具反应扩散项变时滞细胞神经网络模型指数稳定性的新结果

带反应扩散项的神经网络模型动力学研究由于神经网络在诸多实际应用领域有着巨大潜力,很多学者都致力于神经网络的理论研究,并取得了许多很好的成果.本文主要涉及三类带反应扩散项的神经网络模型的动力学研究.其中包括:一类具有反应扩散项的时滞脉冲Cohen-Grossberg神经网络的指数稳定性;一类具有反应扩散项和离散时滞的非自治Cohen-Grossberg神经网络解的有界性和正不变集,及其全局指数稳定性;一类具有反应扩散项的脉冲模糊细胞神经网络的指数稳定性及其正不变集和吸引集.本文的主要内容可以概述如下:1.首先在第一节第一部分介绍了神经网络的产生,发展和意义.随后的第二部分介绍了各种类型的神经网络模型及其部分研究成果,主要是Cohen-Grossberg神经网络以及模糊细胞神经网络.第三部分介绍了带反应扩散项的神经网络模型的部分研究成果.最后给出了本文的组织结构.2.在第二节中,我们讨论了一类具有反应扩散项和无穷分布时滞的脉冲Cohen-Grossberg神经网络,在系统存在平衡点的假设下,利用不等式技巧和构造Lyapunov泛函方法,证明了其平衡点的唯一性,并给出了平衡点全局指数稳定的充分性条件.最后给出一个例子来显示所得结论的有效性.本节中,我们所研究模型的脉冲为一般形式,而不是线性形式脉冲.3.在第三节中,主要讨论一类具有反应扩散项的非自治Cohen-Grossberg神经网络.在这一部分中,我们首先利用M-矩阵和常数变易法讨论了系统解的有界性和正不变集,然后通过构造Lyapunov泛函,证明了系统的全局指数稳定性.最后给出两个例子来验证结果.4.在第四节中,主要针对一类具有反应扩散项的脉冲模糊细胞神经网络的动力学性质进行了分析讨论.在存在唯一平衡点的假设下,利用推广了的Halanay不等式,得到了平衡点全局指数稳定的充分性条件,以及该神经网络的全局吸引集和正不变集.最后给出一个例子来说明结果的有效性.【关键词相关文档搜索】：运筹学与控制论; 神经网络; 反应扩散; 时滞;脉冲; 全局指数稳定性【作者相关信息搜索】：新疆大学;运筹学与控制论;蒋海军;李晓波;。

第３７卷第３期２０２３年５月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３７N o ．３M a y ２０２３收稿日期:２０２２Ｇ０３Ｇ０６基金项目:福建省教育科学 十四五 规划课题(F J J K B K ２１Ｇ１００);泉州科技高层次人才创新创业项目(２０１８C ０９４R );福建省教育厅中青年教育科研项目(J A T ２１０６１６,J A T ２００９８０)作者简介:陈清婉(１９８６Ｇ),女,福建南安人,讲师,研究方向:非线性偏微分方程㊁生物数学．E Ｇm a i l :l w q８４８１５＠１６３．c o m．㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２３)０３Ｇ０００８Ｇ０６具有时滞和一般接触率的扩散病毒模型的稳定性陈清婉,柳文清(闽南科技学院通识教育学院,福建泉州３６２３００)摘要:研究了具有时滞和一般接触率的扩散病毒模型,研究了无病平衡点和感染平衡点的稳定性,结论表明:当基本再生数R ０ɤ１时,无病平衡点是全局渐近稳定的,此时病毒趋于灭绝．当基本再生数R ０＞１时,感染平衡点是全局渐近稳定的,病毒蔓延．最后,利用数值模拟验证所得结论．关键词:时滞;一般接触率;扩散;稳定性中图分类号:O １７５．１３㊀㊀㊀文献标志码:AS t a b i l i t y o fD i f f u s i v eV i r u sM o d e lw i t hT i m eD e l a y a n dG e n e r a l C o n t a c tR a t eC H E N Q i n g Ｇw a n ,L I U W e n Ｇq i n g(S c h o o l o fG e n e r a l E d u c a t i o n ,M i n n a nS c i e n c e a n dT e c h n o l o g y C o l l e g e ,Q u a n z h o u３６２３００,F u ji a n ,C h i n a )A b s t r a c t :T h e d i f f u s i o nv i r u sm o d e lw i t ht i m ed e l a y an d g e n e r a l c o n t a c t r a t e i ss t u d i e d ,a n d t h e s t a b i l i t y t h e d i s e a s e Ｇf r e e e q u i l i b r i u m p o i n t a n d i n f e c t i o n e q u i l i b r i u m p o i n t a r e s t u d i e d ．