2019-2020学年内蒙古包头市北重三中2018级高二下学期期中考试数学(理)试卷及解析

北重三中2017～2018学年第二学期高二年级期中考试理科数学试题考试时间：2018年5月10日 满分：150分 考试时长：120分钟第一部分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i z +=1（i 是虚数单位），则复数22+z z对应的点位于( )A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2．曲线34x x y -=在点（－1，－3）处的切线方程是（ ）A.74y x =+B.72y x =+C.2y x =-D.4y x =- 3.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数2)1(22211441222222+++++≥++++aa aa aa a在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确 4．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（ ） A ．35 B ．50 C ．70 D ．100 5.若1021022012100210139),()()x a a x a x a x a a a a a a =+++⋯+++⋯+-++⋯+则 的值为（ ） A ．0B ．2C ．－1D ．16. 设函数()f x 的导函数为()f x '，且2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '= （ ）A ．0B ．4-C ．2-D ．27．已知函数)(x f 在1=x 处的导数为1，则xx f x f x3)1()1(lim 0+--→= ( )A ．3B ．32-C ． 13D ．23- 8．由曲线x y =，直线2-=x y 及y 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．316B ．310C ．4D ．6 9.用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ）A.111313233k k k +++++ B.112313233k k k +-+++ C.11331k k -++ D.133k + 10.已知函数()y xf x '=的图象如右图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四图象中()y f x =的图象大致是( )11.在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为( ) A. 72 B. 60 C. 36 D. 3012.定义在R 上的奇函数)(x f 的导函数)(/x f 。

内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学高二数学下学期期中试题文一、选择题（每小题5分，共60分）1、下列六个关系式：①{}{}a b b a ,,⊆ ②{}{}a b b a ,,= ③Φ=}0{ ④}0{0∈ ⑤}0{∈Φ ⑥}0{⊆Φ 其中正确的个数为 ( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个2、设x x f -=11)(，则)]([x f f 的表达式为 （ ）A.x x -1B.2)1(1x - C.x 11- D.x -11 3、已知R a ∈，则“2>a ”是“a a 22>”成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、设i iz 21+=，则复数=_z ( )A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +25、函数()f x =的定义域为 （ ）A.(30]-，B.(31]-，C.(,3)(3,0]-∞--D. (,3)(3,1]-∞--6、函数()f x = （ ）A ．),1[+∞-B ．[)1,+∞ C ．[]3,1- D ．]1,(--∞7、曲线12-+=x xe y x 在点（0，1-）处的切线方程为 （ ） A.13-=x y B.13--=x y C. 13+=x y D. 12--=x y 8、在一组样本数据不全相等）n n n x x x n y x y x y x ,,,,2)(,(),,(),,(212211 ≥的散点图中，若所有样本点),2,1),(n i y x i i =（都在直线12+=x y 上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A.－1B.0C.2D.19则y 对x 的线性回归方程为 （ ）A ．1y x =-B ．1y x =+C ．1882y x=+D ．176y =10、已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A 1B 1或32C 1，32或 D11、若函数432--=x x y 的定义域为［0，m ］，值域为［-425,-4］，则m 的取值范围是( ) A.(0,]4 B.［23,4］ C.［23,3］ D.［23,+∞)12、设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 31cos 32y x （为参数θ），直线l 的方程为02sin 3cos =+-θρθρ，则曲线C 上到直线l 距离为10107的点的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题（每小题5分，共20分）13、“∃032,0200>--∈x x A x 使得”的否定为 ；14、某班有学生55人，其中体育爱好者43 人，音乐爱好者34 人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人；15、 若函数52++=x mx y 在[2,)-+∞上是增函数,则m 的取值范围是________； 16、有下列四个命题： ①命题“若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“若32≠≠x x 或,则0)3)(2(≠--x x ”的逆否命题；③命题“若1≤m ，则022=+-m x x 有实根”的逆否命题；④命题“若A ⊆B ，则A ∩B =B ”的逆命题；其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）。

