高考数学一轮复习第五章数列分层限时跟踪练30

3 13
3a ， y 0 13a cos 13a
2 13
2a ，
即 A3a,2a ，又 Bm,0 ，所以直线 AB 的方程为 y 与 y 3x 联立得点 C(
2am 6am , ) 3m 7a 3m 7a
2a x m ． 3a m 1 3am 2 7 S (m) OB | y C | (m a) 2 3m 7 a 3
x x x ,1), n (cos , cos 2 ). 4 4 4 2 x) 的值； （1）若 m n 1 ,求 cos( 3 （2）记 f ( x) m n ，在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，且满足 (2a c) cos B b cos C ，求函数 f ( A) 的取值范围．
9．解： （1）∵f (x)＝2＋ ≥0 对 x[1,＋∞)恒成立，∴2x＋a≥0∴2＋a≥0∴a≥－2． （2）f
a x
x1＋x2 f (x1)＋f (x2) lnx1＋lnx2 x1＋x2 x1＋x2 a ≥aln lnx1＋lnx2≤2ln ≤ 2 2 2 2 2 x1＋x2
当且仅当 m
7 a 3
为焦点，长轴长为 4 的椭圆，∴ a 2 ，又∵ c 3 ， b2 a 2 c2 1 ． x2 ∴椭圆 C 的方程为 2 y2 1 ． 4 （2）由题意，可设直线 l 为： x my 1 ．
3 3 3 3 y x , 取 m 0, 得 R 1, 2 ,Q 1, 2 ，直线 A1R 的方程是 6 3 3 x 3, 交点为 S1 4, 3 . 直线 A2 Q 的方程是 y 2 3 3 S 4, 3 . 若R 1, ,Q 1, ，由对称性可知交点为 2 2 2 若点 S 在同一条直线上，则直线只能为 : x 4 ． ②以下证明对于任意的 m, 直线 A1R 与直线 A2 Q 的交点 S 均在直线 : x 4 上．

课时限时检测(三十) 等差数列(时间：60分钟 满分：80分)命题报告1．(2012·福建高考)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }中的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 法一 利用基本量法求解．设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2.∴d ＝2.法二 利用等差数列的性质求解．∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5. 又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2. 【答案】 B2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5【解析】 ∵数列{a n }是等差数列，a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝2n －1， 又S k ＋2－S k ＝24，∴a k ＋2＋a k ＋1＝2(k ＋2)＋2(k ＋1)－2＝4k ＋4＝24， ∴k ＝5. 【答案】 D3．(2014·临沂模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 设{a n }的公差为d ， ∵a 1＋a 9＝a 4＋a 6＝－6，且a 1＝－11， ∴a 9＝5，从而d ＝2.所以S n ＝－11n ＋n (n －1)＝n 2－12n ， ∴当n ＝6时，S n 取最小值． 【答案】 A4．(2014·淄博一中期中)如果等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 7＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 9的值为( )A ．18B ．27C ．54D ．36 【解析】 因为，等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 7＝12， 所以，由等差数列的性质，3a 5＝12，a 5＝4， 所以，a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝36，选D. 【答案】 D5．(2013·辽宁高考)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4【解析】 因为d >0，所以a n ＋1>a n ，所以p 1是真命题．因为n ＋1>n ，但是a n 的符号不知道，所以p 2是假命题．同理p 3是假命题．由a n ＋1＋3(n ＋1)d －a n－3nd ＝4d >0，所以p 4是真命题．【答案】 D6．(2014·青岛期中)已知等差数列{a n }的公差d ＞0，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 013＝2 013a t (t ∈N *)，则t ＝( )A ．2 014B ．2 013C ．1 007D ．1 006【解析】 由等差数列前n 项公式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 013＝2 013(a 1＋a 2 013)2＝2 013a t ，由等差数列性质得a 1＋a 2 013＝2a 1 007＝2a t ，所以t ＝1 007，故选C.【答案】 C二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2014·洛阳模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.【解析】 ∵a m －1＋a m ＋1＝2a m ， ∴2a m －a 2m ＝0，则a m ＝2，a m ＝0(舍)，又S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝(2m －1)a m ＝2(2m －1)＝38.解之得m ＝10.【答案】 108．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________. 【解析】 ∵6S 5－5S 3＝5，∴6(5a 1＋10d )－5(3a 1＋3d )＝5， ∴a 1＋3d ＝13，即a 4＝13. 【答案】 139．