2009(上)《数理统计》考试题(A卷)及参考解答

数理统计学考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是描述数据集中趋势的统计量？A. 方差B. 标准差C. 平均数D. 极差答案：C2. 假设检验中，若原假设为H0：μ=μ0，备择假设为H1：μ≠μ0，则该检验属于：A. 单尾检验B. 双尾检验C. 左尾检验D. 右尾检验答案：B3. 以下哪个分布是描述二项分布的？A. 正态分布B. t分布C. F分布D. 泊松分布答案：A4. 以下哪个选项是描述数据离散程度的统计量？A. 众数B. 中位数C. 极差D. 均值答案：C5. 以下哪个选项是描述数据分布形态的统计量？A. 偏度B. 方差C. 标准差D. 均值答案：A6. 以下哪个选项是描述数据分布集中趋势的统计量？A. 偏度B. 峰度C. 众数D. 标准差答案：C7. 以下哪个选项是描述数据分布离散程度的统计量？A. 偏度B. 峰度C. 标准差D. 均值答案：C8. 以下哪个选项是描述数据分布形态的统计量？A. 均值B. 方差C. 偏度D. 众数答案：C9. 以下哪个选项是描述数据分布集中趋势的统计量？A. 极差B. 标准差C. 均值D. 偏度答案：C10. 以下哪个选项是描述数据分布离散程度的统计量？A. 均值B. 众数C. 方差D. 偏度答案：C二、多项选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪些统计量可以用来描述数据的集中趋势？A. 均值B. 中位数C. 众数D. 方差答案：ABC2. 以下哪些统计量可以用来描述数据的离散程度？A. 极差B. 方差C. 标准差D. 均值答案：ABC3. 以下哪些统计量可以用来描述数据的分布形态？A. 偏度B. 峰度C. 均值D. 方差答案：AB4. 以下哪些分布是描述连续型随机变量的？A. 正态分布B. 泊松分布C. 二项分布D. t分布答案：AD5. 以下哪些检验是用于检验总体均值的？A. t检验B. 方差分析C. 卡方检验D. F检验答案：A三、计算题（每题10分，共50分）1. 给定一组数据：2, 4, 6, 8, 10，求其平均数和标准差。

2008-2009-1概率论与数理统计（A ）参考答案一．填空题（每空3分，共30分）1．0.58； 2．0.8； 3．310，12； 4．510.9-； 5．0.2； 6．201()0X x x f x <<⎧=⎨⎩其它； 7．2λ＝； 8．13， 2二．（本题10分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求 （1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率。

解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+……………………………(2分) 0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯= ………………… …………(3分)（2） ()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯=== ……………………(5分) 三．（本题15分）已知连续型随机变量X 的概率密度 20()0xae x f x x -⎧⎪>=⎨⎪≤⎩,求：（1）常数a ；（2）X 的分布函数()F x ；（3）{12}P X <≤；（4）2Y X =的概率密度。

解：（1）由2()1xf x dx ae dx +∞+∞--∞==⎰⎰，得12a =………… … …………(4分) （2）2201010()()20000x x x xe dx x e x F xf x dx x x ---∞⎧⎧≥⎪⎪-≥===⎨⎨⎪⎪<⎩<⎩⎰⎰…………(4分)（以上两步只写结论也给分）（3）111122{12}(2)(1)1(1)P X F F e e e e ----<≤=-=---=- …………(3分)（4）2(){}{}Y F y P Y y P X y =≤=≤ i 〉0y ≤时，()0Y F y =ii 〉0y >时，2(){12x Y F y P X e dx e e-=≤≤==-=-所以()()00Y Yyf y F yy⎧>'==≤⎩……………………(4分) 四．（本题15分）已知(,)X Y为二维离散型随机变量，分布律如下：（1）求常数C；（2）求{}P X Y=的值；（3）求()E X及()D X；（4）求()E XY及(,)Cov X Y。

0102461911811313XY华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2009学年第一学期 考试科目：考试类型：（闭卷） 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业一、 填空题（每小题3分，共3⨯5=15分）1、设随机变量X 服从二项分布()10,B p ，若X 的方差是52，则12p =2、设随机变量X 、Y 均服从正态分布()2,0.2N 且相互独立，则随机变量21Z X Y =-+的概率密度函数为()211z +-()()~1,1Y N -3、设二维离散型随机变量X 、Y 的联合分布律为： 则联合分布函数值()1,3F =5184、设总体X 服从参数为λ的指数分布，12,,...,n x x x 是它的一组样本值，作λ的极大似然估计时所用的似然函数()12,,...,;n L x x x λ=1nii x neλλ=-∑。