一、单选题【全国百强校】内蒙古包头市北方重工业集团有限公司第三中学2018-2019学年高二下学期期中考内蒙古 高二 期中 2019-06-02 153次1. 已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则等于（ ）A ．4B ．5C ．7D ．82.函数在上的单调情况是（ ）A ．单调递增；B ．单调递减；C ．在上单调递增，在上单调递减；D ．在上单调递减，在上单调递增；3. 已知,下列不等式中成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 已知抛物线上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是（ ）A ．0C ．1D ．2B．5. 方程（为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是（）A．B．C．D．6. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．为函数的单调递增区间B．为函数的单调递减区间C．函数在处取得极小值D．函数在处取得极大值7. 过双曲线的右焦点与轴垂直的直线与渐近线交于A,B两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8. 极坐标方程（-1）（）=0（0）表示的图形是A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线9. 若函数的极大值为1，则函数的极小值为（）A．B．C．D．二、填空题10. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11. 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=，|DE |=，则C 的焦点到准线的距离为 ( )A ．8B ．6C ．4D ．212. 定义域为R 的可导函数的导函数为，且满足，则下列关系正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．13. 已知函数，则________；14. 在平面直角坐标系中，若右顶点，则常数 .15. 若曲线在点处的切线方程是，则_______；三、解答题16. 设点P 在椭圆上，点Q 在直线上，若|PQ|的最小值为，则m=_____17. （1）求不等式的解集；（2）若正实数满足，求证：。

北重三中2017～2018学年第二学期高二年级期中考试理科数学试题考试时间：2018年5月10日满分：150分考试时长：120分钟第一部分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 设（是虚数单位），则复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】由题意可得：，则复数在复平面内对应的点位于第一象限，本题选择A选项.2. 曲线在点（－1，－3）处的切线方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题：，求导：点处的（－1，－3）切线斜率为；则切线方程为：考点：曲线上某点处切线方程的算法.3. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中( )A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】A【解析】分析：对于可导函数，极值点的导数值为零，导数值为零的点不一定是极值点.详解：因为对于可导函数，如果，那么不一定是函数的极值点，所以大前提错误，选A.点睛：本题考查三段论以及极值概念,考查学生对知识点识别能力.4. 6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（）A. 35B. 50C. 70D. 100【答案】B【解析】分析：排列组合题目，先分配：（42，33），再选排，最后根据加法原理求结果.详解：若两辆汽车人数分别为4人与2人，则排列数为若两辆汽车人数分别为3人与3人，则排列数为因此不同的乘车方法数为选B.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：5. 的值为（）A. 0B. 2C. －1D. 1【答案】D【解析】分析：求二项展开式系数和一般方法为赋值法，即分别令x=1与x=-1得，最后相乘得结果.详解：令，则，令，则，因此，选D.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.6. 设函数的导函数为，且，则（）A. 0B. -4C. -2D. 2【答案】B【解析】分析：先求导数，再令x=1得，最后求).详解：因为，所以，，选B.点睛：区别导函数与函数值，是一个具体数值，先求导函数，再求导数值.7. 已知函数在处的导数为1，则= ( )A. 3B.C.D.【答案】D【解析】分析：先根据导数定义将极限化成在的导数定义形式，再代入求结果.详解：,选D.点睛：函数在处的导数为,形式多样，注意实质.8. 由曲线，直线及轴所围成的封闭图形的面积为（）A. B. C. 4 D. 6【答案】A【解析】分析：先求，交点，再根据定积分求封闭图形的面积.详解：由，解得，所以围成的封闭图形的面积为选A.点睛：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．9. 用数学归纳法证明，从到，不等式左边需添加的项是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：分析，时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果.详解：时，左边为,时，左边为,所以左边需添加的项是，选B.点睛：研究到项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的. 10. 已知函数的图象如右图所示（其中是函数的导函数），下面四图象中的图象大致是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据函数的图象，确定符号，再根据符号变化规律确定的图象.详解：由图可知因此即先在增后在减再在增，从而的图象大致是C点睛：研究函数与导函数图像关系，需明确研究方向，原函数的图像研究是单调性，导函数图像研究的是正负符号.11. 在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为( )A. 72B. 60C. 36D. 30【答案】B【解析】分析：先按第一个分类讨论，再根据条件确定后续排法，不相邻问题一般采用插空法.详解：如第一个为男生，则第二个必为女生，后面任意，此时排法种数为如第一个为女生，则先排剩下女生，再在产生的三个空中安排男生，此时排法种数为因此出场顺序的排法种数为选B.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.12. 定义在R上的奇函数f(x)的导函数。