(2014·安庆模拟)已知等差数列{a n }中，a 1，a 99是函数f (x )＝x 2－10x ＋16的两个零点，则12a 50＋a 20＋a 80＝________.【解析】 依题意a 1＋a 99＝10，∴a 50＝5， 故12a 50＋a 20＋a 80＝12a 50＋2a 50＝252. 【答案】 252三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.【解】 (1)设{a n }的公差为d ，由题意得a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )． 于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的 等差数列． 从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .11．(12分)(2014·长沙模拟)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝S n n ＋c ，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由等差数列的性质，得a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22， ∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的根，且a 4＞a 3， ∴a 3＝9且a 4＝13， 从而a 1＝1，公差d ＝4， 故通项a n ＝1＋4(n －1)＝4n －3. (2)由(1)知S n ＝n (1＋4n －3)2＝2n 2－n ， 所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c.法一 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c (c ≠0)．令2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－12.当c ＝－12时，b n ＝2n 2－n n －12＝2n ， 当n ≥2时，b n －b n －1＝2.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列． 法二 当n ≥2时，b n －b n －1＝2n 2－n n ＋c －2(n －1)2－(n －1)n －1＋c＝2n 2＋(4c －2)n －3cn 2＋(2c －1)n ＋c (c －1)， 欲使{b n }为等差数列，只需4c －2＝2(2c －1)且－3c ＝2c (c －1)(c ≠0)， 解得c ＝－12.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．12．(13分)(2014·兰州模拟)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)．(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项； (3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围． 【解】 (1)证明 由3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)得， 1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)可得，1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2.∴a n ＝13n －2.(3)λa n ＋1a n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立， 即λ3n －2＋3n ＋1≥λ对n ≥2(n ∈N *)恒成立．整理得λ≤(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)(n ≥2，n ∈N *)，令C n ＝(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)，C n ＋1－C n ＝(3n ＋4)(3n ＋1)3n －(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)＝(3n ＋1)(3n －4)3n (n －1)因为n ≥2，所以C n ＋1－C n ＞0，∴{C n }为单调递增数列，C 2最小，且C 2＝283， 故λ的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，283.。

...............................................................................................高考数学一轮复习第五章数列分层限时跟踪练31练习(限时40分钟)一、选择题1．(2015·贵州八校联盟)已知数列{an}是等差数列，若a2＋2，a4＋4，a6＋6构成等比数列，则数列{an}的公差d等于( )A．1 B．－1DC．2．－2【解析】因为a2＋2，a4＋4，a6＋6构成等比数列，所以(a4＋4)2＝(a2＋2)(a6＋6)，化简得d2＋2d＋1＝0，所以d＝－1，故选B.【答案】 B2．(2015·江西省高考适应性测试)已知数列{an}中，a1＝2，a2＝8，数列{an＋1－2an}是公比为2的等比数列，则下列判断正确的是( ) A．{an}是等差数列 B．{an}是等比数列D. 是等比数列C.是等差数列【解析】由已知a2－2a1＝4，an＋1－2an＝4×2n－1＝2n＋1，故－＝1，所以{}是等差数列，故选C.【答案】 C3．已知在数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|1 / 8 ...............................................................................................＋|a3|＋…＋|a30|等于( ) A．445 B．765D．3 105C．1 080【解析】∵an＋1＝an＋3，∴an＋1－an＝3.∴{an}是以－60为首项，3为公差的等差数列．