江苏省泰州市2021届新高考数学一模试卷含解析

2021届江苏省南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江六市高三下学期一模考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)(满分150分，考试时间120分钟)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合A＝{x∈N|2<x<6}，B＝{x|log2(x－1)<2}，则A∩B＝( )A. {x|3≤x＜5}B. {x|2＜x＜5}C. {3，4}D. {3，4，5}2. 已知2＋i是关于x的方程x2＋ax＋5＝0的根，则实数a＝( )A. 2－iB. －4C. 2D. 43. 哥隆尺是一种特殊的尺子.图①的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6.图②的哥隆尺不能一次性度量的长度为( )A. 11B. 13C. 15D. 174. 医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x(单位：mg)与给药时间t(单位：h)近似满足函数关系式x＝kk(1－e－kt)，其中k，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：mg/h).经测试发现，当t＝23时，x＝k2k，则该药物的消除速率k的值约为(ln 2≈0.69)( )A.3100B.310C.103D.10035. (1－2x)n的二项展开式中，奇数项的系数和为( )1A. 2nB. 2n －1C. （－1）n ＋3n 2D. （－1）n －3n 26. 函数y ＝sin πx|2x －1|的图象大致为( )7. 已知点P 是△ABC 所在平面内一点，有下列四个等式：甲：PA →＋PB →＋PC →＝0； 乙： PA →·(PA →－PB →)＝PC →·(PA →－PB →)； 丙：|PA →|＝|PB →|＝|PC →|； 丁： PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →. 如果只有一个等式不成立，则该等式为( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁8. 已知曲线y ＝ln x 在A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点处的切线分别与曲线y ＝e x 相切于C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)，则x 1x 2＋y 3y 4的值为( )A. 1B. 2C. 52D. 174二、 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分.9. 已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则( ) A. 若m∥α，n ∥α，则m∥n B. 若m∥α，m ⊥β，则α⊥βC. 若α∥β，m ⊥α，n ⊥β，则m∥nD. 若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m⊥n 10. 已知函数f(x)＝sin(2x －π6)，则( ) A. f(x)的最小正周期为πB. 将y ＝sin 2x 的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，可得到f(x)的图象 C. f(x)在(－π6，π3)上单调递增3D. 点(－5π12，0)是f(x)图象的一个对称中心 11. 若函数f(x)＝⎩⎨⎧－x 3－x ＋2＋m ，x ＜1，x ＋1－ln x ，x≥1的值域为[2，＋∞)，则( )A. f(3)＞f(2)B. m ≥2C. f(ln 22)＜f(1e) D. log m (m ＋1)＞log (m ＋1)(m ＋2) 12. 冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产.某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热.下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为( )A. 中位数为3，众数为2B. 均值小于1，中位数为1C. 均值为3，众数为4D. 均值为2，标准差为 2 三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在正项等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7 ＝27，则∑9i ＝1log 3a i ＝ Ｗ. 14. 已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，写出双曲线C 的一个标准方程： Ｗ.15. “康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图，△ABC 的三条边长分别为BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c.延长线段CA 至点A 1，使得AA 1＝a ，以此类推得到点A 2，B 1，B 2，C 1和C 2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知a ＝4，b ＝3，c ＝5，则由△ABC 生成的康威圆的半径为 Ｗ.16. 已知在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.过直线O 1O 2的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD ︵的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为 Ｗ.四、 解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)已知等差数列{a n }满足a n ＋2a n ＋1＝3n ＋5. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 记数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为S n ，若n ∈N *，S n ＜－λ2＋4λ(λ为偶数)，求λ的值.18.(本小题满分12分)在① (b ＋a －c)(b －a ＋c)＝ac ；② cos(A ＋B)＝sin(A －B)；③ tanA ＋B2＝sin C 这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝22， ， ？(注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.)519. (本小题满分12分)2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3＋1＋2”高考新模式，为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：(1) 根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；(2) 该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X ，求X 的分布列和数学期望E(X).参考公式和数据：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.20. (本小题满分12分)如图，在正六边形ABCDEF 中，将△ABF 沿直线BF 翻折至△A′BF，使得平面A′BF⊥平面BCDEF ，点O ，H 分别为BF 和A′C 的中点.(1) 求证：OH∥平面A′EF；(2) 求平面A′BC与平面A′DE所成锐二面角的余弦值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2ln xx－a.(1) 若f(x)≥0，求实数a的取值范围；(2) 若函数f(x)有两个零点x1，x2，求证：x1x2＜1.22.(本小题满分12分)已知点A，B在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上，点A在第一象限，O为坐标原点，且OA⊥AB.7(1) 若a ＝3，b ＝1，直线OA 的方程为x －3y ＝0，求直线OB 的斜率；(2) 若△OAB 是等腰三角形(点O ，A ，B 按顺时针排列)，求ba的最大值.2021届江苏省南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江六市高三下学期一模考试数学参考答案1. C2. B3. C4. A5. C6. D7. B8. B9. BC 10. ACD 11. ABD 12. BD 13. 9 14. x 2－y 24＝1(答案不唯一) 15. 37 16. 4105π17. 解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a n ＋2a n ＋1＝3n ＋5，所以⎩⎨⎧a 1＋2a 2＝8，a 2＋2a 3＝11，即⎩⎨⎧3a 1＋2d ＝8，3a 1＋5d ＝11，解得a 1＝2，d ＝1，(2分) 所以a n ＝2＋(n －1)＝n ＋1. 经检验，a n ＝n ＋1符合题设，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1.(4分) (2) 由(1)得1a n a n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，(6分)所以Sn ＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n＋1－1n＋2)＝12－1n＋2.(8分)因为n∈N*，Sn＜－λ2＋4λ，所以－λ2＋4λ≥12，即(λ－2)2≤72.因为λ为偶数，所以λ＝2.(10分)18. 解：选择条件①和②.因为(b＋a－c)(b－a＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝ac.(2分)由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝12.因为0＜B＜π，所以B＝π3.(4分)因为cos(A＋B)＝sin(A－B)，所以cos(A＋π3)＝sin(A－π3)，所以cos Acos π3－sin Asinπ3＝sin Acosπ3－cos Asinπ3，所以sin A＝cos A.(6分)因为0＜A＜π，所以A＝π4.(8分)在△ABC中，由正弦定理asin A＝bsin B，得22sinπ4＝bsinπ3，(10分)所以b＝22sinπ3sinπ4＝2 3.(12分)选择条件①和③.因为(b＋a－c)(b－a＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝ac.(2分)由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b22ac＝12.9因为0＜B ＜π，所以B ＝π3.(4分) 因为tan A ＋B 2＝sin C ，且tan A ＋B 2＝tan π－C2＝sinπ－C 2cos π－C 2＝cos C2sinC2，所以cosC2sinC 2＝sin C ＝2sin C 2cos C2.(6分)因为0＜C ＜π，所以cos C 2≠0，所以sin 2C 2＝12.因为0＜C ＜π，所以sin C 2＞0，所以sin C 2＝22，可得C ＝π2.(8分)所以在Rt △ABC 中，b ＝atan π3＝2 6.(12分) 选择条件②和③.因为cos(A ＋B)＝sin(A －B)，所以cos Acos B －sin Asin B ＝sin Acos B －cos Asin B ， 所以(sin A －cos A)(sin B ＋cos B)＝0.(2分) 所以sin A ＝cos A 或sin B ＝－cos B. 因为0＜A ＜π，0＜B ＜π， 所以A ＝π4或B ＝3π4.(4分) 因为tan A ＋B 2＝sin C ，且tan A ＋B 2＝tan π－C2＝sin π－C 2cos π－C 2＝cosC 2sinC2，所以cosC2sinC 2＝sin C ＝2sin C 2cos C2.(6分)因为0＜C＜π，所以cos C2≠0，所以sin2C2＝12.因为0＜C＜π，所以sin C2＞0，所以sinC2＝22，可得C＝π2.(8分)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π4，C＝π2，B＝π4.(10分)所以△ABC为等腰直角三角形，所以b＝a＝2 2.(12分) 19. 解：(1)(2分)因为K2＝800×（300×150－250×100）2550×250×400×400＝（450－250）255×25×2＝16011＞10.828，所以有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关.(6分) (2) 按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人.(7分)随机变量X的所有可能取值为0，1，2.所以P(X＝0)＝C02C33C35＝110，P(X＝1)＝C12C23C35＝35，P(X＝2)＝C22C13C35＝310.所以X的分布列为(10分)11所以E(X)＝0×110＋1×35＋2×310＝65. 答：X 的数学期望为65.(12分)20. (1) 证明：如图，取A′E 的中点G ，连接FG ，HG ，CE. 因为H 是A′C 的中点， 所以HG∥CE，HG ＝12CE.因为正六边形ABCDEF 中，BF ∥CE ，BF ＝CE ， 所以HG∥BF，HG ＝12BF.(2分)又O 为BF 的中点，所以HG∥OF，HG ＝OF ，所以四边形OFGH 为平行四边形，所以OH∥FG.(4分) 因为FG平面A′EF，OH平面A′EF，所以OH∥平面A′EF.(6分)(2) 解：由条件可知OA′⊥OB，OA ′⊥OD ，OD ⊥OB.分别以OB ，OD ，OA ′所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 设正六边形ABCDEF 的边长为2，则B(3，0，0)，C(3，2，0)，D(0，3，0)，E(－3，2，0)，A ′(0，0，1)， 所以BC →＝(0，2，0)，A′C →＝(3，2，－1)，ED →＝(3，1，0)，A′D →＝(0，3，－1).设平面A′BC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BC →＝0，n 1·A ′C →＝0，得⎩⎨⎧2y 1＝0，3x 1＋2y 1－z 1＝0.取x 1＝1，可得n 1＝(1，0，3).(8分) 设平面A′DE 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·ED →＝0，n 2·A ′D →＝0，得⎩⎨⎧3x 2＋y 2＝0，3y 2－z 2＝0.取x 2＝1，可得n 2＝(1，－3，－33).(10分) 设平面A′BC 与平面A′DE 所成锐二面角的大小为θ， 则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝|1×1＋0×（－3）＋3×（－33）|1＋0＋3×1＋3＋27＝43131， 所以平面A′BC 与平面A′DE 所成锐二面角的余弦值为43131.(12分) 21. (1) 解：函数f(x)＝x 2－2ln xx－a 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x)＝2x －2（1－ln x ）x 2＝2（x 3＋ln x －1）x 2.(1分)设r(x)＝x 3＋ln x －1，所以r′(x)＝3x 2＋1x ＞0，所以函数r(x)＝x 3＋ln x －1在(0，＋∞)上单调递增. 又r(1)＝0，列表如下：x (0，1) 1 (1，＋∞)f′(x) －0 －f(x)极小值(3分)所以当x ＝1时，函数f(x)＝x 2－2ln xx－a 取得最小值为f(1)＝1－a.(4分)因为f(x)≥0，即1－a≥0，所以a≤1.所以实数a的取值范围是(－∞，1].(5分)(2) 证明：不妨设x1＜x2.由(1)可得，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以0＜x1＜1＜x2，0＜1x2＜1.(6分)因为f(x1)＝f(x2)＝0，所以f(x1)－f(1x2)＝f(x2)－f(1x2)＝(x22－2ln x2x2－a)－(1x22－2ln1x21x2－a)＝(x2＋1x2)(x2－1x2－2ln x2).(8分)设函数g(x)＝x－1x－2ln x(x＞1)，则g′(x)＝1＋1x2－2x＝（x－1）2x2＞0(x＞1)，函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增.所以g(x2)＝x2－1x2－2ln x2＞g(1)＝0，(10分)所以f(x1)－f(1x2)＞0，即f(x1)＞f(1x2).又函数f(x)＝x2－2ln xx－a在(0，1)上单调递减，所以0＜x1＜1x2＜1，所以x1x2＜1.(12分)22. 解：(1) 由a＝3，b＝1，得椭圆方程为x23＋y2＝1.13由⎩⎨⎧x 23＋y 2＝1，x －3y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－12.因为点A 在第一象限，所以A(32，12).(2分)又OA⊥AB，所以直线AB 的方程为y －12＝－3(x －32)，即3x ＋y －5＝0.由⎩⎨⎧x 23＋y 2＝1，3x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝127，y ＝－17或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝12，所以B(127，－17)，(3分)所以直线OB 的斜率为k OB ＝－17127＝－112.(4分)(2) (解法1)设直线OA 的斜率为k(k ＞0)，则直线AB 的斜率为－1k .因为△OAB 是等腰直角三角形(点O ，A ，B 按顺时针排列)， 所以设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1＞0，y 1＞0，x 1＜x 2).又OA ＝AB ，所以x 21＋y 21＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2， 得1＋1k 2|y 1|＝1＋（－1k）2|x 1－x 2|，所以y 1＝x 2－x 1，即x 2＝x 1＋y 1.又由OA⊥AB，得y 1x 1×y 2－y 1x 2－x 1＝－1，所以y 2＝y 1－x 1.(6分)因为点A(x 1，y 1)，B(x 1＋y 1，y 1－x 1)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，15所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，（x 1＋y 1）2a 2＋（y 1－x 1）2b 2＝1，所以x 21a 2＋y 21b 2＝（x 1＋y 1）2a 2＋（y 1－x 1）2b 2，整理得b 2(y 1x 1)2－2(a 2－b 2)y 1x 1＋a 2＝0.(8分)所以Δ＝4(a 2－b 2)2－4a 2b 2≥0，即(a 2－b 2＋ab)(a 2－b 2－ab)≥0.(10分) 因为a 2－b 2＋ab ＞0，所以a 2－b 2－ab≥0，即(b a )2＋b a －1≤0，所以b a ≤5－12，当k ＝y 1x 1＝2（a 2－b 2）2b 2＝a 2b 2－1＝5＋12时，b a 取最大值5－12.(12分) (解法2)设直线OA 的斜率为k(k ＞0)，倾斜角为θ(0°＜θ＜90°). 因为△OAB 是等腰直角三角形(点O ，A ，B 按顺时针排列)，且OA⊥AB， 所以直线OB 的斜率为k OB ＝tan (θ－45°)或k OB ＝tan (θ＋135°)， 所以k OB ＝k －11＋k.(6分) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1＞0，y 1＞0，x 1＜x 2).由⎩⎨⎧y ＝kx ，x 2a 2＋y 2b2＝1，得x 21＝a 2b 2b 2＋a 2k 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k －11＋k x ，x 2a 2＋y2b 2＝1，得x 22＝a 2b 2b 2＋a 2（k －11＋k ）2＝a 2b 2（1＋k ）2b 2（1＋k ）2＋a 2（1－k ）2.又OB ＝2OA ，所以2OA 2＝OB 2，得2(1＋k 2)x 21＝[1＋(k －11＋k)2]x 22， 2(1＋k 2)a 2b 2b 2＋a 2k 2＝[1＋(k －11＋k )2]a 2b 2（1＋k ）2b 2（1＋k ）2＋a 2（k －1）2.整理得b 2k 2＋2(b 2－a 2)k ＋a 2＝0，(8分)所以Δ＝4(b 2－a 2)－4a 2b 2≥0，即(a 2－b 2)2－a 2b 2≥0， 所以(a 2－b 2＋ab)(a 2－b 2－ab)≥0.(10分) 因为a 2－b 2＋ab ＞0，所以a 2－b 2－ab≥0，即(b a )2＋ba －1≤0，所以b a ≤5－12，当k ＝－2（b 2－a 2）2b 2＝a 2b 2－1＝5＋12时，b a 取最大值5－12.(12分)2021届江苏省南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江六市高三下学期一模考试数学试卷。