T h e r e s u l t s s h o wt h a t t h ed i s e a s e Ｇf r e ee q u i l i b r i u m p o i n t i s g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y st a b l ea n dt h e v i r u s t e n d s t o b e e x t i n c tw h e n t h e b a s i c r e p r o d u c t i v e n u m b e r R ０＜１,t h e i n f e c t i o n e qu i l i b r i u m i s g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e a n d t h e v i r u s s p r e a d sw h e n t h e b a s i c r e pr o d u c t i v e n u m b e r R ０＞１．F i n a l l y ,t h e r e s u l t s a r e v e r i f i e db y n u m e r i c a l s i m u l a t i o n ．K e y wo r d s :t i m e d e l a y ;g e n e r a l c o n t a c t r a t e ;d i f f u s i o n ;s t a b i l i t y 0㊀引言当今世界,越来越多的人受到艾滋病㊁禽流感㊁霍乱㊁埃博拉等疾病的困扰．为了探索这些疾病的机制,科学家提出了许多描述疾病传播的数学模型,如传染病模型(S I ㊁S I R ㊁S E I )[１Ｇ４]和宿主病毒模型(H B V ㊁H C V ㊁H I V )[５Ｇ９]．考虑到病毒进入宿主传播或者染病细胞分解成游离病毒时都有一定的延迟,从而得到具有时滞的病毒传播模型[１０Ｇ１３]．另一方面,考虑到细胞和病毒在宿主体内或空气中的自由扩散运动,可得到具有时空效应的反应扩散病毒模型[１４Ｇ１７]．基于以上考虑,本文建立具有扩散和时滞的病毒模型u t ＝d １Δu ＋１－u －f (u ,v ),㊀㊀(x ,t )ɪΩˑ(０,T );w t ＝d ２Δw ＋e －σ１τf (u τ,v τ)－ρ１w ,㊀㊀(x ,t )ɪΩˑ(０,T);v t ＝d ３Δv ＋ρ２e －σ２τw τ－ρ３v ,㊀㊀(x ,t )ɪΩˑ(０,T );∂u ∂n ＝∂w ∂n ＝∂v∂n ＝０,㊀㊀x ɪ∂Ωˑ(０,T );u (x ,s )＝φ１(x ,s ),w (x ,s )＝㊀㊀φ２(x ,s ),v (x ,s )＝φ３(x ,s ),㊀㊀(x ,s )ɪΩˑ(－τ,０)．ìîíïïïïïïïïïïïïïïïïïï(１)类似于文献[１８],对模型中的系数做了无量纲简化．其中u ,w ,v 分别表示未感染细胞密度㊁感染细胞密度和游离病毒密度．u τ＝u (x ,t －τ),v τ＝v (x ,t －τ),w τ＝w (x ,t －τ),其他参数均为正常数;初值φ１(x ,s ),φ２(x ,s ),φ３(x ,s )非负连续不恒为０;d i ＞０,i ＝１,２,３,表示扩散率;f (u ,v )表示病毒感染函数,可微并且满足如下条件:f (０,v )＝f (u ,０)＝０;㊀㊀f (u ,v )＞０,当u ,㊀㊀v ＞０;㊀㊀当v ȡ０,存在η＞０,u ,㊀㊀㊀使得f (u ,v )＜ηu ∂f ∂u ＞０,u ȡ０,v ＞０;㊀㊀∂f ∂v ȡ０,㊀㊀v ∂f ∂v ɤf (u ,v ),u ,v ȡ０．ìîíïïïïïïïïïïïïïïïï(２)容易验证当f (u ,v )分别为βu v １＋b v ,βu v １＋a u ＋b v,βu v １＋a u ＋b v ＋c u v (a ,b ,c ,β＞０)时均满足条件(２),文献[１５Ｇ１７]分别讨论了这三种形式只有病毒扩散的情形．