a、b、c∈R（a≠c），都有f（x）≤恒成立，求x的取值范围；（2）解不等式f（x）≤3x．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）根据|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣c|，可得≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，由此求得x的范围．（2）不等式即|2x﹣1|≤3x，可得，由此求得不等式的解集．解答：解：（1）∵|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣b+（b﹣c）|=|a﹣c|，故有≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，∴﹣1≤2x﹣1≤1，求得0≤x≤1．（2）不等式f（x）≤3x，即|2x﹣1|≤3x，∴，求得x≥，即不等式的解集为{x|x≥}．点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．。