北重三中2018～2019学年度第二学期高二年级期中考试文科数学试题满分：150分 考试时长：120分钟第一部分一. 选择题：(本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知椭圆121022=-+-m y m x 的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ） A 。

4 B.5 C.7 D.8 2. 函数x x x f cos 1)(-+=在)2,0(π上的单调情况是（ ） A.单调递增； B.单调递减； C 。

在),0(π上单调递增，在)2,(ππ上单调递减; D 。

在),0(π上单调递减，在)2,(ππ上单调递增; 3．已知0<<b a ,下列不等式中成立的是( )A 。

b a -<4 B.1<b a C 。

22b a < D 。

ba 11< 4．已知抛物线y x 42=上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是（ ) A. 0 B 。

21C 。

1D 。

2 5。

在方程为参数）θθθ(2cos sin ⎩⎨⎧==y x 表示的曲线上的一个点的坐标是（ ) A 。

（2，-7） B 。

)21,21( C. （1,0） D 。

)32,31(6．函数)(x f y =的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ )A 。

)3,1(-为函数)(x f y =的单调递增区间; B. )5,3(为函数)(x f y =的单调递减区间; C.函数)(x f y =在0=x 处取极大值； D. 函数)(x f y =在5=x 处取极小值；7。

过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点与x 轴垂直的直线与渐近线交于A,B 两点，若OAB ∆的面积为313bc，则双曲线的离心率为( ） A.25 B 。

35 C. 213 D. 313 8.极坐标方程)0(0))(1(≥=--ρπθρ表示的图形是（ ）A.两个圆B.两条直线 C 。

北重三中2017～2018学年第二学期高二年级期中考试文科数学试题考试时间：2018年5月10日 满分：150分 考试时长：120分钟第一部分一. 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题0,2≥+∈∀x x R x 的否定是（ ）A. 0,2≤+∈∃x x R x B. 0,2<+∈∃x x R x C. 0,2≤+∈∀x x R x D.0,2<+∈∀x x R x2. 已知i 为虚数单位，则复数=-+ii11（ ） A. i - B. i C. i +1 D. i -1 3.右图的等高条形图可以说明的问题是（ ）A.“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的B. “心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同C. 此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方D. “心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握4.若0<<b a ，则下列不等式中成立的是（ ） A.b a 11< B. ab a 11>- C. ||||b a > D. 22b a < 5.已知集合{}{},0)3)(1(|,023|>-+∈=>+∈=x x R x B x R x A 则=⋂B A （ ） A. )1,(--∞ B. )32,1(-- C.)3,32(-D. ),3(+∞ 6.对具有线性相关关系的变量y x ,有一组观测数据)8,,3,2,1(,⋅⋅⋅=i y x i i ，其回归直线方程是a x y+=31ˆ且5,3821821=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++y y y x x x ，则实数a =（ ） A. 21 B. 41 C. 81 D. 1617.给出下列结论：（1）在回归分析中，可用R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好； （2）在回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；（3）在回归分析中，可用r 的值判断模型的拟合效果，r 越大，模型的拟合效果越好； （4）在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高。

