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附--倒立摆简介与模型

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倒立摆简介倒立摆系统是理想的自动控制教学实验设备，使用它能全方位的满足自动控制教学的要求。

许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观的表现出来。

倒立摆系统具有模块性好和品种多样化的优点，其基本模块既可是一维直线运动平台或旋转运动平台，也可以是两维运动平台。

通过增加角度传感器和一节倒立摆杆，可构成直线单节倒立摆、旋转单节倒立摆或两维单节倒立摆；通过增加两节倒立摆杆和相应的传感器，则可构成两节直线倒立摆和两节旋转倒立摆。

倒立摆的控制技巧和杂技运动员倒立平衡表演技巧有异曲同工之处，极富趣味性，学习自动控制课程的学生通过使用它来验证所学的控制理论和算法，加深对所学课程的理解。

由于倒立摆系统机械结构简单、易于设计和制造，成本廉价，因此在欧美发达国家的高等院校，它已成为常见的控制教学设备。

同时由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象，并不断从中发掘出新的控制理论和控制方法。

因此，倒立摆系统也是进行控制理论研究的理想平台。

直线运动型倒立摆外形美观、紧凑、可靠性好。

除了为每个子系列提供模块化的实现方案外，其控制系统的软件平台采用开放式结构，使学生建立不同的模型，验证不同的控制算法，供不同层次的学生进行实验和研究。

由于采用了运动控制器和伺服电机进行实时运动控制，以及齿型带传动，固高公司的倒立摆系统还是一个典型的机电一体化教学实验平台，可以用来进行各种电机拖动、定位和速度跟踪控制实验，让学生理解和掌握机电一体化产品的部件特征和系统集成方法。

一. 系统组成及参数：倒立摆系统由水平移动的小车及由其支撑的单节倒立摆构成。

控制输入为驱动力F （N），是由拖动小车的直流伺服电机提供的；被控制量是摆杆与垂直位置方向夹角θ（rad）和小车的位移x（m）。

实际倒立摆系统的模型参数：M：小车的质量，1.096kg；m：摆杆的质量，0.109kg；b：小车的摩擦系数，0.1N/(m/sec)；L ：摆杆的中心到转轴的长度，0.25mJ：摆杆对重心的转动惯量，0.0034kg m2；T ：采样周期，0.005秒；二．设计指标：摆的角度小于0.02rad，响应时间小于1秒倒立摆系统的数学模型应用牛顿—欧拉法对倒立摆进行数学建模。

1．小车的运动方程对小车进行受力分析，如图1所示。

图中P 和N 分别表示摆杆运动在水平方向和垂直方向上对小车的作用力(N)，f v 是小车的摩擦力，等于x b &。

图1 小车的受力分析图根据牛顿定律，小车水平方向上的力平衡方程为：22t d xd M P x b F =--&(1)2．摆的运动方程摆的运动由水平方向、铅直方向以及旋转方向的运动构成。

以小车与摆的节点为坐标原点取坐标系，对摆杆进行受力分析，如图2所示。

图2 摆的受力分析图摆杆水平方向上的力平衡方程如下θθθθθθθθθθθsin cos )sin cos ()cos ()sin (2222⋅-⋅+=⋅⋅-⋅+=⋅+=+=&&&&&&&&&&&&mL mL x m L L x m L x td dmL x td d m P (2) 将式(2)代入式(1)就得到系统的第一个运动方程xb mL F ml x m M &&&&&&-⋅+=⋅++θθθθsin cos )(2 (3)摆杆垂直方向上的力平衡方程如下)sin cos ()cos (222θθθθθ⋅+⋅-==-&&&mL L td d m mg N 即)sin cos (2θθθθ⋅+⋅-=&&&mL mg N (4)由定轴转动定律：θω&&J dtd JM == 得摆杆的转矩平衡方程式为θθθ&&J PL NL =-cos sin (5)将式(2)(4)代入式(5)，约去P 和 N ，得到系统的第二个方程： θθθsin )(cos 2mgL J mL x mL =++&&&& (6) 由式(3)与式(6)联列得到一级倒立摆动力学非线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-+=++=++x b mL F mL x m M mgL J mL x mL &&&&&&&&&&θθθθθθθsin cos )(sin )(cos 22 (7) 因o 5≤θ，故可假设θθ≈sin 和1cos ≈θ，并忽略2θθ&⋅项，得倒立摆系统线性方程⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++xb F mL x m M mgL J mL x mL &&&&&&&&&θθθ)()(2 (8) 对方程(8)进行Laplac e 变换得到：())()()(222s X mLs s mgL s s J mL -=-+θθ (9)())()()()(22s F s mLs s bsX s X s m M =+++θ (10)由式(9)可得())()(22s s g mL J mL s X θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-= (11)将式(11)代入式(10)，整理得摆角的传函为：)()(s F s θ = -()()sqbmgL s q mgL m M s q JmL b s q mLs -+-++23242 (12) 其中()()222L m J mL m M q -++=。

