四川省南部中学高2023届高考模拟检测（五）数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N ⋂=A .(0,4]B.[0,4)C.[1,0)-D.(1,0]-2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =A.-5B.5C.-4+iD.-4-i3.在区间[]2,3-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为A.45B.35C.25D.154.设变量x,y 满足约束条件360,{20,30,x y x y y +-≥--≤-≤则目标函数z =y －2x 的最小值为A.－7B.－4C.1D.25.奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=A.2- B.1- C.0D.16.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，83742S a a ==-，，则9a =（）A.6B.4C.6- D.27.若sin 2,sin x x 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为（）A.1338+ B.1338C.1338D.148.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50 方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20 ，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65 ，那么B 、C 两点间的距离是（）A.海里B.C.D.海里9.函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（）A.B.C. D.10.已知直三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为 A.3172B. C.132D.11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，左､右顶点分别为,A B 点,P Q 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，且直线PQ 经过点F .如果M 是线段FQ 上靠近点Q 的三等分点，E 在y 轴的正半轴上，且E A M ,,三点共线，,,P E B 三点共线，则双曲线C 的离心率为（）A.5B. C. D.612.已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是()A.(－∞，0)B.C.(0,1)D.(0，＋∞)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a+2b |=______.14.过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为__________.15.抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与22133y x -=相交于A ，B 两点，若ABF △为等边三角形，则p =___________.16.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若对任意[],x a b ∈，都有()()1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“亲密函数”，区间[],a b 称为“亲密区间”．若()234f x x x =-+与()21g x x =-在[],a b 上是“亲密函数”，则b 的最大值______三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.南中数学教研室对高二学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，所得数据如下表所示：x 681012y2356（1）请画出上表数据的散点图;（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+（3）根据（2）中求出的线性回归方程，预测记忆力为11的学生的判断力．(参考公式： 1221,ni i i n ii x y nx y b a y bx x nx==-==--∑∑)18.已知向量()()sin ,sin ,cos ,cos ,sin 2m A B n B A m n C ==⋅=，且、、A B C 分别为ABC 的三边,,a b c 所对的角．（1）求角C 的大小；（2）若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，且()18CA AB AC ⋅-=，求c 边的长．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，且90BAP CDP ∠=∠=︒.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．20.已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R .(I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.21.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)的离心率为22,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为22(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线:4cos C ρθ=，直线l 的参数方程为：321x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点.（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若点(3,1)P -，求11||||PM PN -的值.23.已知函数()2f x m x m x =+--()0m >的最大值为6.（1）求m 的值；（2）若正数x ，y ，z 满足x y z m ++=，求证：xy xz m ≤.四川省南部中学高2023届高考模拟检测（五）数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N ⋂=A.(0,4] B.[0,4) C.[1,0)- D.(1,0]-【答案】B【详解】试题分析：()()234041014x x x x x --<⇒-+<⇒-<<，故M N ⋂=[0,4)，故选B ．考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的运算．