“超级全能生”浙江省2021届高考数学9月鸭科目联考试题 【含答案】

秘密★启用前“超级全能生”2021高考选考科目浙江省9月联考技术注意事项：1.本试题卷分两部分，第一部分为信息技术，第二部分为通用技术，共16页，满分100分，考试时间90分钟。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第一部分信息技术(共50分)一、选择题(本大题共12小题，每小题2分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不得分)1.下列关于信息与信息技术的说法，正确的是A.信息在传递和共享的过程中会产生损耗B.未经数字化的声音所承载的信息是没有价值的C.不存在没有载体的信息，信息可以脱离它所反映的事物被保存D.5G技术是指网络连接速度能达到5Gbps的新一代通信技术2.下列关于OCR光学字符识别的描述，正确的是A.“扫描→倾斜校正→识别”是完成OCR识别必不可少的步骤.B.可以识别jpg、psd、bmp等图像中的文字C.OCR软件识别出的结果文件一般比未识别前的原文件大D.对图文混排较多的文章进行手动的识别区域的划分有助于提高识别准确率3.下列说法正确的是A.汉字编码是解决如何利用西文标准键盘来快捷地输入汉字的编码技术B.ASCII码采用1个字节进行编码，共有256个编码C.数据的压缩是一个编码过程D.16色位图的每个像素必须用16位二进制数进行编码4.Access中的一张数据表设计视图如图所示。

下列说法正确的是A.被指定为主键的字段，其字段类型一定为自动编号B.“姓名”字段可以输入文字、数字和符号等任意文本C.该数据表共有6个字段，表名为“zjxxb.accdb”D.可以在设计表视图中添加记录5.小明使用Photoshop软件编辑一张海报，操作界面如图所示。

“超级全能生”浙江省2021届高考技术9月选考科目联考试题注意事项：1.本试题卷分两部分，第一部分为信息技术，第二部分为通用技术，共16页，满分100分，考试时间90分钟。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第一部分信息技术(共50分)一、选择题(本大题共12小题，每小题2分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不得分)1.下列关于信息与信息技术的说法，正确的是A.信息在传递和共享的过程中会产生损耗B.未经数字化的声音所承载的信息是没有价值的C.不存在没有载体的信息，信息可以脱离它所反映的事物被保存D.5G技术是指网络连接速度能达到5Gbps的新一代通信技术2.下列关于OCR光学字符识别的描述，正确的是A.“扫描→倾斜校正→识别”是完成OCR识别必不可少的步骤.B.可以识别jpg、psd、bmp等图像中的文字C.OCR软件识别出的结果文件一般比未识别前的原文件大D.对图文混排较多的文章进行手动的识别区域的划分有助于提高识别准确率3.下列说法正确的是A.汉字编码是解决如何利用西文标准键盘来快捷地输入汉字的编码技术B.ASCII码采用1个字节进行编码，共有256个编码C.数据的压缩是一个编码过程D.16色位图的每个像素必须用16位二进制数进行编码4.Access中的一张数据表设计视图如图所示。

下列说法正确的是A.被指定为主键的字段，其字段类型一定为自动编号B.“姓名”字段可以输入文字、数字和符号等任意文本C.该数据表共有6个字段，表名为“zjxxb.accdb”D.可以在设计表视图中添加记录5.小明使用Photoshop软件编辑一张海报，操作界面如图所示。

浙江“超级全能生”2021届高三9月联考第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题I（本大题共20小题，每小题2分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）为缓解疫情对地方经济的影响，各地近来有序规划“地摊经济”形成了一股”地摊热”。

摆地摊成本低，为群众自主就业留了一道机动灵活的出路。

下图是某市将这些人流密集的夜摊点转化而成的热力图。

完成1、2题。

1.按城市功能分区，该市夜摊点密集区域主要为（）A.行政区B.工业区C.住宅区D.商业区2.关于“地摊经济”个体商户的叙述，正确的是（）A.数量多，等级高B.数量多，门槛低C.服务范围不重叠D.服务范围覆盖全市降雨是导致土壤侵蚀的主要动力因素之一。

下图为浙江省南部降雨侵蚀力变化图。

完成3、4题。

3.该地降雨侵蚀力6月份达到峰值，主要原因是（）A.受准静止锋影响，降雨集中B.地势高峻，水流速度快C.农耕活动使植被覆盖率下降D.多台风，地表径流量大4.该地降雨侵蚀力7、8月份较低，与此密切相关的大气活动是（）A.亚洲高压B.亚洲低压C.副热带高气压D.阿留申低压浙江省是全国现代生态循环农业发展首个试点省，始终践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念。

下图为浙江某市的大循环农业模式流程图。

完成5、6题。

5.在“秸秆—饲料加工—畜禽养殖—畜禽加工”这一生产链中，饲料加工相对于秸秆和畜禽养殖的“产业联系”为（）A.下游产业上游产业B.上游产业下游产业C.上游产业上游产业D.下游产业下游产业6.该生态循环农业的主要生态效益有（）①提高产品附加值②废弃物实现资源化③减轻水体污染④减轻土壤盐碱化A.①②B.①④C.②③D.③④武汉市汉正街，服装行业发达，70%从业者来自省内仙桃市。