2021年新高考Ⅰ卷数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合A= {x|-2<x<4}. B = {2,3,4,5},则A∩B=A.{2}B.{2,3}C.{3,4,}D.{2,3,4}2.已知z=2-i，则(=A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A.2B.2C.4D.44.下列区间中，函数f(x)=7sin()单调递增的区间是A.(0,)B.( ,)C.(,)D.(,)5.已知F1,F2是椭圆C：的两个焦点，点M在 C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为A.13B.12C.9D.66.若tan=-2,则 =A.B.C.D.7.若过点（a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则A. e b<aB. e a<bC. 0<a<e bD. 0<b<e a8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ）A. {}2 B. {}2,3 C. {}3,4 D. {}2,3,4【答案】B 【解析】【分析】利用交集的定义可求A B I .【详解】由题设有{}2,3A B Ç=，故选：B .2. 已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A. 62i - B. 42i- C. 62i+ D. 42i+【答案】C 【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()22262z z i i i i+=-+=+3. ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）A. 2B.C. 4D. 【答案】B 【解析】【分析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l 的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2l p p =l =.故选：B.4. 下列区间中，函数()7sin 6f x x p æö=-ç÷èø单调递增的区间是（ ）A. 0,2p æöç÷èøB. ,2ππæöç÷èøC. 3,2p p æöç÷èøD. 3,22p p æöç÷èø【答案】A 【解析】【分析】解不等式()22262k x k k Z pppp p -<-<+Î，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z pp p p æö-+Îç÷èø，对于函数()7sin 6f x x p æö=-ç÷èø，由()22262k x k k Z p p p p p -<-<+Î，解得()22233k x k k Z ppp p -<<+Î，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33p pæö-ç÷èø，则20,,233p p pæöæöÍ-ç÷ç÷èøèø，2,,233p p p p æöæöË-ç÷ç÷èøèø，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33p p æöç÷èø，32,,233pp p p æöæöË-ç÷ç÷èøèø且358,,233p p p p æöæöËç÷ç÷èøèø，358,2,233p p p p æöæöËç÷ç÷èøèø，CD 选项均不满足条件.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x w j +看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把w 化为正数．5. 已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ×的最大值为（ ）A. 13 B. 12C. 9D. 6【答案】C 【解析】【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF æ+ö×≤ç÷èø即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF æ+ö×≤=ç÷èø（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．【点睛】本题关键在于正确理解能够想到求最值的方法，即通过基本不等式放缩得到．6. 若tan 2q =-，则()sin 1sin 2sin cos q q q q+=+（ ）A. 65-B. 25-C.25D.65【答案】C 【解析】【分析】将式子进行齐次化处理，代入tan 2q =-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos q q q q q q q q q q q q q q+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145q q q q q q q q ++-====+++．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2q =-，求出sin ,cos q q 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．7. 若过点(),a b 可以作曲线e xy =的两条切线，则（ ）A. e b a <B. e a b <C. 0e b a <<D. 0e ab <<【答案】D 【解析】【分析】根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果【详解】在曲线xy e =上任取一点(),tP t e，对函数xy e=求导得e x y ¢=，所以，曲线xy e =在点P 处的切线方程为()t ty e ex t -=-，即()1t t y e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1tty e x t e =+-上，可得()()11tttb ae t e a t e =+-=+-，令()()1tf t a t e =+-，则()()tf t a t e ¢=-.当t a <时，()0f t ¢>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t ¢<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选：D.【点睛】数形结合是解决数学问题常用且有效的方法8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁， ，1()0()()()()()36P P P P P P =¹==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =¹=¹乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =×××为非零常数，则（ ）A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样数据的样本极差相同【答案】CD 【解析】【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ¹，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD10. 已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P a a ，()2cos ,sin P b b -，()()()3cos ,sin P a b a b ++，()1,0A ，则（ ）A 12OP OP =uuu r uuur B. 12AP AP =uuu r uuurC. 312OA OP OP OP ×=×uuu r uuu r uuu r uuur D. 123OA OP OP OP ×=×uuu r uuu r uuur uuur 【答案】AC 【解析】.【分析】A 、B 写出1OP uuu r ，2OP uuur 、1AP u u ur ，2AP u u u r 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP a a =uuu r ，2(cos ,sin )OP b b =-uuur ，所以1||1OP ==uuu r ，2||1OP ==uuur ，故12||||OP OP =uuu r uuur ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP a a =-uuu ，2(cos 1,sin )AP b b =--，所以1||2|sin |2AP a =====uuu r，同理2||2|sin |2AP b ==uuur ，故12||,||AP AP uuu r uuur 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP a b a b a b ×=´++´+=+uuu r uuur ，12cos cos sin (sin )cos()OP OP a b a b a b ×=×+×-=+uuu r uuur ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP a a a ×=´+´=uuu r uuu r ，23cos cos()(sin )sin()OP OP b a b b a b ×=´++-´+uuur uuur22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin a b a b b a b b a b=---cos cos 2sin sin 2cos(2)a b a b a b =-=+，错误；故选：AC11. 已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A. 点P 到直线AB 的距离小于10B. 点P 到直线AB 的距离大于2C. 当PBA Ð最小时，PB =D. 当PBA Ð最大时，PB =【答案】ACD 【解析】【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA Ð最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB4=>，所以，点P 到直线AB42-<410+<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA Ð最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ^，BM ==，4MP =，由勾股定理可得BP =CD 选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r 圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆C 上一点P 到直线l 的距离的取值范围是[],d r d r -+.12. 在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB l m =+uuu r uuu r uuur，其中[]0,1l Î，[]0,1m Î，则（ ）A. 当1l =时，1AB P △的周长为定值B. 当1m =时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C. 当12l =时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ^D. 当12m =时，有且仅有一个点P ，使得1AB ^平面1AB P 【答案】BD的【解析】【分析】对于A ，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B ，将P 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C ，考虑借助向量平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数；对于D ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数．【详解】易知，点P 在矩形11BCC B 内部（含边界）．对于A ，当1l =时，11=BP BC BB BC CC m m =++uuu r uuu r uuur uuu r uuuu r，即此时P Î线段1CC ，1AB P △周长不是定值，故A错误；对于B ，当1m =时，1111=BP BC BB BB B C l l =++uuu r uuu r uuur uuur uuuu r，故此时P 点轨迹为线段11B C ，而11//B C BC ，11//B C 平面1A BC ，则有P 到平面1A BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确．对于C ，当12l =时，112BP BC BB m =+uuu r uuur uuur ，取BC ，11B C 中点分别为Q ，H ，则BP BQ QH m =+uuu r uuu r uuur ，所以P 点轨迹为线段QH，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，1A ö÷÷ø，()0,0P m ,，10,,02B æöç÷èø，则11A P m æö=-ç÷ç÷èøuuur ，10,,2BP m æö=-ç÷èøuuu r ，()10m m -=，所以0m =或1m =．故,H Q 均满足，故C 错误；对于D ，当12m =时，112BP BC BB l =+uuu r uuu r uuur ，取1BB ，1CC 中点为,M N ．BP BM MN l =+uuu r uuuu r uuuu r ，所以P 点的轨迹为线段MN ．设010,,2P y æöç÷èø，因为0,0A ö÷÷ø，所以01,2AP y æö=ç÷ç÷èøuuu r，11,12A B æö=-ç÷ç÷èøuuur ，所以00311104222y y +-=⇒=-，此时P 与N 重合，故D 正确．故选：BD ．【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()()322xx x a f x -=×-是偶函数，则a =______.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【详解】因为()()322xx xa f x -=×-，故()()322x x f x x a --=-×-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222xx x x xa x a --×-=-×-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =，故答案为：114.已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ^，若6FQ =，则C 的准线方程为______.【答案】32x =-【解析】【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果.【详解】不妨设(,)(6,0),(6,)22p pP p Q PQ p \+=-u u u r 因为PQ OP ^，所以260032p p p p ´-=>\=\Q C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.15. 函数()212ln f x x x =--的最小值为______.【答案】1【解析】【分析】由解析式知()f x 定义域为(0,)+¥，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值.【详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+¥，∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减；当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x¢=-≤，此时()f x 单调递减；当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x¢=->，此时()f x 单调递增；又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增；∴()(1)1f x f ≥=故答案为：1.16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ´的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ´，20dm 6dm ´两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ´，10dm 6dm ´，20dm 3dm ´三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nkk S==å______2dm .【答案】 (1). 5 (2). ()41537202n n -+-【解析】【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得n S ，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）对折4次可得到如下规格：5124dm dm ´，562dm dm ´，53dm dm ´，3102dm dm ´，3204dm dm ´，共5种；（2）由题意可得12120S =´，2360S =´，3430S =´，4515S =´，L ，()112012n n n S -+=，设()012112011202120312042222n n S -+´´´=++++L ，则()121120111202120312022222n nn n S -+´´=++++L ，两式作差得()()12116011201120111112240120240122222212n n n nn n S --æö-ç÷++æöèø=++++-=+-ç÷èø-L ()()112011203120360360222n n nn n -++=--=-，因此，()()4240315372072022n n n n S -++=-=-.故答案为：5；()41537202n n -+-.【点睛】方法点睛：数列求和常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +ìüíýîþ结构，其中{}na 是等差数列，公差为()0d d ¹，则111111n n n n a a d a a ++æö=-ç÷èø，利用裂项相消法求和.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++ì=í+î为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.【答案】（1）122,5b b ==；（2）300.的【解析】【分析】（1）根据题设中的递推关系可得13n n b b +=+，从而可求{}n b 的通项.（2）根据题设中的递推关系可得{}n a 的前20项和为20S 可化为()2012910210S b b b b =++++-L ，利用（1）的结果可求20S .【详解】（1）由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++=又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，故2223k k a a +=+即13n n b b +=+即13n n b b +-=所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-´=-.（2）设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++L ，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=-L ，所以()20241820210S a a a a =++++-L ()1291091021021023103002b b b b ´æö=++++-=´´+´-=ç÷èøL .【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）B 类．【解析】【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．【详解】（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100．()010.80.2P X ==-=；()()200.810.60.32P X ==-=；()1000.80.60.48P X ==´=．所以X 的分布列为X20100P0.20.320.48（2）由（1）知，()00.2200.321000.4854.4E X =´+´+´=．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100．()010.60.4P Y ==-=；()()800.610.80.12P Y ==-=；()1000.80.60.48P X ==´=．所以()00.4800.121000.4857.6E Y =´+´+´=．因为54.457.6<，所以小明应选择先回答B 类问题．19. 记ABC V 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C Ð=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABCÐ【答案】（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC Ð=.【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBD b=，结合已知即可证结论.（2）由题设2,,33b bBD b AD DC ===，应用余弦定理求cos ADB Ð、cos CDB Ð，又ADB CDB p Ð=-Ð，可得42221123b b a a +=，结合已知及余弦定理即可求cos ABC Ð..【详解】（1）由题设，sin sin a C BD ABC =Ð，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =Ð，即sin sin C cABC b=Ð，∴acBD b=，又2b ac =，∴BD b =，得证.（2）由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===，∴22222241399cos 24233b b bc c ADB b b b +--Ð==×，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--Ð==×，∵ADB CDB p Ð=-Ð，∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =，∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-Ð==-，当2213a b =时，7cos 16ABC Ð=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC Ð=；综上，7cos 12ABC Ð=.【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及ADB CDB p Ð=-Ð得到,,a b c 的数量关系，结合已知条件及余弦定理求cos ABC Ð.20. 如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ^平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ^；（2）若OCD V 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45°，求三棱锥A BCD -的体积.【答案】(1)详见解析【解析】【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO ⊥平面BCD ，即可证得结果；（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.【详解】（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO ⊥BD因为平面ABD I 平面BCD =BD ,平面ABD ⊥平面BCD ，AO Ì平面ABD ，因此AO ⊥平面BCD ，因为CD Ì平面BCD ，所以AO ⊥CD (2)作EF ⊥BD 于F, 作FM ⊥BC 于M,连FM 因为AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥BD, AO ⊥CD所以EF ⊥BD, EF ⊥CD, BD CD D Ç=,因此EF ⊥平面BCD ，即EF ⊥BC 因为FM ⊥BC ，FM EF F =I ,所以BC ⊥平面EFM ，即BC ⊥MF 则EMF Ð为二面角E-BC-D 的平面角, 4EMF pÐ=因为BO OD =,OCD V 为正三角形,所以OCD V 为直角三角形因为2BE ED =,1112(1)2233FM BF \==+=从而EF=FM=213AO \=AO ^Q 平面BCD,所以11111332BCD V AO S D =×=´´´=【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)21217,02F MF MF -=，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ×=×，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；（2）设点1,2T t æöç÷èø，设直线AB 的方程为112y t k x æö-=-ç÷èø，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线AB与曲线C 的方程，列出韦达定理，求出TA TB ×的表达式，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得出TP TQ ×的表达式，由TA TB TP TQ ×=×化简可得12k k +的值.【详解】因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥；（2）设点1,2T t æöç÷èø，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x æö-=-ç÷èø，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ì=+-ïíï-=î，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k æö-+-+-+=ç÷èø，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >.由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k æö-+ç÷èø=-，所以，()()()()22122121121122112111*********t k x x TA TB k x x k x x k +++æö×=+×-×-=+×-+=ç÷-èø，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116t k TP TQ k ++×=-，因为TA TB TP TQ ×=×，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -¹，故120k k +=.因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22. 已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+¥；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设1211,x x a b==，原不等式等价于122x x e <+<，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设21x tx =，从而把12x x e +<转化为()()1ln 1ln 0t t t t -+-<在()1,+¥上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为()0,¥+，又()1ln 1ln f x x x ¢=--=-，当()0,1x Î时，()0f x ¢>，当()1,+x Î¥时，()0f x ¢<，故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+¥.（2）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b+=，故11f f a b æöæö=ç÷ç÷èøèø，设1211,x x a b==，由（1）可知不妨设1201,1x x <<>.因为()0,1x Î时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e Î+¥时，()()1ln 0f x x x =-<，故21x e <<.先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立.若22x <， 要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<，故即证()()122f x f x >-，即证：()()222f x f x >-，其中212x <<.设()()()2,12g x f x f x x =--<<，则()()()()2ln ln 2g x f x f x x x ¢¢¢=+-=---()ln 2x x =--éùëû，因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x ¢>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=，故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立，综上，122x x +>成立.设21x tx =，则1t >，结合ln 1ln +1a b a b+=，1211,x x a b ==可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-，即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t tx t --=-，要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<，即证：()1ln ln 111t t tt t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<，令()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->，则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -æö¢=++--=+-ç÷++èø，先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+.设()()ln 1u x x x =+-，则()1111xu x x x -¢=-=++，当10x -<<时，()0u x ¢>；当0x >时，()0u x ¢<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+¥上为减函数，故()()max 00u x u ==，故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t t t æö+≤<ç÷+èø，故()0S t ¢<恒成立，故()S t 在()1,+¥上为减函数，故()()10S t S <=，故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立.综上所述，112e a b<+<.【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.。