5、作单因素方差分析，假定因素有r 个水平，共作了n 次试验，当H 0为真时， 统计量~A A E ESS df F SS df =()1,F r n r --二、单项选择题（每小题3分，共3⨯5=15分） 1、设A ，B 是两个互斥的随机事件，则必有（ A ）()()()()()()()()A P A B P A P B B P A B P A P B =+-=- ()()()()()()()1C P AB P A P B D P A P B ==-2、设A ，B 是两个随机事件，()()()245,,556P A P B P B A ===，则（ C ）()()()()()()()()1351224825A P AB B P A BC P A BD P A B ====3、设X ，Y 为相互独立的两个随机变量，则下列不正确的结论是（ D ）()()()()()()()()A E X Y E X E Y B E XY E X E Y ±=±= ()()()()()()()()C D XY D X D YD D XY D X D Y ±=+=4、作单因素方差分析，假定因素有三个水平，具有共同方差2σ。

1、 离散型随机变量X 的分布律为P （X=x i ）=p i ，i=1.2…..，则11=∑=ni ip2、 设两个随机变量X ，Y 的联合分布函数F （x ，y ），边际分布Fx （x ），Fy （y ），则X 、Y相互独立的条件是)()(),(y F x F y x F Y X •=3、 X 1,X 2,….X 10是总体X~N （0，1）的样本，若2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ,则ξ的上侧分位数025.0ξ=解：因为X~N （0，1），所以2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ~)10(2χ，查表得025.0ξ=20.54、 设X~N （0，1），若Φ（x ）=0.576，则Φ（-x ）= 解：Φ（-x ）=1-Φ（x ）=1-0.576=0.4245、设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σμN X 的样本，∑=-=ni iXY 122)(1μσ，则EY=n解：∑=-=ni iXY 122)(1μσ~)(2n χ，E 2χ=n ，D 2χ=2n二、设设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σμN X 的样本，∑=-=6122)(51i i X X s ，试求)5665.2(22σ≤s P 。

解：因为),(~2σμN X ，所以有)5(~)(126122χσ∑=-i i X X ，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=≤=≤∑∑==8325.12)(5665.25)()5665.2()5665.2(261226122222σσσσi ii i X X P X X P s P s P 查2χ分布表得=≤)5665.2(22σs P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-∑=8325.12)(2612σi i X X P =1-α=1-0.0248=0.9752 三．设总体X 的概率密度为f(x)= (1),(01)0a x x α⎧+<<⎨⎩，其他，其中α>0，求参数α的矩估计和极大似然估计量。