2011年，仙桃市出台优惠政策，吸收汉正街服装企业和劳动力回流，力争将毛嘴镇打造成“中国女裤之都”。

毛嘴镇服装行业从业者收入较高，这与当地企业实行“按件计酬，自由上班”的制度密切相关。

2021届浙江省超级全能生高三上学期9月联考数学试题一、单选题1．若集合{}0,1,4A =，{}1,0,1,3B =-，则A B =（ ）A ．{}0,1,4,3B ．{}0,1C ．{}1,0,1,3,4-D ．{}1,0,1,4-【答案】C【解析】本题运用集合的运算直接计算即可. 【详解】解：因为集合{}0,1,4A =，{}1,0,1,3B =-， 所以{}1,0,1,3,4A B =-，故选：C 【点睛】本题考查集合的并集运算，是基础题. 2．已知复数11Z i=+，则Z 的虚部为（ ） A ．12i B ．12i - C ．12D ．12-【答案】C【解析】根据复数的除法运算求出Z ,即可得到Z . 【详解】11111(1)(1)22i Z i i i i -===-++-, 1122Z i ∴=+, 故虚部为12， 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，共轭复数，复数的虚部，属于容易题. 3．双曲线()220m x y m -=>的渐近线方程为（ ）A ．0y x ±=B ．y x ±=C 0x ±=D 0y ±=【答案】A【解析】根据双曲线的方程，直接得出渐近线方程.【详解】由220x y -=得y x =±，所以双曲线()220m x y m -=>的渐近线方程为y x =±.故选：A. 【点睛】本题主要考查求双曲线的渐近线方程，属于基础题型. 4．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（ ）A ．83π+B ．103π+C ．85π+D ．105π+【答案】B【解析】先由三视图判断几何体的左侧是长方体，右侧是半圆柱体，再求该几何体的表面积即可. 【详解】解：由三视图可知，该几何体的左侧是长方体，右侧是半圆柱体， 则该几何体的表面积是：111231122221210322S πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯==， 故选：B. 【点睛】本题考查通过三视图求几何体的表面积，是基础题.5．当0x >时，“函数()31xy a -=-的值恒小于1”的一个充分不必要条件是（ ） A ．13a <B ．23a >C ．23<a D ．1a >【答案】D【解析】由指数函数的图象与性质可得原命题等价于23a >，再由充分不必要条件的概念即可得解. 【详解】若当0x >时，函数()31xy a -=-的值恒小于1，则311a ->即23a >， 所以当0x >时，函数()31xy a -=-的值恒小于1的一个充分不必要条件是1a >. 故选：D. 【点睛】本题考查了指数函数图象与性质的应用及充分不必要条件的判断，属于基础题.6．若实数x ，y 满足约束条作121x y x y ⎧-≤⎪⎨+≤⎪⎩，则22z x y =+的最大值是（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】先画出可行域，再视目标函数为可行域内的点(,)x y 到原点(0,0)的距离，最后确定最大值即可. 【详解】解：根据题意画出可行域，如图，目标函数22z x y =+可视为可行域内的点(,)x y 到原点(0,0)的距离， 所以22z x y =+的最大值为：1故选：C 【点睛】本题考查求平方和型目标函数的最值，是基础题7．已知边长为1的正三角形ABC ，动点P 与点A 在直线BC 异侧，且3PBC S =△若AP xAB y AC =+，则x y +=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】设AP 与BC 交于点D ，求出ABC 面积，得ABC 与PBC 的面积比，从而可得AD 与PD 的比值．用AD 表示出AP ，再由三点,,B D C 共线可得出结论． 【详解】设AP 与BC 交于点D ，2131sin 6024ABC S =⨯⨯︒=△，而32PBC S =△，∴12ABC PBC S S =△△， 又1sin 2ABC S BC AD ADC =⋅∠△，1sin 2PBC S BC PD PDB =⋅∠△，ADC PDB ∠=∠ ∴ABC PBC S AD S PD =△△，∴12AD PD =，3AP AD =， 设AD mAB nAC =+，∵,,B D C 三点共线，∴1m n +=，333AP AD mAB nAC ==+，而AP xAB y AC =+，,AB AC 不共线，∴3,3x m y n ==，∴3()3x y m n +=+=． 故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查向量中三点共线的性质，三角形面积公式．连接AP 与BC 交于点D ，利用三点共线得出向量的结论是解题关键．8．椭圆222116x y b+=，（04b <<）的右顶点为A ，已知()10B ,，若椭圆上存在点P ，满足2PA PB =，则椭圆离心率e 的取值范围是（ ）A ．2⎫⎪⎪⎣⎭B ．,12⎫⎪⎪⎣⎭C ．0,2⎛ ⎝⎦D ．0,2⎛ ⎝⎦【答案】B【解析】先求(4,0)A ，再求点P 满足的轨迹方程224x y +=，接着判断2b ≤，最后求椭圆的离心率的取值范围. 【详解】解：因为椭圆222116x y b+=，所以(4,0)A ，设点(,)P x y ，因为()10B ,，(4,0)A ，2PA PB =，所以点P =，即224x y +=， 故当2b ≤时，点P 存在，故椭圆的离心率c e a ==≥(0,1)e ∈，所以⎫∈⎪⎪⎣⎭e 故选：B 【点睛】本题考查求点的轨迹方程、求椭圆的离心率，是基础题9．数列{}n a 中，已知1a a =，212n n n a a a +=+，则下列命题为真命题的是（ ）A ．不存在实数a ，使得数列{}n a 为常数列B ．有且只有一个实数a ，使得数列{}n a 为常数列C ．若数列{}n a 为递增数列，则实数0a >D ．若实数0a >，则数列{}n a 为递增数列 【答案】D【解析】假设{}n a 为常数列，由题意，求出0a =或1a =-，可排除AB ；假设{}n a 为递增数列，求出0n a >或1n a <-，可排除C 选项；根据数列归纳法证明D 选项，即可得出结果.【详解】若{}n a 为常数列，则1n n a a +=，又212n n n a a a +=+，所以22n n n a a a =+，解得0n a =或1n a =-，又1a a =，所以0a =或1a =-时，数列{}n a 为常数列；故AB 都错；若{}n a 为递增数列，则1n n a a +>，即22n n n a a a >+，解得0n a >或1n a <-，当1n a <-时，110a a =<-<，故C 错， 因为()2121n n n n n n n a a a a a a a ++-=-=+，若0a >，即10a a =>，则()211110a a a a -=+>，即210a a >>；此时()322210a a a a -=+>，即320a a >>；猜想10n n a a +>>对任意*n N ∈恒成立； 下面用数学归纳法证明：当1n =时，()211110a a a a -=+>显然成立；即210a a >>成立； 假设()2n k k =≥时，都有10k k a a +>>也成立， 当1n k =+时，()111210k k k k a a a a ++++-=+>也成立；综上，10n n a a +>>对任意*n N ∈恒成立，即0a >时，数列{}n a 为递增数列，即D 正确. 故选：D. 【点睛】本题主要考查数列单调性的有关判定，熟记数列单调性的概念即可，属于常考题型. 10．如图，已知三棱锥A BCD -，3AB AC AD ===，底而是边长为1的正三角形，P ，E 分别为线段AC ，CD （不含端点）上的两个动点，则PE 与平面BCD 所成角的正弦值不可能是（ ）A ．566B 266C ．2122D 311【答案】A【解析】求出二面角A CD B--的正弦值，利用最大角定理，线面角一定不大于二面角，从而可得结论．【详解】如图1，AO是棱锥A BCD-的高，∵AB AC AD==，则O是BCD的外心，设H 是CD中点，则,,O H E三点共线，AH CD⊥，OH CD⊥，∴AEO∠是二面角A CD B--的平面角，22111(3)2AH⎛⎫=-=⎪⎝⎭，13313OH=⨯⨯=，∴2226AO AH OH=-=，∴264663sin3311OHAHOAH∠===．四个选项中只有566466>．图1如图2，过P作PM⊥平面BCD，垂足为M，作PF CD⊥于F，连接,ME MF，则PEM∠为PE与平面BCD所成的角，由PM⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，得PM CD⊥，而PM PF P=，∴CD⊥平面PMF，PF⊂平面PMF，∴CD MF⊥，∴PFM∠是二面角A CD B--的平面角，sinPMPEMPE∠=，sinPMPFMPF∠=，显然PF PE≤，∴sin sinPEM PFM∠≤∠，∴466sin33PEM∠≤，图2故选：A．【点睛】本题考查直线与平面所成的角，考查二面角，考查最大角定理，在二面角的两个面内，一个面内任一直线与另一面所成的角不大于二面角．二、填空题11．某地需要安排人员分别在上午、下午、前半夜、后半夜四个时间段值班，要求每班至少含一名民警和一名医务人员，且至少有一名女性，每人值一班.现有民警4人（4男），医务人员6人（5女1男），其中民警甲不排上午，男医生不排上午、下午，则不同的安排方法有______种.【答案】8640【解析】根据题意，先计算民警的安排方法，再计算女医生的安排方法，最后计算男医生的安排方法，由分步乘法计数原理，即可得出结果.【详解】因为民警共4人，每班至少一名民警，且民警甲不排上午，所以民警的安排方法有133318C A=种；因为有5名女医生，每组至少需要一名女性，所以女医生的安排方法有2454240C A=种；男医生的安排方法有两种，因此总的安排方法有：1824028640⨯⨯=种.【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理的应用，考查排列组合的应用，属于常考题型.12．已知单位向量a，b，c，0a b⋅=，若存在实数t，使得12a ct b+-=成立，则b c ⋅的最小值为______. 【答案】12【解析】由题意设()1,0a =，()0,1b =，(),c m n =，则221+=m n ，由平面向量线性运算及模的坐标表示可转化条件为关于t 的方程()2221214m t n mt ++=--有解，进而可得112n ≤≤，再由平面向量数量积的坐标表示即可得解. 【详解】由题意设()1,0a =，()0,1b =，(),c m n =，则221+=m n ， 则(),1a b c t m n t +-=--，()a b c t m t +--==所以关于t 12=即()2221214m t n mt ++=--有解， 所以()()2222144411410m m n n ⎡⎤-+--=--⎢⎥∆⎦=≥⎣， 所以1322n ≤≤，又1n ≤,所以112n ≤≤ 所以()min min 12b c n ⋅==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查了平面向量线性运算、模及数量积的坐标表示，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.13．已知正数a ，b ，c 满足6125c a b c a -≤≤-，ln ln c b a c c -≥，若λ=b a ，则λ的取值范围是______. 【答案】[,54]e【解析】先化简得到6125a b a c c c -≤≤-和ac b e c ≥，接着令by c =，a x c=得到约束条件6125xx y x y e -≤≤-⎧⎨≥⎩并画出可行域，再转化目标函数yx λ=，接着求出154(,)1111A 和(1,)B e ，最后求出λ的取值范围即可.【详解】解：因为6125c a b c a -≤≤-，所以6125a b a c c c-≤≤-， 因为ln ln c b a c c -≥，所以ac be c≥，令by c =，a x c =，则6125xx y x y e -≤≤-⎧⎨≥⎩，画出可行域，如图，b ya xλ==， 由图可知1265y x y x =-+⎧⎨=-+⎩得点154(,)1111A ，此时54yx λ==最大；设过切点00(,)B x y 与原点(0,0)O 的直线为y kx =，因为xy e =，则'xy e =则00000xx y kx y e k e =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则(1,)B e ，此时y e x λ==最小.所以[,54]e λ∈ 故答案为：[,54]e 【点睛】本题考查非线性目标函数的取值范围，是中档题.三、双空题14．已知角α终边上一点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin α=______；cos2=α______. 【答案】45-725-【解析】本题先判断点P 在单位圆上，再求4sin 5α=-，最后求cos2α即可 【详解】解：因为2234155⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点P 在单位圆上， 所以4sin 5α=-， 所以2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯-=- ⎪⎝⎭故答案为：45-，725-. 【点睛】本题考查三角函数的定义，二倍角的余弦定理，是基础题.15．在nx⎛⎝的展开式中，二项式系数和为64，则n =______；中间项的系数为______.【答案】6 160-【解析】先建立方程264n =，再求出6n =，接着求6x⎛- ⎝的展开式中的通项公式，最后求中间项的系数即可解题. 【详解】解：因为二项式系数和为64，所以264n =，解得6n =，则6x⎛ ⎝的展开式中的通项为6166362((1)2r r r r r r r r T C x C x--+==-⋅⋅⋅， 令3r =，则展开式的中间项的系数为3(1)220160-⨯⨯=-. 故答案为：6，160-. 【点睛】本题考查二项式系数和求参数、二项式展开式的特定项的系数，是基础题.16．在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲、乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得100法郎的奖励.当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？因为甲输掉后两局的可能性只有111224⨯=，也就是说甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为13144-=，甲有75%的期望获得100法郎；而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为111224⨯=，即乙有25%的期望获得100法郎奖金.这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来.若某随机事件的概率分布列满足()()1,2,3,410i P i a i ξ==⋅=，则a =______；若()3215E b ξ+=，则b =______. 【答案】195【解析】根据随机事件的概率之和等于1 ,求出a .再根据概率的分布列求出b . 【详解】解:因为()()1,2,3,410iP i a i ξ==⋅=, 故234110101010a a a a +++=, 解得1a =()()()()()12343211213141101010105E b b b b b ξ+=+⨯++⨯++⨯++⨯=, 解得95b =故答案为: 1;95【点睛】本题考查随机事件的概率分布列、数学期望.属于基础题.17．已知()2,0A -，()0,2B -，动点P 在圆C ：22240x y x y +--=上，若直线//l AB且与圆C 相切，则直线l 的方程为______；当PA PB ⋅取得最大值时，直线PC 方程为______.【答案】30x y +-=或30x y +-=； 3210x y -+= 【解析】先求出AB k ，再求圆的圆心为(1,2)C 和半径，接着设直线0x y b +-=并求b 值，最后求直线l 的方程即可；先判断直线PC 过线段AB 的中点(1,1)--，再求直线PC 的方程即可解题. 【详解】解：因为()2,0A -，()0,2B -，所以2010(2)AB k --==---，因为圆C 的方程为22240x y x y +--=，即()()22125x y -+-=，所以圆心为(1,2)C，半径r =因为直线//l AB ，所以设直线l ：y x b =-+，即0x y b +-=因为直线l 与圆C=，解得：3b =3b =，所以直线l的方程为：30x y +-=或30x y +-+=， 设线段的中点为(1,1)M --， 则222222221111[()()](4)4444PA PB PA PB PA PB PM BA PM BA PM BA ⋅=+--=-=-=-，PA PB ⋅取得最大值就是PM 最大，此时直线PC 过线段AB 的中点(1,1)--，所以直线PC 过点(1,1)M --、(1,2)C ， 则直线PC 的方程为：3210x y -+=.故答案为：30x y +--=或30x y +-+=；3210x y -+= 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、求直线的方程，是中档题.四、解答题18．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()3cos22sin 1C A B =+-.（Ⅰ）求cos C ；（Ⅱ）若边AB 上的中线1CD =，a b +=ABC 的面积.【答案】（1（2. 【解析】（1）先化简得到23sin sin 20C C +-=，再求出2sin 3C =，最后求cos C 即可；（2）先得到2CA CB CD +=，再得到方程2()24a b ab +-=，接着求出ab ，最后求S 即可. 【详解】解：（1）因为()3cos22sin 1C A B =+-，A B C π++=， 所以26cos 2sin 20C C --=，因为22sin cos 1C C +=， 所以23sin sin 20C C +-=，因为02C <<π，所以2sin 3C =，所以cos C ==（2）因为CD 是边AB 上的中线，所以2CA CB CD +=， 所以2222cos 44a b ab C CD ++==，所以2()243a b ab ab +-+=，因为a b +=所以ab =，所以112si 23n 2S ab C === 【点睛】本题考查向量的加法、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式、三角形的面积公式，是基础题.19．已知首项为1公差不为零的等差数列{}n a ，2a 为1a ，4a 的等比中项，数列{}1n b +的前n 项和为n S ，且()4log 1n n a S =+，*n ∈N . （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （I ）若()11nn an c b =+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：265n T <. 【答案】（1）n a n =，1341n n b -=⋅-；（2）证明过程见详解.【解析】（1）先求出1d =，再求出n a n =，接着求出41n n S =-并判断数列{}1n b +是以3为首项，以4为公比的等比数列，最后求n b 即可； （2）先求出()111341nn n c --+-⋅=，再分组得到1352124622()()n n n c c c c c c c c T -=+++++++++，最后使用放缩法证明结论成立. 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，且0d ≠，因为2a 为1a ，4a 的等比中项，所以2214a a a =⋅，即2111()(3)a d a a d +=+ 因为11a =，所以2(1)13d d +=+，解得：0d =（舍去）或1d =，所以1(1)n a a n d n =+-=，因为()4log 1n n a S =+，所以41nn S =-，所以数列{}1n b +是以3为首项，以4为公比的等比数列， 所以1134n n b -+=⨯，则1341n n b -=⋅-（2）因为()11nn a n c b =+-，n a n =，1341n n b -=⋅-，所以()111341nn n c --+-⋅=，所以21234212n n n T c c c c c c -=++++++135212462()()n n c c c c c c c c -=+++++++++024*******()()3423423423423431111114134341n n --=+++++++++⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯024*******3333()()34343434341343431411n n --≤+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111()1()1116161134111616n n--=+⨯⨯-- 5215261()4516455n ⎡⎤=⨯-<<⎢⎥⎣⎦ 所以265n T < 【点睛】本题考查等比中项、等差数列的通项公式、等比数列的判定、分组求和法和放缩法证明不等式，是中档题.20．如图，底面ABCD 为菱形，AP ⊥平面ABCD ，//AP DE ，23BAD π∠=，2PA AD DE ==.（Ⅰ）求证：//BD 平面PEC ；（Ⅱ）求直线DP 与平面PEC 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）14. 【解析】（Ⅰ）取PC 中点为F ，连接AC 交BD 于点O ，连接OF ，EF ，证明//EF BD ，再由线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（Ⅱ）根据题意，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，设22PA AD DE ===，求出直线DP 的方向向量，以及平面PEC 的法向量，计算两向量夹角的余弦值，即可得出结果. 【详解】（Ⅰ）取PC 中点为F ，连接AC 交BD 于点O ，连接OF ，EF ， 因为底面ABCD 为菱形，所以O 为AC 的中点，则//OF PA 且12OF PA =， 又//AP DE ，且2PA DE =，所以//OF DE 且OF DE =，即四边形OFED 为平行四边形，因此//EF DO ，即//EF BD ，因为EF ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，所以//BD 平面PEC ； （Ⅱ）因为AP ⊥平面ABCD ，由（Ⅰ）可得，OF ⊥平面ABCD ， 又底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，即OC OD ⊥，因此,,OC OD OF 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，设22PA AD DE ===，则112OF PA ==，又23BAD π∠=，则3OAD π∠=，所以cos 13OC OA AD π===，sin33OD AD π==，则()0,0,1F ，()1,0,0C ，()0,3,0D ，()1,0,0A -，所以()1,0,2P -，()0,3,1E ， 因此()1,3,2DP =--，()1,3,1PE =-，()2,0,2PC =-， 设平面PEC 的一个法向量为(),,m x y z =，则PE m PC m⎧⊥⎨⊥⎩，所以00PE m PC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即30220x y z x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令1x =，则01y z =⎧⎨=⎩，即()1,0,1m =，设直线DP 与平面PEC 所成角为θ， 则1sin cos ,413411DP m DP m DP mθ⋅=<>===++⨯+，即直线DP 与平面PEC 所成角的正弦值为14.【点睛】本题主要考查证明线面平行，考查求线面角的正弦值，熟记线面平行的判定定理，以及空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型.21．如图，已知抛物线()2:20y px p Γ=>，斜率分别为()111k k ≥，2k 的直线1l ，2l 过焦点F 且交抛物线于A ，B 两点和C ，D 两点.（Ⅰ）若弦AB上一点21,2G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在准线上的投影为E ，FA ，GE ，FB 成等差数列，求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若2p =，直线1l ，2l 的倾斜角互补，求四边形ACBD 面积的最大值. 【答案】（Ⅰ）22y x =；（Ⅱ）32.【解析】（Ⅰ）由抛物线的性质可得点21,2G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为弦AB 的中点，利用点差法可得12k p =，即可求得1p =，即可得解；（Ⅱ）设点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立方程可得1214y y k +=，124y y =-，342144y y k k +==-，344y y =-，由弦长公式、点到直线的距离公式化简可得四边形的面积为3111116k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】（Ⅰ）作1AA 、1BB 垂直于准线，垂足分别为1A 、1B ，如图，因为FA ，GE ，FB 成等差数列，所以112GE FA FB A A B B =+=+，所以点2G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为弦AB 的中点， 设点()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x +=，12y y +=，将点()11,A x y ，()22,B x y 代入抛物线的方程可得21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，作差得()2212122y y p x x -=-即()()1212122y y y y px x +-=-，所以1k ，又点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以12212FG k k p p ===--，2p=-，所以1p =， 所以抛物线Γ的方程为22y x =；（Ⅱ）当2p =时，抛物线2:4y x Γ=，焦点()1,0F ，设直线1l 的方程为11y k x k =-，直线2l 的方程为22y k x k =-，易知12k k =-， 设点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立1124y k x k y x=-⎧⎨=⎩，消去x 整理得211440k y y k --=，>0∆，所以1214y y k +=，124y y =-， 同理342144y y k k +==-，344y y =-， 所以2221121222211114111414116k ABy y y y k k k k，点C 到直线1l 的距离1d =D 到直线1l 的距离2d =由题知11k ≥，301x <<，41x >， 所以()()211331144112222111211211ACBDk k x y k k x y k AB d d k S k k +----⋅+=⋅++= ()()()221122133114411434322111212141k k k y y y y k k++⎡⎤==---⎢⎥⎣⎦+ ()()22211143434311121414144k k k y y y y y y k ⎡⎤++⎛⎫=⋅---=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦()222113311111161414111616k k k k k k ++⎛⎫⎛⎫=-+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以当111k =即11k =时，四边形ACBD 的面积取最大值，最大值为32. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合应用，考查了与抛物线相关的点差法的应用及面积最值的求解，属于中档题.22．已知函数()2ln f x x ax x =++.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()()22g x f x x =-+，1x ，2x 为函数()y g x =的两个不同零点，求证：1212nln l x x +>.【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）求函数导数，分析得12x x+≥a ≥-和a <-两种情况求单调区间即可；（Ⅱ）根据题意可得222ln 0x ax ++=，112ln 0x ax ++=，通过两式相加和相减可分析得要证1212n ln l x x +>，即证221211ln 2110x x x x x x -+->，令21t=1x x >，即证1ln 201t t t -⎛⎫-> ⎪+⎝⎭，设()1ln 21t t t t ϕ-⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用导数求单调性即可证得. 【详解】（Ⅰ）函数()2ln ,(0)f x x ax x x =++>,()12,(0)f x x a x x'=++>,由12x x+≥当a ≥-时，()120f x x a x'=++≥， ()f x 的增区间为(0,)+∞，无减区间；当a <-时，()120f x x a x '=++=，解得：4a x -±=， ()f x的增区间为)+∞，减区间为. （Ⅱ）()ln 2g x ax x =++.由题意可得： 222ln 0x ax ++=，112ln 0x ax ++=，两式作差：()2121ln ln 0x x a x x -+-=，得2121ln ln x x a x x -=-- 两式相加：()2121ln ln 40x x a x x ++++=，得()2121ln ln 4x x a x x +=-+- 要证1212n ln l x x +>，即证12ln ln 20x x ++>，不妨设21x x > 即证()212121ln ln 20x x x x x x -+->-，即证221211ln 2110x x x x x x -+-> 令21t=1x x >，即证1ln 201t t t -⎛⎫-> ⎪+⎝⎭，设()1ln 21t t t t ϕ-⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ()22214(2)0(1)(1)t t t t t ϕ-'=-=>++， 所以函数()t ϕ在(1,)+∞单调递增，所以()()10t ϕϕ>=，得证.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，及证明不等式，解题的关键是凑出含21x x 的式子，进而通过换元构造函数，属于难题.。