江苏省泰州市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若()()()20192019012019111x a a x a x -=+++++，x ∈R ，则22019122019333a a a ⋅+⋅++⋅的值为（ ） A ．201912-- B ．201912-+ C ．201912- D ．201912+【答案】A 【解析】 【分析】取1x =-，得到201902a =，取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-，计算得到答案.【详解】取1x =-，得到201902a =；取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-.故22019201912201933312a a a ⋅+⋅++⋅=--.故选：A . 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，取1x =-和2x =是解题的关键.2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（ ）A BC ．D 【答案】D 【解析】 【分析】先计算a b ⋅，然后将3a b -进行平方，，可得结果. 【详解】 由题意可得：1cos1201212a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭∴()222369163643a ba ab b -=-⋅+=++=∴则343a b -=.故选：D.3．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点(),0π中心对称 B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数C ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称D ．()y f x =的最大值是2【答案】D 【解析】 【分析】通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果． 【详解】解：:(2)cos(2)sin 2(2)cos sin 2()A f x x x x x f x πππ-=--=-=-，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()B f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，周期函数，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()C f x x x x x f x πππ-=--==，正确；D ： 232sin cos 2sin 2sin y x x x x ==-，令sin t x =，[]1,1t ∈-则()322g t t t =-，()226g t t '=-，[1t ∈-，1]，则t <<时()0g t '>，1t -<<1t >>()0g t '<，即()g t 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在1,3⎛-- ⎝⎭和,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；且39g ⎛=⎝⎭，()10g -=，max y g ∴==<⎝⎭，故D 错误． 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题．4．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =+++()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B 【解析】 【分析】根据题意计算21n a n =-，12n n b -=，122n n T n +=--，解不等式得到答案.∵{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n nb -=.∴2112n n n b b b T c c c a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+11242n a a a a -=+++⋯+()1(211)(221)(241)221n -=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-()121242n n -=+++⋅⋅⋅+-11222212nn n n +-=⨯-=---.∵2020n T <，∴1222020n n +--<，解得9n ≤.则当2020n T <时，n 的最大值是9. 故选：B . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，f 分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.5．在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=（ ）． A ．3- B ．6-C ．4D ．9【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得1AD =,由余弦定理求得DC 的值，由()BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅可得结果.【详解】根据题意，3,2AB BD AD ==，则1AD = 在ADC 中，又2AC =,60BAC ∠=︒则2222cos 3DC AD AC AD DC BAC =+⋅∠=-则DC =则CD AB ⊥则()32cos1806BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=- 故选：B 【点睛】此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.6．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)b f =，比较33log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，比较出三个数,,a b c 的大小. 【详解】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键. 7．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A1 B1CD．12【答案】B 【解析】 【分析】设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出m 的表达式，结合基本不等式的性质求出m 的最大值时的P 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】设(),P x y ，因为A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，所以()()0,1,0,1A F -， 则PA m PF====当0y >时，m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P ±，2PA PF ==，点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，∴由椭圆的定义得22a PA PF =+=，所以椭圆的离心率212c c e a a ====，故选B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得0:p x R ⌝∃∈，200x ≤本题正确选项：B 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.9．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )2⎡⎤2⎡⎤【解析】 【分析】先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果. 【详解】令()()x g x e f x =，则当0x <时，()[()()]0xg x e f x f x ''=+>，又()()()()xx g x ef x e f xg x --=-==，所以()g x 为偶函数，从而()()211ae f a f a +≥+等价于211(21)(1),(21)(1)a a ef a e f ag a g a +++≥++≥+， 因此22(|21|)(|1|),|21||1|,3200.3g a g a a a a a a -+≥-+-+≥-++≤∴-≤≤选B. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题. 10．已知向量(,4)a m =-，(,1)b m =（其中m 为实数），则“2m =”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【详解】由2m =，则(2,4)(2,1)440a b ⋅=-⋅=-+=，所以a b ⊥；而当a b ⊥，则2(,4)(,1)40a b m m m ⊥=-⋅=-+=，解得2m =或2m =-.所以 “2m =”是“a b ⊥”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.11．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ） A ．33i - B ．33i +C ．13i +D ．13i -【答案】D直接相乘，得13i +，由共轭复数的性质即可得结果 【详解】∵21()()13z i i i =++=+ ∴其共轭复数为13i -. 故选：D 【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质. 12．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】对a 分类讨论，当0a ≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减，当0a >，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解. 【详解】当0a ≤时，函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递减， 所以0a >，1()f x axx =+的递增区间是⎫+∞⎪⎭， 所以2≥14a ≥. 故选:B. 【点睛】本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届南通泰州高三年级第一次模拟(二)数学试卷(含参考答案) 2021届高三年级第一次模拟考试(二)数学(满分160分，考试时间120分钟)一、填空：本大题共有14个小问题，每个小问题5分，共计70分1.若集合a＝{－2，0，1}，b＝{x|x2>1}，则集合a∩b＝________．2.命题“？X”∈ [0,1]，x2-1≥ 0“是_________________________________4.若一组样本数据2015，2017，x，2018，2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为________．5.如算法流程图所示，n的输出值为___(第5题)(第12题)6.函数f（x）=1D.随机滚动纹理均匀的立方体骰子（骰子的LNX）每个面上分别标有点数1，2，?，6)，记骰子向上的点数为t，则事件“t∈d”的概率为________．7.已知圆锥体的高度为6，体积为8，用平行于圆锥体底部的平面切割圆锥体，圆锥体的体积为7，则圆锥体的高度为____8.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2a3a4＝a2＋a3＋a4，则a3的最小值为________．x2y29.在平面直角坐标系xoy中，设直线l：x＋y＋1＝0与双曲线c：2－2＝1(a>0，b>0)如果AB的两条渐近线相交，且交点位于y轴的左侧，则双曲线C的偏心率e的值范围为___x－y≤0，??10.已知实数x，y满足吗？2X+y－2≥ 0，则X+y的值范围为____x－2y＋4≥0，11.已知函数f（x）=BX+LNX，其中B∈ R.如果通过原点且具有斜率k的直线与曲线y=f（x）相切，则k－b的值为________．12.如图所示，在平面直角坐标系xoy中，函数y=sin（ωx＋φ）（ω>0,0）→113.在△ ABC，ab=5，AC=7，BC=3，P是一个点△ ABC（包括边界），如果BP=4→→→→ba＋λbc（λ∈ R），则babp的值范围为___14.已知在△abc中，ab＝ac＝3，△abc所在平面内存在点p使得pb2＋pc2＝3pa2=3，则为△ ABC地区是___二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本子题满分为14分）已知在△abc中，a，b，c分别为三个内角a，b，c的对边，3bsinc＝ccosb＋c.(1)求角b的大小；十一(2)若b2＝ac，求＋的值．塔纳塔克16.(本小题满分14分)如图所示，金字塔型pabcd的底面ABCD是一个平行四边形PC⊥ 平面ABCD，Pb=PD，Q是与边PC上的P和C不同的点(1)求证：bd⊥ac；（2）横截面adqf（点F在边缘Pb上）是通过在点Q和ad的平面上切割一个金字塔获得的。