上海立信会计学院2010 ～2011学年第2学期09级本科 《概率论与数理统计》期终考试（A 卷）（本场考试属闭卷考试，可使用计算器） 共 5 页说明：可能要用到的相关数据0.025(6) 2.4469t =，0.05(6) 1.9432t = ，0.025(7) 2.3469t =，0.05(7) 1.8946t =，(1.96)0.975Φ=，(1.65)0.95Φ=.一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填写在括号内）1．已知事件A 、B 互不相容，()0P A >、()0P B >，则 （ ）.A. ()1P A B =B. ()()()P A B P A P B =C. ()0P A B =D. ()0P A B >2．对任意事件A 、B ，下面结论正确的是（ ）.A. ()0P AB =，则AB =∅B. 若()1P A B = ，则A B =ΩC. ()()()P A B P A P B -=-D. ()()()P A B P A P AB =-3.则c =A.81 B. 41 C. 31 D. 21 4. 设随机变量X 的密度函数为4,01,()0,cx x f x ⎧<<=⎨⎩其它，则常数c =（ ）.A. 51B. 41 C. 4 D. 5 5. 设2~(1,)X N σ-且(31)0.4P X -<<-=，则(1)P X ≥= （ ）. A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.56. 设随机变量X 服从二项分布，即~(,)X B n p ，且()3E X =，17p =，则n =（ ）.A. 7B. 14C. 21D. 497．设1216,,,X X X 是来自正态总体2(2,)N σ的一个样本，161116i i X X ==∑，则48~X σ-（ ）.A. (15)tB. (16)tC. 2(15)χD. (0,1)N8．设12,,,n X X X 是取自正态总体2~(,)X N μσ的一个样本，11ni i X X n ==∑，2211()n ni i S X X n ==-∑,则n Y = ）. A. (1)t n - B. ()t n C.2(1)n χ- D. (0,1)N 9．设ˆθ是未知参数θ的一个估计量，若ˆ()E θθ≠，则ˆθ是θ的（ ）. A. 极大似然估计 B. 矩估计C. 有效估计D. 有偏估计10．下列说法中正确的是（ ）.A. 如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了弃真错误B. 如果备择假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了取伪错误C. 如果原假设是正确的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了弃真错误D. 如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了取伪错误二、解答题（本大题共6小题，每小题9分，共54分，解答应写出推1．某产品共30件，其中有三件是次品，现从中任取2件，求至少有一件是次品的概率.2. 对某一目标进行射击，直至击中为止. 如果每次射击命中的概率为p ，试求射击次数X 的分布律.设X 的概率密度函数为,0,()0,.x e x f x -⎧>=⎨⎩其他 试求2Y X =的4. 设X 的概率密度函数为2,01,()0,.x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他，试求(),()E X D X .5. 某车间生产滚珠，滚珠的直径),(~2σμN X ，其中μ未知，20.05σ=. 从某天的产品中随机抽取6件，侧得直径（mm ）为： 15.1 14.6 14.8 14.9 15.1 15.2试求滚珠直径X 的均值μ的置信度为0.95的置信区间.6. 有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时，为了检验针对新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠剂的睡眠时间（单位：h ）： 26.7， 22.0， 24.1， 21.0， 27.2， 25.0， 23.4.经计算此样本平均值为24.2，样本标准差为2.296. 根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为23.8h ，假设用安眠剂后睡眠时间服从正态分布，试问这组数据能否说明新安眠剂的疗效？（0.05α=）得分三、综合题（本大题共2小题，每小题13分，共26分.解答应写出推理，演算步骤）1. 甲、乙、丙三个人独立地去破译一份密码，已知甲、乙、丙各人能译出此密码的概率分别为15，13，14，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率？2.设随机变量(,)X Y 的联合分布律为 4,01,01,(,)0,.xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他 ()X f x ，()Y f y ；（2）判断X 和Y 的独立性.得分《概率论与数理统计》期终考试（A 卷）参考解答一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1． C 2. D 3. B 4. D 5. A6. C7. D8. A9. D 10. C二、解答题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）1.设A ={从30件产品中任取2件产品，至少有一件是次品}，则样本空间所包含的基本事件总数为435230=C ，A 的对立事件所包含的基本事件总数为351227=C ，从而所求概率28()145P A =。

09级数理统计习题1. 用事件A 、B 、C 表示下列各事件：⑴ A 出现，但B 、C 不出现； ⑵ A 、B 出现，但C 不出现；⑶ 三个都出现； ⑷ 三个中至少有一个出现；（5）三个至少有两个出现； （6）三个都不出现；（7）只有一个出现； （8）不多于一个出现；（9）不多于两个出现；2. 设()()()1.0,3.0,5.0===AB P B P A P 求： ⑴ ()B A P +；⑵ ()B A P +3. 已知()()(),2.0/,3.0,1.0===B A P B P A P 求⑴ ()AB P ；⑵ ()B A P +；⑶ ()A B P /；⑷ ()B A P ；（5）()B A P /。

4. 连续掷3枚硬币：⑴ 写出这一试验的样本空间；⑵ 求这个试验的基本事件的个数；⑶ “恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？5. 现有一批药品共有100件，其中有5件是次品。

考察随机试验：从这批药品中任意抽出10件，检查其抽到的次品数。

若记K={抽出的5件次品中恰有k 件次品} 由于次品数只有5件，则该试验共有6个基本事件：{0}、{1}、{2}、{3}、{4}、{5}其样本空间为 Ω={0，1，2，3，4，5}则A=“次品数少于3件”，B=“恰有2件次品”，C=“有次品”等等都是随机事件，均可由基本事件来表示，如A={0，1，2}。

而“次品数不多于5件”这一事件就是必然事件Ω；“次品数超过5件”这一事件是不可能事件Φ。

6. 某种新药依次用于三名患者的疾病治疗，A 、B 、C 三个事件表示下列事件：⑴ “只有第一人有效”；⑵ “只有一人有效”；⑶ “至少有一人有效”；⑷ “三人都有效”；⑸ “三人都无效”。

