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普朗克函数反函数普朗克函数 (Planck function) 是物理学中一个用于描述热辐射的函数，它由德国物理学家普朗克 (Max Planck) 创立。
普朗克函数的反函数也是物理学研究中的一个重要部分。
一、普朗克函数的定义普朗克函数是指一个与温度，波长和辐射强度相关的函数。
它通常用于描述黑体辐射过程中的能量分布和辐射强度的密度。
普朗克函数被广泛地应用于天体物理学、气象学、空间科学、核物理学等领域，因为它能帮助科学家们更好地理解和解释物质的热量特性。
二、普朗克函数的特性普朗克函数被定义为：$$B(\nu, T) =\frac{2h\nu^3}{c^2}\cdot\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{k_bT}}-1}$$其中，$B(\nu, T)$ 表示在温度为 $T$ 的黑体内，频率为 $\nu$ 的辐射强度密度，$h$ 表示普朗克常数，$c$ 表示光速，$k_b$ 表示玻尔兹曼常数。
普朗克函数有以下几个特点：1. 频率越高，辐射强度密度越大。
2. 在短波长处，普朗克函数函数值急剧上升，而且在极短波长处，函数值趋近于无穷大。
3. 随着温度的升高，普朗克函数曲线向短波长方向移动，且曲线最大值也会向短波长方向移动。
三、普朗克函数反函数的意义普朗克函数反函数，也称为辐射定律，是指一个从辐射强度密度到温度之间的关系式。
它是普朗克函数的逆运算，意义重大。
普朗克函数反函数的求解可以帮助我们在物理学领域中解决很多实际的问题。
例如，它可以被用来计算太阳辐射的温度、判断天体运动的情况等等。
四、普朗克函数反函数的公式普朗克函数反函数字面上的意思是一个可以将辐射强度密度转化为温度的函数。
它可以用下面这个公式进行求解：$$T = \frac{h\nu}{k_b{ln(\frac{2h\nu^3}{Ic^2}+1)}}$$其中，$T$ 表示温度，$I$ 表示辐射强度密度，$\nu$ 表示频率，$h$ 表示普朗克常数，$c$ 表示光速，$k_b$ 表示玻尔兹曼常数。
上海市考研物理复习资料热学与量子统计物理重要公式总结热学是物理学中重要的分支之一，它研究了物质的热现象和能量转化规律。
量子统计物理则是热学的基础，研究了微观粒子的统计规律。
在考研物理的学习中，热学与量子统计物理是重要的内容，掌握相关的公式是非常关键的。
本文将为大家总结上海市考研物理复习资料中热学与量子统计物理的重要公式。
1. 热学公式总结1.1 热力学基本公式热力学基本公式包括内能变化、热量、功等的关系。
首先是内能变化公式：ΔU = Q - W其中，ΔU表示内能变化，Q表示系统吸收的热量，W表示系统对外界做的功。
热力学第一定律：ΔU = Q - W = Q - PΔV其中，P表示系统的压强，ΔV表示系统的体积变化。
热力学第二定律：ΔS ≥ 0其中，S表示系统的熵。
1.2 热力学循环公式在热力学中，循环过程是热力学研究的基本对象。
常见的热力学循环包括Carnot循环、Otto循环、Stirling循环等。
Carnot循环效率公式：η = 1 - T2/T1其中，η表示Carnot循环的效率，T2和T1分别表示低温和高温热源的温度。
Otto循环效率公式：η = 1 - (V3 - V2)/(V1 - V2)其中，η表示Otto循环的效率，V3、V2和V1分别表示活塞上下止点的体积。
1.3 热导公式热导是物质传导热量的能力，常用热导公式包括热导率、傅里叶热传导定律。
热导率公式：Q = kA(T2 - T1)/L其中，Q表示热量传递，k表示物质的热导率，A表示传热面积，L 表示传热距离，T2和T1分别表示传热的高低温。
傅里叶热传导定律：In = kA(ΔT/Δx)其中，In表示单位时间内传导热量，k表示物质的热导率，A表示传热面积，ΔT表示温度变化，Δx表示传热距离。