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）根据题设中的递推关系可得 ，从而可求 的通项.
（2）根据题设中的递推关系可得 的前 项和为 可化为 ，利用（1）的结果可求 .
【详解】A： 且 ，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为 ，则第二组的中位数为 ，显然不相同，错误；
C： ，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为 ，则第二组的极差为 ，故极差相同，正确；
故选：CD
10. 已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
8. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）
A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立
【详解】设圆锥的母线长为 ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则 ，解得 .
故选：B.
4. 下列区间中，函数 单调递增的区间是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式 ，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数 的单调递增区间为 ，
对于函数 ，由 ，
解得 ，
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
设 ，
则 ，
两式作差得：
，

2021 年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷2021 年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷一、填空题〔共 14 题，共 70 分〕 1．会合A ＝ { ﹣ 1， 0， 2} ，B ＝ { ﹣ 1， 1，2} ，那么 A ∩ B ＝{ ﹣ 1， 2}．2．复数 z 知足〔 1+i 〕z ＝2i ，此中 i 是虚数单位，那么 z 的模为 ．3．某校高三数学组有 5 名党员教师，他们一天中在“学习强国〞平台上的学习积分挨次为35， 35， 41， 38， 51，那么这 5 名党员教师学习积分的均匀值为 40 ．4．依据以下列图的伪代码，输出的 a 的值为 11 ．5．等差数列 { a n } 的公差 d 不为 0，且 a 1， a 2， a 4 成等比数列，那么 的值为 1 ．6．将一枚质地均匀的硬币先后投掷 3 次，那么恰巧出现 2 次正面向上的概率为 ．7．在正三棱柱 ABC ﹣ A 1 B 1 C 1 中， AA 1＝ AB ＝ 2，那么三棱锥 A 1﹣ BB1C 1 的体积为 ．8．函数〔 ω＞ 0〕，假定当 时，函数 f 〔 x 〕获得最大值，那么 ω的最小值为5 ．9．函数f 〔 x 〕＝〔 m ﹣ 2〕x 2+〔 m ﹣8〕 x 〔 m ∈R 〕是奇函数，假定对于随意的x ∈R ，对于x 的不等式 f 〔 x 2+1〕＜ f 〔 a 〕恒建立，那么实数 a 的取值范围是〔﹣∞， 1〕 ．10．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A ，B 分别在双曲线C ：x 2﹣ y 2＝ 1 的两条渐近线上，且双曲线 C 经过线段 AB 的中点．假定点 A 的横坐标为 2，那么点 B 的横坐标为 ．1 / 52021 年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷11．只管当古人类还没法正确预告地震， 但科学家经过研究， 已经对地震有所认识，比如．地震时开释出的能量E 〔单位：焦耳〕与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE ＝年 5 月汶川发生里氏 8.0 级地震，它开释出来的能量是2021 年 6 月四川长宁发生里氏级地震开释出来能量的1000 倍．12．△ ABC 的面积为 3，且 AB ＝ AC ，假定 ，那么 BD 的最小值为 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆 C 1：x 2+y 2＝ 8 与圆 C 2：x 2+y 2+2 x+y ﹣ a ＝0 订交于 A 、B 两点．假定圆C 1 上存在点 P ，使得△ ABP 为等腰直角三角形，那么实数 a 的值构成的会合为{8，8﹣2，8+2}．14．函数f 〔 x 〕＝，假定对于 x 的方程 f 2〔 x 〕 +2af 〔 x 〕 +1﹣a 2＝ 0有五个不相等的实数根，那么实数 a 的取值范围是．二、解答题〔共 6 题，共 90 分〕15．如图，在三棱锥 P ﹣ ABC 中，PA ⊥平面 ABC ，PC ⊥AB ，D ，E 分别为 BC ，AC 的中点． 求证：（ 1〕AB ∥平面 PDE ；（ 2〕平面 PAB ⊥平面 PAC ．16．在△ ABC 中， AC ＝ 4， BC ＝ 3，cosB ＝﹣ ．〔 1〕求 sinA 的值．2 / 52021 年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷〔 2〕求的值．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E：＝1〔a＞b＞0〕的焦距为4，两条准线间的距离为8， A，B 分别为椭圆 E 的左、右极点．〔 1〕求椭圆 E 的标准方程：〔 2〕图中四边形ABCD 是矩形，且BC＝ 4，点 M，N 分别在边 BC，CD 上， AM 与BN 订交于第一象限内的点P．①假定 M， N 分别是 BC， CD 的中点，证明：点P 在椭圆 E 上；②假定点 P 在椭圆 E 上，证明：为定值，并求出该定值．18．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为 a 的正三角形 ABC 绕此中心 O 逆时针旋转θ到三角形 A1 1 1，且11， C，B C按序连接 A，A ， B， B C1，A，获得六边形徽标AA1BB1CC1 ．〔 1〕当θ＝时，求六边形徽标的面积；〔 2〕求六边形微标的周长的最大值．3 / 52021 年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷19．数列 { a n} 知足： a1＝ 1，且当 n≥ 2 时， a n＝λa n﹣1+〔λ∈R〕．（1〕假定λ＝ 1，证明：数列 { a2n﹣1} 是等差数列；（2〕假定λ＝ 2．①设 b n＝a2n+，求数列{ b n}的通项公式；②设 ?n＝，证明：对于随意的p， m∈N *，当 p＞ m，都有 ?p≥ ?m．20．设函数〔a∈R〕，此中e为自然对数的底数．（1〕当 a＝ 0 时，求函数 f〔 x〕的单一减区间；（2〕函数 f〔 x〕的导函数 f'〔 x〕有三个零点 x1，x2， x3〔 x1＜ x2＜x3〕．①求 a 的取值范围；②假定 m1， m2〔 m1＜ m2〕是函数f〔 x〕的两个零点，证明：x1＜ m1＜x1+1．【选做题】〔 3 选 2，每题 10 分〕21． a， b∈R，向量是矩阵A＝的属于特点值 3 的一个特点向量．〔 1〕求矩阵 A；〔 2〕假定点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下获得点P'〔 2，2〕，求点 P 的坐标．4 / 52021 年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷22．在平面直角坐标系参数方程为xOy 中，直线l 的参数方程〔θ为参数〕，求椭圆C 上的点P 到直线〔t 为参数〕，椭圆l 的距离的最大值．C 的23． a， b， c 都是正实数，且＝1．证明：（1〕 abc≥ 27；〔 2〕≥1．【必做题】〔每题 10 分〕24．如图，在直四棱柱ABCD ﹣A1B1C1D1中，AD∥ BC，AB⊥ AD ，AB＝ AD ＝AA1＝2BC ＝2．（1〕求二面角 C1﹣ B1C﹣ D1的余弦值；（2〕假定点 P 为棱 AD 的中点，点 Q 在棱 AB 上，且直线 B1C 与平面 B1PQ 所成角的正弦值为，求 AQ 的长．25．一只口袋装有形状、大小完整同样的 5 只小球，此中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1 只．现从口袋中先后有放回地取球2n 次〔 n∈N * 〕，且每次取 1 只球．〔 1〕当 n＝ 3 时，求恰巧取到 3 次红球的概率；〔 2〕随机变量X 表示 2n 次取球中取到红球的次数，随机变量，求Y的数学希望〔用n 表示〕．5 / 5。

2021年新高考一卷数学试卷解析
2021年全国新高考数学一卷是一份难度较高的试卷，以下是具体的解析：
1. 整体难度：该试卷整体难度较大，其中尤以最后两道大题为甚，很多考生在最后的时间里未能完成这些题目。