将式(12)代入式(11)，得小车位移的传函为：()()()qbmgL s q mgL m M s q JmL b s qmgLs q J mL s F s X -+-++-+=22322)()( (13)倒立摆系统设计与仿真一．系统的开环特性将实际系统参数M =1.096、m =0.109、b =0.1、L =0.25、J =0.0034代入式(12)和式(13)，并用u 来代表被控对象的输入力，从而得到倒立摆系统的数学模型为3094.28285.27088.03566.2)()()(23--+-==s s s ss u s s G θθ (16) 3094.28285.270883.03094.28832.0)()()(232--+-==s s s s s u s X s G x (17) 当)()(t t u δ=时，对应的响应曲线如下：可见，响应发散，系统不稳定，故需要进行闭环控制系统设计。

二．系统PID 控制器设计1. 对摆杆角度的控制采用如下结构图：考虑到r (t)=0，将上面系统框图变成如下形式：图中K (s)是控制器传递函数，G θ(s)是摆角的传递函数。

将K (s)、G θ(s)分别表示如下)()()(s D s N s K k k =，)()()(s D s N s G θθθ= (18) 式中)()(s D s N k k 和分别表示K (s)的分子分母多项式，)()(s D s N θθ和分别表示G θ(s)的分子分母多项式。

则摆杆的角度为)()()()()(1)()()()()(1)()(s F s D s N s D s N s D s N s F s G s K s G s k k θθθθθθθ-=-=)()()()()()()(s F s N s N s D s D s D s N k k k θθθ-=(19)具体设计时，根据式(15)可设i p d k K s K s K s N ++=2)(、s s D k =)(， K p 、K i 和K d分别为比例、积分、微分系数，其中ipi T K K =，d p d T K K =。

由式(16)知s s N 3566.2)(-=θ、3094.28285.27088.0)(23--+=s s s s D θ。

应用试凑法仔细调节PID参数(K p 、K i 和K d )，使)()(t t f δ=时的响应满足控制指标要求。

f (t)=Frf2. 对小车位移的控制采用如下结构图：考虑到r(t)=0，将上面系统框图变成如下形式：)()()()()(1)()()()()(1)()(sFsDsNsDsNsDsNsFsGsKsGsXkkxxxθθθ-=-=)()()()()()()()()()(sFsDsNsNsDsDsDsDsDsNxkxkkxθθθ-=(20)由式(17)知3094.28832.0)(2-=ssNx,3094.28285.27088.0)(23--+=ssssDx，可见)()(sDsDx=θ，所以式(20)可简化为)()()()()()()()(sFsNsNsDsDsDsNsXkkkxθθ-=(21)具体设计时，调节PID参数，使小车的位移稳定。

三．PID参数的确定1．取K p=1000、K i=50、K d=5f(t)=F+ u(t)θ(t)r(t)=0K(s) Gθ(s)x(t)G x(s)f(t)=F+u(t)θ(t)K(s) Gθ(s)x(t)G x(s)可见系统稳定，但响应振荡强，且不满足精度要求。

2．取K p=500、K i=30、K d=10可见系统响应振荡减弱，且不满足精度要求。

3．取K p=500、K i=30、K d=50可见系统响应无振荡，且满足精度要求。

最后，根据实际情况选K p=350、K i=10、K d=50。

M=1.096。

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倒立摆

倒立摆

北京信息科技大学控制系统计算机辅助设计实践报告学生姓名：薛燕彬学号：170223班级：研1702班院（系）：自动化学专业：控制工程倒立摆实验一、倒立摆简介倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。