2021届百万联考高三9月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}24120A x x x =--≤，{}440B x x =->，则A B =（ ）A ．{}12x x <≤ B ．{}2x x ≥- C ．{}16x x <≤ D ．{}6x x ≥-【答案】C【解析】根据不等式的解法，求得集合{}26A x x =-≤≤，{}1B x x =>，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}2412026A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}4401B x x x x =->=>，根据集合交集的概念与运算，可得{}16A B x x ⋂=<≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题. 2．已知复数1iz i=+，则=z （ ） A ．1122i + B ．1122i -C ．1122-+i D ．1122i -- 【答案】B【解析】利用复数的除法运算化简z ，由此求得z . 【详解】()()()1111111222i i i i z i i i i ⋅-+====+++⋅-，则1122z i =-. 故选：B 【点睛】本题考查复数的除法运算、共轭复数，考查运算求解能力.3．某年1月25日至2月12日某旅游景区A 及其里面的特色景点a 累计参观人次的折线图如图所示，则下列判断正确的是（）A．1月29日景区A累计参观人次中特色景点a占比超过了1 3B．2月4日至2月10日特色景点a累计参观人次增加了9700人次C．2月6日至2月8日景区A累计参观人次的增长率大于特色景点a累计参观人次的增长率D．2月8日至2月10日景区A累计参观人次的增长率小于2月6日到2月8日的增长率【答案】D【解析】根据折线图逐个计算各选项中的数据，从而得到正确的选项.【详解】1月29日景区A累计参观人次中特色景点a的占比为1717152513<=，故A错误；2月4日至2月10日特色景点a累计参观人次增加了980060003800-=人次，故B 错误；2月6日至2月8日特色景点a累计参观人次的增长率为0.880.7470.7437-=，2月6日至2月8日景区A累计参观人次的增长率为1.88 1.67211.67167-=，因为7212137111167=>，所以C错误；2月8日至2月10日景区A累计参观人次的增长率为2.09 1.88211.88188-=，因为2121188167<，所以D正确.故选：D.【点睛】本题考查统计图表及其应用，考查学生的数据处理能力和计算能力，本题属于基础题.4．“23sin sin cos 20ααα--=”是“tan 2α=”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先解方程，再根据解的情况可判断两者之间的条件关系. 【详解】因为23sin sin cos 20ααα--=，所以22sin sin cos 2cos 0αααα--=，即()()sin 2cos sin cos 0αααα-+=，sin 2cos 0αα-=或sin cos 0αα+=，若cos 0α=，则sin 0α=，这与22sin cos 1αα+=矛盾，故cos 0α≠，所以tan 2α=或tan 1α=-，故“23sin sin cos 20ααα--=是“tan 2α=”的必要不充分条件. 故选：C. 【点睛】本题考查三角恒等变换与必要不充分条件，考查推理论证能力和运算求解能力，本题属于基础题. 5．函数()22sin 1x f x x -=的部分图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】首先判断出()f x 为偶函数，然后结合06x π<<时，()f x 为负数，确定正确选项. 【详解】因为()()()222sin 12sin 1x x f x f x x x ----===-，所以()f x 是偶函数，则()f x 的图象关于y 轴对称，排除C ，D ；当06x π<<时，()0f x <，排除B.故选：A 【点睛】本题考查函数图象，考查推理论证能力.6．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为CD ，BC 的中点，则AE =（ ）A ．3142AD AF + B ．1122AD AF + C ．1324AD AF +D ．12AD AF +【答案】A【解析】根据平面向量的加法法则运算可得解. 【详解】由题意可得12AE AD DE AD AB =+=+，12AB AF FB AF AD =+=-， 则3142AE AD AF =+. 故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力.属于基础题.7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD 内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为同一片“风叶”的概率为（ ）A ．37B ．47C ．314D ．1114【答案】A【解析】由从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点，得到基本事件的个数为28C 种，这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有234C 种，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有2828C =种，其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有234C 12=， 根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率123287P ==. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了古典概型的概率计算，以及组合的概念及组合数的计算，其中解答中正确理解题意，根据组合数的计算公式求得基本事件的总数及所求事件所含有的基本事件的个数是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线C交于A ，B 两点，且120AFB ∠=︒，延长AF ，交双曲线C 于点M ，若2MF AF =，则双曲线C 的离心率为（ ） A．B ．73CD ．3【答案】B【解析】设AF m =，结合已知条件和双曲线的定义求得MF ，AF '，MF '，利用余弦定理列方程，解方程求得,a c ，由此求得离心率. 【详解】如图，设双曲线C 的左焦点为F '，连接AF '，BF '.设AF m =，则2MF m =，2AF a m '=+，22MF a m '=+.由双曲线的对称性可知四边形AFBF '是平行四边形，且60F AF '∠=︒，则2222222cos 2cos FF AF AF AF AF F AF MF AM AF AM AF F AM⎧=+-⋅⋅∠⎪⎨=+-⋅''''''⋅∠''⎪⎩，即()()()()()()222222422223232c m a m m a ma m m a m m a m⎧=++-+⎪⎨+=++-+⎪⎩，解得310710a mc m⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故73cea==. 故选：B【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力.二、多选题9．下列不等式不一定成立的是（）A．若a b>，则22a b>B．若0a b>>，则b b ma a m+<+C．若4ab=，则4a b+≥D．若22ac bc>，则a b>【答案】ABC【解析】利用不等式的性质，用排除法逐项排除.【详解】对于A，当1a=-，2b=-时，22a b<，故A不一定成立；对于B，()()()()()b a m a b m b a mb b ma a m a a m a a m+-+-+-==+++，因为0a b>>，所以0b a-<，当0a m+>，0m<时，()()0b a ma a m->+，即b b ma a m+>+，故B不一定成立；对于C ，当0a <，0b <时，4a b +≤-，故C 不一定成立； 对于D ，因为22ac bc >，所以20c >，所以a b >，故D 一定成立. 故选：ABC. 【点睛】本题考查不等式的性质，考查推理论证能力.10．已知,M N 是函数())2cos 04f x x πωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭的图象与x 轴的两个不同的交点，若MN 的最小值是4π，则（ ） A ．2ω=B ．()f x 在5,08π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 的图象关于直线8x π=-对称D ．()f x 在[]0,3π上有6个零点 【答案】AC【解析】根据题设条件，结合三角函数的图象与性质，求得函数()2cos 24f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.【详解】设()f x 的最小正周期为T ，由三角函数的图象与性质，可得min 1||4MN T =，即1244ππω⨯=，解得2ω=，则()2cos 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由()222,4k x k k Z ππππ-≤+≤∈，解得()5,88k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 当0k =时，588x ππ-≤≤-， 因为55,0,888πππ⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在5,08π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调， 由()2,4x k k Z ππ+=∈，解得(),28k x k Z ππ=-∈， 即()f x 的对称轴方程是(),28k x k Z ππ=-∈， 当0k =时，8x π=-，则()f x 的图象关于直线8x π=-对称，因为[0,3]x π∈，所以252,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由()0f x =，即2cos(2)42x π+=，可得244x ππ+=，7915172325,,,,,444444ππππππ， 即37110,,,,2,,3444x ππππππ=，故()f x 在[]0,3π上有7个零点. 故选：AC. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中根据题意求得函数的解析式，熟练应用三角函数的图象与性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理论证能力，属于中档试题.11．在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PD AB =，四边形ABCD 是正方形，点E 是棱PB 的中点，则（ ） A ．PD ⊥平面ABCD B ．//PD 平面ACE C ．2PB AE = D ．PC AE ⊥【答案】BC【解析】对于A ，因为PD 与AD 不一定垂直，所以PD 不一定垂直平面ABCD ，故A 错误.对于B ，根据//OE PD 可得//PD 平面ACE ，故B 正确.对于C ，根据侧面PAD ⊥平面ABCD ，可推得AB PA ⊥，从而可得2PB AE =，故C 正确.对于D ，通过计算可知，只有PD ⊥平面ABCD ，才能得到PC AE ⊥，故D 错误. 【详解】如图，对于A ，因为PD 与AD 不一定垂直，所以PD 不一定垂直平面ABCD ，故A 错误.对于B ，连接BD ，记ACBD O =，连接OE .因为四边形ABCD 是正方形，所以O为BD 的中点.因为,O E 分别为BD ，BP 的中点，所以//OE PD ，又PD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，则//PD 平面ACE ，故B 正确.对于C ，因为四边形ABCD 是正方形，所以CD AD ⊥，因为侧面PAD ⊥平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD .因为//AB CD ，所以AB ⊥平面PAD .因为PA ⊂平面PAD ，所以AB PA ⊥，则2PB AE =，故C 正确.对于D ，取BC 的中点F ，连接,EF AF .因为,E F 分别为BP ，BC 的中点，所以//EF PC .假设PC AE ⊥，则EF AE ⊥.设2PD AB ==，则1122EF PC ===AF ==.因为EF AE ⊥，所以AE ==PB =.因为2PD =，PB =，BD =222PD BD PB +=，所以PD BD ⊥，则PD ⊥平面ABCD .因为PD 与平面ABCD 不一定垂直，所以D 错误. 故选：BC. 【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理，考查了平面与平面垂直的性质定理，空间两点之间的距离，考查空间想象能力与推理论证能力.属于基础题.12．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（1）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（2）曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列结论正确的是（ ）A ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =B ．直线:33l y x =-+在点()1,0P 处“切过曲线32:32C y x x =-+ C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:x C y xe =D ．直线33212:2l y x e e =-+在点32323,2P e e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭处“切过”曲线ln : x C y x = 【答案】ABD【解析】分别求得曲线的导数，可得切线的斜率，得到切线方程，分别判断切点附近曲线的是否在直线两侧， 即可得到结论. 【详解】对于A ，由sin y x =，得cos y x '=，则01x y ='=从而可得曲线sin y x =在点()0,0P 处的切线为y x =. 当02x π-<<时，sin x x <，当02x π<<时，sin x x >，则曲线sin y x =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，故A 正确.对于B ，由3232y x x =-+，得236y x x '=-，则13x y ='=-，从而可得曲线3232y x x =-+在点()1,0P 处的切线为33y x =-+.因为()()33232331x x x x -+--+=-，故当1x <时，323233x x x -+<-+，当1x >时，323233x x x -+>-+， 则曲线3232y x x =-+在点()1,0P 附近位于直线l 的两侧，故B 正确.对于C ，由x y xe =，得()1xy x e '=+，则01x y ='=，从而可得曲线x y xe =在点()0,0P 的切线为y x =.因为()10xxy xe x x e =-=-≥，所以x xe x ≥，则曲线xy xe =在点()0,0P 附近位于直线l 的同侧，故C 错误.对于D ，由ln x y x =得21ln x y x -'=，则32312x e y e ==-'，从而可得曲线ln x y x=在点32323,2P e e ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭处的切线为332122y x e e =-+.令()33212ln 2x x F e ex x -+-=，则320F e ⎛⎫= ⎪⎝⎭且()3211ln 2x e F x x ---'=， ()3211ln 2x e x g x ---=，故33223311ln =02e e e e g ⎛⎫= ⎪⎝⎭---且()232ln g x x x -'=， 当320x e <<时，()0g x '>；当32x e >时，()0g x '<，故()g x 在320,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，在32,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，故在320,e ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0g x <，在32,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x <故()0F x '<当且仅当32x e =时等号成立，故当320x e <<时，()0F x >，当32x e >时，()0F x <， 故当32x e<时，33212ln 2e e x x x -+>，当32x e >，33212ln 2e e x x x -+<，则曲线ln xy x =在点32323,2P e e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭附近位于直线l 的两侧，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查新定义的理解，考查转化思想与抽象思维能力，考查运算能力，属于综合题题.三、填空题13．若抛物线()2:20C y px p =>的焦点在直线:230l x y +-=上，则p =______.【答案】6【解析】将抛物线的焦点坐标代入直线方程可求得实数p 的值. 【详解】由题意可得抛物线C 的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，则302p -=，解得6p.故答案为：6. 【点睛】本题考查利用抛物线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题. 14．若()202022020012202012x a a x a x a x +=++++，则32020122320202222a a a a -+-++=______. 【答案】1-【解析】令()()202012f x x =+，利用赋值法可得()32020122320201022222a a a a f f ⎛⎫-+-++=-- ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】 令()()202012f x x =+，则()001a f ==，320201202320201022222a a a a a f ⎛⎫-+-++=-= ⎪⎝⎭，因此，()320201223202010122222a a a a f f ⎛⎫-+-++=--=- ⎪⎝⎭. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查利用赋值法计算项的系数和，考查计算能力，属于基础题.15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()23log 1f x x x =++，若()5f m ≥，则m 的取值范围是______. 【答案】](),22,⎡-∞-⋃+∞⎣【解析】根据函数的奇偶性和对数函数的性质，得到函数()f x 在()0,∞+和(),0-∞上单调递增，且()25f =，()25f -=-，结合不等式()5f m ≥，即可求解. 【详解】由题意，当0x >时，()()23log 1f x x x =++，根据对数函数的性质，可得()f x 在()0,∞+上单调递增，且()25f =，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(),0-∞上单调递增，且()25f -=-， 又由()5f m ≥，即()5f m ≥或()5f m ≤-，所以2m ≥或2m ≤-. 即实数m 的取值范围是](),22,⎡-∞-⋃+∞⎣. 【点睛】本题主要考查了函数基本性质的应用，其中解答中熟记对数函数的单调性，以及函数的奇偶性，合理转化不等式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.四、双空题16．已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为144，点P 是正方形1111D C B A 的中心，点,,,,P A B C D 都在球O 的球面上，其中球心O 在长方体1111ABCD A B C D -的内部.已知球O 的半径为R ，球心O 到底面ABCD 的距离为2R，则R =______.过AB 的中点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是______. 【答案】4 6π【解析】根据长方体1111ABCD A B C D -的体积可求得4R =，分析可知，当OE ⊥截面时，截面面积达到最小，根据勾股定理求出OE =r =用圆的面积公式可求得结果. 【详解】由题意可知正方形ABCD 的对角线长为=，则正方形ABCD ，故长方体1111ABCD A B C D -的体积为2314422R⎛⎫= ⎪ ⨯⎪⎝⎭，解得4R =.当OE ⊥截面时，截面面积达到最小，此时OE ==则截面圆的半径r ==故截面圆的面积为26r ππ=. 故答案为：4；6π. 【点睛】本题考查简单几何体及其外接球，考查空间想象能力，考查了长方体的体积公式，属于基础题五、解答题17．在①18a =-，27a =-，()11,n n a ka n k ++=+∈∈N R ；②若{}n a 为等差数列，且36a =-，72a =；③设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()211722n S n n n +=-∈N 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.在数列{}n a 中，______.记123n n T a a a a =++++，求20T .【答案】选择①，102；选择②，102；选择③，102.【解析】若选择①，由递推公式求出通项公式；若选择②，有等差数列的性质求通项公式；若选择③，由1n n n a S S -=-求出数列通项公式，再根据通项公式得出()()()()2012389101120T a a a a a a a a =-+-+-++-+++++()()12389101120a a a a a a a a =-+++++++++由等差数列前n 项和的求法即可求解.【详解】 若选择①，因为11n n a ka +=+，所以211a ka =+，即817k -+=-，解得1k =， 则11n n a a +-=，从而数列{}n a 是首项为-8，公差为1的等差数列， 故()119n a a n d n =+-=-； 若选择②，因为36a =-，72a =-，所以126a d +=-，162a d +=-， 解得18a =-，1d =， 故()119n a a n d n =+-=-； 若选择③，因为211722n S n n =-，所以11117822a S ==-=-， 当2n ≥时，()()2211171191192222n S n n n n -=---=-+， 则()192n n n a S S n n -=-=-≥， 因为18a =也满足上式，所以9n a n =-. 由0n a ≥，得9n ≥故()()()()2012389101120T a a a a a a a a =-+-+-++-+++++()()12389101120a a a a a a a a =-+++++++++()()8180111222--⨯+⨯=-+102=.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，以及等差数列的性质，考查学生的运算求解能力，和逻辑思维能力.18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22cos 32BB =. （1）求角B ；（2）若D 是AC 的中点，且b =BD =ABC 的周长.【答案】（1）3B π=；（2）周长为10+【解析】（1）根据22cos32B B +=，化简得sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求解；（2）分别在ABD △和BCD 中，应用余弦定理，结合cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，求得2252a c +=，再在ABC 中，再结合余弦定理求得a c +的值，即可求解. 【详解】（1）由题意，因为22cos 32BB =，可得cos 13B B +=. 所以2sin 26B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为0B π<<，所以62B ππ+=，所以3B π=.（2）因为D 为AC 的中点，所以AD CD ==在ABD △中，因为AD =BD =2cosADB ∠=.在BCD 中，因为CD =BD =2cosBDC ∠=因为ADB BDC π∠+∠=，所以cos cos 0ADB BDC ∠+∠=， 即227197190c a +-++-=，即2252a c += ①在ABC 中，由余弦定理可得222b a c ac =+-，即24ac =②联立①②，解得10a c +==.故ABC 的周长为10a b c ++=+【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.19．如图，在三棱锥P ABC -中，ABC 是等边三角形，PA PB =.（1）证明：AB PC ⊥.（2）若7PA PC =23AB =A PC B --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（237. 【解析】（1）要证明AB PC ⊥，只需证明AB ⊥平面PCD ，将证明线线垂直转化为证明线面垂直，即可求得答案；（2）以D 为原点，DB ，DC 的方向分别为,x y 轴的正方向，垂直平面ABC 向上为z 轴的正方向，建立的空间直角坐标系D xyz -，分别求得平面PBC 的法向量n 和平面PAC 的法向量m ，根据cos ,n m n m n m⋅=，即可求得答案.【详解】取AB 的中点D ，连接PD ，CD .PA PB =， ∴AB PD ⊥.底面ABC 是等边三角形，∴AC BC =， ∴AB CD ⊥PD CD D ⋂=，∴AB ⊥平面PCD .PC ⊂平面PCD ， ∴AB PC ⊥.（2）由（1）可知AB ⊥平面PCD ，则以D 为原点，DB ，DC 的方向分别为,x y 轴的正方向，垂直平面ABC 向上为z 轴的正方向，建立的空间直角坐标系D xyz -.23AB =7AP =，∴3AD BD ==∴3CD =，732PD =-=.则4971cos 2232PDC ∠+-==⨯⨯，从而(3P ，()3,0,0A -，)3,0,0B，()0,3,0C ，故(0,2,3PC =-，)3,3,0AC =，()3,3,0BC =-.设平面PBC 的法向量为()111,,n x y z =，则1111230330n PC y z n AC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令13x =，得()3,3,2n =--， 设平面PAC 的法向量为()222,,m x y z =，则2222230330m PC y z m BC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令23x =，得()3,3,2m = 从而9341cos ,448n m n m n m⋅--===⨯.故二面角A PC B --的正弦值为378. 【点睛】本题主要考查了异面直线垂直和二面角的余弦值，解题关键是掌握将线线垂直转化为线面垂直的证法和向量法求二面角的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率是12，且椭圆C 经过点33,2P ⎫⎪⎪⎭，过椭圆C 的左焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若2MF FN =，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（220y ±+=. 【解析】（1）依题意得到方程组222221,2331,4,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得即可； （2）设直线l 的方程为1x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由2MF FN =，可得122y y -=，从而求出参数的值， 【详解】解：（1）设椭圆C 的半焦距为c .由题意可得222221,2331,4,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩解得24a =，23b =.故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）可得()1,0F -当直线l 的斜率为0时，()2,0M -，()20N ，或()20M ，，()2,0N -， 此时2MF FN ≠，不符合题意.当直线l 的斜率不为0时，可设直线l 的方程为1x my =-，()11,M x y ，()22,N x y .联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234690m y my +--=，则1212229,63434y y y y m m m ==-+++， 因为2MF FN =，所以122y y -=.从而1222634my y y m +=-=+，21221222269,23434m y y y y y y m m +=-==-=-++， 则2226923434m m m ⎛⎫-⨯=- ⎪++⎝⎭，解得m =.故直线l 20y ±=. 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.21．生活垃圾分类工作是一项复杂的系统工程，须坚持“政府推动､部门联运､全面发动､全民参与”原则.某小学班主任为了让本班学生能够分清干垃圾和湿垃圾，展开了“垃圾分类我最行”的有奖竞答活动.班主任将本班学生分为,A B 两组，规定每组抢到答题权且答对一题得1分，未抢到答题权或抢到答题权且答错得0分，将每组得分分别逐次累加，当其中一组得分比另一组得分多3分或六道题目全部答完时，有奖竞答活动结束，得分多的一组的每一位学生都将获得奖品一份.设每组每一道题答对的概率均为23，A 组学生抢到答题权的概率为12. （1）在答完三题后，求A 组得3分的概率；（2）设活动结束时总共答了X 道题，求X 的分布列及其数学期望()E X . 【答案】（1）127；（2）分布列答案见解析，数学期望509. 【解析】（1）算出A 组得1分的概率后可得答完3题后A 组得3分的概率.（2）X 的可能取值为3，4，5，6，利用二项分布可求X 的分布列，再利用公式可求数学期望. 【详解】（1）由题意可知每道题A 组得1分的概率为121233⨯=， 故答完3题后，A 组得3分的概率311327P ⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）由A 组学生抢到答题权的概率为12，可知B 组学生抢到答题权的概率为11122-=， 则每道题的答题结果有以下三种： ①A 组得1分，B 组得0分，此时的概率为121233⨯=；②A 组得0分，B 组得1分，此时的概率为121233⨯=； ③A 组得0分，B 组得0分，此时的概率为1111333--=. 由题意可知X 的可能取值为3，4，5，6.()31232327P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()223111242C 33327P X ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， ()224231411111252C C 3333327P X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()2227612727279P X ==---=， 则X 的分布列为故222750345627272799EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望，计算分布列时要弄清随机变量取某值时对应的随机事件的含义并确定合理的概率计算方法.必要时可借助于常见的分布列来帮助计算（如0-1分布、二项分布、超几何分布等）. 22．已知函数()()21x f x e a x ex =---. （1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 参考数据： 2.72e ≈，ln 20.69≈.【答案】（1）减区间为(),1-∞，增区间为()1,+∞；（2）(],1-∞.【解析】（1）当0a =时，求得()xf x e e '=-，分析导数的符号变化，由此可求得函数()y f x =的单调递增区间和递减区间；（2）由()00f ≥可得1a ≤，可得出()()21xf x e x ex ≥---，构造函数()()21x g x e x ex =---，利用导数证明出()0g x ≥对一切0x ≥恒成立，由此可求得实数a 的取值范围.第 1 页 共 6 页 【详解】（1）当0a =时，()x f x e ex =-，则()xf x e e '=-. 令()0f x '<，得1x <；令()0f x '>，得1x >.故函数()y f x =的单调递减区间为(),1-∞，调递增区间为()1,+∞；（2）因为当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，且()10f =，由()010f a =-≥，可得1a ≤.因为1a ≤，所以()()()2211x x f x e a x ex e x ex =---≥---，设()()21x g x e x ex =---，则()()21x g x e x e '=---. 设()()()21x h x g x e x e '==---，则()2xh x e '=-. 令()0h x '>，得ln 2x >；令()0h x '<，得0ln 2x <<.故函数()y h x =在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，因为()()0030h g e '==->，()()ln 2ln 242ln 20h g e '==--<，()()110h g '==，所以存在()00,ln 2x ∈，使()00g x '=.当00x x <<或1x >时，()0g x '>；当01x x <<时，()0g x '<.则函数()y g x =在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 因为()()010g g ==，所以()0g x ≥对一切的0x ≥恒成立.故a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.。