这需要考生在平时的学习和训练中，注重提高解题速度和准确度，同时也需要培养面对难题的应对策略。

2. 知识点覆盖面：该试卷对高中数学的主要知识点进行了全面的覆盖，包括代数、几何、概率统计等方面。

这有助于全面考察考生的数学知识储备和运用能力。

3. 题目类型：该试卷采用了多种类型的题目，如计算题、证明题、应用题等。

这有助于考察考生在不同题型下的解题能力和思维方式。

4. 创新性：与往年相比，该试卷在题目设计和知识点考察上具有一定的创新性。

例如，有些题目考察了考生对数学概念和方法的深度理解，而有些题目则考察了考生在解决实际问题方面的能力。

5. 考生反映：据考生反映，该试卷难度较大，部分题目较为新颖，需要考生具备较强的思维能力和应变能力。

同时，也有部分考生认为该试卷的题目设计较为合理，能够全面考察考生的数学能力和素质。

总的来说，2021年全国新高考数学一卷是一份难度较高、知识点覆盖面广、题目类型多样、具有创新性的试卷。

考生需要在平时的学习和训练中，注重提高解题速度和准确度，同时也需要培养面对难题的应对策略。

本试卷共6页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}1,0,1A =-，{}20lg()B x x +>=，则A B = A ．{}1,0,1－B ．{}0,1C ．{}1D ．()1,-+∞2．已知复数z 与()228i z ++都是纯虚数，则z =A ．2B ．2-C ．2iD ．2i-3．已知甲、乙、丙三人均去某健身场所锻炼，其中甲每隔1天去一次，乙每隔2天去一次，丙每隔3天去一次．若2月14日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是A ．2月25日B ．2月26日C ．2月27日D ．2月28日4．把函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数()f x 的图象；再将()f x 图象上所有点向右平移3π个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x =A ．sin 4x-B ．sin xC ．2sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．5sin 43x π⎛⎫+⎪⎝⎭5．某学校每天安排四项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：（1）每位学生每天最多选择1项；（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：时间周一周二周三周四周五课后服务音乐、阅读、体育、编程口语、阅读、编程、美术手工、阅读、科技、体育口语、阅读、体育、编程音乐、口语、美术、科技若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有A ．6种B ．7种C ．12种D ．14种6．()6322y x y x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，63x y 的系数A ．10-B ．5C ．35D ．507．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率为7的直线l 与C 在x轴上方的交点为A ．若112AF F F ＝，则C 的离心率是南通市2022届高三第一次调研测试2022.2数学A ．23B ．22C ．32D ．538．已知α，β均为锐角，且sin cos 2παββα+->-，则A ．sin sin αβ>B ．cos cos αβ>C ．cos sin αβ>D ．sin cos αβ>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年江苏省泰州中学高三（上）第一次质检数学（文科）试题一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B= ．2．（5分）若，i是虚数单位，则复数z的虚部为．3．（5分）函数f（x）=log2（x2﹣6）的定义域为．4．（5分）已知函数的最小正周期是，则正数k的值为．5．（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（4，），则= ．6．（5分）“三个数a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的条件．（填“充分不必要、充要、必要不充分、既不充分也不必要”）7．（5分）已知，，则sin2α的值是．8．（5分）已知函数f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x2﹣3asin，且f（3）=6，则实数a= ．9．（5分）若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a4=3，则a7= ．10．（5分）若直线y=x+b是曲线y=xlnx的一条切线，则实数b= ．11．（5分）函数y=3sin（2x+）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后，所得到函数图象关于原点对称，则φ= ．12．（5分）数列{a n}定义如下：a1=1，a2=3，，n=1，2，…．若，则正整数m的最小值为．13．（5分）已知点O为△ABC内一点，且=，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于．14．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，则函数的所有零点之和为．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a＜b＜c，b=2asinB．（1）求A的大小；（2）若a=2，b=2，求△ABC的面积．16．（14分）已知函数f（x）=|x﹣1|，g（x）=﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．17．（14分）已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C．（1）设，判断△ABC的形状；（2）设向量，，且，若，求的值．18．（16分）某地拟建一座长为640米的大桥AB，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A、B 造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x米时（其中64＜x＜100），中间每个桥墩的平均造价为万元，桥面每1米长的平均造价为（2+）万元．（1）试将桥的总造价表示为x的函数f（x）；（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间（两端桥墩A、B除外）应建多少个桥墩？19．（16分）已知各项为正数的等比数列数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式b n=（n∈N*），若S3=b5+1，b4是a2和a4的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和为T n．20．（16分）已知函数f（x）=1﹣（a为实数）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（a）=3λa﹣2a2（其中λ为常数），若函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，且存在a 满足h（a）≥λ+，求λ的取值范围；（Ⅲ）已知n∈N*，求证：ln（n+1）＜1+．2020-2021学年江苏省泰州中学高三（上）第一次质检数学（文科）试题参考答案一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填在答题卡相应位置上. 1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B= {0，2} ．【分析】求出A中方程的解确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中方程变形得：x（x﹣2）=0，解得：x=0或x=2，即A={0，2}，∵B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}；故答案为：{0，2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若，i是虚数单位，则复数z的虚部为﹣2 ．【分析】利用复数的乘法的运算法则化简复数，写出复数的虚部即可．【解答】解：，i是虚数单位，可得：z=（1﹣i）（3+i）=4﹣2i．复数的虚部为：﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的基本概念的应用，是基础题．3．（5分）函数f（x）=log2（x2﹣6）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．【分析】根据函数f（x）的解析式中，对数的真数大于0，列出不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数f（x）=log2（x2﹣6），∴x2﹣6＞0，解得x＜﹣或x＞；∴f（x）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．【点评】本题考查了求对数函数的定义域的应用问题，是基础题目．4．（5分）已知函数的最小正周期是，则正数k的值为 6 ．【分析】由三角函数的周期性及其求法可知T==，即可解得k的值．【解答】解：由三角函数的周期性及其求法可知：T==，所以可解得：k==6，故答案为：6．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．5．（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（4，），则= 2 ．【分析】根据幂函数的定义设f（x）=xα，结合y=f（x）的图象经过点（4，），即可求出f（x），从而求得f（）的值．【解答】解：∵y=f（x）为幂函数，∴设f（x）=xα，又∵y=f（x）的图象经过点（4，），∴，即22α=2﹣1，∴2α=﹣1，解得，∴f（x）=，∴f（）===2，∴f（）=2．故答案为：2．【点评】本题考查了幂函数的概念、解析式，定义域和单调性．考查了求幂函数的解析式问题，运用了待定系数法的解题方法，求解析式一般选用待定系数法、换元法、配凑法、消元法等．对于幂函数的有关问题，关键是正确的画出幂函数的图象，根据幂函数在第一象限的图形，结合幂函数的定义域、奇偶性，即可画出幂函数的图象，应用图象研究幂函数的性质．属于基础题．6．（5分）“三个数a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的充分不必要条件．（填“充分不必要、充要、必要不充分、既不充分也不必要”）【分析】先证明充分性，由a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得b2=ac；再证必要性，可以举一个反例，满足b2=ac，但a、b、c不成等比数列，从而得到正确的选项．【解答】解：若a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得：b2=ac；若b=0，a=2，c=0，满足b2=ac，但a、b、c显然不成等比数列，则“a、b、c成等比数列”是“b2=ac”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点评】本题主要考查等比数列的等比中项的性质和充要条件的判断．在应用a，b，c成等比数列时，一定要考虑a，b，c都等于0的特殊情况，这是解题的关键所在．7．（5分）已知，，则sin2α的值是﹣．【分析】由已知利用诱导公式可求sinα，结合角的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵=﹣sinα，∴sinα=﹣，∵，∴cosα==，sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）×=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x2﹣3asin，且f（3）=6，则实数a= 5 ．【分析】由已知中奇函数f（x）满足f（3）=6，可得f（﹣3）=﹣6，代入x＜0时，，可得a值．【解答】解：∵函数f（x）是R上的奇函数，且f（3）=6∴f（﹣3）=﹣6又∵当x＜0时，∴=9﹣3a=﹣6解得a=5故答案为：5【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中由已知得到f（﹣3）=﹣6，进而得到关于a的方程是解答的关键．9．（5分）若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a4=3，则a7= ﹣3 ．【分析】根据等差数列的前n项和公式、性质求出a3的值，再由等差数列的通项公式求出公差和a7的值．【解答】解：由题意得，等差数列{a n}的前5项和S5=25，所以S5==5a3=25，则a3=5，又a4=3，则公差d=﹣2，所以a7=a3+4d=5﹣8=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式、性质的应用，属于基础题．