竞赛中的七边形问题 - 苏州市第一中学校

江苏省苏州一中2024年高考数学试题终极仿真预测试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为3π，且点F 到该渐近线的距离为3，则双曲线C 的实轴的长为 A ．1 B ．2 C ．4D ．8552．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13B ．23C ．33D ．233．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π-C ．23π D ．23π-4．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()f x 在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．函数()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的对称中心是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭D ．函数()f x 的对称轴是()5212k x k Z ππ=-∈ 5．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABCS =，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP x y CACB=⋅+⋅，则11x y+的最小值为（ ） A ．73123+B ．12C ．43D ．53124+6．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．23D ．12-7．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．22B ．32C ．102D ．128．若复数z 满足()112i z i -=-+,则||Z =( )A ．22B ．32C ．102D ．129．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且10．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 11．某程序框图如图所示，若输出的120S =，则判断框内为（ ）A ．7?k >B ．6?k >C ．5?k >D ．4?k >12．函数f (x )＝21xx e-的图象大致为() A ． B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

∴顶角∠BAC=90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
故答案为30°或150°或90°．
点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
2．如图所示， 为等边三角形， 是 内任一点， ， ， ，若 的周长为 ，则 ____ ．
【答案】4
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴a2=2a1=6，
a3=4a1，
a4=8a1，
a5=16a1，
以此类推：a2019=22018a1=3×22018
故答案是：6；3×22018．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a2=2a1=6，a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而发现规律是解题关键．
【详解】
解：如图连接AA₁,由折叠的性质可得：AA₁⊥DE, DA= DA₁,A₂、A₃…均在AA₁上
又∵D是AB中点，∴DA= DB ,
∵DB= DA₁,
∴∠BA₁D=∠B ,
∴∠ADA₁=∠B +∠BA₁D=2∠B,
又∵∠ADA₁=2∠ADE ,
∴∠ADE=∠B
∵DE//BC,
∴AA₁⊥BC ,
∴△AHE是等边三角形
∴HE=AH
∵∠HFP=∠A=60°
∴∠HFP=∠AHE=60°
∴△AHE是等边三角形，
∴FP=PH
∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm
故答案为4cm．
【点睛】