本文在这些研究的基础上进一步讨论具有一般接触率的问题．定义基本再生数为R ０＝ρ２e －(σ１＋σ２)τρ１ρ３∂f (１,０)∂v ．仿照文献[１８],当R ０＜１时,模型(１)存在唯一的无病平衡点E ０＝(１,０,０);当R ０＞１时,模型(１)存在唯一的地方病平衡点E ∗＝(u ∗,w ∗,v ∗)．本文主要证明平衡点的局部稳定性和全局稳定性．局部稳定性通过特征值分析得到,全局稳定性通过构造L y a pn o v 函数加以证明．1㊀边界平衡点的稳定性引理１㊀当R ０＜１时,E ０＝(１,０,０)是局部渐近稳定的;当R ０＞１时,E ０＝(１,０,０)是不稳定的．证明㊀记Ω上的算子ＧΔ在齐次N e u m a n n 边界条件下的特征值序列为０＝μ０＜μ１＜ ,通过计算,不难得出模型(１)在平衡点E ０的特征值方程为(λ＋d １u i ＋１)[λ２＋(d ２u i ＋d ３u i ＋ρ３＋ρ１)λ＋(d ２u i ＋ρ１)(d ３u i ＋ρ３)－ρ２e －(σ１＋σ２)τe －２λτ∂f (１,０)∂v]＝０．上述方程有一负特征根,其余特征根由f １(λ)＝λ２＋(d ２u i ＋d ３u i ＋ρ３＋ρ１)λ＋(d ２u i ＋ρ１)(d ３u i ＋ρ３)－ρ２e －(σ１＋σ２)τe －２λτ∂f (１,０)∂v(３)决定．当R ０＞１且i ＝０时f １(０)|i ＝０＝ρ１ρ３－ρ２e －(σ１＋σ２)τ∂f (１,０)∂v＝ρ１ρ３(１－R ０)＜０,这说明特征值有一正根,故E ０不稳定．当R ０＜１,τ＝０时,f １(λ)＝λ２＋(d ２u i ＋d ３u i ＋ρ３＋ρ１)λ＋(d ２u i ＋ρ１)(d ３u i ＋ρ３)－ρ２∂f (１,０)∂v．由于(d ２u i ＋ρ１)(d ３u i ＋ρ３)－ρ２∂f (１,０)∂vȡρ１d ３u i ＋ρ１ρ３(１－R ０)＞０．此时,特征方程有两负根,则R ０＜１,τ＝０时,E ０局部渐近稳定．对于R ０＜１,τ＞０,假设i ω(ωɪR ,ω＞０)是(３)的根,代入计算分离实部虚部可得－w ２＋(d ２u i ＋ρ１)(d ３u i ＋ρ３)＝－∂f (１,０)∂vρ２e －(σ１＋σ２)τc o s w t ,(d ２u i ＋d ３u i ＋ρ３＋ρ１)w ＝－∂f (１,０)∂vρ２e －(σ１＋σ２)τs i n w t ．平方求和可得w ４＋[(d ２u i ＋d ３u i ＋ρ３＋ρ１)２－２(d ２u i ＋ρ１)(d ３u i ＋ρ３)]w ２＋(d ２u i ＋ρ１＋r )２(d ３u i ＋ρ３)２＋∂f (１,０)∂v ρ２e －(σ１＋σ２)τéëêêùûúú２．当R ０＜１时,w ４＋[(d ２u i ＋d ３u i ＋ρ３＋ρ１)２－９第３期陈清婉等:具有时滞和一般接触率的扩散病毒模型的稳定性２(d ２u i ＋ρ１)(d ３u i ＋ρ３)]w ２＋(d ２u i ＋ρ１)２(d ３u i ＋ρ３)２－∂f (１,０)∂v ρ２e －(σ１＋σ２)τéëêêùûúú２＞０,故由R o u t h ＧH u r w i t z 准则可知,E ０是局部渐近稳定,在此基础上进一步证明全局稳定性．定理１㊀当R ０ɤ１时,E ０＝(１,０,０)是全局渐近稳定的．证明㊀定义L y a pu n o v 函数为L (t )＝ʏΩw ＋ρ１e σ２t v ρ２＋L １(x ,t )æèçöø÷d x ,L １(x ,t )＝ρ１ʏt t －τw (x ,θ)d θ＋ʏt t －τf (u (x ,θ),v (x ,θ))d θ．L (t )对t 求导,利用格林公式可得∂L ∂t＝ʏΩ(d ２Δw ＋ρ１e σ２td ３Δv ρ２－ρ１ρ３e σ２t v ρ２＋e －σ１t f (u ,v ))d x ɤeσ２t ʏΩ－ρ１ρ３v ρ２＋e －(σ１＋σ２)t f (u ,v )æèçöø÷d x ．由于u t ɤ１－u ,所以有l i m t ң¥u (x ,t )ɤ１,由假设(２)可知∂f ∂uȡ０,从而有f (u ,v )ɤf (１,v ),f (u ,v )v æèçöø÷ᶄv u ＝１＝v f v (１,v )－fv ２＜０．因此ρ１ρ３v ρ２＋e －(σ１＋σ２)t f (u ,v )＝ρ１ρ３v ρ２ρ２ρ１ρ３e －(σ１＋σ２)t f (u ,v )v －１æèçöø÷ɤρ１ρ３v ρ２ρ２ρ１ρ３e －(σ１＋σ２)tf (１,v )v －１æèçöø÷ɤρ１ρ３v ρ２ρ２ρ１ρ３e －(σ１＋σ２)t l i m v ң０f (１,v )v －１æèçöø÷＝ρ１ρ３v ρ２(R ０－１)ɤ０．