10．（5分）若直线y=x+b是曲线y=xlnx的一条切线，则实数b= ﹣1 ．【分析】设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数得y′=lnx+1，从而得到切线的斜率k=lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=（lnx0+1）x﹣x0，对照已知直线列出关于x0、b的方程组，解之即可得到实数b的值．【解答】解：设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数，得y′=lnx+1，∴切线的斜率k=lnx0+1，故切线方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），整理得y=（lnx0+1）x﹣x0，与y=x+b比较得，解得x0=1，故b=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题给出曲线y=xlnx的一条切线的斜率，求切线在y轴上的截距值，着重考查了导数的运算法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于中档题．11．（5分）函数y=3sin（2x+）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后，所得到函数图象关于原点对称，则φ= ．【分析】利用图象平移规律得出平移后的函数解析式，根据新函数为奇函数和诱导公式列方程解出φ．【解答】解：函数y=3sin（2x+）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后，得到函数解析式为y=3sin[2（x+φ）+]=3sin（2x+2φ+），∵新函数的图形关于原点对称，∴y=3sin（2x+2φ+）是奇函数，∴2φ+=π+2kπ，解得φ=，k∈Z．∵0＜φ＜，∴φ=．故答案为：．【点评】本题考查了正弦函数的性质，函数图象的变换，属于中档题．12．（5分）数列{a n}定义如下：a1=1，a2=3，，n=1，2，…．若，则正整数m的最小值为8069 ．【分析】由，变形为（n+2）a n+2+na n=2（n+1）a n+1，利用等差数列的通项公式可得a n．代入，即可得出．【解答】解：∵，∴（n+2）a n+2+na n=2（n+1）a n+1，∴数列{na n}是等差数列，首项为1，公差为2a2﹣a1=5．∴na n=1+5（n﹣1）=5n﹣4，∴a n=5﹣．∵，∴＞4+，解得m＞8068，则正整数m的最小为8069．故答案为：8069．【点评】本题考查了等差数列的定义通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）已知点O为△ABC内一点，且=，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于3：2：1 ．【分析】根据题意，作出图形，利用向量的关系，求出△AOB、△AOC、△BOC与△ABC的面积关系，即可得出它们的面积之比是多少．【解答】解：如图所示，延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE；则+2=+=，∵+2+3=，∴﹣=3，又∵==2，∴=2，∴=，∴S△ABC=2S△AOB；同理：S△ABC=3S△AOC，S△ABC=6S△BOC；∴△AOB，△AOC，△BOC的面积比=3：2：1．故答案为：3：2：1．【点评】本题考查了平面向量的应用问题，解题的关键是作出辅助线，根据向量的知识得出各小三角形与原三角形面积之间的关系，是中档题．14．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，则函数的所有零点之和为．【分析】求出x＜0时，函数f（x）的解析式，画出R上的图象，构造f（x）与y=交点问题，利用对称性求解，注意确定交点坐标求解．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，，∴x＜0时，f（x）=画出图象：∵函数F（x）=f（x）﹣，∴f（x）与y=交点的横坐标，根据图象可设交点的横坐标从左到右为x1，x2，x3，x4，x5，根据图象的对性可知；x1+x2=﹣6，x4+x5=6，∴x1+x2=x3=x4=x5=x3，∵=，x=，故函数F（x）=f（x）﹣的所有零点之和为：．故答案为：．【点评】本题考查了函数的奇偶性，图象的对称性，函数的零点与构造函数交点的问题，属于中档题，关键是确定函数解析式，画图象．考查数形结合转化思想应用．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a＜b＜c，b=2asinB．（1）求A的大小；（2）若a=2，b=2，求△ABC的面积．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，根据A为锐角求出A的度数即可；（2）由a，b，cosA的值，利用余弦定理求出c的值，根据b，c，sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：（1）∵b=2asinB，∴由正弦定理化简得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵a＜b＜c，∴A为锐角，则A=；（2）∵a=2，b=2，cosA=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=12+c2﹣2×2×c×，整理得：c2﹣6c+8=0，解得：c=2（舍去）或c=4，则S=bcsinA=×2×4×=2．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（14分）已知函数f（x）=|x﹣1|，g（x）=﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．【分析】（1）去掉f（x）的绝对值，由g（x）≥f（x），求出x的取值范围；（2）由（1）知g（x）﹣f（x）的最大值在[1，4]上取得，求出即可．【解答】解：（1）当x≥1时，f（x）=x﹣1；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥x﹣1；整理，得（x﹣1）（x﹣4）≤0，解得x∈[1，4]；当x＜1时，f（x）=1﹣x；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥1﹣x，整理，得（x﹣1）（x﹣6）≤0，解得x∈[1，6]，又，∴x∈∅；综上，x的取值范围是[1，4]．（2）由（1）知，g（x）﹣f（x）的最大值在[1，4]上取得，∴g（x）﹣f（x）=（﹣x2+6x+5）﹣（x﹣1）=﹣+≤，∴当x=时，g（x）﹣f（x）取到最大值是．【点评】本题考查了含有绝对值的函数的应用问题，解题时应先去掉绝对值，再进行讨论解答．17．（14分）已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C．（1）设，判断△ABC的形状；（2）设向量，，且，若，求的值．【分析】（1）因为，所以，利用向量的线性运算可得所以即可得到三角形为等腰三角形；（2）因为∥化简可得到tan2C=﹣，求出C角，充分利用角之间关系以及三角函数化简，即可求出sin（﹣B）；【解答】解：（1）因为，所以，又，∴，所以，所以，所以，即，故△ABC为等腰三角形．（2）∵，∴，∴，即，∵C为锐角，∴2C∈（0，π），∴，∴，∴，∴=，又，且A为锐角，∴，∴．【点评】本题主要考查了向量的基本线性运算，三角函数化简与解三角形知识点，属中等题．18．（16分）某地拟建一座长为640米的大桥AB，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A、B 造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x米时（其中64＜x＜100），中间每个桥墩的平均造价为万元，桥面每1米长的平均造价为（2+）万元．（1）试将桥的总造价表示为x的函数f（x）；（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间（两端桥墩A、B除外）应建多少个桥墩？【分析】（1）设相邻两个桥墩的距离为x米，推出桥的总造价的函数关系式．（2）求出函数的导数，利用导函数求解函数的极值点，求出最值即可．【解答】解：（1）由桥的总长为640米，相邻两个桥墩的距离为x米，知中间共有个桥墩，于是桥的总造价，即=（64＜x＜100）…（7分）（表达式写成同样给分）（2）由（1）可求，整理得，由f′（x）=0，解得x1=80，（舍），又当x∈（64，80）时，f′（x）＜0；当x∈（80，100）时，f′（x）＞0，所以当x=80，桥的总造价最低，此时桥墩数为…（14分）【点评】本题考查函数的综合应用，函数的导数与函数的最值的求法，考查计算能力．19．（16分）已知各项为正数的等比数列数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式b n=（n∈N*），若S3=b5+1，b4是a2和a4的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和为T n．【分析】（1）由已知得b5=6，b4=4，，，从而q=2，a1=1，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）当n为偶数时，利用分组求和法和错位相减法能求出+=（n﹣）•2n+．当n为奇数，且n≥3时，T n=T n﹣1+（n+1）•2n﹣1==+，由此能求出T n．【解答】解：（1）∵数列{b n}的通项公式b n=（n∈N*），∴b5=6，b4=4，设各项为正数的等比数列数列{a n}的公比为q，q＞0，∵S3=b5+1=7，∴，①∵b4是a2和a4的等比中项，∴，解得，②由①②得3q2﹣4q﹣4=0，解得q=2，或q=﹣（舍），∴a1=1，．（2）当n为偶数时，T n=（1+1）•20+2•2+（3+1）•22+4•23+（5+1）•24+…+[（n﹣1）+1]•2n﹣2+n•2n﹣1=（20+2•2+3•22+4•23+…+n•2n﹣1）+（20+22+…+2n﹣2），设H n=20+2•2+3•22+4•23+…+n•2n﹣1，①2H n=2+2•22+3•23+4•24+…+n•2n，②①﹣②，得﹣H n=20+2+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n=（1﹣n）•2n﹣1，∴H n=（n﹣1）•2n+1，∴+=（n﹣）•2n+．当n为奇数，且n≥3时，T n=T n﹣1+（n+1）•2n﹣1==+，经检验，T1=2符合上式，∴T n=．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想、分组求和法和错位相减法的合理运用．20．（16分）已知函数f（x）=1﹣（a为实数）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（a）=3λa﹣2a2（其中λ为常数），若函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，且存在a 满足h（a）≥λ+，求λ的取值范围；（Ⅲ）已知n∈N*，求证：ln（n+1）＜1+．【分析】（Ⅰ）化简函数的解析式，求出函数的导数，利用切线方程的求法，求出斜率切点坐标求解即可．（Ⅱ）通过f'（x）=0求出极值点x=a，利用函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，得到a的范围，然后转化条件为h（a）max≥，①当λ≤0或时，②当时，③当时，分别求解h（a）max，推出λ的范围．（Ⅲ）当a=1时，求出函数的导数：，当x∈（0，1）时，当∈（1，+∞）时，利用函数的单调性求出最大值，推出，令，推出，然后利用累加法推出结果．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当a=1时，，，则，∴函数f（x）的图象在点的切线方程为：，即2x﹣y+ln2﹣2=0…（4分）（Ⅱ），由f'（x）=0⇒x=a由于函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，所以a≤0或a≥2…（5分）由于存在a满足h（a）≥，所以h（a）max≥…（6分）对于函数h（a）=3λa﹣2a2，对称轴①当或，即λ≤0或时，，由h（a）max≥，结合λ≤0或可得：或②当，即时，h（a）max=h（0）=0，由h（a）max≥，结合可知：λ不存在；③当，即时，h（a）max=h（2）=6λ﹣8；由h（a）max≥，结合可知：综上可知：或…（9分）（Ⅲ）当a=1时，，当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴在x=1处取得最大值f（1）=0即，∴，…（11分）令，则，即，∴ln（n+1）=ln（n+1）﹣ln1=[ln（n+1）﹣lnn]+[lnn﹣ln（n﹣1）]+…+（ln2﹣ln1）．故．…（14分）【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及数列与函数的关系，考查导数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．。