7. 从含有两件正品a 1、a 2和一件次品b 的三件产品中，任取1件。

每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件中恰好有一件次品的概率。

8. 把“每次取出后不放回”改为“每次取出后放回”，其余不变，求取出的两件中恰好有一件次品的概率。

判断题1若θˆ是未知参数θ的矩估计量,则θˆ不一定是唯一的(√)2若θˆ是未知参数θ的最大似然估计,)(θg 为连续函数,则)(ˆθg是)(θg 的最大似然估计(√)3若θˆ是未知参数θ的有效估计量, 则θˆ一定是θ的最小方差无偏估计量(√)4若θˆ是未知参数θ的一个无偏估计量,T 是θ的充分估计量,则]|ˆ[*ˆT E θθ=一定是θ一个最小方差无偏估计量(√)5 若贝叶斯风险的下确界满足条件:∞<)(inf d R B d,则贝叶斯决策函数与后验型贝叶斯决策函数是等价的(√)6未知参数θ的无偏估计一定存在(×)7 若经检验后零假设0H 被拒绝,则说明其备选假设1H 是正确的(×) 8 随机变量n X 的渐近分布就是它的极限分布(×)9 在假设检验0H :110:,Θ∈Θ∈θθH 中,当0Θ∈θ时,势函数)(θβ就是犯第一类错误的概率(√)10 设αt 为t 分布的α上侧分位数,设αu 为标准正态分布的α上侧分位数,则当0>α充分小时,总有ααu t ≤(×) 二填空题1 设总体)1,0(~N X )(10x F 是由其简单随机样本T X X X ),(1021 确定的经验分布函数,则1031010)5.0(}3.0)0({C F P ==2设总体),(~p N B X ,简单随机样本T n X X X ),(21 ,则p 的无偏估计量的罗-克拉默(Rao-Cramer)下界为nNp p )1(-. 3设总体)1,0(~N X ,简单随机样本Tn X X X ),(21 ,则统计量∑=-=ni i X X Y 12)(的分布为)1(2-n χ4设总体)4,(~μN X ,简单随机样本T n X X X ),(21 ,则当给定的检验水平为α时,检验问题1:,1:10≠=μμH H 的势函数为)/21()/21(1)(2/2/ααμμμβu nu n --Φ++-Φ-= 5设总体的指数分布，服从参数为 θX T n X X X ),(21 是其简单随机样本,则其最小次序统计量}min{)1(i X X =的分布密度为)0(,);(>=-x e n x f x n θθθ6 设总体X 的均值EX 和方差DX 都存在,X 和2n S 分别为对应总体X 简单随机样本T n X X X ),(21 的样本均值和样本方差,则当n 充分大时, X 近似服从),(),(2nS EX N n DX EX N n或7 设总体),(~2σμN X ,其中方差2σ未知,则均值μ的置信度为α-1的单侧置信上限为nS n t X n)1(2/-+α 8 在关于未知参数θ的贝叶斯估计中,当损失函数为平方损失函数2)(),(d d L -=θθ时,θ的贝叶斯估计为)|(x E θ.9 在单因素方差分析的总离差平方和分解式E A T Q Q Q +=中,∑∑==-=ri n j i ij E iX X Q 112)(.10 在一元线性回归分析中,设n i y x i i ,2,1),,(=位给定的回归样本，则其(经验)线性回归方程中的回归系数∑∑==---=ni i n i i i x x Y Y x x 121)(/))((ˆβ三、设在单因素方差分析中，根据试验数据，已算得方差表的部分数据，得到下面尚不据解其显著性判别的依据为)12,2(89.307.1705.0F F =>=四、设总体X 服从两点分布),1(p B ，其中未知参数p 的先验分布为区间[0，1]上的均匀分布，T n X X X ),(21 是其简单随机样本，损失函数为2)(),(d p d p L -=，试求p 的贝叶斯估计 解:),,1(1,0,)1()1()|(1111n i x p p p pp x q ni ini iiix n x ni x x ==∑-∑=-===-=-∏1)(=p π,∑-∑=∝==-ni ini ix n x p pp p x q x p h 11)1()()|()|(π故p 的后验分布为)1,1(11+-+∑∑==ni i ni i x n x βp 的贝叶斯估计为)|(ˆx p E p=,ba aEX b a X +=),,(~β 所以21111)|(ˆ1111++=+-+++==∑∑∑∑====n x x n x x x p E pni i ni in i ini i .五、设总体X 为在区间],1[θ上的均匀分布，试求（1）参数θ的矩估计量（2）参数θ的最大似然估计量解:(1)⎰+=-=θθθ12111xdx EX 由21ˆ+=θX 可得12ˆ-=X θ(2)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它0,,1)1(1)(12θθθn x x L ,可见1>θ时,其越小,)(θL 越大,但未保证)(θL 不为0,取)(ˆn X =θ即为最大似然估计 六、一袋中装有黑白两色球，设p 为白球数所占总球数的百分比，对于假设检验问题%20:%,50:10==p H p H ，若从袋中有放回的随机摸取6次球，当取到白球次数小于3时，则拒绝0H ，试求（1）该检验的检验函数。