内蒙古包头市北重三中2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理科）试题 解析版一、选择题：每小题只有一个选项符合题意.1. 向量()()2,4,,2,,2a x b y ==，若6a =，且a b ⊥，则x y +的值为（ ） A. 3- B. 1C. 3或1D. 3-或1【答案】D 【解析】22422440a b y x x y ⋅=⨯+⨯+⨯=++=，又2246a =+== ，所以解得43x y =⎧⎨=-⎩或41x y =-⎧⎨=⎩ ，所以1x y +=或3x y +=-，故选D. 2. 抛物线2y ax =的焦点是直线x y 10+-=与坐标轴交点，则抛物线准线方程是( )A. 1x 4=-B. x 1=-C. 1y 4=-D. y 1=-【答案】D 【解析】 【分析】先求得直线和坐标轴的焦点，由此求得a 的值，并求得准线方程.【详解】抛物线开口向上或者向下，焦点在y 轴上，直线10x y +-=与y 轴交点为()0,1，故111,44a a ==，即抛物线的方程为24x y =，故准线方程为1y =-，故选D. 【点睛】本小题主要考查直线和坐标轴交点坐标的求法，考查已知抛物线的焦点求准线方程，属于基础题. 3. 3sin 20cos 20x t y t ⎧=+⎨=⎩（t 为参数）的倾斜角为（ ）.A. 20︒B. 70︒C. 110︒D. 80︒【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意得到3cos 70sin 70x t y t ⎧=+⎨=⎩（t 为参数），消去参数t 得到()tan703=-y x ，再根据直线方程的斜率即可得到直线的倾斜角.【详解】因为3sin 20cos 20x t y t ⎧=+⎨=⎩（t 为参数），所以3cos 70sin 70x t y t ⎧=+⎨=⎩（t 为参数），即3cos 70sin 70x t y t ⎧-=⎨=⎩（t 为参数），tan 703=-yx ， ()3tan70y x =-︒，tan 70=k ，倾斜角为70.故选：B【点睛】本题主要考查直线的参数方程，属于简单题.4. 过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，以AB 为直径的圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=，则p =（ ）A. 2B. 1C. 2或4D. 4【答案】A 【解析】【详解】过抛物线()220y px p =>焦点的直线l 与抛物线交于,A B 两点，以AB 为直径的圆的方程为()()223216x y -+-=，可得弦的中点横坐标为3，圆的半径为4可得弦长为8，设直线与抛物线的交横坐标为12,x x 则12126,8x x x x p +=++=， 可得2p =， 故选A.5. 已知直线1y x =-+与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>相交于A 、B 两点，若椭圆的离心率为2，焦距为2，则线段AB 的长是（ ）D. 2【答案】B【解析】试题分析：因为22,1e c c ===，所以1a c ==，则1b ==，椭圆的方程为2212x y +=，联立221{21xy y x +==-+，化简得：2340x x -=，解得0x =或43x =，代入直线得出1y =或13y =-，则41(0,1),(,)33A B -，所以AB =，故选B ． 考点：椭圆的标准方程及其几何性质．6. 已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m （0m >），那么k 的取值范围是（ ） A. 12k <- B. 1122k -<< C. 12k >D. 12k <-，或12k >【答案】A 【解析】 【分析】先设11(,)A x y ，22(,)B x y ，再由点差法求出34k m=-，再由点(1,)M m ，0m >在椭圆内，求出m 的范围即可得解.【详解】解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，又点A ，B 在椭圆22:143x y C +=上，则2211143x y +=，2222143x y +=，两式相减可得：12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=，又1212y y k x x -=-，12122,2x x y y m +=+=则12123344x x k y y m+=-⋅=-+，又点(1,)M m ，0m >在椭圆内，则21143m +<， 则302m <<， 所以12k <-，故选：A.【点睛】本题考查了椭圆中的中点弦问题，重点考查了点差法，属基础题. 7. 椭圆2242x y +=上的点到直线280x y --=的距离的最小值为（ ）A.B. C. 3 D. 6【答案】A 【解析】 【分析】设P θ)θ，02θπ<，求出P 到直线280x y --= 的距离d ，由此能求出点P 到直线的距离的最小值． 【详解】解：椭圆2242x y +=，P 为椭圆上一点，∴设P θ)θ，02θπ<，P ∴到直线280x y --= 的距离：cos()4|6545d πθ+-==，当且仅当cos()14πθ+=时取得最小值．∴点P 到直线280x y --=的距离的最小值为min d =．故选：A ．【点睛】本题考查点到直线的距离公式的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用，属于中档题．8. 已知动点P 在椭圆2213627x y +=上，若点A 的坐标为()3,0，点M 满足1AM =，0PM AM ⋅=，则PM 的最小值是（ ）A. 2B. 3C. 22D. 3【答案】C 【解析】0PM AM PM AM ⋅=∴⊥ ，2222211PM AP AMAM PM AP ，∴=-=∴=-1AM =∴点M 的轨迹为以为以点A 为圆心，1为半径的圆，221PM AP =-，AP 越小，PM 越小，结合图形知，当P 点为椭圆的右顶点时，AP取最小值633a c -=-=， PM ∴23122-= 故选C ．