对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。

通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。

同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。

二、倒立摆分类倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自由连接（即无电动机或其他驱动设备）。

现在由中国的大连理工大学李洪兴教授领导的“模糊系统与模糊信息研究中心”暨复杂系统智能控制实验室采用变论域自适应模糊控制成功地实现了四级倒立摆。

因此，中国是世界上第一个成功完成四级倒立摆实验的国家。

三、倒立摆控制目标倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。

当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。

四、实验题目要求有倒立摆控制系统通过给小车底座施加控制量，保持摆杆直立或使摆杆的摆脚跟踪指定的轨迹。

倒立摆系统如图所示：图1倒立摆模型动态模型为图2动态模型图在此系统中，g=9.8m2/s是重力加速度，M是小车的质量，m是摆杆的质量，l是摆长的一半，u为施加的外力，即控制量。

M=1kg，m=0.1kg，l=0.5m。

X1为输出摆角θ，X2为输出摆角速度θ。

摆角与输入的关系如下图3摆角与输入关系图将M=1kg，m=0.1kg，l=0.5m。

带入图3摆角与输入关系图中的方程式中，并化简可得如下方程式：θ=647sinθ−122θ2cosθsinθ44−3cosθ+6cosθ44−3cosθu（1）五、实验内容本实验采用PID控制器对系统进行控制，其系统结构如下图所示图2 PID控制系统结构图在本次实验中，我们的实验目的就是使倒立摆与地面垂直，保持直立状态，因此，输入的期望目标值r=0，但是，现实世界中倒立摆要受到外界力的干扰，这里将这个外力视为u，PID在有外力的情况下进行对系统的控制，可以通过改变PID参数实现对系统的控制。

倒立摆简介

倒立摆简介

倒立摆是验证控制方法和理论的实验平台，倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案、倒立摆最初研究开始于20世纪50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备，而后人们又参照双足机器人控制问题研制二级倒立摆控制设备，从而提高了检验控制理论或方法的能力，也拓宽了控制理论或方法的检验范围。

三级倒立摆是由一、二级倒立摆演绎而来，它的实物系统控制实现已经是公认的难题。

北京航空航天大学张明廉教授领导的课题组应用“拟人智能控制理论”，于1994年8月成功地实现单电机控制的三级倒立摆。

这一成功，证实了“拟人智能控制理论”的正确性，并表明了在没有精确数学模型和不需要推理机的前提下，对一类复杂被控对象是可以控制的。

三级倒立摆控制的成功，对空间运动体的控制有直接参考价值。

北师大模糊系统与模糊信息研究中心暨复杂系统智能控制实验室采用李洪兴教授提出的“变论域自适应模糊控制”理论，成功地实现了四级倒立摆控制仿真实验，并于 2002年8月11日实现了全球首例四级倒立摆实物系统控制。