易知,当且仅当(u ,w ,v )＝(１,０,０)时,∂L∂t＝０．从而由L a s a u e 不变原理可得E ０是全局渐近稳定的．2㊀正平衡点的稳定性引理２㊀当R ０＞１时,E ∗是局部渐近稳定的．证明㊀记δ１＝∂f (E ∗)∂u ,δ２＝ρ２e －(σ１＋σ２)τρ１ρ３ ∂f (E ∗)∂v ．通过计算不难得出模型(１)在平衡点E ∗的特征值方程为f ２(λ)＝λ３＋p ２λ２＋p １λ＋p ０＋e －λτ(q１λ＋q ０)＝０．(４)这里p ２＝d １μi ＋１＋δ１＋d ２μi ＋ρ１＋d ３μi ＋ρ３;p １＝(d １μi ＋１＋δ１)(d ２μi ＋ρ１＋d ３μi ＋ρ３)＋(d ２μi ＋ρ１)(d ３μi ＋ρ３);p ０＝(d １μi ＋１＋δ１)(d ２μi ＋ρ１)(d ３μi ＋ρ３);q １＝－ρ１ρ３δ２;q ０＝q １(１＋d １μi )．当R ０＞１,τ＝０时,特征方程为λ３＋p ２λ２＋(p １＋q １)λ＋p ０＋q ０＝０,p １＋q １＞ρ１ρ３(１－δ２)＝ρ１ρ３１－v ∗f (u ∗,v ∗)∂f (E ∗)∂v æèçöø÷＞０．由条件(２)可知,v ∗f(u ∗,v ∗)∂f (E ∗)∂v ɤ１,则p １＋q １＞０．同理p ０＋q ０＞(１＋d １μi )ρ１ρ３(１－δ２)＞０．由R o u t h ＧH u r w i t z 准则可知,E ∗是局部渐近稳定．当R ０＞１,τ＞０时,假设i ω(ωɪR ,ω＞０)是(４)的根,代入计算,分离实部虚部可得z ３＋(p ２２－２p １)z ２＋(p １２－２p ０p ２－q１２)z ＋p ０２－q ０２＝０,z ＝ω２．计算可得p ２２－２p １＝(d １μi ＋１＋δ１)２＋(d ２μi ＋ρ１＋r )２＋(d ３μi ＋ρ３)２＞０,p １２－２p ０p ２－q１２＝(d １μi ＋１＋δ１)２(d ２μi ＋ρ１＋r )２＋０１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３７卷(d １μi ＋１＋δ１)２(d ３μi ＋ρ３)２＋(d ２μi ＋ρ１＋r )２(d ３μi ＋ρ３)２－q １２＞[(ρ１＋r )ρ３(１＋δ１)－(ρ１＋r )ρ３δ２] [(ρ１＋r )ρ３(１＋δ１)＋(ρ１＋r )ρ３δ２]＞０,p ０２－q ０２＝(p ０＋q ０)(p ０－q０)＞０．故由R o u t h ＧH u r w i t z 准则可知,E ∗是局部渐近稳定的,在此基础上进一步证明全局稳定性．定理２㊀当R ０＞１,且满足条件v v ∗－f (u ,v )f (u ∗,v ∗)æèçöø÷f (u ,v )f (u ∗,v ∗)－１æèçöø÷ȡ０(５)时,E ∗是全局渐近稳定的．证明㊀定义L y a pu n o v 函数为L (t )＝ʏΩ{e －(σ１＋σ２)τu －u ∗－ʏuu ∗f (u ∗,v ∗)f (ξ,v∗)d ξéëêêùûúú＋f (u ∗,v ∗)ʏt t －τg f (u (x ,ξ),v (x ,ξ))f (u ∗,v ∗)æèçöø÷d ξ＋ρ１w ∗e －σ２τʏtt －τg w (x ,ξ)w ∗æèçöø÷d ξ}d x ．函数g (y )＝y －１－l n y ,当且仅当y ＝１时,g (y )取最小,为０．容易验证L (t )ȡ０,求导可得∂L∂t＝ʏΩ{e －(σ１＋σ２)τ１－f (u ∗,v ∗)f(u ,v ∗)æèçöø÷(１－u －f (u ,v )＋d １Δu )＋ρ１ρ２１－v ∗v æèçöø÷(ρ２e －σ２τw τ－ρ３v ＋d ３Δv )＋e －σ２τ(１－w ∗w)(e －σ１τ－ρ１w ＋d ２Δw )＋e －σ２τ[g f (u (x ,t ),v (x ,t ))f (u ,v ∗)æèçöø÷－g f (u (x ,t ),v (x ,t ))f(u ∗,v ∗)æèçöø÷]＋ρ１w ∗[g (w w ∗)－g (w τw ∗)]}d x ＝ʏΩ{e －(σ１＋σ２)τ１－f (u ∗,v ∗)f (u ,v ∗)æèçöø÷d １Δu ＋e －σ１τ(１－w ∗w )d ２Δw ＋ρ１ρ２(１－v ∗v )d ３Δv ＋e －(σ１＋σ２)τu ∗１－f (u ∗,v ∗)f(u ,v ∗)æèçöø÷(１－u