点睛：本题考查椭圆上的线段长的最小值的求法，属中档题.解题时要认真审题，要熟练掌握椭圆的性质，．9. 设2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 3 B. 2 57【答案】D 【解析】【分析】设双曲线的左焦点为F 1，则MF 2PF 1为平行四边形，根据双曲线定义可得12,3MF a MF a ==，在△MF 1F 2中利用余弦定理得出a ，c 的关系即可求出离心率．【详解】设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线的对称性可知四边形MF 2PF 1为平行四边形． ∴121,//MF PF MF PN =．设2||PF m =，则2||3MF m =，∴2122a MF MF m =-=，即12,3MF a MF a ==．∵21260,60MF N F MF ︒︒∠=∴∠=，又122F F c =，在△MF 1F 2中，由余弦定理可得：2224923cos60c a a a a ︒=+-⋅⋅⋅，即2222747,4c c a a =∴=，∴双曲线的离心率e 7c a ==． 故选D ．【点睛】本题考查了双曲线的性质，离心率计算，利用双曲线的对称性是解题的关键，属于中档题．10. 已知双曲线22221x y a b-=5x 轴的正半轴上的圆M 与双曲线的渐近线相切，且圆M 的半径为2，则以圆M 的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（ ） A. 285y x =B. 25y x =C. 25y x =D.2y =【答案】B 【解析】设双曲线渐近线的方程为by x a=，圆心坐标为(),0c ，因为圆与直线相切由点到直线距离公式可得2= ，即2b = ，又因为离心率为= ，可得1,2pa c p =∴=∴==，所以抛物线的方程为2y = ，故选B. 【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质、双曲线的离心率双曲线的渐近线及抛物线的标准方程与性质，属于难题.求解与双曲线、抛物线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.11. 已知 12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF 2 |>| PF 1 |，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112||||PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A. 4 B. 6C. D. 8【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得112||||2PF F F c ==，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得2133e e +的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.【详解】由题意得：112||||2PF F F c ==，设椭圆方程为221122111(0)x y a b a b +=>>，双曲线方程为222222221(0,0)x y a b a b -=>>，又∵121212||||2,||||2PF PF a PF PF a +=-=.∴2122||+22,||22PF c a PF c a =-=，∴122a a c -=，则 22112122393333e a a a c c e a c ca ++=+= 2222229(2)3633c a a c a c ca c a ++==++2236683a cc a =++≥=，当且仅当2233a c c a =， 即23e =时等号成立. 则2133e e +的最小值为8. 故答案为：8.【点睛】考查椭圆和双曲的定义,焦半径公式以及离心率，其中将2133e e +化为22911(18)18)833a c c a ++≥=为解题关键，注意取等号. 12. 已知过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点且斜率为b a 的直线l 与椭圆交于,A B 两点.若椭圆上存在一点P ，满足0OA OB OP ++=（其中点O 为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）A.2B.3C.2D.12【答案】A 【解析】分析：根据平方差法得到直线OM 的方程为by x a=-，联立方程组，解得点P 的坐标，再根据0OA OB OP ++=，得2OP OM =-，把点(,)bcP c a-代入椭圆的方程，即可求解离心率的值.详解：设1122(,),(,),A x y B x y AB 的中点00(,)M x y ，由题意知2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，则1212220AB x x y y k a b +++⋅=，而AB bk a =，所以00220x y a b+=， 所以直线OM 的方程为b y x a =-，联立()b y x ab y xc a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得,22P P c bc x y a =-=， 又因为0OA OB OP ++=，所以2OP OM =-, 所以点(,)bc P c a -代入椭圆的方程，得222a c =，所以22c e a ==，故选A. 点睛：本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．