2021届普通高中教育教学质量监测考试全国卷理科数学注意事项：1 .本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

2 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3 .全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4 .本试卷满分150分，测试时间120分钟。

5 .考试范画：必修1〜5,选修2 — 1, 2-2, 2—3。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

1.若 z=2—L 则区一zl= A3 B.2 C. VTO D.V262,若集合 A={xly=k )g3(x2—3x-18)}, B={-5, -2, 2, 5, 7),则 AAB = A.{—2, 2, 5}B.{-5, 7}C.{-5, -2, 7}D.{-5, 5, 7)3.我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图(1)为北京某宫殿建筑，图(2)为该宫殿某一 “柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为1,则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为94•已知抛物线G ： y2=6x 上的点M 到焦点F 的距离为一,若点N 在Cz ： (x+2)2+y 2=l ・ 2则点M 到点N 距离的最小值为A.A /26-1B.>/43-1C.V33-1D.25.根据散点图可知，变量x, y 呈现非线性关系。

为了进行线性回归分析，设u=21ny, v=(2x -3)2,利用最小二乘法，得到线性回归方程u=-1v+2,则3B.变量y 的估计值的最小值为eA.变量y 的估计值的最大值为e图⑴ 图⑵A.9TT +9+9 B.18 兀+18 点 +9 C.18 兀+18& +18D.18TT +91 + 18C 变量y 的估计值的最大值为e 2 D.变量y 的估计值的最小值为e 26,函数f(x)=h]2x —x3的图象在点(1, f(L))处的切线方程为 2 25 3 5 c — 1 1 、1 A. y = — x--B. y = — —x + 2C. y = —x--D. y = --x44 44447,已知函数 f(x)=3cos(sx+<p)(3>0),若 f (一二)=3, f( —)=0,则 3 的最小值为3 31 3 A.-B.-C.2D.3248 .(3x-2)2(x-2)6的展开式中，X”的系数为 A.O B.4320C.480D.38409 .已知圆C 过点(1, 3), (0, 2), (7, -5),直线/： 12x-5y —1=0与圆C 交于M, N 两点, 则 IMNI = A.3B.4C.6D.8 10・已知角a 的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(1, m),其中m>0：若tan2a12 rll—,则 cos(2a+ni7i) = 6「 口A.— —B.— —131311 .已知三棱锥S-ABC 中，ZiSBC 为等腰直角三角形，ZBSC=ZABC = 90°, ZBAC=2Z BCA, D, E, F 分别为线段AB, BC, AC 的中点，则直线SA, SB, AC, SD 中，与平面SEF 所成角为定值的有A.1条B.2条 C3条 D.4条e x212.已知函数f(x)= — —m(h]x+x+ —)恰有两个极值点，则实数m 的取值范围为 x x11 1 c c 1 eA.(-8, _] B,(一，+8) C.(一，-)U (- , 4-oo)D .(—8, —]U(—，+8)222 332 3第n 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2021届浙江省嘉兴市高三上学期9月教学测试数学试题一、单选题1．已知集合{}23M x x =-<<，{}260N x x x =+-<，则M N =（ ）A ．{}23x x << B ．{}32x x -<<- C ．{}33x x -<< D ．{}22x x -<<-【答案】D【解析】解不等式确定集合N ，然后由交集定义求解． 【详解】{}260{|32}N x x x x x =+-<=-<<，∴{|22}MN x x =-<<．故选：D ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题．2．双曲线2212x y -=的离心率为（ ）A ．32B ．2C ．2D ．2【答案】B【解析】由双曲线的方程得到22a =，21b =，然后求出c 即可. 【详解】由双曲线方程得22a =，21b =，则a =c =则双曲线的离心率62ce a ， 故选：B. 【点睛】本题考查的是由双曲线的标准方程得其离心率，根据双曲线的方程确定基本量是解题的关键.3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．23B ．43C ．2D ．4【答案】A【解析】根据题设三视图还原为直观图，由三视图相关线段长度标出直观图对应线段，进而求几何体体积； 【详解】根据几何体的三视图，可知空间图如下：∴112221323V =⨯⨯⨯⨯= 故选：A 【点睛】本题考查了三视图还原成直观图，根据所得直观图求体积，属于简单题； 4．(),2a x =，()1,1b =-且a b b ⋅=，则x 的值为（ ） A ．22+B ．0C ．22D ．32【答案】C【解析】利用向量的数量积坐标表示和向量模长即可求出. 【详解】因为(),2a x =，()1,1b =-，a b b ⋅=，22x =，得2x =故选：C. 【点睛】熟练掌握数量积的坐标表示和模长公式是关键.5．若实数x，y满足约束条件2201010x yx yy++≥⎧⎪-+≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y=-的最大值为（）A．4-B．3-C．2-D．1-【答案】D【解析】画出x，y满足约束条件2201010x yx yy++≥⎧⎪-+≤⎨⎪-≤⎩可行域，再根据几何意义求解即可. 【详解】解：画出x，y满足约束条件2201010x yx yy++≥⎧⎪-+≤⎨⎪-≤⎩可行域如图，将2z x y=-变形为2y x z=-，平移直线2y x=，所以直线在y轴上的截距最小点为B，联立方程101x yy-+=⎧⎨=⎩，解得1xy=⎧⎨=⎩，所以目标函数2z x y=-在此取得最大值，最大值为1-.故选：D.【点睛】本题考查线性规划求最值问题，考查数形结合思想，是基础题.6．函数()21x xe ef xx--=-的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】通过函数()f x 是奇函数，排除部分选项，再由102x <<时， ()0f x <排除部分选项，然后再对12x >时，利用导数法研究函数的单调性求解. 【详解】因为函数()21x x e e f x x --=-，定义域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于原点对称，且()()2121x x x xe e e ef x f x x x -----==-=----所以函数()f x 是奇函数，故排除B ， 又当102x <<时，0,210x xe e x ->--<， 所以()0f x <故排除D ，当12x >时，()21x xe ef x x --=-，()()()()22231122xx x e x x f e x -++'=-， 而()425209e f e'+=>，故排除A ， 故选：C 【点睛】本题主要考查函数图象的识别以及函数的性质和函数的单调性与导数，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.7．对于函数()2cos 3sin cos x x x f x =，x ∈R ，下列命题错误的是（ ）A ．函数()f x 的最大值是32B ．不存在54,63αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()12f α=C ．函数()f x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．存在10,3απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()5f x f x αα+=+恒成立 【答案】B【解析】先化简()f x 得1()sin(2)62f x x π=++，由三角函数的性质逐个分析判断即可 【详解】解：1cos 2111()22cos 2sin(2)2222262x f x x x x x π+=+=++=++， 对于A ，因为x ∈R ，所以sin(2)6x π+的最大值为1，所以函数()f x 的最大值是32，所以A 正确；对于B ，由54,63αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得1117(2),666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以1sin(2)126x π-<+≤，所以30()2f x <≤，所以存在54,63αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()12f α=，所以B 错误； 对于C ，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k Z πππ+≤≤∈，可得()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以函数()f x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以C 正确；对于D ，由()()5f x f x αα+=+得，11sin 2()sin 2(5)6262x x ππαα⎡⎤⎡⎤+++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以sin 2()sin 2(5)66x x ππαα⎡⎤⎡⎤++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以2(5)2()2,66x x k k Z ππααπ++=+++∈，得,4k k Z πα=∈， 当1k =时，0,43ππα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以D 正确， 故选：B【点睛】此题考查三角函数恒等变换的应用，考查三角函数的性质，属于中档题8．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n a =-+，*n ∈N ，则“0a =”是“数列{}2n a 为等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据1n n n a S S -=-，求出n a ，结合充分不必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】当0a =时，2n S n n =-，2n ≥时，122(1)(1)22n n n a S n n n n S n -==---+-=--，又110a S ==，所以22n a n =-，242n a n =-，22(1)424(1)24n n a a n n --=---+=，所以2{}n a 是等差数列，当2{}n a 是等差数列时，有246,,a a a 是等差数列，a 不一定是0，故选：A. 【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判定，熟记概念，以及数列的递推公式即可求解，属于常考题型.9．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，点E 为AD 中点，将ABE △沿BE 折起到'A DE 位置，在翻折过程中，记二面角A DC B '--的平面角大小为α，则当α最大时，tan α=（ ）A ．22B 2C ．13D ．12【答案】D【解析】作出二面角A DC B '--的平面角，作A N AF '⊥于N ，则A N '⊥平面BCDE ，作NM CD ⊥于M ，连接A M '，因为A N '⊥平面BCDE ，CD ⊂平面BCDE ，所以A N CD '⊥，A NNM N '=，所以CD ⊥平面A NM '，所以CD A M '⊥，所以A MN '∠是二面角A CD B '--的平面角．设A ON θ'∠=，用θ表示出,A N NM '（需分类N 在线段OF 和OA 上），表示出tan α，利用三角函数知识求得tan α的最大值． 【详解】取BC 中点F ，连接EF ，则ABFE 是正方形，AF BE ⊥，折叠过程中A O '始终与BE 垂直，OF BE ⊥，由线面垂直的判定定理得BE ⊥平面A AF '，BE ⊂平面ABCD ，所以平面A AF '⊥平面ABCD ，作A N AF '⊥于N ，则A N '⊥平面BCDE ，作NM CD ⊥于M ，连接A M '， 因为A N '⊥平面BCDE ，CD ⊂平面BCDE ，所以A N CD '⊥，A NNM N '=，所以CD ⊥平面A NM '，所以CD A M '⊥，所以A MN '∠是二面角A CD B '--的平面角．设A ON θ'∠=，(0,]2πθ∈，则sin 2A N θ'=，2ON θ=， 若点N 在线段OF上，则331cos 222NM θ=-=-，2tan 313cos cos 22A N NM θθαθθ'===--，设3cos t θθ=-cos 3t t θθ+=，所以3t ≤1122t -≤≤，12t =13cos 22θθ+=1cos 13θθ+=，sin()1θϕ+=，其中1cos 3ϕϕ==，ϕ为锐角，2πθϕ=-为锐角满足题意，同理当点N 在线段AO 上时，则331cos 2222NM θ=+=+，2sin 2sin2tan 31cos 22A N NM θθαθ'===+， 设2sin t θ=，则2sin cos 3t t θθ-=，所以232t t ≤+，1122t -≤≤，12t =时，132sin cos 22θθ-=，221sin cos 133θθ-=，sin()1θϕ-=，其中221,sin cos 33ϕϕ==，ϕ为锐角，2πθϕ=+为钝角不满足题意，综上2sin 3cos t θθ=-的最大值是12，即tan α的最大值是12．故选：D ．【点睛】本题考查空间折叠问题，考查二面角的最值问题，解题关键有两个：一是确定折叠过程中A '点在平面ABCD 上的射影的位置，以便作出二面角的平面角，二是引入A ON θ'∠=，把tan α表示为θ的三角函数，利用三角函数知识求得最值．10．已知函数()()()1xf x e a tax =-+，其中0t ≠．若对于某个t ∈R ，有且仅有3个不同取值的a ，使得关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则t 的取值范围为（ ） A ．()1,e B ．(),2e eC ．(),e +∞D ．()2,e +∞【答案】C【解析】由不等式在R 上恒成立，首先得出0a ≥，0a =满足题意，0a >时，同样由恒成立得0t >，然后由()0f x =，解得ln x a =和1x ta=-，由不等式恒成立，则1ln a ta =-，1ln a a t-=，此关于a 的方程只有两解，即得结论。