2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =A.-5 B.5C.-4+iD.-4-i【答案】A【详解】试题分析：由题意，得22z i =-+，则12(2)(2)5z z i i =+-+=-，故选A ．考点：1、复数的运算；2、复数的几何意义．3.在区间[]2,3-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为A.45B.35C.25D.15【答案】B【详解】试题分析：在[]2,3-上符合1X ≤的区间为[]2,1-,因为区间[]2,3-的区间长度为5且区间[]2,1-的区间长度为3,所以根据几何概型的概率计算公式可得35P =,故选B.考点：几何概型4.设变量x,y 满足约束条件360,{20,30,x y x y y +-≥--≤-≤则目标函数z =y －2x 的最小值为A.－7B.－4C.1D.2【答案】A 【分析】画图分析【详解】画出原不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，由题意知,当目标函数2z y x =-表示的直线经过点A(5，3)时，z 取得最小值，所以z 的最小值为3257-⨯=-，故选A.【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.5.奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=A.2- B.1- C.0D.1【答案】D 【详解】【分析】试题分析：(2)f x +是偶函数，则()f x 的图象关于直线2x =对称，又()f x 是奇函数，则(0)0f =，且()f x 是周期函数，且周期为8，所以(8)(9)(0)(1)1f f f f +=+=．故选D ．考点：函数的奇偶性，周期性．【名师点睛】解函数问题时，有些隐含性质需我们已知条件找出，特别是周期性．当函数具有两个对称时函数一般也是周期函数．当函数()f x 是奇函数，又有对称轴x m =时，则函数一定是周期函数，且周期为4T m =；若()f x 有两条对称轴x a =和x b =，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期；同样若()f x 有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期；6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，83742S a a ==-，，则9a =（）A.6B.4C.6- D.2【答案】C【分析】根据题意求出首项和公差，再根据等差数列的通项即可得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由83742S a a ==-，，得()11187842262a d a d a d ⨯⎧+=+⎪⎨⎪+=-⎩，解得1102a d =⎧⎨=-⎩，所以9186a a d =+=-.7.若sin 2,sin x x 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为（）A.1338+ B.1338C.1338D.124【答案】A【分析】根据条件可得2sin 2sin cos x θθ=+，2sin sin cos x θθ=，然后结合同角三角函数的关系，以及恒等变换公式化简，即可得到结果.【详解】依题意可得2sin 2sin cos x θθ=+，2sin sin cos x θθ=，且()22222sin cos sin cos 2sin cos 4sin 22sin 1x x θθθθθθ+=+-=-=，所以()241cos 2cos 220x x -+-=，即24cos 2cos 220x x --=，解得133cos 28x ±=又因为2sin sin cos x θθ=，所以2cos 212sin 1sin 20x x θ=-=-≥，所以133cos 28x +=故选:A8.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50 方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20 ，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65 ，那么B 、C 两点间的距离是（）A.海里B.C.D.海里【答案】A【分析】根据给定条件，画出图形，再利用正弦定理解三角形作答.【详解】依题意，如图，在ABC中，5020304065105BAC ABC ∠=-=∠=+=，，则3045402060ACB AB ∠==⨯=，，由正弦定理得sin sin BC AB BAC ACB =∠∠，即20sin30sin45BC =，因此120222BC ⨯==（海里），所以B C 、两点间的距离是海里．9.函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【详解】试题分析：函数2||()2x f x x e =-|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数．故选：D.10.已知直三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A.B. C.132D.【答案】C【详解】因为直三棱柱中，AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R ＝13，即R ＝13211.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，左､右顶点分别为,A B 点,P Q 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，且直线PQ 经过点F .如果M 是线段FQ 上靠近点Q 的三等分点，E 在y 轴的正半轴上，且E A M ,,三点共线，,,P E B 三点共线，则双曲线C 的离心率为（）A.5B. C.D.6【分析】可设22,,b b P c Q c a a ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,，根据E A M ,,三点共线和,,P E B 三点共线，得到a 、c 的关系，即可求出离心率【详解】解：设()()(),0,,0,,0F c A a B a --，点PQ 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，且直线PQ 经过点F ，可得PQ x ⊥轴，令x c =-可得22221c y a b-=，解得2b y a =±可设22,,b b P c Q c a a ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由M 是线段FQ 上靠近点Q 的三等分点，可得22,3b M c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由E 在y 轴的正半轴上，可设()0,E e ，由E A M ,,三点共线，可得AM EA k k =，即为223b e a a a c=-+①由,,P E B 三点共线，可得EB BP k k =，即为2b e a ac a-=--，②由①②可得()123a c c a =+-，即为3322c a c a -=+，即5c a =，所以5ce a==.