二、填空题：13. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点M N ，分别是11AA BB ，的中点，则CM 和1D N 所成角的余弦值为__________．【答案】19【解析】 【分析】以D 为原点建立空间直角坐标系，设棱长为2，根据异面直线所成角空间向量求法可求得结果.【详解】以D 为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系设正方体棱长为2，则()0,2,0C ，()2,0,1M ，()10,0,2D ，()2,2,1N()2,2,1CM ∴=-，()12,2,1D N =-1114411cos ,339CM D N CM D N CM D N--⋅∴<>===⨯⋅ 即异面直线CM 与1D N 所成角的余弦值为19故答案为：19【点睛】本题考查空间向量法求解异面直线所成角的问题，易错点是忽略异面直线所成角的范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，造成求解余弦值时符号错误.14. 曲线C :x 2+y 2=1经过伸缩变换2x xy y=''⎧⎨=⎩得到曲线C '，则曲线C '的方程为______________.【答案】2214x y ''+=【解析】 【分析】由2x x y y =''⎧⎨=⎩得2x x y y ''⎧=⎪⎨⎪=⎩，代入x 2+y 2=1，即可得曲线C '的方程. 【详解】由2x x y y =''⎧⎨=⎩得2x x y y ''⎧=⎪⎨⎪=⎩，代入x 2+y 2=1，得2214x y ''+=.故答案为：2214x y ''+=【点睛】本题主要考查利用伸缩变换求曲线的方程，考查学生的基本运算能力. 15. 已知x ，y R +∈且24x y =，则x y +的最小值______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据条件便可得到24y x=，从而根据三个数的均值不等式计算可得； 【详解】解：x ，y R +∈，24x y =；∴24y x =； 所以32244332222x x x x x y x x +=++=，当且仅当1y =，2x =时取“=”； x y ∴+的最小值为3．故答案为：3【点睛】考查基本不等式用于求最值的方法，注意在应用33a b c abc ++求a b c ++最小值时，应使得abc 为常数，且a ，b ，0c >，并会判断“=”成立的条件，属于基础题． 16. 在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，−1），P 是曲线上一个动点，则BP BA⋅的取值范围是_____________. 【答案】[0,1+2] 【解析】 试题分析：由题意设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，则(cos ,1sin )BP αα=+，又(1,1)BA =，所以=cos sin 1=2sin()+1[0,12]4BP BA πααα⋅+++∈+，所以BP BA ⋅的取值范围为[0,12]+.【考点】平面向量的数量积、三角函数的图象和性质、数形结合的思想【名师点睛】本题解答时利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.三、解答题：应写出文字说明、证明过程、演算步骤.17. 在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程是23cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：(cos sin )t ρθθ+= （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设直线θ＝()6R πρ∈与直线l 交于点M ，与曲线C 交于P ，Q 两点，已知｜OM ｜•｜OP ｜•｜OQ ）＝10，求t 的值．【答案】（1）24cos 50ρρθ--=；（2）1--1. 【解析】 【分析】（1）由曲线C 的参数方程，可得曲线C 的普通方程，再将其化为极坐标方程． （2）将6πθ=代入()cos sin t ρθθ+=中，求得|OM |，将6πθ=代入24cos 50ρρθ--=中，得250ρ--=，得到|OP |⋅|OQ |=5．再根据|OM |⋅|OP |⋅|OQ |=10，解得t 值即可. 【详解】（1）由曲线C 的参数方程，可得曲线C 的普通方程为()2229x y -+=，即22450x y x +--=． ∵ cos x ρθ=，sin y ρθ=，故曲线C 的极坐标方程为24cos 50ρρθ--=．（2）将6πθ=代入()cos sin t ρθθ+=中，得12t ρ=，则)1t ρ=．∴ |OM |=)1t ．将6πθ=代入24cos 50ρρθ--=中，得250ρ--=．设点P 的极径为1ρ，点Q 的极径为2ρ，则125ρρ=-． 所以|OP |⋅|OQ |=5．又|OM |⋅|OP |⋅|OQ |=10，则5)1t =10．∴ t =1-1【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查了利用极坐标解决长度问题，考查了学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 18. 如图，菱形ABCD 与正BCE ∆所在平面互相垂直，FD ⊥平面ABCD ，2BC =，3FD =.