2. 量子统计物理公式总结2.1 量子力学基本公式量子力学基本公式包括波函数、算符和测量等的关系。
薛定谔方程：iħ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i表示虚数单位，ħ表示约化普朗克常数，t表示时间，Ψ表示波函数，H表示哈密顿量。
量子力学公式
量子力学中的一些常见公式包括：
1. 薛定谔方程式：描述了量子物理学的宏观世界，即微观粒子如何随着时间的推移而演变。
其一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t=HΨ，其中i是虚数单位，ℏ是普
朗克常数的约化常数，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。
2. 波粒二象性：描述了物质粒子的波动性质和粒子性质之间的相互作用关系。
其表达式为λ=h/p，其中λ是波长，h是普朗克常数，p是粒子的动量。
3. 测量理论：物理量的测量和观测结果有一定的概率性和不确定性。
测量理论采用概率统计的方法来描述这种不确定性。
最常见的公式是海森堡不确定性原理：ΔxΔp≥h/4π，其中Δx和Δp分别表示位置和动量的不确定度，h 是普朗克常数。
4. 费米-狄拉克统计和玻色-爱因斯坦统计：描述了物质粒子的统计行为。
费米-狄拉克统计用于描述费米子（如电子、质子等）的行为，玻色-爱因斯坦统计用于描述玻色子（如光子、声子等）的行为。
5. 波函数的复共轭：Ψ^（r，t）。
6. 归一化条件：∫Ψ（r，t）^2d3r=1。
7. 位置算符：x。
8. 动量算符：-iℏ∇。
9. 能量算符：iℏ∂/∂t。
10. 完备性条件：∫ψn^（r）ψm（r）d3r=δnm。
以上公式仅供参考，如需更准确的信息，建议查阅量子力学相关的书籍或咨询专业人士。
量子物理公式总结量子物理是研究微观物质的行为规律的物理学分支，描述了微观世界的奇妙现象和量子系统的特性。
本文将对一些常见的量子物理公式进行总结和解释。
1. 波函数与薛定谔方程波函数是描述量子系统的数学工具，通常用符号ψ表示。
薛定谔方程是描述波函数演化随时间变化的定律。
薛定谔方程的一般形式为：iħ(∂ψ/∂t) = Hψ，其中i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，H是系统的哈密顿算符。
薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，描述了波函数随时间的演化。
2. 波动性与粒子性的双重性质根据德布罗意假说，微观粒子也具有波动性。
德布罗意波长λ = h/p，其中h是普朗克常数，p是粒子的动量。
这个公式表明，质量较小的粒子具有更强的波动性。
3. 平面波的波函数平面波是一种纯粹的波动模式，其波函数可以表示为ψ(x) =Ae^(ikx)，其中A是归一化系数，k是波矢，x是位置。
平面波的波函数具有连续的能量谱和动量谱。
4. 薛定谔方程的定态解薛定谔方程的定态解是指系统在某个特定能级上的解。
定态波函数可以用复数形式表示为ψ(x) = φ(x)e^(iEt/ħ)，其中φ(x)是空间部分的波函数，E是能量。
定态解是量子力学中最基本的解，并用来描述电子在原子中的行为。
5. 测量与不确定原理根据不确定原理，无法同时精确测量粒子的位置和动量。
不确定原理的数学形式是ΔxΔp ≥ ħ/2，其中Δx是位置的不确定度，Δp是动量的不确定度，ħ是约化普朗克常数。
这意味着粒子的位置和动量无法同时完全确定，存在一定的不确定性。
6. 角动量算符与角动量量子化角动量算符描述了粒子的旋转运动特性，通常用符号L表示。
它是一个矢量算符，包括轨道角动量和自旋角动量。
角动量的量子化表明，角动量只能取一系列离散的值，即量子化。
7. 定态Schrödinger方程定态Schrödinger方程是薛定谔方程的简化形式，适用于定常态。
它可以写成Hψ = Eψ，其中H是系统的哈密顿算符，ψ是波函数，E是能量。
高三物理复习普朗克公式知识点