江苏省13市2021届高三第一次模拟考试数学试题分类汇编导数及其应用备注：（地区名后面，题号1-8为单选，9-12为多选）1. （2021·盐城、南京·一模）3．函数532()ln xf x x=在其定义域上的图象大致为【答案】：D【解析】：首先判断出该函数是奇函数，排除AB 选项，当x ＞1时，()0f x >，选D2. （2021·无锡·一模）3．函数f (x )＝ln x x x的大致图象为（ ）【答案】A3. （2021·南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江·一模）11．若函数32, 1()1ln , 1x x m x f x x x x ⎧--++<=⎨+-≥⎩的值域为[2，+∞)，则A ．(3)(2)f f >B ．m ≥2C ．ln 21()()2ef f > D ．(1)log (1)log (2)m m m m ++>+ 【答案】ABD【解析】当1<x 时，03)(2<--='x x x f ，所以)(x f 在)1(，-∞上单调递减，），∞+∈m x f ()(；当1x ≥时，1()10f x x'=-≥，所以)(x f 在[)∞+，1上单调递增，[)∞+∈，2)(x f ．因为123>>，所以)2()3(f f >，所以A 正确；因为)(x f 的值域为[)∞+，2，所以2m ≥，所以B 正确；设ln ()(0e)x g x x x=<<，则0ln 1)(2>-='xx x g ，所以xx x g ln )(=在(0e)，上单调递增． 因为2e <，所以ln 2112e<<，所以ln 21()()2ef f >，所以C 错误；当2m ≥时，222lg lg(2)lg (2)lg lg(2)lg (1)22m m m m m m m +++⎡⎤⎡⎤⋅+<=<+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以)1lg()2lg(lg )1lg(++>+m m m m ，即)2(log )1(log )1(+>++m m m m ，故D 正确． 另解：构造函数)1(ln )1ln()(>+=x xx x h ，通过考察函数)(x h 的单调性，判断出D 正确． 故选ABD ．4. （2021·南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江·一模）8．已知曲线ln y x =在A(1x ，1y )，B(2x ，2y )两点处的切线分别与曲线e x y =相切于C(3x ，3y )，D(4x ，4y )，则1234x x y y +的值为A ．1B ．2C ．52 D ．174【答案】B【解析】由题意，曲线x y ln =在)(11y x A ，点处的切线方程为1111ln ()y x x x x -=-，即得到111ln 1y x x x =+-，曲线e x y =在)(33y x C ，点处的切线方程为333e e ()x xy x x -=-，即得到333e e (1)x x y x x =+-，所以331131e ln 1e (1)x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，，解得1111ln 1x x x +=-．同理可得，11ln 222-+=x x x ，则21x x ，是方程11ln -+=x x x (*)的两个解．用x 1代入方程(*)也成立，所以121=x x ，又34341211e e 1x x y y x x ==⋅=，所以24321=+y y x x ，故答案选B ．5. （2021·南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江·一模）6．函数sin 21xy x π=-的图象大致为A B C D6．函数sin 21xy x π=-的图象大致为A BC D【答案】D【解析】由题意可知()f x 的定义域为1122⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，令()0f x =，则x k k Z =∈，，即函数()f x 有无数个零点，则排除A 、B 选项；当112x <<时，2x πππ<<，则sin 0x π>，()0f x >，故答案选D.6. （2021·常州·一模）4．设函数2()ln f x a x bx =+，若函数()f x 的图象在点(1，(1)f )处的切线方程为y ＝x ，则函数()y f x =的增区间为A ．(0，1)B ．(0)C ．，+∞)D ．，1) 【答案】C【解析】2()ln f x a x bx =+的定义域为()0+∞，，()2af x bx x'=+ ∵函数()f x 的图象在点(1，(1)f )处的切线方程为y =x ，∴()()11121f b f a b ⎧='=⎪⎨=+=⎪⎩解得：11b a =⎧⎨=-⎩∴1()2f x x x'=-+ 欲求()y f x =的增区间只需()120f x x x +'=->，解得：2x >即函数()y f x =的增区间为(2，+∞) 故选：C【名师点睛】函数的单调性与导数的关系：已知函数()f x 在某个区间内可导，（1）如果()'f x >0，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()'f x <0，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减；（2）函数()y f x =在这个区间内单调递增，则有()0f x '≥；函数()y f x =在这个区间内单调递减，则有()0f x '≤；7. （2021·常州·一模）16．已知函数21()ln 245f x x x x =---+，则使不等式(21)(2)f t f t +>+成立的实数t 的取值范围是 ．【答案】111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】21()ln 2(2)1f x x x =---+， 21(2)ln 1f t t t -=-+， 21(2)ln (2)f t t f t t+=-=-，所以()f x 的图象关于直线2x =对称， 2x >时，21()ln(2)(2)1f x x x =---+设122x x <<，则22120(2)1(2)1x x <-+<-+，221211(2)1(2)1x x >-+-+，12022x x <-<-，12ln(2)ln(2)x x -<-，所以12221211ln(1)ln(1)(2)1(2)1x x x x -->---+-+，即12()()f x f x > 即()f x 是减函数，所以2x <时函数为增函数，因此由(21)(2)f t f t +>+得2122221222t t t t ⎧+-<+-⎪+≠⎨⎪+≠⎩，解得113t <<且12t ≠．．故答案为：111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【名师点睛】思路点睛：本题考查函数的对称性与单调性，利用对称性、单调性不等式，求解方法类似于二次函数：对开口向上的抛物线，离对称轴越近，函数值越小，开口向下的抛物线，离对称轴越近，函数值越大．8. （2021·无锡·一模）16．若ln 1x ax b x+≤+对于()0x ∈+∞，恒成立，当a =0时，b 的最小值为 ；当a >0时，ba的最小值是 ．(第一空2分，第二空3分) 【答案】1，1e-9. （2021·连云港·一模）6．函数3ln 2()(2)x f x x -=-的部分图象大致为【答案】A【解析】分析函数 f (x )的性质可知，f (x )的图象关于点(2,0)对称，排除 C 项；当 x 的值趋近于正无穷时，f (x )的值趋近于 0，排除 D 项； 当 x ∈(1,2)时，f (x )＞0，排除 B 项，故选A.10. （2021·连云港·一模）8．定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“保值点”．如果函数()g x x =与函数()ln(1)h x x =+的“保值点”分别为α，β，那么α和β的大小关系是A ．α＜βB ．α＞βC ．α＝βD ．无法确定 【答案】B【解析】因为 g'(x)＝1，令 g(x)＝g'(x)，解得 α＝1；又 h'(x)＝1x 1+ ，令 h'(x)＝k(x)，结合k(x)和 h(x)两函数图象可知，β＜1，所以 α＞β，故选 B. 11. （2021·连云港·一模）12．已知函数sin ()e x xf x x=-，则 A ．()f x 是奇函数 B ．()f x ＜1C ．()f x 在(﹣1，0)单调递增D ．()f x 在(0，2π)上存在一个极值点 【答案】BCD【解析】f(x)为非奇非偶函数，A 错误；注意到 e x ≥x ＋1，当且仅当 x ＝0 时，取“＝”，故|f(x)| ≤ |sinx| ≤ 1 ，又两处等号无法同时成立，故|f(x)|＜1 ，B 正确； f’(x) ＝当 x∈(－1，0)时，f’(x)＞0，C 正确；注意到 f’(0)＝1＞0，f’(2π)＝－故 f’(x)在[0，2π]上存在零点，即 f (x )在[0，2π]上上上上上上上D 上上上12. （2021·南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江·一模）21．（本小题满分12分）已知函数22ln ()xf x x a x=--． （1）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ，证明：121x x <．【解析】13. （2021·连云港·一模）22．（本小题满分12分）已知函数()e 1x f x =-，()sin g x a x =，a∈R．（1）若a＝﹣1，证明：当x≥0时，()()≥；f xg xϕ=-在x∈[0，π]上零点的个数．（2）讨论()()()x f x g x【解析】14. （2021·常州·一模）21．（本小题满分12分）已知函数()ln b f x x a x x=-+，a ，b ∈R ． （1）若a ＞0，b ＞0，且1是函数()f x 的极值点，求12a b+的最小值； （2）若b ＝a ＋1，且存在0x ∈[1e，1]，使0()0f x <成立，求实数a 的取值范围． 【解析】15.（2021·苏州·一模）22．（本小题满分12分）已知函数f(x)=xe ax−ln x，其中e是自然对数的底数，a＞0．（1）若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2e﹣1，求a的值；（2）对于给定的常数a，若f(x)≥bx+1对x∈(0，+∞)恒成立，求证：b≤a．【解析】（1）因为，所以切线斜率为，即，构造，由于，所以在上单调递增，又，所以；（2）设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，若对恒成立，则对恒成立，即对恒成立，设，由（*）可知，当且仅当时等号成立由，因为，所以单调递增，又，所以存在，使得，即方程有唯一解，所以b≤a得证．16. （2021·无锡·一模）22.(本小题满分12分)已知函数()ln a e f x x x -=+，其中e 是自然对数的底数．（1）设直线22y x e=-是曲线()()1y f x x =>的一条切线，求a 的值； （2）若a R ∃∈，使得()0f x ma +≥对()0x ∀∈+∞，恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】17. （2021·盐城、南京·一模）22．（本小题满分12分）设函数()e x x f x a -=+(a ＞1)．（1）求证：()f x 有极值点；（2）设()f x 的极值点为0x ，若对任意正整数a 都有0x ∈(m ，n )，其中m ，n ∈Z ，求n ﹣m 的最小值．【解析】解：（1）由题意得f '(x )＝a x ln a －e －x ，所以f ''(x )＝a x (ln a )2＋e －x ＞0，所以函数f '(x )单调递增，由f '(x )＝0，得(a e)x ln a ＝1，(a e)x ＝1ln a． 因为a ＞1，所以1ln a ＞0，所以x ＝log a e 1ln a． 当x ＞log a e 1ln a 时，f '(x )＞0，f (x )单调递增；当x ＜log a e 1ln a时，f '(x )＜0，f (x )单调递减． 因此，当x =log a e1ln a 时函数f (x )有极值． （2）方法一由（1）知，函数f (x )的极值点x 0(即函数f '(x )的零点）唯一，因为f '(－1)＝ln a a－e ． 令g (a )＝ln a a ，则g '(a )＝1－ln a a 2＝0，得a ＝e ． 当a ＞e 时，g '(a )＜0，g (a )单调递减；当0＜a ＜e 时，g '(a )＞0，g (a )单调递增，所以g (a )≤g (e )＝1e ，所以f '(－1) ＝ln a a－e ＜0． 而f '(0)＝ln a －1，当a ＝2时，f '(0)＜0，当a ≥3时，f '(0)＞0．又f '(1)＝a ln a －1e ．因为a 为正整数且a ≥2时，所以a ln a ≥2ln2＞1＞1e． 当a ≥2时，f '(1)＞0．即对任意正整数a ＞1，都有f '(－1)＜0，f '(1)＞0，所以x 0∈(－1，1)恒成立， 且存在a ＝2，使x 0∈(0，1)，也存在a ＝3，使x 0∈(－1，0)．所以n －m 的最小值为2．方法二由（1）知x 0＝log a e 1ln a ＝－ln(ln a )ln a ＋1． 令ln a ＝k ，k ＝ln2，ln3，…，则x 0＝－ln k k ＋1＝0，得k ＝1． 先证：ln k ≤k －1．令g (k )＝ln k －k ＋1，则g '(k )＝1－k k， 当k ＞1时，g '(k )＜0；当k ＜1时，g '(k )＞0．所以g (k )≤g (1)＝0，即ln k ≤k －1成立．所以x 0＝－ln k k ＋1＞－1． 又当k ≥ln3时，x 0＝－ln k k ＋1＜0， 而2ln2>1，所以ln2＞12＞1e ，所以1ln2＜e ． 当k ＝ln2时，x 0＝ln(ln2)ln2＋1＞0，且x 0＝ln(ln2)－1ln2＋1＜lne ln2＋1＜1， 所以x 0∈(－1，1)恒成立，且存在a ＝2，使x 0∈(0，1)，也存在a ＝3，使x 0∈(－1，0)． 所以n －m 的最小值为2.18. （2021·扬州·一模）21.(本小题满分12分)已知函数()()()222ln x f x e x mx m g x ax x ax x =++=++，．（1）若函数()f x 在1x =-处取极小值，求实数m 的值；（2）设0m =，若对任意()0x ∈+∞，，不等式()f x ≥()g x 恒成立，求实数a 的值．【解析】。