一、（满分14分）设总体)4,12(N ,921,,,X X X 是总体X 的一个样本。

记∑==nk k X n X 11(1) 求 }1|12{|>-X P ;(2) 求 }.14),,,{max(921>X X X P二、（满分14分）测得两批电子器材的电阻值（单位：Ω）分别为：A 批：14.0，13.8， 13.4，14.2，14.4，13.7B 批：13.5，14.0，14.2，13.6，13.8，14.0设A 批器材的电阻21~(,)X N μσ ，B 批器材的电阻22~(,)Y N μσ，而且X 与Y 相互独立.在显著性水平0.05α=下，可否认为两批器材的电阻均值相等？三、（满分14分）设总体),(2σμN ,2σμ和均未知，现得到样本值为：４.６，４.７，４.８，５.０，５.１，５.２求2σμ和的置信水平为０.９５的置信区间.四、（满分10分）A 市某期对奖储蓄中奖号码如下：在显著性水平0.05α=下，检验器械或操作是否有问题？五、（满分16分）设总体X 服从二项分布),(θN B ，其中(01)θθ<<是未知参数，Ｎ已知。

设12,,,n X X X 是总体X 的一个样本。

（1）求未知参数θ的极大似然估计量ˆθ； （2）证明ˆθ是未知参数θ的有效估计量。

六、（满分１６分）某工厂在分析产量x 和成本y 时，选取10个生产小组作应用线性模型122,,,,~(0,)n y a bx N εεεεεσ=++⎧⎨⎩为其子样（1） 求a 和b 的最小二乘估计及回归方程；（2） 在显著性水平0.05α=下，检验原假设0:0H b =；。

七、（满分１６分）为了比较四种不同的肥料对某农作物收获量的影响，现进行施肥试验，在安排试验时尽可能减少土地原有肥沃程度差异的影响。

试验结果由下表给出。

附注：计算中可能用到的数据如下：833.12)5(,831.0)5(,9.16)9(,95.5)8,1(,32.5)8,1(2975.02025.0295.099.095.0=====χχχF F6319.0)8(,228.2)10(,571.2)5(,306.2)8(05.0975.0975.0975.0====r t t t,975.0)96.1(,9332.0)5.1(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ。

北京林业大学2009--2010学年第一学期数理统计A 考试试卷A 答案一、填空（每空2分，共10分）1. 设A 、B 、C 为三个事件，则至少有两个事件发生可以表示为AC BC AB ++。

2．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为7的概率为1/6。

3. 设P (A )=0.4，P (B )=0.3，6.0)(=B A P ， 则=)(B A P 0.3。

4．X ~P(2)，则EX 2=6 。

5. 已知X ~N (5,32)， 令Y =3X -2，则Y ~N （13，81）。

二、（10分）某商场供应的电冰箱中，甲厂产品占70% ，乙厂产品占30%，甲厂产品合格率是95% ，乙厂产品合格率是80% 。

（1）求此商场电冰箱的合格率。

（2）每卖出一台合格品为商场盈利300元，而每卖出一台不合格品则亏损500元，求卖出一台所得的平均利润。

解：（1）p =0.7×0.95+0.3×0.8=0.905；（2）300×0.905+(-500)×0.95=224 三、（10分）设随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧≤≤-=)(0)(2/1)(其它a x a a x f ，其中a >0，且3/1}1{=>X P 。

求(1)a 。

(2) Y =2X ，求Y 的概率密度函数)(y f Y 。

解：（1）(a -1)/2a =1/3，∴a =3；（2）]3,3[~-U X ，]6,6[~2-=U X Y ，⎩⎨⎧≤≤-=)(0)66(12/1)(其它y y f Y四、（10分）X ~B (2,0.2)，定义⎩⎨⎧>≤-=)1(1)1(1X X Y 。

（1）写出Y 的分布列。

（2）求E (Y )和D (Y )。

解：(1)P(X >1)=P(X =2)=(0.2)2=0.04,所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-04.096.011~Y ；（2）E (Y )=-0.92,D (Y )=EY 2-(EY)2=1-(0.92)2=0.1536 五、（10分）设（X,Y ）在半径为1、圆心在坐标原点的圆内服从均匀分布。