2019届浙江省“超能全能生”高三上学期9月联考数学试题(A 卷)1．已知集合{}2A x x =>，{}3B x x =≥，则()B A =R I ð（ ） A ．()2,3B ．(]2,3C ．(),2-∞D ．[)3,+∞ 2．双曲线22143x y -=的右焦点到渐近线的距离为（ ）A ．1B C ．2D3．二项式6x⎛+ ⎝的展开式中的常数项为（ ）A ．6B ．12C ．15D ．204．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．72B ．113C ．236D ．4765．在1，2，3，4，5，6这六个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，各个数位上的数字之和为9的三位数共有（ ） A ．16个 B ．18个C ．24个D ．25个6．函数()ln 11x x y x++-=图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知()()20f x ax bx c a =++≠，其中b a c =+，若对任意的实数b ，c 都有不等式()()222f b cf bc ≥+成立，则方程()0f x =的根的可能性为（ ）A ．有一个实数根B ．两个不相等的实数根C ．至少一个负实数根D ．没有正实数根8．已知a r ，b r ，e r 是平面向量，e r 是单位向量，若1a e ⋅=r r，2b e ⋅=r r ，3a b ⋅=r r ，则a b +r r 的最小值是（ ） A ．3BCD ．69．如图，矩形ABCD 中，3AD =，4AB =，E ，F 分别为AD ，AB 中点，M 为线段BC 上的一个动点，现将DEC V ，AEF V ，分别沿EC ，EF 折起，使A ，D 重合于点P ．设PM 与平面BCEF 所成角为α，二面角P EF C --的平面角为β，二面角P EC F --的平面角为γ，则（ ）A ．αβγ<<B ．a γβ<<C ．βγα<<D ．αγβ<<10．已知数列{}n a 满足12a =，()*1112n n n a a n N a +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，设11n n na b a -=+，则100b =（ ） A ．1983- B ．9823-C ．9923-D ．10023-11．复数3134z i =-（i 是虚数单位）的实部为________，z =________．12．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，若ABC S =V 3b =，tan C =则c =________，sin 2sin AC=________． 13．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数()y f x =满足如下条件：（1）在闭区间[],a b 上是连续不断的； （2）在区间(),a b 上都有导数．则在区间(),a b 上至少存在一个数ξ，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-，其中ξ称为拉格朗日中值．则()xg x e =在区间[]0,1上的拉格朗日中值ξ=________．14．若实数x ，y 满足0030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1yx +的最大值为________，若方程20x y a ++=有解，则实数a 的取值范围为________． 15．随机变量X 的分布列为其中a ，b ，c ，d 成等差数列()a b <，则()3P X ==________，()D X 的取值范围为________．16．已知实数x ，y 满足221x y xy ++=，则x y -的最大值是________．17．已知圆()()22:112C x y -+-=,椭圆22:12x y Γ+=,过原点O 的射线l 分别与圆C 、椭圆Γ交于M ,N 两点,点M 不同于点O ,则OM ON ⋅的最大值是________. 18．已知函数2()sin cos 22f x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，x ∈R ．（Ⅰ）求函数()fx 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）若α为锐角且7129f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，β满足()3cos 5αβ-=，求sin β． 19．如图，在四棱锥A BCDE -中，ABC V 是边长为4的正三角形，//BE CD 且2BE CD =，CD =2AE =，BE AD ⊥，M 为AB 中点．（Ⅰ）证明：//CM 平面ADE ；（Ⅱ）求直线CA 与平面BCDE 所成角的正弦值．20．已知数列{}n a 的前n 项和为()1n n S na n n =--且23a =．数列{}n b 为非负的等比数列，且满足134a b =，27416b b b =． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 的前n 项和为n C ，求数列{}n nC 的前n 项和n T ．21．已知椭圆2212x y m+=的一个焦点为()0,1F -，曲线C 上任意一点到F 的距离等于该点到直线3y =-的距离． （Ⅰ）求m 及曲线C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆只有一个交点P ，与曲线C 交于,A B 两点，求FAP FBP AFS S BF-V V 的值． 22．已知函数()l 1n x f x b x=+-． （Ⅰ）若在曲线()y f x =上的一点P 的切线方程为x 轴，求此时b 的值； （Ⅱ）若()f x ax ≥恒成立，求2+a b 的取值范围．参考答案1．A 【解析】 【分析】首先求出{}3R B x x =<ð，之后求交集得到结果. 【详解】由{}3R B x x =<ð，所以()2,3R B A =I ð， 故选：A ． 【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的运算，属于基础题目． 2．B 【解析】 【分析】根据双曲线的方程求得右焦点的坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，双曲线22143x y -=，可得24a =，23b =，则c ==)F，又由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点在x 轴上，可得其渐近线方程为b y x x a =±=20y ±=， 所以右焦点F20y +=的距离为d ==右焦点F20y -=的距离为d ==.故选：B . 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 3．C【解析】 【分析】求得二项展开式的通项36216rrr T C x-+=，令3602r -=，求得4r =，代入即可求解.【详解】由二项式6x⎛+ ⎝，则二项展开式的通项3662166rr r r r r T C x C x--+==， 令3602r -=，解得4r =， 所以6x⎛+ ⎝的展开式中的常数项为4615C =.故选：C ． 【点睛】本题主要考查了二项展开式的指定项的求解，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力. 4．C 【解析】 【分析】作出几何体的直观图，可知该几何体为一个长、宽、高分别为2、2、1的长方体切去一个底面为以1为直角边的等腰直角三角形，高为1的三棱锥所得，然后利用柱体和锥体的体积公式可求得几何体的体积. 【详解】几何体的直观图如下图所示：由直观图可知，该几何体为一个长、宽、高分别为2、2、1的长方体1111ABCD A B C D -切去一个底面为以1为直角边的等腰直角三角形，高为1的三棱锥1A A EF -所得， 所以该几何体的体积111111123221111326ABCD A B C D A A EF V V V --=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=， 故选：C ． 【点睛】由三视图还原空间几何体的直观图时应遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，即正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出几何体直观图的步骤和思考方法：（1）首先看俯视图，根据俯视图确定几何体的底面；（2）观察正视图和侧视图确定几何体的侧面；（3）画出整体，然后再根据三视图进行验证． 5．D 【解析】 【分析】可分为三类情况：（1）三位数各个数位没有重复数字；（2）若三位数各个数位有且仅有两个重复数字；（3）若三位数各个数位有三个重复数字，结合排列组合，即可求解. 【详解】根据题意，可分为三类情况：（1）若三位数各个数位没有重复数字，则组合数字只能是1，2，6和1，3，5和2，3，4，则所组成的三位数共有333A 个；（2）若三位数各个数位有且仅有两个重复数字，则组合数字只能是2，2，5和1，4，4，则所组成的三位数有132C ⨯个；（3）若三位数各个数位有三个重复数字，则组成额三位数只有333，由分类计数原理，满足题意的三位数共有313332125A C ++=个.故选：D ． 【方法归纳】本题主要考查了分类加法计数原理，以及解决排列组合的综合应用，其中解答中正确理解题意，解题过程中首先要分清“先分类还是先分步”“是排列还是组合”，合理分类求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.6．A 【解析】 【分析】利用函数的图象和性质及绝对值不等式的性质逐一判断，排除不正确的选项，得到结果． 【详解】 设()()ln 11x x f x x++-=，由()()()()ln 11ln 11x x x x f x f x xx-++---++-===---，所以题中函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ； 又由绝对值不等式112x x ++-≥，所以当0x >时，函数值为正，当0x <时，函数值为负，故排除C ， 故选：A ． 【点睛】该题考查的是有关函数图象的识别问题，在解题的过程中，注意从函数的定义域、单调性、特殊点、函数值的符号几个方面入手，属于简单题目． 7．C 【解析】 【分析】函数为二次函数，结合判别式()()222440b ac a c ac a c ∆==+-=-≥-，得到()0f x =至少有一个根，之后根据函数值的大小关系，以及函数的单调性，分情况讨论得到根的情况. 【详解】因为()()222440b ac a c ac a c ∆==+-=-≥-， 所以()0f x =至少有一个根①，因为对任意的实数b ，c 都有不等式()()222f b c f bc ≥+成立，222bc bc +≥恒成立，所以()()20f x ax bx c a =++≠在区间,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以0a >． 若0b =，由b a c =+得c a =-，此时()20f x ax a =-=有一个负根和一个正根；若0b >，则02bx a=-<， 结合①可知()0f x =至少有一个负根； 若0b <，由0a >，b a c =+，得0c <， 则()0f x =有一个负根和一个正根， 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、一元二次方程根的分布特征，属于较难题目． 8．B 【解析】 【分析】根据e r 是单位向量及1a e ⋅=r r，2b e ⋅=r r ，可设()1,0e =r ，()1,a x =r ，()2,b y =r ，由3a b ⋅=r r 可得到1xy =，求出2a b +r r并结合基本不等式即可求出最小值.【详解】令()1,0e =r ，因为1a e ⋅=r r，则可设()1,a x =r ，同理可设()2,b y =r ，所以(3,)a b x y +=+r r ，由3a b ⋅=r r，得1xy=，所以()22229929413x y x xy y xy a b =++=+++≥++=r r ，当且仅当1x y ==或-1时，等号成立，所以a b +r r故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，同时考查基本不等式，属于中档题． 9．D 【解析】 【分析】过P 作PH ⊥平面BCEF ，作出三个二面角P BC F --，二面角P EF C --的平面角，二面角P EC F --的平面角，通过原平面图形计算可得这三个角的大小关系．从而得出结论． 【详解】在AFE △翻折过程中，A 点在底面的投影在过点A 且垂直EF 的直线上（设垂足为I ），同理在DEC V 翻折过程中，D 点在底面的投影在过点D 且垂直EC 的直线上（设垂足为K ），设点P 在底面的投影为点H ，过点H 向BC 作垂线HJ （垂足为J ），把PEC V ，PEF V 摊平到原来的平面图形，如下右图，H 就是AI 和DK 延长线的交点，由已知可得32AE DE ==，2AF =，4DC =，则52EF ==，3262552AE AF AI EF ⨯⨯===，同理可得DK =，AI DK <，则在左图中知易得HI HK <，由二面角的定义知tan tan PH PHHI HKβγ=>=，所以βγ>， 又在右图中，以DC ，DA 为,x y 轴建立平面直角坐标系，3032408EC k -==--，则83DKk =，直线DH 方程为83y x =，同理直线AH 的方程为433y x =-+，由83433y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得342x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3(,2)4H ，∴313444HJ =-=，∴HK HJ <，所以二面角P BC F --的平面角小于二面角РEC F --的平面角，显然α不大于二面角P BC F --的平面角，∴αγ<，综上可知αγβ<<，故选：D【点睛】本题考查空间角（线面角和二面角）．立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考考查的热点．这类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度、距离的计算等．解答第一类问题时一般要借助线面平行与垂直的判定定理；解答第二类问题时可建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标形式及数量积公式进行求解． 10．C 【解析】 【分析】由已知n a 的递推关系代入n b 得出21n n b b +=，取常用对数后得数列{lg }n b 是等比数列，从而可求得通项公式n b ． 【详解】由11n n n a b a -=+得()()222112211111211112n n n n n n n n n na a a ab b a a a a ++++---====++++，两边取对数可得1lg 2lg n n b b +=，因此数列{}lg n b 是以1lg b 为首项，2q =为公比的等比数列，而1111113a b a -==+，因此1211111lg lg 22lg lg333n n n n b ---⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，则1213n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此可得9921003b -=，故选：C ． 【点睛】本题考查数列的递推公式，等比数列的判定和通项公式．构造新数列{lg }n b 是解题关键，通过构造新数列，转化为求等比数列的通项公式． 11．325 15【解析】 【分析】由复数定义及复数除法运算，化简复数，即可求得其实部；根据复数模的定义，即可求得z . 【详解】根据复数定义及复数除法运算可得3113434z i i==-+ ()()343434ii i -=+-342525i =-， 所以复数z 的实部为325，由复数模的定义可知15z ==. 故答案为：325；15. 【点睛】本题考查复数的概念、复数模的求法，属于基础题． 12．3 2827【解析】 【分析】利用三角函数的基本关系和tan C =sin ,cos C C 的值，由三角形的面积公式，列出方程求得a 的值，再结合余弦定理，求得3c =和7cos 9A =，最后利用正弦定理，即可求解. 【详解】在ABC ∆中，因为tan C =sin co s CC=，又由22sin cos 1C C +=，可得sin C =，1cos 3C =，又因为12sin ABC ab S C ∆==3b =，即1332a ⨯=⨯2a =， 由余弦定理，可得2222212cos 2322393c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，可得3c =， 又由222cos 729b c a A bc +-==，所以sin 22sin 222728cos cos sin sin 3927A A a A A C C c ⨯=⋅=⋅=⨯=． 故答案为：3，2827．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 13．()ln 1e - 【解析】 【分析】先求得导函数，结合拉格朗日中值的定义，可得1e e ξ=-，进而求得ξ的值即可. 【详解】()x g x e =，则()x g x e '=，所以()g e ξξ'=，由拉格朗日中值的定义可知，()()()10110g g g e ξ-'==--，即1e e ξ=-， 所以()ln 1e ξ=-． 故答案为: ()ln 1e -. 【点睛】本题考查函数与导数的简单应用，新定义的理解和应用，属于基础题． 