故选：A.【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：（1）直接求出a 、b 、c ，计算离心率；（2）根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．12.已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是()A.(－∞，0)B.C.(0,1)D.(0，＋∞)【答案】B【详解】函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ），则f′（x ）=lnx ﹣ax+x （﹣a ）=lnx ﹣2ax+1，令f′（x ）=lnx ﹣2ax+1=0得lnx=2ax ﹣1，函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ）有两个极值点，等价于f′（x ）=lnx ﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax ﹣1与y=lnx 的图象相切，由图可知，当0＜a ＜时，y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点．则实数a 的取值范围是（0，）．故选B ．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a+2b |=______.【答案】【详解】∵平面向量a 与b 的夹角为060，21a b == ，∴021cos601a b ⋅=⨯⨯= .∴2a b +====故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．(2)a =常用来求向量的模．14.过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为__________.【答案】【详解】最短弦为过点()3,1与圆心连线的垂线与圆相交而成，d ====【考点定位】本题考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力.圆的半径、弦心距、半弦构成的直角三角形在解决直线和圆问题常常用到，本题只需要简单判断最短弦的位置就能轻松解答,有时候可能会出现点到直线的距离公式来求弦心距的长度.15.抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与22133y x -=相交于A ，B 两点，若ABF △为等边三角形，则p =___________.【答案】6【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，求出AB 的长，根据ABF △为等边三角形，得到关于p 的方程，即可求得答案.【详解】抛物线()220x py p =>的焦点为(0,)2p F ，其准线为2p y =-，将2p y =-与22133y x -=联立，得221312x p -=，解得x =，则||AB =，由于ABF △为等边三角形，故||2AB p =，即32p ⋅=，解得6p =，故答案为：616.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若对任意[],x a b ∈，都有()()1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“亲密函数”，区间[],a b 称为“亲密区间”．若()234f x x x =-+与()21g x x =-在[],a b 上是“亲密函数”，则b 的最大值______【答案】4【分析】首先表示出()()f x g x -，令()()1f x g x -≤，即2551x x -+≤，解得x 的取值范围，即可得解.【详解】解：因为()()()22342155f x g x x x x x x -=-+--=-+，若()234f x x x =-+与()21g x x =-在[],a b 上是“亲密函数”，则()()1f x g x -≤，即2551x x -+≤，即21551x x -≤-+≤，解得12x ≤≤或34x ≤≤，即[][]1,23,4x ∈⋃，所以b 的最大值为4.故答案为：4三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.南中数学教研室对高二学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，所得数据如下表所示：x681012y 2356（1）请画出上表数据的散点图;（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+（3）根据（2）中求出的线性回归方程，预测记忆力为11的学生的判断力．(参考公式： 1221,n i ii n i i x y nx y b a y bx x nx==-==--∑∑ )【答案】（1）答案见解析（2）ˆ0.7 2.3yx =-（3）5.4【分析】（1）根据表格直接画出散点图即可；（2）根据公式分别计算出 ,ba ，即可得到线性回归防尘；（3）根据（2）中的回归方程，将11x =代入计算，即可得到结果.【小问1详解】散点图如下：【小问2详解】446283105126158i i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑()()116810129,2356444x y =+++==+++=4222224*********i i x ==+++=∑2158494140.73444920b -⨯⨯∴===-⨯ ，则 40.79 2.3ay bx =-=-⨯=- ，故线性回归方程为ˆ0.7 2.3yx =-【小问3详解】由（2）中线性回归方程可知，当11x =时，0.711 2.3 5.4y =⨯-=，所以预测记忆力为11的同学的判断力约为5.418.已知向量()()sin ,sin ,cos ,cos ,sin 2m A B n B A m n C ==⋅= ，且、、A B C 分别为ABC 的三边,,a b c 所对的角．（1）求角C 的大小；（2）若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，且()18CA AB AC ⋅-= ，求c 边的长．【答案】（1）π3C =；（2）6c =.【分析】（1）根据数量积的运算，有sin 2m n C ⋅= ，因为2sin cos m n C C ⋅= ，可求得1πcos ,23C C ==；（2）因为sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，由正弦定理得2c ab =，因为()18CA AB AC ⋅-= ,所以可得cos 18,36ab C ab ==，由余弦定理()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，即可解得c .