∴an＝－60＋3(n－1)＝3n－63，n∈N*.令an≤0，得n≤21.∴前20项都为负值．∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a20)＋a21＋…＋a30＝－2S20＋S30.∵Sn＝＝，∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝765，故选B.【答案】 B4．设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额地分n次付清，若每期利率r保持不变，按复利计算，则每期期末所付款是( )A.(1＋r)n元B.元D.元1＋r)n－元 C.(1【解析】设每期期末所付款是x元，则各次付款的本利和为x(1＋r)n－1＋x(1＋r)n－2＋x(1＋r)n－3＋…＋x(1＋r)＋x＝a(1＋r)n，即x·＝a(1＋r)n，故x＝.【答案】 B5．(2015·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则( )2 / 8 ...............................................................................................A．a1d>0，dS4>0 B．a1d<0，dS4<0 D．．a1d>0，dS4<0a1d<0，dS4>0C【解析】∵a3，a4，a8成等比数列，∴a＝a3a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，展开整理，得－3a1d＝5d2，即a1d＝－d2.∵d≠0，∴a1d<0.∵Sn＝na1＋d，∴S4＝4a1＋6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－d2<0.【答案】 B二、填空题6．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于．【解析】每天植树的棵树构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn＝＝＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102，由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6.【答案】 67．(2015·天津模拟)已知数列{an}满足 a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为．【解析】 an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2＋33＝2(1＋2＋…＋n－1)＋33＝(n－1)n＋33，故＝n＋－1.令f(x)＝x＋－1，则f(x)＝x＋－1在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．又f(5)＝＞f(6)＝，故的最小值为.3 / 8 ...............................................................................................63【答案】68．(2014·安徽高考)如图5-5-1，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C 的垂线，垂足为A3；…，依此类推．设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝ .图5-5-1【解析】根据题意易得a1＝2，a2＝，a3＝1，∴{an}构成以a1＝2，q＝的等比数列，∴a7＝a1q6＝2×6＝.1【答案】4三、解答题9．(2015·吉林模拟)已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比数列，(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜.【解】 (1)由已知及等差数列的性质得S5＝5a3，∴a3＝14，又a2，a7，a22成等比数列，即a＝a2·a22.由(a1＋6d)2＝(a1＋d)(a1＋21d)且d≠0，解得a1＝d，∴a1＝6，d＝4.故数列{an}的通项公式为an＝4n＋2，n∈N*.(2)由(1)得Sn＝＝2n2＋4n，＝＝，∴Tn＝＝－.又Tn≥T1＝－＝，所以≤Tn＜.10.(2015·安徽高考)设n∈N*，4 / 8 ...............................................................................................xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标．(1)求数列{xn}的通项公式；(2)记Tn＝xx…x，证明：Tn≥.【解】 (1)y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n＋2，从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1)．令y＝0，解得切线与x轴交点的横坐标xn＝1－＝，所以数列{xn}的通项公式xn＝.(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知，Tn＝xx…x＝22…2.当n＝1时，T1＝.当n≥2时，因为x＝2＝>＝＝，所以Tn>2×××…×＝.综上可得，对任意的n∈N*，均有Tn≥.1．已知数列{an}满足an＋1＋an－1＝2an，n≥2，点O是平面上不在l上的任意一点，l上有不重合的三点A、B、C，又知a2＋a2 009＝，则S2 010＝( )A．1 004 B．2 010 C．2 009 D．1 005【解析】如图所示，设＝λ，则a2＋a2 009＝＝＋＝＋λ＝＋λ(－)．故(a2－1＋λ)＝(λ－a2 009).又∵A、B、C三点不重合，∴∴a2＋a2 009＝1.又∵an＋1＋an－1＝2an，n≥2，∴{an}为等差数列．5 / 8 ...............................................................................................