2021届高三第一次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 已知集合{}13=A ，，{}01=B ，，则集合A B = ▲ ．【答案】{}013，， 2． 已知复数2i 3i 1iz--（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲ .【答案3． 某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：则平均每人参加活动的次数为 ▲ . 【答案】34． 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 ▲ ．【答案】75． 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 ▲ ． 【答案】236． 已知正四棱柱的底面边长是3 cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积为 ▲ cm 3． 【答案】547． 若实数x y ，满足2+3x y x ≤≤，则x y +的最小值为 ▲ ．【答案】6-8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)=>y px p 的准线为l ，直线l 与双曲线2214x y -=的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB =p 的值为 ▲ ．（第4题）【答案】9． 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3y x t =+与曲线()sin cos y a x b x a b t =+∈R ，，相切于点()01，，则()a b t +的值为 ▲ ． 【答案】410．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①数列{}n a 是等比数列； ②数列{}1+n n a a 是等比数列； ③数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a 是等比数列； ④数列{}2lg n a 是等比数列．其中正确的命题有 ▲ 个．【答案】311．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=．当01<x ≤时，()=f x 31x ax -+，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】212．在平面四边形ABCD 中，1AB DA DB ==，，32AB AC AC AD ⋅=⋅=，，则2AC AD +的最小值为 ▲ ．【答案】13．在平面直角坐标系xOy 中，圆221O x y +=：，圆()2244C x y -+=：．若存在过点()0P m ，的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【答案】()443-，14．已知函数()()()2|||2|(0)f x x a x a x a a =+-++<．若(1)(2)(3)f f f +++…(672)0f +=，则满足()2019f x =的x 的值为 ▲ ． 【答案】337二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为棱P A ，PD 的中点．已知侧面P AD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，DA =DP ． 求证：（1）MN ∥平面PBC ； （2）MD ⊥平面P AB ．【证明】（1）在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为棱P A ，PD 的中点，所以MN ∥AD ．……………………2分 又底面ABCD 是矩形， 所以BC ∥AD ．所以MN ∥BC ． …………………………………………………………………4分 又⊂⊄BC PBC MN PBC 平面，平面，所以MN ∥平面PBC ． …………………………………………………………6分（2）因为底面ABCD 是矩形， 所以AB ⊥AD ．又侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧面P AD ∩底面ABCD =AD ，AB ⊂底面ABCD ， 所以AB ⊥侧面P AD ．……………………………………………………………8分 又MD ⊂侧面P AD ，所以AB ⊥MD ． ………………………………………………………………10分 因为DA =DP ，又M 为AP 的中点，从而MD ⊥PA ． ………………………………………………………………12分 又PA ，AB 在平面P AB 内，=PAAB A ，所以MD ⊥平面P AB ．…………………………………………………………14分 16．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C所对边的长，cos cos a B A =，cos A =． （1）求角B 的值；（2）若a ，求△ABC 的面积．（第15题）ABCDPMN【解】（1）在△ABC中，因为cos A 0π<<A ，所以sin A 2分因为cos cos a B A =，由正弦定理sin sin =a b A B，得sin cos cos =A B B A ．所以cos sin =B B ． ………………………………………………………………… 4分若cos =0B ，则sin =0B ，与22sin cos 1B B +=矛盾，故cos 0B ≠． 于是sin tan 1cos ==B B B ．又因为0π<<B ，所以π4B =． …………………………………………………………………………7分（2）因为a，sin A ，由（1）及正弦定理sin sin =a b A B=，所以=b ． ………………………………………………………………………9分又()()sin sin πsin C A B A B =--=+sin cos cos sin =+A B A B==12分 所以△ABC的面积为11sin 22==S ab C .……14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221y x a b+(0)a b 的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ．（1）已知椭圆的离心率为12，线段AF，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF 外接圆的圆心在直线y x -上，求椭圆的离心率e 的值．【解】（1）因为椭圆22221x y a b+(0)a b 的离心率为12， 所以12c a =，则2a c ． 因为线段AF， 所以22a c -． 所以2c ，则28a ，2226b a c -．所以椭圆的标准方程为22186x y +． …………………………………………………4分（2）因为(0)(0)A a F c -，，，，所以线段AF 的中垂线方程为：2a cx-． 又因为△ABF 外接圆的圆心C 在直线y x -上， 所以()22a c a cC ---，．…………………………………………………………………6分 因为(0)(0)A a B b ，，，，所以线段AB 的中垂线方程为：()22b a ay x b --． 由C 在线段AB 的中垂线上，得()2222a cb a ac ab -----，整理得，2()b a c b ac -+=，…………………………………………………………10分 即()()0b c a b -+=．因为0ab +>，所以b c =．……………………………………………………………12分 所以椭圆的离心率c e a ===． …………………………………………14分18．（本小题满分16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ，AB AD ，的长分别为m 和 4m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，=3COD 2π∠．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，（第17题）如图2、图3、图4所示．设BC 与地面水平线l 所成的角为θ．记拱门上的点到地面 的最大距离为h ，试用θ的函数表示h ，并求出h 的最大值．【解】（1）如图，过O 作与地面垂直的直线交AB CD ，于点12O O ，，交劣弧CD 于点P ，1O P 的长即为拱门最高点到地面的距离． 在2Rt O OC △中，23O OC π∠=，2CO = 所以21OO =，圆的半径2R OC ==． 所以11122=5O P R OO R O O OO +=+-=．答：拱门最高点到地面的距离为5m ． …………………4分（2）在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P ．当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面距离之和；当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离． 由（1）知，在1Rt OOB △中，OB =以B 为坐标原点，直线l 为x 轴，建立如图所示的坐标系．（2.1）当点P 在劣弧CD 上时，ππ62θ<≤． 由π6OBx θ∠=+，OB= 由三角函数定义，得O ππ))66()θθ++，则π2)6h θ=++． …………………………………………………………8分θODCB AxyOOODDDCCAA ACDO所以当ππ62θ+=即π3θ=时， h取得最大值2+ ……………………………………………………10分（2.2）当点P 在线段AD 上时，06θπ≤≤．设=CBD ϕ∠，在Rt BCD △中，DB =sin cos ϕϕ===． 由DBx θϕ∠=+，得))()D θϕθϕ++，．所以)h θϕ=+4sin θθ=+．……………………………………14分 又当06θπ<<时，4cos 4cos 066h θθππ'=->-．所以4sin h θθ=+在[0]6π，上递增．所以当6θπ=时，h 取得最大值5．因为25+>，所以h的最大值为2+答：4sin 06π2)662h θθθθθπ⎧+⎪⎪=⎨ππ⎪++<⎪⎩，≤≤，，≤；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（2+m ． ……………………………………………16分19．（本小题满分16分）已知函数()()ln a f x x a x =+∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 的导函数为()f x '，若()f x 有两个不相同的零点12x x ，．① 求实数a 的取值范围；② 证明：1122()()2ln 2x f x x f x a ''+>+．【解】（1）()f x 的定义域为()0+∞，，且2()x a f x x-'=． （1.1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以()f x 在()0+∞，为增函数； ………2分 （1.2）当0a >时，（i ）当x a >时，()0f x '>，所以()f x 在()+a ∞，上为增函数； （ii ）当0x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在()0a ，上为减函数．………4分 （2）①由（1）知，当0a ≤时，()f x 至多一个零点，不合题意；当0a >时，()f x 的最小值为()f a ，依题意知()=f a 1ln 0a +<，解得10ea <<．……………………………………6分一方面，由于1a >，()10f a =>，()f x 在()+∞a ，为增函数，且函数()f x 的图 象在()1a ，上不间断． 所以()f x 在()a +∞，上有唯一的一个零点． 另一方面， 因为10e a <<，所以210e <<<a a ．2211()ln 2ln f a a a a a =+=+，令()12ln =+g a a a，当10e a <<时，()2212210-'=-+=<a g a a a a， 所以()()211()2ln 20f a g a a g e a e==+>=->又()0f a <，()f x 在()0a ，为减函数，且函数()f x 的图象在()2a a ，上不间断． 所以()f x 在()0a ，有唯一的一个零点． 综上，实数a 的取值范围是()10e，．……………………………………………10分 ② 设()()1122121211=2+a a a a p x f x x f x x x x x ⎛⎫''=+=-+-- ⎪⎝⎭．又1122ln 0ln 0a x x a x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，， 则()122ln p x x =+．………………………………………12分 下面证明212x x a >．不妨设12x x <，由①知120x a x <<<． 要证212x x a >，即证212a x x >．因为()2120a x a x ∈，，，()f x 在()0a ，上为减函数， 所以只要证()212a f f x x >⎛⎫ ⎪⎝⎭． 又()()12==0f x f x ，即证()222a f f x x >⎛⎫ ⎪⎝⎭．……………………………………14分 设函数()()()()22ln 2ln a x a F x f f x x a x a x a x=-=--+>．所以()()220x a F x ax-'=>，所以()F x 在()+a ∞，为增函数. 所以()()20F x F a >=，所以()222a f f x x >⎛⎫ ⎪⎝⎭成立． 从而212x x a >成立.所以()122ln 2ln 2p x x a =+>+，即()()11222ln 2''+>+x f x x f x a 成立. …16分20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 满足44a =，前8项和836S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()()212123(21)nn k n k n k b a a n *+-=+=-∈∑N ，．① 证明：{}n b 为等比数列；② 求集合*3()=p m m pa a m p m pb b ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ，，，． 【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为等差数列{}n a 满足44a =，前8项和836S =，所以1134878362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，，解得111a d =⎧⎨=⎩，． 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =． ………………………………………………3分（2）①设数列{}n b 前n 项的和为n B ．由（1）及()()212123(21)nn k n k n k b a a n *+-=+=-∈∑N ，得，()()()()()()21211121213212321212nnk n k k n n k n k k b a n b an n +-=----=⎧-=+⎪⎪⎨⎪-=+-⎪⎩∑∑，③≥， ④ 由③-④得()()()1121223131321321+2n n n n n n b a b a b a b a n -------=++++()12322511+22n n n b a b a b a n ----+++-[]123225111(2)(2)+(2)2n n n n b a b a b a b a n ---=+++++++()12322511+22n n n b a b a b a n ----+++-()()1212+222n n n n n b b b b B b b -=++++=-++．所以13222n n n B b -⋅=-+()2n n *∈N ≥，， 又()1113212b a -=+，所以11b =，满足上式． 所以()12232n n n B b n -*-+=⋅∈N ⑤…………………………………………6分当2n ≥时，2112232n n n B b ----+=⋅⑥由⑤-⑥得，2132n n n b b --+=⋅．………………………………………………………8分()12122n n n n b b ----=--=()()101120n b -=--=，所以12n n b -=，12n nb b +=， 所以数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．………………………………10分 ②由3=p m m p a a b b ，得11322m p p m --=，即32p mp m -=． 记nn na cb =，由①得，12n n n n a n c b -==，所以1112n n c n c n++=≤，所以1n n c c +≥（当且仅当1n =时等号成立）． 由3=pm m pa ab b ，得3m p pc c c =>， 所以m p <．…………………………………………………………………………12分 设t p m =-()*m p t ∈N ，，，由32p m pm -=，得323t t m =-． 当1t =时，3m =-，不合题意；当2t =时，6m =，此时8p =符合题意； 当3t =时，95m =，不合题意；当4t =时，12113m =<，不合题意．下面证明当4t t *∈N ≥，时，3123t t m =<-． 不妨设()233x f x x =--()4x ≥， ()2ln 230x f x '=->，所以()f x 在4+[)∞，上单调增函数， 所以()(4)10f x f =>≥，所以当4t t *∈N ≥，时，3123t t m =<-，不合题意． 综上，所求集合*3()=p m m p a a m p m p b b ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ，，，(){}=68，．………………16分 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．答题卡．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ，10=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦N ，且()110402-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ，求矩阵M ． 【解】由题意，()110402-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ，则40102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ． ……………………………………4分因为10=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦N ，则110=02-⎡⎤⎢⎥⎣⎦N ．……………………………………………………6分 所以矩阵401040=1020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦M ．………………………………………………10分B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是2x t y t=⎧⎨=⎩，（t 为参数）．以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是sin()4ρθπ-=求：（1）直线l 的直角坐标方程； （2）直线l 被曲线C 截得的线段长．【解】（1）直线l的极坐标方程可化为(sin cos cos sin )44ρθθππ-=即sin cos 2ρθρθ-=．又cos sin x y ρθρθ==，，所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=． …………………………4分（2）曲线C : 2x t y t =⎧⎨=⎩，（t 为参数）的普通方程为2x y =． 由220x y x y ⎧=⎨-+=⎩，，得220x x --=，所以直线l 与曲线C 的交点()11A -，，()24B ，． ……………………………8分 所以直线l 被曲线C 截得的线段长为AB ．………10分C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数a b c ，，满足222a b c ++≤1，求证：22211191114a b c +++++≥． 【证明】由柯西不等式，得()()()222222111111111a b c ++a b c ⎛⎫⎡⎤+++++ ⎪⎣⎦+++⎝⎭29=≥，…………………………5分 所以2222221119991113134++a b c a b c =+++++++≥≥． …………………………10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位 “回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4， 其结果记为X ；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y ． （1）求X 为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X ，Y 两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．【解】（1）记“X 是‘回文数’”为事件A ．9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308， 352，396．其中“回文数”有：44，88．所以，事件A 的概率2()9P A =．……………………………………………………3分（2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．由（1）得2()9P A =． (5)分设“Y 是‘回文数’”为事件B ，则事件A ，B 相互独立．根据已知条件得，()29205=9P B C =． ()()()()()2528=0=119981P P A P B ξ=--=；()()()()()()()252543=1=11999981P P A P B P A P B ξ+=-+-=；()()()2510=2=9981P P A P B ξ=⋅= ……………………………………………………8分 所以，随机变量ξ的概率分布为所以，随机变量ξ的数学期望为2843107()0128181819E ξ=⨯+⨯+⨯=．……………10分23．(本小题满分10分)设集合B 是集合{123n A =，，，…，32313}n n n n *--∈N ，，，的子集．记B 中所有元素的和为S （规定：B 为空集时，S =0）．若S 为3的整数倍，则称B 为n A 的“和谐子集”． 求：（1）集合1A 的“和谐子集”的个数；（2）集合n A 的“和谐子集”的个数．【解】（1）集合{}1=123A ，，的子集有：φ，{}1，{}2，{}3，{}12，，{}13，，{}23，，{}123，，． 其中所有元素和为3的整数倍的集合有：φ，{}3，{}12，，{}123，，． 所以1A 的“和谐子集”的个数等于4．……………………………………………3分 （2）记n A 的“和谐子集”的个数等于n a ，即n A 有n a 个所有元素和为3的整数倍的子集；另记n A 有n b 个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有n c 个所有元素和为3的整数 倍余2的子集．由（1）知，111=4=2=2a b c ，，． 集合()+1{12332313313231}n A n n n n n n =--+++，，，，，，，，，的“和谐子集” 有以下四类（考察新增元素()313231n n n +++，，）：第一类 集合{123n A =，，，…，32313}n n n --，，的“和谐子集”，共n a 个； 第二类 仅含一个元素()31n +的“和谐子集”，共n a 个；同时含两个元素3132n n ++，的“和谐子集”，共n a 个； 同时含三个元素()313231n n n +++，，的“和谐子集”，共n a 个；第三类 仅含一个元素31n +的“和谐子集”，共n c 个；同时含两个元素()313+1n n +，的“和谐子集”，共n c 个；第四类 仅含一个元素32n +的“和谐子集”，共n b 个；同时含有两个元素()3231n n ++，的“和谐子集”，共n b 个，所以集合+1n A 的“和谐子集”共有1422n n n n a a b c +=++个．同理得1422n n n n b b c a +=++，1422n n n n c c a b +=++．………………………………7分 所以+112()n n n n a b a b +-=-，112a b -=，所以数列{}n n a b -是以2为首项，公比为2 的等比数列． 所以=2n n n a b -．同理得=2n n n a c -．又3=2n n n n a b c ++，所以()321=2233n n n a n *⨯+⨯∈N ，． ………………………10分。