（1）证明：EF 平面ABCD ；（2）若60CBA ∠=︒，求直线EF 与平面AFB 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明过程详见解析（2）4228【解析】 【分析】（1）过点E 作EH BC ⊥于H ，由面面垂直的性质可知EH ⊥平面ABCD ，又FD ⊥平面ABCD ，可得//FD EH ，即四边形EHDF 为平行四边形，得到线线平行，从而得到线面平行；（2）分别以HB ，HA ，HE 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系H xyz -，求出平面ABF 的法向量，利用线面角的向量公式进行计算即可得到答案.【详解】解：（1）如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接EH ，∴3EH =. ∵平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊆平面BCE ， 平面ABCD ⋂平面BCE 于BC ，∴ EH ⊥平面ABCD . 又∵FD ⊥平面ABCD ，3FD =∴//FD EH ，∴四边形EHDF 为平行四边形. ∴//EF HD ， ∵EF ⊄平面ABCD ，HD ⊆平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD . （2）连接HA .由（1）得H 为BC 中点，又60CBA ∠=︒，ABC ∆为等边三角形， ∴HA BC ⊥.分别以HB ，HA ，HE 为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -.则()1,0,0B ，(3,3F -，(0,03E ，()3,0A .(3,3BF =-，()3,0BA =-，=(2,3,0)EF - =(-2,3,0)EF ，设平面ABF 的法向量为()2222,,n x y z =.由2200n BF n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222333030x y z x y ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩令21y =，得)23,1,2n =. 42sin cos ,EF n α==， 直线EF 与平面AFB 42. 【点睛】本题考查线面平行的判定定理和利用空间向量求线面角，利用空间向量解题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 19. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220y px p =>及点()2,0M ，动直线l 过点M交抛物线于A ，B 两点，当l 垂直于x 轴时，4AB =. （1）求p 的值；（2）若l 与x 轴不垂直，设线段AB 中点为C ，直线1l 经过点C 且垂直于y 轴，直线2l 经过点M 且垂直于直线l ，记1l ，2l 相交于点P ，求证：点P 在定直线上. 【答案】（1）1；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）当直线l 过点M 且垂直于x 轴时，由4AB =知抛物线所过的点，代入抛物线方程求得p的值；（2）设直线l 的方程，与抛物线方程联立，消去x 化简得关于y 的方程，利用根与系数的关系以及中点坐标求出直线1l 的方程，再根据垂直关系求出直线2l 的方程，由此求得两直线的交点坐标P ，并判断点P 在定直线1x =上．【详解】（1）因为l 过()2,0M ，且当l 垂直于x 轴时，4AB =，所以抛物线经过点()2,2，代入抛物线方程，得422p =⨯，解得1p =.（2）由题意，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 方程为：()()20y k x k =-≠，()11,A x y ，()22,B x y .联立()222y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x ，得2240ky y k --=，则122y y k+=，124y y =-. 因为C 为AB 中点，所以1212C y y y k+==， 则直线1l 方程为：1y k=. 因为直线2l 过点M 且与l 垂直，则直线2l 方程为：()12y x k=--， 联立()112y ky x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得11x y k =⎧⎪⎨=⎪⎩即11,P k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，点P 在定直线1x =上.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程与简单几何性质应用问题，也考查了直线与方程的应用问题，属于中档题．20. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为4x aty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）过点)P 作直线l 的垂线交曲线C 于D ，E 两点（D 在x 轴上方），求11PD PE-的值．【答案】（1）直线l的普通方程为2y =-，曲线C 的直角坐标方程为24y x =；（2）12． 【解析】 【分析】（1）将点A 的直角坐标代入直线的参数方程，求出a 的值，再转化成普通方程；在曲线方程两边同时乘以ρ，即可得到答案；（2）设直线DE的参数方程为212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），再利用参数的几何意义，即可得到答案；【详解】解：（1）由题意得点A的直角坐标为)，将点A代入4x at y ⎧=⎪⎨=⎪⎩得1a t =⎧⎪⎨=⎪⎩则直线l的普通方程为2y =-．由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =． 故曲线C 的直角坐标方程为24y x =．