∴S2 010＝＝＝1 005.【答案】 D2．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于( )A．24 B．32 C．48 D．64【解析】依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，两式相除，得＝2，所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…成等比数列．而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2·24＝32，a11＝1·25＝32.又因为an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64.【答案】 D3．已知数列{an}的通项公式为an＝25－n，数列{bn}的通项公式为bn＝n＋k，设cn＝若在数列{cn}中，c5≤cn对任意n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是．【解析】数列cn是取an和bn中的最大值，据题意c5是数列{cn} 的最小项，由于函数y＝25－n是减函数，函数y＝n＋k是增函数，所以b5≤a5≤b6或a5≤b5≤a4，即5＋k≤25－5≤6＋k或25－5≤5＋k≤25－4，解得－5≤k≤－4或－4≤k≤－3，所以－5≤k≤－3.【答案】 [－5，－3]4．已知数列{an}的通项公式为an＝，前n项和为Sn，若对任意的正整数n，不等式S2n－Sn＞恒成立，则常数m所能取得的最大整数为．【解析】要使S2n－Sn＞恒成立，只需(S2n－Sn)min＞.6 / 8 ...............................................................................................因为(S2(n＋1)－Sn＋1)－(S2n－Sn)＝(S2n＋2－S2n)－(Sn＋1－Sn)＝a2n＋1＋a2n＋2－an＋1＝＋－＞＋－＝－＞0，所以S2n－Sn≥S2－S1＝，所以＜，即m＜，故m所能取得的最大整数为5.【答案】 55．(2014·全国卷Ⅱ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明：是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明：＋＋…＋<.【证明】 (1)由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋＝3.又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列．an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤＜.1＋＋…＋1于是＋＋…＋＜1－3n<.<.所以＋＋…＋＝a7a2＋的公差为－1，且)6．(2015·青岛模拟已知等差数列{an}6.＝－＋a12；Snn项和{an}(1)求数列的通项公式an与前项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰的前4(2)将数列{an}m∈N*，Tn项和为，若存在{bn}{bn}为等比数列的前3项，记的前n的取值范围．λ恒成立，求实数＋＜n∈N*，总有使对任意SnTmλ7 / 8 ...............................................................................................【解】 (1)由a2＋a7＋a12＝－6得a7＝－2，∴a1＝4，∴an＝5－n，从而Sn＝，n∈N*.(2)由题意知b1＝4，b2＝2，b3＝1，设等比数列{bn}的公比为q，则q＝＝，∴Tm＝＝8，∵m随m增加而递减，∴{Tm}为递增数列，得4≤Tm＜8.又Sn＝＝－(n2－9n)＝－，故(Sn)max＝S4＝S5＝10，若存在m∈N*，使对任意n∈N*总有Sn＜Tm＋λ，则10＜4＋λ，得λ＞6.即实数λ的取值范围为(6，＋∞)．8 / 8。

分组转化法求和的常见类型 1．若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求
{an}的前 n 项和． 2．通项公式为 an＝cbnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比 数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，
Sn＝na12＋an＝_n_a_1_＋__n_n_－2__1__d___.
(2)等比数列的前 n 项和公式： Sn＝naa11－1－，aqqnq＝＝1_a，_11_1－_－_q_q_n_，__q_≠__1_._ 2．倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同 一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项 和公式即是用此法推导的．
1．必会结论 常用求和公式
前 n 个正整数之和 前 n 个正奇数之和
前 n 个正整数的平方和
前 n 个正整数的立方和
1＋2＋…＋n＝nn2＋1 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
nn＋12n＋1 12＋22＋…＋n2＝________6_______
13＋23＋…＋n3＝nn＋2 12
2.必知联系 (1)直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数 (字母)时，应对其公比是否为 1 进行讨论． (2)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如 an，an＋1 的式子应进行合并． (3)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后 剩多少项．
(2)由(1)可得 bn＝2n＋n， 所以 b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝211－－2210＋1＋102×10 ＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.