14．3 902a -≤≤ 【解析】 【分析】作出可行域，由1yx +的几何意义可得最大值，作直线:20l x y +=，平移直线l 求出2z x y =+的取值范围可得a 的范围．【详解】作出题中不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示OAB V 内部（包含边界）， 1yx +可理解为点(),x y 与点P ()1,0-连线的斜率， 由图可知当点(),x y 为()0,3B 时，1yx +取得最大值3；作直线:20l x y +=，平移直线l ， 当l 过点33,22A ⎛⎫⎪⎝⎭时z 取得最大值92，当l 经过原点时z 取得最小值0，若方程20x y a ++=有解，则直线20x y a ++=与可行域有交点，902a ≤-≤，所以902a -≤≤． 故答案为：3；902a -≤≤．【点睛】本题考查线性规划．对于线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），“≤”取下方，“≥”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，边界是实线还是虚线，其次如果目标函数是非线性的，则确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值的取法、值域范围，如果目标函数是线性的，则作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解． 15．12 20,59⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据的等差中项的性质得到a d b c +=+，根据概率和为1得到1a b c d +++=,即可求出12a d +=,即可得出()3P X =的值; 根据a ，b ，c ，d 均大于0，又a b <，则设公差0t >， 根据1232a d a t +=+=，和12302a t =->，可得106t <<，结合()10E X t =的取值范围，根据公式()()()25D X E X =-,即可求出()D X 的取值范围．【详解】解:因为a ，b ，c ，d 成等差数列，所以a d b c +=+，又1a b c d +++=，所以12a d +=． 所以()()()13332P X P X P X a d ===+=-=+=， 由题意a ，b ，c ，d 均大于0，又a b <，则设公差0t >， 由1232a d a t +=+=，所以12302a t =->，所以106t <<， 因为()533100,3E X a b c d t ⎛⎫=--++=∈ ⎪⎝⎭， 所以()()()()()()()()()22223113D X a E X b E X c E X d E X =--+--+-+-=()()()()()()222095,59a d b c E X E X ⎛⎫+++-=-∈ ⎪⎝⎭，故()D X 的取值范围为20,59⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为:(1) 12;(2) 20,59⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查离散型随机变量的期望与方差、等差数列的性质,属于中档题. 16．2 【解析】 【分析】由重要不等式知()24x y xy --≤，再由题意得()()2231314x y xy x y ≤-=-+-，解出不等式即可求出答案． 【详解】解：由221x y xy =++得()213x y xy -=-，又由重要不等式知()24x y xy --≤（当且仅当x y =-时取等号），∴()()2231314x y xy x y ≤-=-+-，化简得()24x y -≤，得22x y -≤-≤， ∴x y -的最大值为2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查重要不等式的应用，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．17．【解析】 【分析】设射线l 的方程为y kx =,再联立直线与椭圆和圆的方程,再结合弦长公式可得OM ON ⋅关于k 的解析式OM ON ⋅=,在换元令1t k =+结合二次函数的最值问题求解OM ON ⋅的最大值即可.【详解】设射线l 的方程为y kx =,联立2222y kx x y =⎧⎨+=⎩得N x =, 联立()()22,112y kx x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,得2221M k x k +=+,所以M N OM ON ⋅==令1t k =+,则()2222221224332312112223321k t t t t tt k +-+⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭+,所以()22121321k k +≥+,即≤当32t =,即12k =时取等号,所以OMON ⋅的最大值为故答案为：【点睛】本题考查椭圆和圆的方程,方程思想、二次函数的最值的求法,需要根据题意设射线的方程,联立圆与椭圆的方程结合弦长公式求出所求量关于斜率k 的表达式,进而换元利用二次函数的性质求解最值.属于难题.18．（Ⅰ）T π=，5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z∈． （Ⅱ）415【解析】【分析】（Ⅰ）把2()sin cos 22f x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭使用降幂公式、逆用二倍角公式以及两角和的正弦公式化成只有正弦函数，然后代入正弦函数的周期公式和递增区间即可求其周期和增区间. （Ⅱ）化简7129f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求出7cos 29α=-，进一步求出α的正弦及余弦，令()βααβ=--，利用两角差的正弦公式代入计算即可. 【详解】解：（Ⅰ）()22sin cos cos 22f x x x x x =-+1sin 222x x =+ sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以()f x 的最小正周期T π=， 令222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得51212x k k ππππ-+≤≤，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． （Ⅱ）由（Ⅰ）得7sin 2cos 21229f ππααα⎛⎫⎛⎫+=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，227cos 22cos112sin 9ααα=-=-=-因为α为锐角，所以1cos 3α=，sin 3α=， 又因为()3cos 5αβ-=， 所以()4sin 5αβ-=±，所以()()()4sin sin sin cos cos sin 15βααβααβααβ=--=⋅--⋅-=⎡⎤⎣⎦． 【点睛】本题考查正弦型三角函数的性质、三角函数的诱导公式以及三角恒等变换公式，中档题．19．【解析】 【分析】（Ⅰ）取AE 的中点F ，连接MF 、FD ，只需证明四边形MFDC 为平行四边形，因为点M为AB 的中点，所以////MF BE DC ，且12MF BE =，则易证. （Ⅱ）先证明BE ⊥平面AD E ，作AH DE ⊥于H ，再证明AH ⊥平面CDEB ，所以ACH ∠为直线CA 与平面BCDE 所成的角，利用1122ADE S AE DF AH DE =⋅⋅=⋅⋅V ，求出AH ，则直线CA 与平面BCDE 所成角的正弦值可求． 【详解】 （Ⅰ）证明：取AE 的中点F ，连接MF ，FD ， 因为点M 为AB 的中点， 所以//MF BE ，且12MF BE =， 又因为//BE CD 且2BE CD =， 所以//MF CD ，MF CD =，所以四边形MFDC 为平行四边形，所以//MC FD ， 又因为FD ⊂平面ADE ，MC ⊄平面ADE ， 所以//CM 平面ADE ．（Ⅱ）解：因为4AB =，2BE CD ==2AE =， 所以222BE AE AB +=，所以AE BE ⊥， 又BE AD ⊥，AD AE A ⋂=， 所以BE ⊥平面AD E ， 又BE ⊂平面CDEB ， 所以平面ADE ⊥平面CDEB ，作AH DE ⊥于H ，因为平面ADE I 平面CDEB DE =， 所以AH ⊥平面CDEB ，连接CH ，所以ACH ∠为直线CA 与平面BCDE 所成的角．因为BE ⊥平面ADE ，所以BE DE ⊥，在直角梯形BCDE 中，作CG BE ⊥于G ，则四边形CDEG 为矩形，CD EG ==则BG =GC DE ===因为BE AD ⊥，所以CD AD ⊥，在直角三角形ACD 中，AD =又DF MC == 在ADE V 中，1122ADE S AE DF AH DE =⋅⋅=⋅⋅V所以2AH ⨯=所以AH =所以sin 13A A H AC CH ==∠，所以直线CA 与平面BCDE 所成角的正弦值为13． 【点睛】本题考查线面平行的判定以及线面角的计算，同时考查空间想象能力、运算求解能力以及逻辑推理能力，中档题． 20．（Ⅰ）21n a n =-．12n n b -=．（Ⅱ）()()111222n n n n T n ++=-+-【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知2222S a =-,及212S a a =+,23a =,可求得11a =,利用2n ≥,1=n n n a S S --,化简可得12n n a a --=,即可证得数列{}n a 为等差数列,根据公式即可求得{}n a 的通项公式,由数列{}n b 为非负的等比数列,根据已知求得34b =,2q =,根据等比数列的通项公式即可得解.（Ⅱ）由（Ⅰ）得122112n n n C -==--,即可知2nn nC n n =⋅-,设212222n A n =⨯+⨯++⨯L ,()1122n n B n +=+++=L ,利用错位相减法即可求得A ,根据分组求和即可得解. 【详解】解：（Ⅰ）当2n =时，2222S a =-， 又因为212S a a =+，23a =，所以11a =，()1n n S na n n =--，则当2n ≥时，()()()11112n n S n a n n --=----， 两式相减并化简得12n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列， 所以21n a n =-．因为134a b =，所以34b =，因为2745b b b b =，0n b >，27416b b b =，所以516b =， 所以2534b q b ==，又0q >，所以2q =， 所以3132n n n b b q--==． （Ⅱ）由（Ⅰ）得122112nn n C -==--，所以2nn nC n n =⋅-，设212222n A n =⨯+⨯++⨯L ， 所以231212222n A n +=⨯+⨯++⨯L ， 两式相减得()1122n A n +=-+，设()1122n n B n +=+++=L ，所以()()111222n n n n T A B n ++=-=-+-． 【点睛】本题考查根据n a 与n S 的关系证明数列为等差数列,考查等比数列的通项公式和求和公式、等差数列的通项公式、错位相减法、分组求和法,属于基础题. 21．（Ⅰ）3m =，曲线C 的方程为()242x y =+；（Ⅱ）0．【解析】 【分析】解：（Ⅰ）由题意得21m -=，则3m =，设(),M x y 为曲线C 上任意一点，由题意得()()22213x y y ++=+，化简即可；（Ⅱ）设直线l 的方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，(),P P P x y ，联立直线与椭圆方程并消元，可求得2223b k =+，且(),P P P x y ，联立直线与曲线C 的方程消元，可得221222212242268123y y b k b b y y b k b⎧+=+=+-⎨=-=-⎩， 而13AF y =+，23BF y =+，根据三角形面积公式，将数据代入到FAP FBP AFAP AF S S BF BP BF-=-V V 即可求出结论． 【详解】 解：（Ⅰ）由()0,1F-知该椭圆的焦点在y 轴上，∴21m -=，解得3m =， 设(),M x y 为曲线C 上任意一点，由题意得()()22213x y y ++=+，化简得()242x y =+，∴3m =，曲线C 的方程为()242x y =+；（Ⅱ）设直线l 的方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，(),P P P x y ，由22326y kx b x y =+⎧⎨+=⎩，得()222324260k x kbx b +++-=， ∴22482472k b ∆=-+， ∵直线l 与椭圆只有一个交点P ， ∴0∆=，∴2223b k =+， 且22232P kb k x k b -==-+，3P P y kx b b=+=，① 由()242y kx b x y =+⎧⎨=+⎩，得()22222480y b k y b k -++-=， ∴221222212242268123y y b k b b y y b k b ⎧+=+=+-⎨=-=-⎩，② 由曲线C 的定义知13AF y =+，23BF y =+， 设点F 到直线l 的距离为d ，∴1212FAP FBPd AP AF AFS S BF BF d BP ⋅-=-⋅V V AP AF BP BF =-112233P P y y y y y y -+=--+()()()()()()122122333P P P y y y y y y y y y -+--+=-+，将①②代入分子()()()()122133P P y y y y y y -+--+=()()1212236P Py y y y y y -+-++()()22332123322660b b b b b ⎛⎫=--+-+-+⨯= ⎪⎝⎭，∴0FAP FBP AFS S BF-=V V ． 【点睛】本题主要考查椭圆和抛物线的几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于难题． 22．（Ⅰ）1b =；（Ⅱ）(],42ln 2-∞-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）设切点P 的坐标为()(),t f t ，根据题意得出()()00f t f t ⎧=⎪⎨='⎪⎩，可求得实数b 的值；（Ⅱ）构造函数()()g x f x ax =-，求得()221ax x g x x-+-'=，然后分0a =、0a <和0a >三种情况讨论，利用导数分析函数()y g x =的单调性，根据题意得出()min 0g x ≥，可得出a 与b 所满足的不等关系，通过构造函数，利用导数可求2+a b 的取值范围.【详解】（Ⅰ）设切点P 的坐标为()(),t f t ，()n 1l b x f x x=+-Q ，()211f x x x -'=，由题意可得()()21101ln 0f t t tf t t b t ⎧=-=⎪⎪⎨'⎪=+-=⎪⎩，解得11t b =⎧⎨=⎩，因此，1b =；（Ⅱ）设()1ln g b x x ax x =+--，则()222111ax x g x a x x x-+-'=--=， ①当0a =时，()21x g x x -'=， 当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>. 所以()y g x =在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 11g x g b ==-，令()min 0g x ≥得1b ≤，所以22a b +≤；②当0a <时，易知210ax x -+-=有两个根1x 、2x ，且有12221211x x a x x --==， 不妨令12x x <，又1210x x a=<，所以10x <，20x >，由题意舍去1x ， 所以当()20,x x ∈时，()0g x '<；当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>， 所以()y g x =在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增， 所以()()22222min 22221112l 0ln n 1ln 1g x g x a x x b x b x b x x x x ⎛⎫==+--=+---=+--≥ ⎪⎝⎭， 得222ln 1b x x ≤+-，所以222221422ln 2x a b x x x -+≤++-， 又22210ax x -+-=，所以22210x a x -=<，得201x <<， 令()()2ln 142201x h x x x x x -=++-<<，则()23252x x x h x -+'=，令()0h x '=，解得12x =或2x =（舍）， 所以()y h x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则()max 142ln 22h x h ⎛⎫==-⎪⎝⎭，所以242ln 2a b +≤-； ③当0a >时，若22a b +>，取12ab m e +-=，则1m >， 所以()11111022a f m am b am b a m m m⎛⎫-=+-+--=-+-< ⎪⎝⎭，不符合题意． 综上所述，2+a b 的取值范围为(],42ln 2-∞-． 【点睛】本题考查利用函数的切线方程求参数，同时也考查了利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，构造新函数是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.。