u ∗)＋e－(σ１＋σ２)τf (u ∗,w ∗)１－f (u ∗,v ∗)f (u ,v ∗)æèçöø÷ １－f (u ,v )f(u ∗,v ∗)æèçöø÷＋e －(σ１＋σ２)τf (u ∗,w ∗)f (u τ,v τ)f (u ∗,v ∗)－w w ∗æèçöø÷＋e －(σ１＋σ２)τf (u ∗,w ∗)(w τw ∗－v v ∗)(１－v v∗)＋e －(σ１＋σ２)τf (u ∗,w ∗)[g f (u (x ,t ),v (x ,t ))f (u ,v ∗)æèçöø÷－g f (u (x ,t ),v (x ,t ))f (u ∗,v ∗)æèçöø÷]＋e －(σ１＋σ２)τf (u ∗,w ∗)g w w ∗æèçöø÷－g w τw ∗æèçöø÷éëêêùûúú}d x ．结合格林公式可得ʏΩΔu １－f (u ∗,w ∗)f (u ,w ∗)æèçöø÷d x ＝f (u ∗,w ∗)w ∗ʏΩÑu Ñ１＋βw ∗u d x ＝－f (u ∗,w ∗)(１＋βw ∗)w ∗ʏΩ|Ñu |２u ２d x ,ʏΩΔv (１－v ∗v )d x ＝－ʏΩ|Ñv |２v ２d x ,ʏΩΔw (１－w ∗w)d x ＝－ʏΩ|Ñw |２w ２d x ．注意到e －σ１τf (u ∗,v ∗)＝ρ１w ∗,ρ２e －σ２τw ∗－ρ３v ∗＝０,从而有∂L ∂tɤʏΩ{e－(σ１＋σ２)τu ∗１－f (u ∗,w ∗)f (u ,w ∗)æèçöø÷１－u u ∗æèçöø÷＋e －(σ１＋σ２)τf (u ∗,v ∗) {g f (u (x ,t ),v (x ,t ))f (u ,v∗)æèçöø÷－g f (u ∗,v ∗)f (u ,v ∗)æèçöø÷－g f (u τ,v τ)w ∗f (u ∗,v ∗)w æèçöø÷－g w τv ∗v w ∗æèçöø÷－－g v v ∗æèçöø÷}}dx ,由条件(２)可知１－f (u ∗,w ∗)f (u ,w ∗)æèçöø÷１－u u ∗æèçöø÷ɤ０．由条件(５)可知g f (u (x ,t ),v (x ,t ))f (u ∗,v∗)æèçöø÷－g v v ∗æèçöø÷ɤ０．１１第３期陈清婉等:具有时滞和一般接触率的扩散病毒模型的稳定性从而∂L∂tɤ０．易知,当且仅当(u ,w ,v )＝(u ∗,w ∗,v ∗)时,∂L∂t ＝０．由L a s a u e 不变原理可得全局渐近稳定性．3㊀数值模拟本节利用M a t l a b 软件对本文结果进行数值模拟,采用紧致差分格式．令f (u ,v )＝u v１＋a u ＋b v ＋a b u v．选取参数ρ１＝１,ρ２＝e ,ρ３＝１,a ＝０．５,b ＝０．４,σ１＝σ２＝５,τ＝０．１．计算可得R ０＝２/３＜１．由定理可知E ２＝(u ∗,v ∗)全局渐近稳定,如图１所示．ρ１＝１,ρ２＝２e ,ρ３＝１,a ＝０．５,b ＝０．４,σ１＝σ２＝５,τ＝０．１．计算可得R ０＝２＞１．由定理可知E ２＝(u ∗,v ∗)全局渐近稳定,如图２所示．图１㊀无病平衡点的稳定性图２㊀地方平衡点的稳定性4㊀结语本文研究了具有时滞和一般接触率的扩散病毒模型．研究了无病平衡点和感染平衡点的稳定性,阈值对于病毒的蔓延和灭绝起决定性的作用．结论表明:当感染细胞和游离病毒死亡率较高和感染细胞转化游离病毒转化较低且时滞比较大时会使病毒趋于灭绝．反之,病毒蔓延,这与实际情况是吻合的．参考文献:[１]R A J A S E K A RSP ,P I T C HA I MA N I M．E r go d i cs t a Ｇt i o n a r y di s t r i b u t i o n a n d e x t i n c t i o n o f a s t o c h a s t i c S I R Se p i d e m i cm o d e l w i t h l o gi s t i c g r o w t h a n dn o n l i n Ｇe a r i n c i d e n c e [J ]．A p p l i e d M a t h e m a t i c s a n dC o m pu t a Ｇt i o n ,２０１７,４６９(１):５１０Ｇ５１７．[２]C H E N Q i n g m e i ．