而由此项理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。

各级倒立摆简介如下：1、单级摆：结构相对简单，控制相对容易，控制算法比较简单。

适合本科生实验教学。

2、二级摆：结构相对复杂，控制难度相对大，控制算法也相对复杂。

可适合于研究生实验教学需要，也可以作为专业教师研究新型的控制算法之用。

3、三级摆：结构复杂，控制难度大，控制算法复杂。

主要适于理论研究、实验仿真之用。

4、四级摆:比三级倒立摆更复杂。

主要适用于半导体及精密仪器加工、机器人技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面。

此前，实现的一级至四级倒立摆均为直线运动倒立摆。

直线运动倒立摆实现的是在一个平面上的摆动，轨道较长、传动环节较多、占地空间较大，实践中常常由于传动机构的故障或误差，而不是控制方法本身的问题导致平衡控制失败。

倒立摆模型

倒立摆模型


摆杆/小车铰接点与摆杆质心的距离
l 0.25m
摆杆绕其质心的转动惯量
I 0.0034kg m2
备注：可忽略了空气阻力以及小车与摆杆之间铰接点上的摩擦力矩。
表 1. 实验装置参数
现基于现代控制理论，按照如下步骤实现对研究直线一级倒立摆的控制方 法：1）建立直线一级倒立摆的运动方程；2）推导状态空间方程；3）分析能控
F
M
g
a. 小车的受力分析
b. 摆杆的受力分析
图2. 小车与摆杆的受力分析
小车在水平方向运动，则通过对小车的水平受力分析，可以得到以下方程：
(1) 摆杆作平面运动，可以分解为质心的平动和绕质心转动，由水平方向的受力 分析，可以得到下式：
即，
(2)
带入方程（1）得：
(3) 再由摆杆的垂直方向的受力分析，得到下式：
即， 又由摆杆对质心的力矩平衡方程有：
2
(4) (5)
直线一级倒立摆控制方法
由于
，所以等式左边有负号。最后，整理方程 (4)，(5)，可得： (6)
由于 ，则有
. 用 u 代表输入，也就是作用在
小车上的作用力，整理方程(3)，(6)可以得到一级倒立摆的运动方程
(7) 2. 系统的状态空间方程
为求系统的状态空间方程，对方程（7）进行拉氏变换，得到：
1
直线一级倒立摆控制方法
及能观性；4）计算状态反馈矩阵及状态观测矩阵；5）通过离线仿真分析验证上 述控制算法的有效性；6）通过上机实验观察其实际控制效果。 1. 建立直线一级倒立摆的运动方程
对小车和摆杆进行受力分析如图 2，其中，N 和 P 为小车与摆杆相互作用力 的水平和垂直两个方向的分量。
N
P
倒立摆数学模型(word文档良心出品)

倒立摆数学模型(word文档良心出品)

1单级倒立摆的数学模型的建立：小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。

电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。

导轨截面成H 型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行长度为1米。

轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。

图1 单级倒立摆系统数学模型倒立摆系统的模型参数如下[]：M 小车质量 1.096Kg ；m 摆杆质量 0.109Kgb 小车摩擦系数 0.1N/m /secI 摆杆质量 0.0034kg*m*ml 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25mT 采样频率 0.005s下面N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为：N x b F x M --=&&& (1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：()θθθθθsin cos sin 222&&&&&ml ml x m N l x dtd m N -+=+= （2） 把这个等式代入（1）式中，得到系统的第一个运动方程：()F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos 2&&&& （3）为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向的合力进行分析，得到下面的方程：()θcos 22l dtd m mg P =- θθθθcos sin 2&&ml ml mg P --=- （4）力矩平衡方程如下：θθ&&I Nl Pl =--cos sin （5）方程中力矩的方向，由于φπθ+=，θφθφsin sin ,cos cos -=-=，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程： ()θθθcos sin 2x ml mgl ml I &&&&-=++ （6）假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即1〈〈φ，则可进行近似处理：0,sin ,1cos 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=dt d θφθθ用u 代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如下：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M x ml mgl ml I φφφ&&&&&&&&&2（7）对方程（7）进行拉普拉斯变换，得到：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+)()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I φφφ （8）（推到时假设初始条件为0）则，摆杆角度和小车位移的传递函数为： mgl s ml I mls s X s -+=222)()()(φ将上述参数代入，摆杆角度和小车位移的传递函数为：26705.00102125.002725.0)()(22-=s s s X s φ摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： ()mgl s ml I mls A s -+=22)()(φ将上述参数代入，摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：26705.00102125.002725.0)()(22-=s s s A s φ摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：22432222()()()()()()ml s s q b I ml M m mgl bmgl F s s s s s q q qq M m I ml m l φ=+++--⎡⎤=++-⎣⎦将上述参数代入，摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：32()2.35655()0.088316727.9169 2.30942s s F s s s s φ=+-- 以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：222222222201000()00()()()00010()00()()()x x I ml b m gl I ml x x I M m Mml I M m Mml I M m Mml u mlb mgl M m ml I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++++⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦⎣⎦&&&&&&&&1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&& 将上述参数代入，以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：0100000.08831670.62931700.8831670001000.23565527.82850 2.356551000000100x x x x u x x x y u φφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&&&&&&&&&& 以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：'0100000001000103300044x x x x u gl l φφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦&&&&&& '1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&& 将上述参数代入，以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：0100000001000100029.4031000000100x x x x u x x x y u φφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&&&&&&&&&& 2系统的可控性、可观测性分析对于连续时间系统：Bu AX X+=& Du CX y +=系统状态完全可控的条件为：当且仅当向量组B A AB B n 1,...,,-是线性无关的，或n ×n 维矩阵[]B A AB B n 1-M ΛM M 的秩为n 。