操作性问题的常用解法陆洪良;缪利平【摘要】操作性问题已经成为初中数学竞赛的一大特色，用来培养学生的创新精神与实践能力．创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力，培养学生的创新能力、创造思维成了素质教育的一大任务，因而在近几年的各项竞赛以及升学考试中越来越体现出操作性问题的重要性，所占的比重也日趋增大．所谓操作性问题.【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2008(000)006【总页数】2页(P8-9)【关键词】操作性问题;解法;数学竞赛;民族进步;实践能力;创新精神;创新能力;素质教育【作者】陆洪良;缪利平【作者单位】嘉兴第一中学实验学校,浙江嘉兴314001;秀洲现代实验学校,浙江嘉兴314000【正文语种】中文【中图分类】G633.6操作性问题已经成为初中数学竞赛的一大特色，用来培养学生的创新精神与实践能力.创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力，培养学生的创新能力、创造思维成了素质教育的一大任务，因而在近几年的各项竞赛以及升学考试中越来越体现出操作性问题的重要性，所占的比重也日趋增大.所谓操作性问题，实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换，这种变换可以具体执行.例如，对任意一个自然数，是奇数就加1，是偶数就除以2.这就是一次操作，是可以具体执行的.操作性问题往往是求连续进行某种操作后可能得到的结果.笔者认真研究了最近、最新的操作性问题的命题趋向，常用的解法有：试验法、讨论法以及利用不变性、周期性等.1 试验法试验法是解决操作性问题最常用的一种方法，通常根据操作规则，从简单情形出发，进行多次尝试，由局部变化的特征来考察研究的对象，从而能够拓宽思路，抓住主要矛盾，解决问题.图1例1 如图1是一个4×4的表格，每个方格中填入了数字0或1.按下列规则进行“操作”：每次可以同时改变某一行或某一列的数字：1变成0，0变成1.问：能否通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成1？分析观察表中的某一行或某一列的数，如第3列：1，1，0，1，通过操作后得到0，0，1，0，操作前4个数之和为3，操作后4个数之和为1，也就是说这样的操作不改变表格中的16个数的和的奇偶性.解先考察表格中填入的所有数的和的奇偶性：第一次操作之前，它等于9，是一个奇数，每一次操作，要改变一行或一列4个方格的奇偶性，显然整个16格中所有数的和的奇偶性不变.但当每一格中所有数字都变成1时，整个16格中所有数的和是16，为一偶数.故不能通过若干次操作使得每一格中的数都变成1.评注解决本题的关键是先试验：选择表格中的任意一行或一列，将方格中的数按要求进行操作，然后寻找其变化规律，蕴涵了从特殊到一般的数学思想.2 利用周期性周期性是指事物在运动、变化的发展过程中，按照一定的方式不断重复排列的特性.利用周期性来解决的操作题也是近几年初中数学竞赛中的热点题型，是从初始状态出发按照规则进行操作，找出变化的周期.例2 有n个数，第1个记为a1,第2个记为a2，…，第n个记为an.若且从第2个数起每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”,求a1a2a3…a2004a2005a2006的值.(2005年重庆市初中数学竞赛决赛试题)分析由“”及“1与它前面那个数的差的倒数”这2个条件,可分别计算出：可以发现每3个数重复一次，因而也不难求出解由得同理可得因此a1a2a3…a2004a2005a2006=1.评注解决本题的关键是根据题中的条件计算得出：发现第4个数与第1个数相同，确定周期为3.图2例3 一个七边形棋盘如图2所示,7个顶点顺序从0到6编号,称为7个格子,一枚棋子放在0格,现在依逆时针移动这枚棋子,第1次移动1格,第2次移动2格,…,第n次移动n格，则不停留棋子的格子的编号有______.(2007年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛试题)分析本题可先按规则操作7次，从中发现从不停留棋子的格子为2，4，5；再继续按规则操作，不难发现第8次与第1次停留同一格…，第k次与第k+7次停留同一格，得出每移动7次是一个周期.解经操作发现：从不停留棋子的格子为2，4，5；棋子停留的格子号码每移动7次循环(即第k次与第k+7次停留同一格).第k次移动棋子，移动的格子数为：1+2+3+…+k,第k+7次移动棋子，移动的格子数为1+2+3+…+k+(k+1)+…+(k+7).又[1+2+3+…+k+(k+1)+…+(k+7)]-(1+2+3+…+k)=7k+28=7(k+4)，所以第k+7次与第k次移动棋子停留格子相同.评注从上述2例可知，解决本题型的关键是从初始状态出发，按照规则操作，寻找变化的规律，直至确定变化周期.如何确定周期是解决此类问题的难点.3 利用不变性所谓不变性就是给出一个问题的初始状况，一切按照一定的规程进行操作，从而进一步判断操作的结果.利用不变性解题在近3年的初中数学竞赛中应用比较广泛.解决这类问题的关键在于探求在操作时有些什么规律，然后抓住这个规律进行推理.大部分操作题的解题规律总是探求在操作的规律过程中的一些不变因素，这些不变因素称为不变量，通过不变因素即不变量把握变化的进程.例4 黑板上写有1，2，3，…，2010，擦去2个数并写上这2个数的差(大数减小数)为一次操作，若干次操作后，黑板上还剩下一个数.这个数能为零吗？为什么？分析考查黑板上所有数的和的奇偶性，由于a+b与a-b奇偶性相同，知所得和的奇偶性不变.解黑板上所有数的和为：1+2+3+…+2010=1005×2011,是奇数.将其中2个数的和变为差，由a+b与a-b奇偶性相同，可知所得和的奇偶性不变.操作若干次后，黑板上只剩下一个数，这个数必为奇数，它不可能为零.评注解决本题的关键是要从操作中看到，每次操作后，黑板上所剩数字的和总是奇数，这个特性是不变的.例5 在黑板上写上数1和2，可以用下列方式补写上一些新数：如果黑板上有数a 和b，那么可以补上数ab+a+b.问能不能用这个方法得到数12131？分析解决此题的关键是看补上的新数有何特征，其实不难发现这样一件事情:式子ab+a+b+1=(a+1)(b+1)在平时的因式分解中经常碰到，故容易发现补上的数可写为(a+1)(b+1)-1.由于原来2数为1和2，补上的数最后的形式为：2n×3m-1，再对12131这个数进行验证即可获得结论.解设c=ab+a+b，则c+1=(a+1)(b+1).若将黑板上每个数加上1，则补上的新数加1是这2个数加1的乘积.由于原来的数是1和2，现在考察2和3，经过若干次操作后变为2n×3m，于是在原来的情况下得到的数应为2n×3m-1，而12131+1=22×32×337≠2n×3m，故结论是否定的.评注由于c+1=(a+1)(b+1)，而原来的数为1和2，因此每个数加上1后，无论经过多少次操作，它的形式均为2n×3m-1，这个形式是不变的，是解决该问题的关键.用不变量求解的操作题，与平常学习的常规数学问题有距离，但又是常规问题的拓展与延伸.注意平时的积累是必要的，解决的关键还是选择合适的不变量，这是求解此类问题的难点和关键所在.4 讨论法分类讨论思想是数学思想方法中重要的方法之一，在近几年的数学竞赛中，尤其是在一些操作性问题中，分类讨论的思想也应用得越来越多.图3例6 如图3所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案个数是( )A．16 B．32 C．48 D．64(2006年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题)分析先考虑2×2小方格图形中有几种不同的画法，再对4×5的大方格图形考虑位置不同的2×2小方格图形共有几个，从而得出本题的结果.解在每个2×2小方格图形中有4种不同的画法，而位置不同的2×2小方格图形共有12个，故画出不同位置的L形图案个数是12×4=48．故选C．评注解决本题的关键是抓住一个2×2小方格图形有几种不同的画法，依据这个结论再根据图形特点找出4×5的方格中有多少个位置不同的2×2小方格，这里尤其要注意位置不同的小方格，以免重复记数.例7 用标有1g，2g，6g，26g的法码各一个，在一架无刻度的天平上称重物，如果天平2端均可放置法码，那么可以称出的不同克数(正整数的重物)的种数共有( )A．15种 B．23种 C．28种 D．33种(2006年全国初中数学竞赛浙江赛区复赛试题)分析解决此题的关键是进行分类讨论，可从2个方面:“一端放砝码，一端不放”、“两端都放”来展开讨论.解(1)当天平的一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有1g，2g，6g，26g；(2)当天平的一端放2个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有3g，7g，8g，27g，28g，32g；(3)当天平的一端放3个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有9g，29g，33g，34g；(4)当天平的一端放4个砝码时，可以称量重物的克数有35g;(5)当天平的一端放1个砝码，另一端也放1个砝码时，可以称量重物的克数有1g，4g，5g，20g，24g，25g；(6)当天平的一端放1个砝码，另一端放2个砝码时，可以称量重物的克数有3g，5g，7g，18g，19g，21g，22g，23g，25g，27g，30g，31g；(7)当天平的一端放1个砝码，另一端放3个砝码时，可以称量重物的克数有17g，23g，31g，33g；(8)当天平的一端放2个砝码，另一端也放2个砝码时，可以称量重物的克数有19g，21g，29g．综上所述,去掉重复的克数后，共有28种．故选C.从上述2个例题可知，分类讨论法解题的关键在于正确、恰当地选择分类标准.在分类时，要注意在按照某一标准划分时,不要将某些对象重复地分到不同的类别中，也不能有遗漏.。