高三物理复习普朗克公式知识点
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德国物理学家普朗克在量子论基础上建立的关于黑体辐射的正确公式。
19世纪末，经典统计物理学在研究黑体辐射时遇到了巨大的困难：由经典的能量均分定理导出的瑞利—金斯公式在短波方面得出同黑体辐射光谱实验结果相违背的.结论。
同时，维恩公式则仅适用于黑体辐射光谱能量分布的短波部分。
也就是说，当时还未能找到一个能够成功描述整个实验曲线的黑体辐射公式。
1900年普朗克获得一个和实验结果一致的纯粹经验公式，1901年他提出了能量量子化假设：辐射中心是带电的线性谐振子，它能够同周围的电磁场交换能量，谐振子的能量不连续，是一个量子能量的整数倍：[838—09]838—09式中是振子的振动频率，是普朗克常数，它是量子论中最基本的常数。
根据这个假设，可以导出普朗克公式：[838—01]838—01它给出辐射场能量密度，按频率的分布，式中是热力学温度，是玻耳兹曼常数。
如图表示辐射场能量密度随波长变化的曲线，它同实验结果完全一致。
量子物理知识点小结一、普朗克能量子假说1、黑体辐射的实验定律2、普朗克能量子假说2)维恩位移定律：T λm = b1)斯特藩-玻耳兹曼定律： M (T ) = σT 4对频率为ν 的谐振子, 最小能量 ε 为: ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,3,2,εεεεn νh =ε谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量ε 的整数倍，二、爱因斯坦光量子假说1、光量子假说 W m h νm+=221v 2、光电效应方程： 光具有“波粒二象性”光子的动量： λhp =光子的能量： h ν=ε碰撞过程中能量守恒： 2200mc h νc m h ν+=+v m e h e h n +=λλ00碰撞过程中动量守恒：波长的偏移量:)cos 1(0θλλλλ-=-=∆c nm 00243.0m 10432120=⨯⋅≈=-cm h c λ康普顿波长: 三、康普顿效应（X 射线光子与自由电子碰撞）四、玻尔氢原子理论一切实物粒子都具有波粒二象性 2)角动量量子化条件假设； 1)定态假设； 3)频率条件假设h νmc E ==2λh m p ==v ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥∆⋅∆≥∆⋅∆≥∆⋅∆222 z y x p z p y p x 2≥∆⋅∆t Ε五、德布罗意假说六、不确定性关系：七、波函数2、波函数满足的条件1、波函数的统计意义1)归一化条件t 时刻，粒子在空间r 处的单位体积中出现的概率， 与波函数模的平方成正比。
*2),(ΨΨt r ΨdVdW w === 概率密度： 12=⎰⎰⎰dV Ψ粒子在整个空间出现的总概率等于 1 , 即： 2)标准化条件：单值、连续、有限一维情况： 1)(2=⎰+∞∞-dx x Ψ八、定态薛定谔方程1、定态：若粒子的势能 E P (x ) 与 t 无关，仅是坐标的函数， 微观粒子在各处出现的概率与时间无关2、一维定态薛定谔方程： 0)()()(=-+x E E 2m dx x d P 222ψψ九、氢原子,3,2,1,1)8(22204=⋅-=n nh me E n ε1、能量量子化和主量子数n 2、角动量量子化和角量子数l)1(2)1(+=+=l l h l l L π1,,3,2,1,0-=n l 3、角动量空间量子化和磁量子数m ll m m L l l z ±±±==,,2,1,0, 4、自旋角动量和自旋量子数 21,)1(=+=s s s S 21,±==s s z m m S十、原子的电子壳层结构1、原子中电子状态由四个量子数(n 、l 、m l 、 m s )决定用 K , L , M , N , O , P , …. 表示 2、原子的壳层结构主量子数 n 相同的电子属于同一壳层壳层n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , …. 同一壳层中( n 相同)，l 相同的电子组成同一分壳层 支壳层 用 s , p , d , f , … , 表示l = 0， 1 , 2 , 3 , … , n －13、原子的壳层结构中电子的填充原则1) 泡利不相容原理2) 能量最小原理。