【详解】（1）对于ABC ，π,0πA B C C +=-<<，∴()sin sin A B C +=；由()()sin ,sin ,cos ,cos m A B n B A == ，可得sin cos sin cos sin()sin m n A B B A A B C ⋅=+=+= ，又∵sin 2m n C ⋅= ，∴1sin 22sin cos sin ,cos 2C C C C C ==∴=,π(0,π),3C C ∈∴= .（2）由sin ,sin ,sinB A C 成等差数列，得2sin sin sin C A B =+；由正弦定理得2c a b =+，∵()18CA AB AC ⋅-= ，∴18CA CB ⋅= ，即cos 18,36ab C ab ==，由余弦定理()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，∴2224336,36c c c =-⨯=，∴6c =．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，且90BAP CDP ∠=∠=︒.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【答案】（1）证明见解析；（2）623+.【详解】试题分析：（1）由90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB AP ⊥，CD PD ⊥．从而得AB PD ⊥，进而而AB ⊥平面PAD ，由面面垂直的判定定理可得平面PAB ⊥平面PAD ；（2）设PA PD AB DC a ====，取AD 中点O ，连结PO ，则PO ⊥底面ABCD ，且22,2AD a PO a ==，由四棱锥P ABCD -的体积为83，求出2a =，由此能求出该四棱锥的侧面积.试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB AP ⊥，CD PD ⊥．由于AB CD ∥，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD ．又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．由（1）知，AB ⊥面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ．设AB x =，则由已知可得2AD =，22PE x =．故四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=．由题设得31833x =，故2x =．从而2PA PD ==，22AD BC ==，22PB PC ==．可得四棱锥P ABCD -的侧面积为111222PA PD PA AB PD DC ⋅+⋅+⋅21sin606232BC +︒=+．20.已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R .(I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）390x y --=；（Ⅱ）见解析．【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程；（Ⅱ）由()()(sin )g x x a x x =-'-,通过讨论确定()g x 的单调性,再由单调性确定极值.试题解析：（Ⅰ）由题意2()f x x ax '=-，所以，当2a =时，(3)0f =，2()2f x x x =-'，所以(3)3f '=，因此，曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程是3(3)y x =-，即390x y --=.（Ⅱ）因为()()()cos sin g x f x x a x x =+--，所以()()cos ()sin cos g x f x x x a x x ''=+---，()()sin x x a x a x=---()(sin )x a x x =--，令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在R 上单调递增，因为(0)0h =，所以，当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <.（1）当a<0时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,)x a ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增；当(,0)x a ∈时，0x a ->，()0g x '<，()g x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增.所以当x a =时()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =--，当0x =时()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-.（2）当0a =时，()(sin )g x x x x '=-，当(,)x ∈-∞+∞时，()0g x '≥，()g x 单调递增；所以()g x 在(,)∞∞-+上单调递增，()g x 无极大值也无极小值.（3）当0a >时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,0)x ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增；当(0,)x a ∈时，0x a -<，()0g x '<，()g x 单调递减；当(,)x a ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增.所以当0x =时()g x 取到极大值，极大值是(0)g a =-；当x a =时()g x 取到极小值，极小值是31()sin 6g a a a =--.综上所述：当a<0时，函数()g x 在(,)a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(,0)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是31()sin 6g a a a =--，极小值是(0)g a =-；当0a =时，函数()g x 在(,)∞∞-+上单调递增，无极值；当0a >时，函数()g x 在(,0)-∞和(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是(0)g a =-，极小值是31()sin 6g a a a =--.