浙江省丽水四校联考2021届高三数学9月阶段性考试试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若“01x <<”是“()()20x a x a ⎡⎤--+≤⎣⎦”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A. []1,0- B. ()1,0-C. (][),01,-∞⋃+∞ D. (][),10,-∞-⋃+∞ 【答案】A 【解析】试题分析：记{}{}|01,|2A x x B x a x a =<<=≤≤+，因为p 是q 的充分而不必要条件，所以A ÜB ，所以0,{21a a ≤+≥，解得10a -≤≤.故选A. 考点：充分条件、必要条件、充要条件.【方法点睛】集合判断法：从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合：p ：{}|()A x p x =成立，q ：{}|()B x q x =成立，那么：①若A B ⊆，则p 是q 的充分条件；若A ÜB 时，则p 是q 的充分不必要条件；②若B A ⊆，则p 是q 的必要条件；若B ÜA 时，则p 是q 的必要不充分条件；③若A B ⊆且B A ⊆，即A B =时，则p 是q 的充要条件.本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，其中分别求出满足A ÜB 的a 的取值范围是解答本题的关键.属于基础题.2.若整数x ，y满足不等式组021000x y x y y ⎧-≥⎪--≤⎨+-则2x ＋y 的最大值是A. 11B. 23C. 26D. 30【答案】D 【解析】【详解】满足不等式组021003530x y x y x y ⎧-≥⎪--≤⎨⎪+-≥⎩,可行域如图所示，设2z x y =+,即2y x z =-+，平移直线，由图象可知当直线经过点D 时， 直线2y x z =-+的截距最大，此时最大，由02100x y x y -=⎧⎨--=⎩，解得1010x y =⎧⎨=⎩，即(10,10)D ，代入得230z x y =+=，所以最大值为30，故选D.点评：本题考查的知识点是简单的线性规划，其中角点法是解答线性规划小题最常用的方法，一定要熟练掌握．3.下列命题中错误的是（ ）A. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，那么l γ⊥B. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD. 如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理，与面面垂直的性质定理判断即可。