A n e wi d e ao nd e n s i t y fu n c t i o na n d c o v a r i a n c em a t r i xa n a l y s i so fas t o c h a s t i cS E I Se pi Ｇd e m i c m o d e lw i t h d e g e n e r a t ed i f f u s i o n [J ]．A p p l i e d M a t h e m a t i c sL e t t e r s ,２０２０,１０３:１０６２００．[３]L I U Q u n ,J I A N G D a q i n g．T h r e s h o l db e h a v i o ri na s t o c h a s t i cS I R e p i d e m i c m o d e l w i t h L o g i s t i c b i r t h [J ]．P h y s i c aA ＧS t a t i s t i c a lM e c h a n i c s a n dI t sA p pl i c a Ｇt i o n s ,２０２０,５４０:１２３４８８．[４]陈清婉,柳文清．具有交叉扩散和B ＧD 反应函数的病毒模型的稳定性分析[J ]．北华大学学报(自然科学版),２０１８,１９(１):１３Ｇ１７．２１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３７卷[５]N OWA K M A,B A N G HAM C R M．P o p u l a t i o nd yＧn a m i c s o f i mm u n e r e s p o n s e s t o p e r s i s t e n t v i r u s e s[J]．S c i e n c e,１９９６(２７２):７４Ｇ７９．[６]E B E R T D,Z S C HO K K EＧR OH R I N G E R C D,C A R IＧU S H J．D o s ee f f e c t sa n dd e n s i t yＧd e p e n d e n tr e g u l aＧt i o no ft w o m i c r o p a r a s i t e so f D a p h n i a m a g n a[J]．O e c o l o g i a,２０００,１２２(２):２００Ｇ２０９．[７]M C L E A N AR,B O S T O C KCJ．S c r a p i e i n f e c t i o n s i n iＧt i a t e da t v a r y i n g d o s e s;a n a n a l y s i s o f１１７t i t r a t i o n e xＧp e r i m e n t s[J]．P h i l o s o p h i c a l T r a n s a c t i o n s o f t h eR o y a l S o c i e t y BB i o l o g i c a l S c i e n c e s,２０００,３５５(１４００):１０４３Ｇ１０５０．[８]柳文清,陈清婉．具有治疗和时滞的扩散病毒模型的稳定性[J]．生物数学学报,２０２０,３５(２):２５３Ｇ２５８．[９]S O N GX,N E UMA N N A．G l o b a l s t a b i l i t y a n d p e r i o dＧi co fV i r a ld y n a m i c s[J]．M a t h e m a t i c a lA n a l y s i sa n d A p p l i c a t i o n,２００７,３２９(１):２８１Ｇ２９７．[１０]HA N Y,Y A N GZC．S t a b i l i t y a n d p e r s i s t e n c e f o r a nH I VＧ１i n f e c t i o nm o d e lw i t h t i m ed e l a y a n dn o n l i n e a r i n f e c t i o nr a t e[J]．J o u r n a lo fS o u t h w e s tU n i v e r s i t y,２０１３,３５(３):８４Ｇ９０．[１１]M I C HA E L Y L,S HU H Y．