量子物理部分复习要点第26章波粒二象性§1 黑体辐射一.热辐射的基本概念1.热辐射及其特点2.描写热辐射的物理量：Mν、M二.黑体和黑体辐射的基本规律1.黑体(绝对黑体)2.黑体的Mν的实验曲线及特点3.两个实验定律νm(1)斯特潘—波尔兹曼定律(2)维恩位移定律四.普朗克的能量子假说和黑体辐射公式1.普朗克公式：2.普朗克假说§2.光电效应(自学)一.光电效应二.实验规律三.理论解释§3光的二象性光子一.爱因斯坦光子假说二.对光电效应的解释§4康普顿散射(Compton Scattering)一.康普顿散射及实验特点二.康普顿的理论解释1.物理图象2.会由能量守恒、动量守恒处理微观粒子的碰撞问题。
3.对康普顿效应的解释。
§5 粒子的波动性·德布罗意关系：会计算德布罗意波长（高速、低速）。
§6§7 不确定关系一.坐标和动量的不确定的关系二.时间与能量的不确定关系三.会用不确定关系作数量级估算和解释一些现象(如零点能的存在)第27章薛定谔方程一.薛定谔方程一维薛定谔方程一维薛定谔方程二.定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程三.会用波函数的物理条件来解简单问题1．一维无限深方势阱的处理及结果2.一维势垒的穿透几率3 谐振子的结果第28章 原子、分子的能级与光谱 §1 氢原子的能级与光谱 一.玻尔的氢原子理论 二.量子力学的修正三.氢原子能级与光谱结果与图§2 碱金属原子的能级与光谱 一. 碱金属原子的能级与光谱特点及图主线系： 各 nP → 2S (最低S ) 第一辅线系：各 nD → 2P (最低P )sp df 4p 4d n Li 基态Li 原子H 原子(漫线系)第二辅线系：各 nS → 2P (最低P )，(n >2) (锐线系)基线系： 各 nF → 3D (最低D )二.角动量空间量子化(m l = l , l-1,……,-l+1 ,-l* μl z = -(e /2m )L z = -(e /2m ) m l h μl z = -m lμB玻尔磁子(是轨道磁矩的最小单元):ehμB = 2m三.电子自旋1.史特恩---盖拉赫实验(重要实验)2.电子自旋的假设 ·自旋角动量：自旋量子数s = 1/2 ·自旋在特殊方向的投影：自旋磁量子数：m s = ±(1/2)·自旋磁矩z B S★史特恩---盖拉赫实验的意义：(1)证实了空间量子化；(2)证实了自旋的存在。
量子力学公式期末总结量子力学公式在量子力学研究中起着关键的作用。
它们是以数学形式表达出量子力学中的物理定律，并为我们提供了一种理解微观世界的框架。
在期末总结中，我将讨论一些重要的量子力学公式，并说明它们在理论和实践中的应用。
首先，我们需要了解波函数(Ψ)的概念及其数学表述。
波函数可以描述量子系统在不同状态下的可能性分布。
在一维空间中，波函数可以表示为Ψ(x, t)，其中x是位置，t是时间。
对于粒子在一维无势场中的运动，薛定谔方程描述了波函数的演化。
薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，可以用以下形式表示：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/(2m) ∂²Ψ/∂x² + VΨ其中i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，m是粒子的质量，V是势能。
这个方程描述了波函数随时间和空间的演化。
解薛定谔方程可以得到粒子的能量和波函数。