【考点】导数的几何意义及导数的应用【名师点睛】(1)求函数f (x )极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f (x )在x 0处取极大值,如果左负右正,那么f (x )在x 0处取极小值．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ,b )内有极值,那么y ＝f (x )在(a ,b )内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．21.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)的离心率为22,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.【答案】（Ⅰ）22142x y +=.(II)3π.【详解】试题分析：（Ⅰ）由2c a =得a =,由椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为=,求得椭圆的方程为22142x y +=；（Ⅱ）由2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩,解得222(21)4240k x kmx m +++-=,确定222(,)2121km m D k k -++,DN =,结合22NDNF 的单调性求EDF ∠的最小值.试题解析：（Ⅰ）由椭圆的离心率为2，得2222()a a b =-，又当1y =时，2222a x a b =-，得2222a a b -=，所以224,2a b ==，因此椭圆方程为22142x y +=.（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程2224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(21)4240k x kmx m +++-=，由0∆>得2242m k <+.（*）且122421km x x k +=+，因此122221m y y k +=+，所以222(,2121km m D k k -++，又(0,)N m -，所以222222(()2121km m ND m k k =-++++整理得2242224(13)(21)m k k ND k ++=+，因为NF m =，所以2422222224(31)831(21)(21)ND k k k k k NF +++==+++.令283,3t k t =+≥，故21214t k ++=，所以2221616111(1)2NDt t NF t t=+=++++.令1y t t=+，所以211y t '=-.当3t ≥时，0'>y ,从而1y t t =+在[3,)+∞上单调递增，因此1103t t +≥，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =，所以22134ND NF ≤+=，由（*）得m <<且0m ≠.故12NF ND ≥，设2EDF θ∠=，则1sin 2NF ND θ=≥，所以θ的最小值为π6，从而EDF ∠的最小值为π3，此时直线l 的斜率是0.综上所述：当0k =，(m ∈⋃时，EDF ∠取到最小值π3.【考点】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．常见解法：①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决；②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线:4cos C ρθ=，直线l 的参数方程为：321x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点.（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若点(3,1)P -，求11||||PM PN -的值.【答案】（1）22(2)4x y -+=;250x y --=（2）55【分析】（1）利用极坐标和直角坐标方程得转化公式即可得出曲线C 的普通方程，消去直线l 参数方程中的t 即可得直线l 的普通方程；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程得出关于参数的一元二次方程，利用参数t '的几何意义和韦达定理即可求得11||||PM PN -的值.【小问1详解】将:4cos C ρθ=等号两边同时乘以ρ可得24cos ρρθ=，所以224x y x +=；即22(2)4x y -+=；所以曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=；将32:1x t l y t =+⎧⎨=-+⎩消去参数t 可得，32(1)x y =++，整理得250x y --=；即直线l 的普通方程为250x y --=【小问2详解】注意到(3,1)P -在直线l 上，直线l 倾斜角为1tan 2αα=，，cos 2sin αα∴=，22π(0,),sin 0,cos 0,sin cos 12ααααα∈>>+= ，解得525sin ,cos ,55αα==所以直线l 参数方程为2535(515x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩'''为参数），联立C 的直角坐标方程与l的参数方程得22(+1)1)455t ''+-=整理得225205t ''+-=，设方程的解为12,t t ''，则125t t ''+=-，122t t ''=-，12,t t ''异号.不妨设1||PM t '=，2||PN t '=-，有12121211115||||5t t PM PN t t t t ''+-=+==''''.23.已知函数()2f x m x mx =+--()0m >的最大值为6.（1）求m 的值；（2）若正数x ，y ，z 满足x y z m ++=，求证：≤.【答案】（1）2；（2）证明见解析.【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最大值，让最大值等于6即可得m 的值；（2）由（1）知，2x y z ++=，由222x x x y z y z ⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用基本不等式即可求证.【详解】（1）由题意得()2()(2)3f x x m x m x m x m m =+--≤+--=，因为函数()f x 的最大值为6，所以36m =，即2m =±.因为0m >，所以2m =；（2）由（1）知，2x y z ++=，因为0x >，0y >，0z >，所以222x x x y z y z ⎛⎫⎛⎫=++=+++≥+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2x y z ==时，即1x =，12y z ==等号成立，22m ≤=≤，当且仅当11,2x y z ===时，等号成立.。