浙江省2021届高三数学9月百校联考试题考前须知：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共6页，全卷总分值150分，考试时间120分钟．参考公式： 球的外表积公式S =4πR 2球的体积公式V =43πR 3其中R 表示球的半径 锥体的体积公式V =Sh其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式V=Sh其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高台体的体积公式()112213V h S S S S =其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高第一卷〔共40分〕一、选择题〔本大题共10小题，每题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．集合{P x =13}x <<，{2<4Q y y =<}，那么PQ =〔 〕A ．{}12x x << B ．{}23x x << C ．{}14x x<< D ．φ 2．复数2z =3i -〔i 为虚数单位〕的虚部为〔 〕A ．2B ．3C ．3-D ．3i -3．假设实数x ，y 满足约束条件10x y x y ++>⎧⎨->⎩，那么z x y =+的取值范围是〔 〕A ．(1,)-+∞B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞4．函数2cos y x x =-的局部图象是( )A ．B ．C ．D ．5．一个空间几何体的三视图(单位：cm )如图所示，那么该几何体的体积为〔 〕3cm ．A ．163π+ B ．136π+ C ．166π+ D ．133π+ 〔第5题图〕侧视图俯视图正视图111116．“空间三个平面α，β，γ两两相交〞是“三个平面三条交线互相平行〞的〔 〕 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．0m n >>，0a >且1a ≠，设=m m M a a -+，=n n N a a -+，那么〔 〕 A ．M N > B ．M N = C ．M N < D ．()()10M N a -->8．点P 是双曲线22221x y a b-=右支上一点，1F 是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段1PF 的中垂线，那么该双曲线的渐近线方程是( )A．3y x =±B. y x =±C. y =D. 2y x =±9．数列{}n a ，2nn a =，2n a n b =，1231111=1111n M b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，n ∈N *，那么 〔 〕 A ．1M < B. 43M >C. 2M <D. 2M >10．向量2=a ，3=b ，4=c ，4=d ，0a b c d +++=，那么()()a b b c +⋅+=〔 〕A ． 4B ．52C ．2D ．1第二卷〔共110分〕二、填空题 (本大题共7小题，单空每题3分，双空每题6分，共36分)11．数列{}n a 中,12a =,且点1(,)n n a a +在抛物线24x y =上,那么数列{}n a 的前4项和是． 12．二项式10(2)x -的展开式中,常数项为_____，假设1021001210(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-++-，那么9a 等于______．13．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点3(,44P -,那么tan α=_____,cos 2α=_______．14．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中,点,,M N P 分别是棱11111,,CC C D A D 的中点,过点,,M N P 的平面截正方体1111ABCD A BC D -所得的平面多边形的周长为________，该截面与底面所成锐二面角的正切值为_______．15．在一袋中有20个大小相同的球,其中记上0的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号，那么(2)p X ==______，假设2Y X m =+，且()1E Y =，那么m =_____．16．函数2()()f x ax bx c a b c =-+<<有两个零点为1-和m ，那么实数m 的范围是▲．17．函数2()f x x a x b =+++，[]0,1x ∈，设()f x 的最大值为M ，假设min 1M =时，那么a 的取值范围为▲．三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算过程) 18．(本小题总分值14分)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin cos sin b A B a B =+． 〔I 〕求角B 的大小；〔II 〕设点D 是AC 的中点，假设BD =,求a c +的取值范围．19． (本小题总分值15分)如图，平面ABCD ⊥平面DBNM ，且菱形ABCD 与菱形DBNM 全等，且MDB DAB ∠=∠，G 为MC 中点.〔I 〕求证：平面//GBD 平面AMN ；〔II 〕求直线AD 与平面AMN 的所成角的正弦值.20． (本小题总分值15分)等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是1a ，5a 的等差中项. 〔I 〕求数列{}n a 的通项公式；〔II 〕证明：3n n n n a b a =+，设{}n b 的前n 项的和为n S ，求证：2113nS <.21．(本小题总分值15分)设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点F 到抛物线准线的距离为2，假设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点也为F，离心率为12. 〔I 〕求抛物线方程和椭圆方程；〔II 〕假设不经过F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且3OA OB =-(O 为坐标原点)，直线l 与椭圆交于,C D 两点，求CDF △面积的最大值.22．(本小题总分值15分) 函数2()e ( 2.718)x f x ax e =-=.〔I 〕假设()f x 在(0)+∞，有两个零点，求a 的取值范围； 〔II 〕2()e (()1)x g x f x ax x =+--，证明：()g x 存在唯一的极大值点0x ，且0321()4g x e <<.2021～2021金色联盟-浙江省百校联考数学试卷考前须知：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共6页，全卷总分值150分，考试时间120分钟．参考公式：球的外表积公式 S =4πR 2球的体积公式V =43πR 3其中R 表示球的半径 锥体的体积公式V =13Sh其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式V=Sh其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高台体的体积公式()112213V h S S S S =++其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高一、选择题〔本大题共10小题，每题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 CCADABADCB提示：8. D 解：如下图，因双曲线线的渐近线为by x a=±，对于1OF c =，直线1PF ：()ay x c b=+， 由原点(0,0)O 到直线1PF ：0ax by ac -+=的距离得22ac d a a b==+，因此1,OM a FM b ==， 那么根据几何图形的性质可得122,2F P b F P a==，x yO1F2FPM因此可得2b a =，那么双曲线的线近线为2y x =±．9．C 解：因2nn a =，222nn a n b ==，12311111111n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭232222111111112222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭23222222111111111122222112n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-222112421312n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=<<- 10．B 解：由222=cos 2AB AC BC AB AC AB AC AB ACAB ACθ+-⋅⋅=⋅⋅222=2AB AC BC AB AC +-⋅，那么()=AB CD AB CA AD AB AD AB AC ⋅⋅+=⋅-⋅ 22222222AB AD BD AB AC BC +-+-=-22222AD BC AC BD +--=； 那么问题转化为四边形ABCD 中，()()a b b c +⋅+=22221522DB AC CD AB AD BC ⋅=+--=（）二、填空题(本大题共7小题，单空每题4分，双空每题6分，共36分)11．2096412．1024；10-13．3-；1814．15．110；2-16．1,22⎛⎫⎪⎝⎭17．1[1,]8a ∈--提示：16．1,22⎛⎫⎪⎝⎭解：令22()(1)()((1))f x ax bx c a x x m a x m x m =-+=+-=+--， 那么(1)b a m =--，c am =-，因(1)0f a b c -=++=，又a b c <<，那么0a c <<，可得(1)a a m am <--<-，那么11m m >->-，即1,22m ⎛⎫∈⎪⎝⎭17．1[1,]8a ∈--解：22[0,1]max{||,||}x M x x a b x x b a ∈=+++-+- 1max{||,|2|,||,||}4a b a b b a b a =+++---，由题意得min 1M =的含义即：存在a ，对于任意的b ，M 的最小值为1，由于在数轴上的点2a --和点a -之间的距离恰为2，因此要使得M 的最小值为1，那么必有2a a --≤且14a a +≤-，解得1[1,]8a ∈--. 三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算过程) 18．解：〔I 〕在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =， 又由sin cos()6b A a B π=-，可得sin cos()6a B a B π=-， 即sin cos()6B B π=-，…………………………………………………………………3分即31sin cos sin 2BB B ，可得tan B = 又因为(0,)B π∈，所以3B π=．……………………………………………………7分〔II 〕法一：如图，延长BD 到E ，满足=DE BD ，连接，AE CE ，那么ABCE 为平行四边形，且223,,,3BE BAE AB c AE BC a π=∠====， 在BAE △中，由余弦定理得2222(23)2cos 3a c ac π=+-， 即2212a c ac ++=，可得2()12a c ac +-=，即2()12ac a c =+-，………………10分由根本不等式得：22()12()2a c ac a c +=+-≤， 即23()124a c +≤，即2()16a c +≤，可得4a c +≤ 〔当且仅当==2a c 取等号号〕………………………………………12分又由AE AB BE +>，即23a c +>，故a c +的取值范围是(23,4] .………………………………………………………… 14分 法二：也可以用中线向量+根本不等式解决，酌情给分.19．解：〔I 〕连接AC 交DB 于E ，连接GE ，易知//GE AM .因为GE ⊄平面AMN ，AM ⊂平面AMN ，所以//GE 平面AMN . …………………………3分又//MN BE ，同理可证//BE 平面AMN .又因为BE GE E =，所以平面//GBD 平面AMN . …………………………7分〔II 〕〔几何法〕连接ME ，由菱形ABCD 与菱形DBNM 全等且MDB DAB ∠=∠， 可得出AD AB BD ==，DM BD MB ==.所以ME BD ⊥，又平面ABCD ⊥平面DBNM 且相交于BD ，所以ME ⊥平面ABCD . 由ME BD ⊥，又AC BD ⊥且ACME E =，所以BD ⊥平面AMC ，平面GBD ⊥平面AMC ，过C 作CF GE ⊥，所以CF ⊥平面GBD ，连接BF ，由AD//BC ,所以CBF ∠即为直线AD 与平面GBD 的所成角. ………10分 由〔I 〕平面//GBE 平面AMN ,CBF ∠即为直线AD 与平面AMN 的所成角. ………………12分 由条件有AD AB BD ==，60DAB ∠=︒.在直角三角形MAE 中，ME AE =，所以45∠=︒MAE ，那么45GEC ∠=︒所以2CF CE =，又在直角三角形DEC ,60EDC ∠=︒,所以2CE BC =易知24CF BC ==，所以sin 4CF CBF BC ∠==. 那么直线AD 与平面AMN15分 〔II 〕〔坐标法〕连接ME ，由菱形ABCD 与菱形DBNM 全等且MDB DAB ∠=∠， 可得出AD AB BD ==，DM BD MB ==.所以ME BD ⊥，又平面ABCD ⊥平面MNBD 且相交于BD ，所以ME ⊥平面ABCD . 那么可以以CA 为x 轴，DB 为y 轴，EM 为z 轴，建立空间直角坐标系，令2AB =，那么)0A ，，()0,1,0D -，(M ，()0,1,0B，(0,N ， ………10分 设平面AMN 的法向量为(),,n x y z =，那么由00AM n AN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得020x z y -+=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 那么可令1x =，得0y =，1z =，平面AMN 的法向量为()1,0,1n =， …………12分 设直线AD 与平面AMN 的所成角为θ，sin cos ,AD n θ=<>==那么直线AD 与平面AMN15分 20. 解：〔1〕由39a +是1a ，5a 的等差中项得153218a a a +=+， 所以135a a a ++331842a =+=，解得38a =，……………………………3分 由1534a a +=，得228834q q +=，解得24q =或214q =， 因为1q >，所以2q. ………………………………6分 所以2n n a =. …………………………………7分 〔Ⅱ〕先证右边， 112()333()1()22n n n nb =<=+………………………………11分 3412324222()()()513333n n n S b b b b ∴=++++<++++24688221(),36599313n n -=+-⋅≤≥ 又有1222146215136513S S =<=<，，2113n S ∴<………………………………15分 21．解：(Ⅰ)由得，12,(1,0),1,,22c p F c e a a =∴===∴=，2223b a c =-=， 所以抛物线方程为24y x =，椭圆方程为22143x y +=.………………5分 (Ⅱ)设直线l 方程为：my x n =+，由24,,y x my x n ⎧=⎨=+⎩消去x 得，2440y my n -+=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，那么12124,4,y y m y y n +=⎧⎨=⎩因为22212121212()164431616y y n OA OB x x y y y y n n n =+=+=+=+=-……………7分 所以3n =-或1n =-(舍去)，所以直线l 方程为：3my x =-. …………9分 由221,433,x y my x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得，22(34)18150m y my +++=. 设(,),(,)C C D D C x y D x y ，那么2218,3415,34C D C D m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩……………11分 所以11||||2||||22CDF C D C D C D S EF y y y y y y =⋅-=⨯⨯-=-△===.……………13分(0)t t =>，那么2253t m +=，所以2()9t S t t t t==≤=++，当且仅当3t =时，即m =.………………15分22．证明：〔I 〕设函数2()1x h x ax e -=-．()f x 在(0,)+∞有两个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞有两个零点．〔i 〕当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；〔ii 〕当0a >时，()(2)e xh'x ax x -=-．当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >．所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． 故24(2)1ea h =-是()h x 在[0,)+∞的最小值． ①假设(2)0h >，即2e 4a <，()h x 在(0,)+∞没有零点； ②假设(2)0h =，即2e 4a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点； ③假设(2)0h <，即2e 4a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点， 当0x >时，易证 21x e x >，所以33342241616161(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a=-=->-=->． 故()h x 在(2,4)a 也有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点． 综上，()f x 在(0,)+∞有两个零点时，2e 4a >． 注：采用别离参数进行求解也可以〔II 〕证明：()=(1)x x g x e e x --，故'()=(22)x x g x e e x --，令()=22x h x e x --，'()=21x h x e -，所以()h x 在1(,ln )2-∞上单调递减，在1(ln +)2∞，上单调递增， (0)=0h ，1ln 211(ln )=2e ln 2ln 21022h --=-<，222(2)=2e (2)2=0h e ----->， 1(2)(ln )02h h -<由零点存在性定理及()h x 的单调性知， 方程()=0h x 在1(2,ln )2-有唯一根， 设为0x 且0022=0x e x --，从而()h x 有两个零点0x 和0，所以()g x 在0(,)x -∞单调递增，在0(0)x ，上单调递减，在(0+)∞，单调递增， 从而()g x 存在唯一的极大值点0x 即证，由0022=0x e x --得00+2=2x x e ，01x ≠-， 002000000000222111()(1)(1)()(2)=224444x x x x x x g x e e x x x x ++-++∴=--=--=-+≤（） 取等不成立，所以01g()4x <得证， 又012ln 2x -<<，()g x 在0,x ∞（-）单调递增， 所以2242032g()(2)(2)1x g e e e e e ----⎡⎤>-=---=+>⎣⎦得证. 从而0321()4g x e <<.。