下一个重要的概念是量子力学中的算符。
算符在量子力学中用于描述物理量的测量和演化。
一个重要的算符是哈密顿算符(H)，它可以用于计算系统的总能量。
哈密顿算符可以表示为H = -ħ²/(2m) ∂²/∂x² + V(x)其中V(x)是势能。
求解薛定谔方程的本征问题，我们可以得到系统的能级和能量本征态。
量子力学中还有一些重要的定理和公式。
例如，海森堡不确定性原理表明，在同一时间内无法准确测量位置和动量。
这个原理可以用以下公式表示：ΔxΔp ≥ ħ/2其中Δx是位置的不确定度，Δp是动量的不确定度。
这个公式说明了位置和动量不可能同时完全确定的原理。
另一个重要的定理是保守量定理，也称为薛定谔定理。
根据这个定理，如果哈密顿算符与某个算符对易，那么这个算符就是系统的保守量。
这个定理可以用以下公式表示：[H, A] = 0其中[H, A]是哈密顿算符H和算符A的对易子。
根据薛定谔定理，我们可以得到一些守恒定律，例如动量守恒、角动量守恒等。
此外，我们还有其他一些重要的量子力学公式，例如- 波粒二象性关系：λ = h/p，其中λ是波长，h是普朗克常数，p是动量。
初等量子力学的四块容一、薛氏方程C1：波函数与薛氏方程 1、付氏变换：（动量→坐标为正）/3321()()(2)i p r r p e d p ψψπ+∞⋅-∞=⎰2、δ函数的两个重要极限及一个积分公式1()2i x x e d αδαπ∞-∞=⎰（相当于物理中的波粒转换）其推导过程：000()0()()()1()()2i x x f x f x x x dxf x dxd f xe αδαπ∞-∞∞∞--∞-∞=-=⎰⎰⎰两式比较得出。
24()lim i i xx eπααδ-=（试题1.5用到）24i i e d ξπξ∞-∞=⎰（好像与某个积分是一样的，只是有些变换）3、证明技巧等式一边含有V ，而一边没有。
222V m⇒-∇+肯定是作为一个整体消去的。
4、波函数平方可积的要求23(3/2),()s d r A r r r ψψ-+=⇒→∞⎰全（0s >） 可以在证明某些概率守恒的式子时（体积分→面积分VSAdV A ds ∇⋅=⋅⎰⎰），可以得到一些式子的积分为0。
5、(,0)(,)x x t ψψ→先将(,0)x ψ展为能量本征态的线性组合（自由粒子时即可以通过付氏化为()p ψ），再/(,)()iEt E n x t C x e ψψ-=∑。
C2：一维势场中的粒子 1、各种势类型方势、δ势、谐振子、半壁无限谐振子（谐振子奇数解）、半壁无限方势、不对称方势阱。
2、()()((),())n n n n nx C x C x x ψϕϕψ=⇒=∑。
*()()n n C x x dx ϕψ=⎰（注意积分围）221122222221122H C E C E H C E C E =+=+3、无限深势阱的解)()0n n x x a πψ=⎩。
22222n n E ma π=（能量可通过22222P E m m -∇==求得）4、谐振子的解2212()(!)()n x n n x n eH x αψα-=⋅其中α=。
5、递推关系12()2()2()0n n n H x xH x nH x ----=1()2()n n H x nH x -'=()(1)()n n n x x ψψ-=-（所以对于半壁无限高的谐振子只有奇数才可以满足）C5：中心力场 1、径向波函数()()R r r r χ=22(1)()[(())]()02l l l l r E V r r rχχμ+''⇒+--=0r →时，若有20lim ()0r r V r →=，则()l l R r r 。
2、无限深球方势阱○1S 态（0l =），其与无限深方势阱一样。
○20l ≠时，令kr ρ= 则本征方程222(1)()()[]()00()0l l l l l l R r R r k R r r ar r R a boundry condition+⎧'''++-=≤≤⎪⎨⎪=-⎩转化为球Bessel 方程。