G l o b a l d y n a m i c so f a n i nＧh o s t v i r a lm o d e lw i t hi n t r a c e l l u l a rd e l a y[J]．B u l lM a t hB i o l,２０１０,７２(６):１４９２Ｇ１５０５．[１２]MO N I C AC,P I T C HA I MA N IM．A n a l y s i s o f s t a b i l iＧt y a n dH o p f b i f u r c a t i o n f o rH I VＧ１d y n a m i c sw i t hP I a n d t h r e e i n t r a c e l l u l a r d e l a y s[J]．N o n l i n e a rA n a l y s i sR e a lW o r l dA p p l i c a t i o n s,２０１６(２７):５５Ｇ６９．[１３]Z HU H Y．I n p a c t o f d e l a y s i n c e l l i n f e c t i o n a n d v i r u s p r o d u c t i o n o n H I VＧ１d y n a m i c s[J]．M a t h e m a t i c a l M e d i c i n e a n dB i o l o g y,２００８,２５(２):９９Ｇ１１２．[１４]柳文清,陈清婉．具斑块迁移的病毒模型的稳定性分析[J]．纯粹数学与应用数学,２０１９,３５(１):１０９Ｇ１１４．[１５]Z HA N G Y i y i,X U Z h i t i n g．D y n a m i c so fad i f f u s i v eH B V m o d e lw i t hd e l a y e dB e d d i n g t o nＧD e A n g e l i sr eＧs p o n s e[J]．N o n l i n e a rA n a l y s i sR e a lW o r l d A p p l i c aＧt i o n s,２０１４(１５):１１８Ｇ１３９．[１６]HA T T A FK,Y O U S F IN．G l o b a l d y n a m i c so f ad eＧl a y r e a c t i o nＧd i f f u s i o n m o d e l f o rv i r a l i n f e c t i o n w i t h s p e c i f i c f u n c t i o n a lr e s p o n s e[J]．C o m p u t a t i o n a la n dA p p l i e d M a t h e m a t i c s,２０１５,３４:８０７Ｇ８１８．[１７]WA N GX i n c h a n g,T A N GX i a o s o n g,WA N GZ h i w e i, e t a l．G l o b a ld y n a m i c so fad i f f u s i v ev i r a l i n f e c t i o nm o d e lw i t h g e n e r a l i n c i d e n c ef u n c t i o na n dd i s t r i b uＧt e dd e l a y s[J]．R i c e r c h ed iM a t e m a t i c a,２０２０,６９(２):６８３Ｇ７０２．[１８]D I E KMA N N O,H E E S T E R B E E KJA,M E T ZJA．O n t h ed e f i n i t i o na n dt h ec o m p u t a t i o no f t h eb a s i c r e p r o d u c t i o n r a t i o R０i n m o d e l s f o r i n f e c t i o u sd i s e aＧs e si n h e t e r o g e n e o u s p o p u l a t i o n s[J]．J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l B i o l o g y,１９９０,２８(４):３６５Ｇ３８２．[责任编辑:赵慧霞]３１第３期陈清婉等:具有时滞和一般接触率的扩散病毒模型的稳定性。