（2）设直线DE的参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入24y x =得2831630t t +-=． 设D 对应参数为1t ，E 对应参数为2t ．则1283t t +=-，12163t t =-，且10t >，20t <．∴1212121211111112t t PD PE t t t t t t +-=-=+==． 【点睛】本题考查参数方程和普通方程、极坐标方程的互化、直线方程中参数的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 21. 如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2ADC π∠=，122AB AD CD ===，6PD PB ==，PD BC ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3π？若存在，求CMCP的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见证明；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算BC ，根据勾股定理可得BC ⊥BD ，结合BC ⊥PD 得出BC ⊥平面PBD ，于是平面PBD ⊥平面PBC ；（2）建立空间坐标系，设CMCP=λ，计算平面ABM 和平面PBD 的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于12，解方程得出λ的值,即可得解． 【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为直角梯形， 且//AB DC , 2AB AD ==,2ADC π∠=,所以22BD =，又因为4,4CDBDC π=∠=．根据余弦定理得22,BC =所以222CD BD BC =+，故BC BD ⊥.又因为BC PD ⊥, PD BD D ⋂=,且BD ,PD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ， 又因为BC ⊂平面PBC ，所以PBC PBD ⊥平面平面 （2）由（1）得平面ABCD ⊥平面PBD , 设E 为BD 的中点，连结PE ，因为6PB PD ==,所以PE BD ⊥,2PE =,又平面ABCD ⊥平面PBD ， 平面ABCD平面PBD BD =，PE ⊥平面ABCD .如图，以A 为原点分别以AD ，AB 和垂直平面ABCD 的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,4,0)C ，(2,0,0)D ，(1,1,2)P ， 假设存在(,,)M a b c 满足要求，设(01)CMCPλλ=≤≤，即CM CP λ=， 所以(2-,4-3,2)λλλM ,易得平面PBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =.设(,,)n x y z =为平面ABM 的一个法向量，(0,2,0)AB =， =(2-,4-3,2)λλλAM由00n AB n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得20(2)(43)20y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩，不妨取(2,0,2)n λλ=-.因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π22412224(2)λλλ=+-，解得2,23λλ==-，（不合题意舍去）. 故存在M 点满足条件，且23CM CP =. 【点睛】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做．22. 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率12e =，椭圆上的点到左焦点1F 的距离的最大值为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 的外切矩形ABCD 的面积S 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）[83,14]【解析】 【分析】（1）根据题意求出b a c ，，，进而可求出结果；（2）当矩形ABCD 的一组对边斜率不存在时，可求出矩形ABCD 的面积；当矩形ABCD 四边斜率都存在时，不防设AB ，CD 所在直线斜率为k ，则BC ，AD 斜率为1k-，设出直线AB 的方程为y kx m =+，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解.【详解】解：（1）由题设条件可得12c a =，3a c +=，解得2a =，1c = ∴2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）当矩形ABCD 的一组对边斜率不存在时，得矩形ABCD 的面积 83S =当矩形ABCD 四边斜率都存在时，不防设AB ，CD 所在直线斜率为k ，则BC ，AD 斜率为1k-， 设直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2224384120kx kmx m +++-=，由()()()22284434120km k m ∆=-+-=，得2243m k =+显然直线CD 的直线方程为y kx m =-，直线AB ，CD 间的距离1d === 同理可求得BC ，AD间的距离为1d ==所以四边形ABCD 面积为12ABCDS d d =====14≤=（等号当且仅当1k =±时成立）又ABCD S >=故由以上可得外切矩形面积的取值范围是⎡⎤⎣⎦【点睛】本题主要考查椭圆方程以及直线与椭圆的综合，灵活运用弦长公式，韦达定理等即可求解，属于常考题型.。