()()l l R r j kr ，从()0l j ka =导出能量本征值。
3、三维各向同性谐振子（合流超几何函数）3()22N r E N N n l ω=+=+简并度：1(1)(2)2n f N N =++，若计及电子自旋时，则2⨯。
F-H 定理：对l 求导，可得出21r，对ω求导，可得出2r 。
球坐标↔直角坐标01110001101001000100001ψψψ-⎡⎤--Φ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-Φ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Φ⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（相当于在三、四象限）4、氢原子（合流超几何函数）22112N r e E n n l a n =-=++，其中22a eμ=（Bohr 半径）。
简并度：2n f n =，若计及电子自旋时，则2⨯。
F-H 定理：对l 求导，可得出21r。
位力定理可得出类氢原子1r，2p ，在计算过程要注意电荷量Z 。
基氢波函数：1/10031()r ae aψπ-=。
5、圆轨道（0,1rn n l ==+）最概然半径：20,1()0n dr drχ-≡0/0,1()Zr na n n r Cr e χ--⇒=。
20/n r n a Z =。
6、二维不对称谐振子222211(,)22x y V x y x y ωω=+，在计算简并度，把N 表示成,x y n n 的表达式。
7、二维Coulomb 势C9：力学本征值的代数解法二、算符理论C3：力学量用算符表示 1、厄米算符(,)(,)A A ψϕψϕ=（即可以把算符写在任意函数前）22(,)(,)0A A A A ψψψψ⇒==≥2、不确定公式[][]1/2,1/2,A B A B A B ∆⋅∆≥∆∆=（不确定度与对易平均值有关）3、球谐函数(1)(cos )mmim lm l Y e ϕθ=- 4、箱归一化 若要ix∂-∂为厄米算符，⇒周期条件：()()22L L ψψ-=。
5、B —K （Baker-Hausdorff ）公式（通过定义函数来证明）[]1212(,)A B A B C B A Ce e e e e e e A B C +-===6、在计算某个算符的平均值时，可以通过对易关系化为算其它算符的平均值。
2,[,],2p p imr H r i p r H m m -⎡⎤⎡⎤==⇒=⎣⎦⎣⎦ ,z x y l i l l ⎡⎤=⎣⎦。
C4：力学量随时间变化与对称性1、三个定理○1位力定理（定态时成立，即能量本征态，由,0di r p r p H dt⎡⎤⋅=⋅=⎣⎦导出）212p r V T r V m=⋅∇⇒=⋅∇ ○2Ehrenfest 定理（newton law ） 22()d m r F r dt=由下面两个式子导出 1,1,()()d pr r H dt i m d pp H V r F r dt i⎡⎤==⎣⎦⎡⎤==-∇⋅=⎣⎦ ○3F-H （Feynman-Hellmann ）定理 n n n E H ψψλλ∂∂=∂∂（证明题中右矢与左矢的对应运用） 2、守恒量[]1(),d A t A H A dt i t∂=+∂ 3、Heisenberg 图像（给算符加一个时间算符）//()(,0)(0)(,0)(0)iH t iH t A t U t A U t e A e +-==导出Heisenberg 方程[]1()(),d A t A t H dt i=。
（可以解算符随时间的变化情况）。
4、全同粒子（交换算符）Fermi 子不能有两个粒子处于同一个态。
把粒子能待的态选好后，由于对称性要求Bose 子和Fermi 子都只有一种波函数，关键在于选好粒子处于哪些态。