1．某球队在足球赛中共赛4场，积6分，按照比赛规定，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，请你判断以下说法一定正确的是（ ）． Ａ．该队无负场 Ｂ．该队无平场 Ｃ．该队至少胜1场 Ｄ．该队既有负场又有平场2．边长相同的下列正多边形地砖中，能与正六边形地砖实现平面镶嵌的是（ ）． Ａ．正三角形 Ｂ．正四边形 Ｃ．正五边形Ｄ．正七边形3、下列角度中，不能成为多边形内角和的只有（ ）A 、1800°B 、900°C 、540°D 、280° 4．下列各图形中，具有稳定性的是（ ）5．周日，小华做作业时，把老师布置的一个正方形忘了画下来，打电话给小云，小云在电话中答复他：“你可以这样画，正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别是（1，2）、（-2，2）、（-2，-1），顶点D 的坐标你自己想吧！”那么顶点D 的坐标是 。

如图，3×3网格中，把△ABC 上下或左右平移，要求平移的范围不超出大正方形，平移的距离必须为整数。

包括△ABC 在内，共可以得到几个这样的三角形？按同样要求，同样形状、同样大小的三角形在4×4，5×5网格中会有多少个？在n ×n 网格中呢？请把答案填入下表中。

6．（7分）中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如下图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走。

例如：图①中“马”所在的位置可以直接走到点A 、B 处。

（1）如果“帅”位于点（0，0），“相”位于点（4，2），则“马”所在的点的坐标为 ，点C 的坐标为 ，点D 的坐标为 。

（2）若“马”的位置在C 点，为了到达D 点，请按“马”走的规则，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示。

7、如图是一块长方形ABCD的场地，长AB =102m ， 宽AD =51m ，从A 、B 两处入口的中路宽都为1m ， 两小路汇合处路宽为2m ，其余部分种植草坪，则 草坪面积为（ ）（A ）5050m 2 （B ）4900m 2 （Ｃ）5000m 2（Ｄ）4998mACB S8．某城市滨江路有一块类似长方形的空地需建设成花园，这块地长1 800米，宽50米．城管局组委会通过公开投标和资格审查，有两家公司均有资格承建这项工程．公司甲平均每天可完成900平方米，每平方米造价50元；公司乙平均每天可完成1 200平方米，每平方米造价为55元．这项工程必须在90天内完成，不能逾期，总造价不得超过500万元．（1）现有三种方案：方案一，由公司甲单独承建；方案二，由公司乙单独承建；方案三，由公司甲修建部分面积，完成后由公司乙修建余下的面积，恰好在90天完成．这三个方案中，有几个方案可行？写出可行的方案，不可行的方案请说明理由；（2）在以上可行的方案中，两家公司各自承担多少面积的工程？每个方案的总造价是多少？采用哪个方案更省钱？9．在某县“助困工程”中，城关中学少先队一中队发起“向贫困家庭学生捐赠一本好书”的活动，中队全体少先队员积极响应，有1人捐出5本，3人每人捐出3本，5人每人捐出2本，其余每人捐出1本．这批书送到某乡后，全部分发给该乡几个贫困家庭学生，如果每人分4本，就要余9本；如果每人分5本，则最后1人分到书但不足2本． （1）这批书有多少本，得到书的贫困家庭学生有几人？ （2）城关中学一中队的少先队员共有多少人？10、已知代数式，x x c bx ax 时和当31,,2-==++它的值都为5，当1-=x 时， 它的值为1（1）求出a,b,c （2）当c bx ax，x ++-=243求代数式时的值。