三、矩阵力学C7：量子力学的矩阵形式与表象变换 四、相互作用C6：电磁场中粒子的运动（电子与磁场作用）1、H 量21()2qA H P q C φμ=-+1B A E A C t φ⎧=∇⨯⎪⎨∂=--∇⎪∂⎩本征方程：22221[]22q q i p A P A q t C Cψφψμμμ∂=-⋅++∂，比无作用时多出二项。
（其中利用了0A ∇⋅=）2、正常Zeeman 效应（氢原子+z l 作用项）恒磁场沿Z 方向，取相应的矢势12A B r =⨯。
11,,022x y z A By A Bx A ⇒=-==2222221[()]()24z eB e B H p l x y V r C Cμ⇒=++++ 比氢原子多出两项，z l 作用项，反磁项。
（在原子中反磁项太小可忽略） 能量本征态（与氢原子一样），取2(,,)z H ll 的本征态。
能级：r r n lm n l L E E m ω=+。
定义电子轨道磁矩：2z z el Cμμ=-，Larmor 频率2L eB C ωμ=。
3、Laudau 能级（两维对称谐振子+z l 作用项+一维自由粒子）两维对称谐振子：222222021[()]24x y e B H p p x y Cμ=+++。
z l 作用项：112z eBH l Cμ=。
一维自由粒子：2212z H p μ=。
4、电场与磁场垂直：(,0,0),(0,0,)B B εε==，则可取,(0,,0)x A Bx φε=-=。
C8：自旋（四维空间）1、Pauli 算符三性对易关系、归一性、厄米性σσ+=。
⇒双Pauli 算符的关系（诸如：x y z i σσσ=），所以任意级数都可以表示成线性形式（如可令：0123z z i i x x y z e e C I C C C λσλσσσσσ-=+++），单独线性算符的迹为0。
2、总角动量的本征态（22(,,,)z H lj j ）自旋轨道作用项：2211()2dVr s l s l C r drξμ⋅=⋅。
先假定：1(,,)lm z lm aY s bY φθϕ+⎛⎫= ⎪⎝⎭推导过程为：2l l ⇒（相同），,1z j m m ⇒+（相差为1，是因为自旋的原因），2,j a b ⇒（推导出两者系数之间的关系）利用关系式222324j l s l =++⋅，计算在能量本征态下s l ⋅的平均值。
综上：○11/2j l =+1lm ljmlm φ+⎤=⎥⎢⎥⎣⎦○21/2(0)j l l =-≠ 1lm ljmlm φ+⎡⎤=⎥⎥⎦○30l =（无轨道角动量） 001111000022220,0Y Y φφ-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3、光普双线结构（径向方程不同，导致能级分裂） ○11/2j l =+ 2[()]()()2lA r R r ER r ξ+=○21/2(0)j l l =-≠ 2(1)[()]()()2l A r R r ER r ξ+-=4、反常Zeeman反常Zeeman=自旋轨道作用+正常Zeeman即（eg:p 态）1/2(21)1/2j l l j m j l +⎛⎫→→+ ⎪-⎝⎭选择定则：1,0,1,0, 1.j l j m ∆=±∆=±∆=±5、单态（波函数对称为Fermi 子）与三态（波函数对称为Bose 子） 就是讨论双电子轨道杂化212(,)(,)z s s SS ↔的转换。
6、一些总结在某态下求算符的可能测值，必须先给出算符的所有本征态，再波函数按本征态展开。
在求某态随时间变化时，必须给出H 量的本征态与能级。
在找角动量的守恒集时，H 量含角动量的交叉项（12s s ⋅），首选2(,)z S S 的共同本征函数。
C10：微扰论 1、束缚态(1)(0)(0)(2)(1)(0)(3)(2)(0)E H E H E H ψψψψψψ⎧'=⎪⎪'=⎨⎪'=⎪⎩(3)(1)(1)(1)E H E ψψ'=-○1非简并一级近似：(1)(1)(0)n n na ψψ=∑(1)kkkE H '⇒=，(1)(0)(0)(0)'nk nnk n H E E ψψ'=-∑。
