单一指数模型

因素模型杨长汉1证券资产价格的决定因素是多种多样的，西方学者在研究中采取了多种多样的方法去探讨证券价格的决定因素。

最主要的两种模型就是单因素模型和多因素模型。

一、单因素模型(Single-Index Model)夏普(William Sharp)于1963年建立了单因素模型2。

单因素模型是指证劵价格的影响因素只有一个，而如果有两个或两个以上的因素，则称为多因素模型。

单因素模型的基本思想是：当市场指数上升时，市场中大部分证券资产的价格就会上涨；相反，当市场指数下降时，市场中大部分证券资产的价格就会下降。

单因素模型中有以下两个基本假设条件：第一，证券的风险分为系统性风险和非系统性风险，而这里所讲的因素仅指系统性风险。

第二，一个证券的非系统性风险与其他证券的非系统性风险之间的相关系数为零，两种证券之间的相关性仅取决于共同的市场因素。

在单因素模型中，主要有两个基本因素会造成证券收益率的波动：一是宏观经济环境因素，比如GDP 增长率、利率、通货膨胀率等，这些因素的变化会引起证券市场中所有证券收益率的变化，相对于市场中的系统性风险；二是微观因素的影响，如公司的财务状况、公司的经营状况以及突发事件等，这些因素的变化只会引起个别证券收益率的变化，相当于市场中的非系统性风险，可以通过多样化的投资组合进行分散。

我们以股票的收益率和股价指数的收益率为例，可以得到如下单因素模型公式： it it i mt it r A R βξ=++这一公式揭示了股票的收益率与市场指数收益率之间的关系。

其中，it r 为t 时期证券i 的收益率，mt R 为t 时期市场指数的收益率，i β为斜率，表明股票收益率波动对市场指数波动的反应程度，代表两者的相关关系，it A 是截距项，反映市场指数为零时股票收益率的大1 文章出处：《中国企业年金投资运营研究》 杨长汉 著杨长汉，笔名杨老金。

师从著名金融证券学者贺强教授，中央财经大学MBA 教育中心教师、金融学博士。

投资组合理论简介投资组合理论有狭义和广义之分。

狭义的投资组合理论指的是马柯维茨投资组合理论；而广义的投资组合理论除了经典的投资组合理论以及该理论的各种替代投资组合理论外，还包括由资本资产定价模型和证券市场有效理论构成的资本市场理论。

同时,由于传统的EMH 不能解释市场异常现象，在投资组合理论又受到行为金融理论的挑战。

投资组合理论的提出[1]美国经济学家马考维茨(Markowitz)1952年首次提出投资组合理论（Portfolio Theory)，并进行了系统、深入和卓有成效的研究，他因此获得了诺贝尔经济学奖。

该理论包含两个重要内容：均值－方差分析方法和投资组合有效边界模型。

在发达的证券市场中，马科维茨投资组合理论早已在实践中被证明是行之有效的，并且被广泛应用于组合选择和资产配置。

但是，我国的证券理论界和实务界对于该理论是否适合于我国股票市场一直存有较大争议。

从狭义的角度来说，投资组合是规定了投资比例的一揽子有价证券，当然，单只证券也可以当作特殊的投资组合。

人们进行投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进行选择。

投资组合理论用均值—方差来刻画这两个关键因素。

所谓均值，是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资比例。

当然，股票的收益包括分红派息和资本增值两部分。

所谓方差，是指投资组合的收益率的方差。

我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的风险。

人们在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢？这正是投资组合理论研究的中心问题。

投资组合理论研究―理性投资者‖如何选择优化投资组合。

所谓理性投资者，是指这样的投资者：他们在给定期望风险水平下对期望收益进行最大化，或者在给定期望收益水平下对期望风险进行最小化。

因此把上述优化投资组合在以波动率为横坐标，收益率为纵坐标的二维平面中描绘出来，形成一条曲线。

这条曲线上有一个点，其波动率最低，称之为最小方差点（英文缩写是MVP）。

单一指数模型
为了便于分析，单一指数模型假设只有一种宏观因素会引起股票收益风险，可以用一个市场指数的收益率来表示，例如标普指数500（S&P 500）。

根据这个模型的假设，任何股票的收益都可以分解为个别股份剩余收益的期望（这里用一个公司特指的因子α表示）、影响市场的宏观事件的收益和不可预测的只影响公司的微观事件组成。

βi(rm − rf) 表示股票影响下的市场运动，ei表示公司因素影响下的债券风险。

宏观事件，例如利率的变化、劳动力成本的变化，会引起影响整个股票市场的收益的系统风险。

公司特指事件是会引起特定公司收益变化的微观事件，例如重要人物的去世或者降低公司的信用等级都会影响公司的收益，但是对整个经济的影响是微不足道的。

在一个投资组合里，由公司特指因素引起的非系统风险可以通过离散化降低为0。

这个指数模型基于下列假设：
大部分的股票有正的协方差因为他们对于宏观事件反应相似。

然而，一些公司对于这些因素的敏感程度大于别的公司，由系数β来控制这个敏感程度。

债券之间的协方差是由于对宏观事件的不同造成的。

所以，每只股票的协方差等于他们的β相乘。

Cov(Ri, Rk) = βiβkσ2.
最后一个方程大大降低了协方差的计算量，否则，投资组合里债券的协方差必须用历史收益计算，每一债券的必须单独计算。

有了这个方程，只需要β和市场的方差就可以。

于是单一指数模型大大的降低了计算量。

现代投资组合理论与投资风险管理——单指数模型一、模型概述单指数模型假设股票之间的相关移动是由于单一的共同影响或指数。

随便观看股票价格，可以看出：当股市上涨的时候，大多数股价也会上涨，当股市下跌的时候，大多数股价也会下跌。

这说明证券收益之间可能相关的缘由之一是由于对市场变动的共同反应，代表这种相关性的一个有用指标或许可以通过把股票收益与股市收益联系起来而得到。

股票收益：R.=a i+βi R m用代表股票收益。

此代表市场指数的收益率——随机变量。

生代表股票,•的收益中独立于市场表现的部分——随机变量。

4度量一只股票的收益对市场收益的敏感程度。

/项代表收益中独立于市场收益的部分，将其分解成两部分:用见表示a i的期望值，“表示《中的随机变量，E(e,∙) = 0。

即：a i = a i + e i一只股票的收益方程现在可以写为：R i^a i+βi R m+e i,和此都是随机变量，分别以3和4表示它们的标准差O单指数模型的基本方程R i =a i+ β i R m+e i其中£匕)=0,对全部股票2 = 1,…,N二、模型的假设条件1.指数与特有收益不相关：E[e i(R fn-R fn)] = 0i = l,…，N2.证券仅通过对市场的共同反应相互关联:E(e i e j) = 0 i = l,.∙∙,N及j = l,…，N旦i≠ j 、单指数模型条件下投资组合的期望收益率与方差的计算在单指数模型的假设条件下，我们可以推倒出期望收益、标准差和协方差。

结果是：(1)收益均值：R i=a i+βi R m(2)证券收益的方差：σ,2 = β↑σ~m + CF；(3)证券,•和川攵益之间的协方差：σ.. = βiβjσ1m这样在单指数模型成立的状况下我们可以转向计算任何投资组合的期望收益率和方差的计算。

任何组合的期望收益是:_ N _ N N _M = ∑x∕ = ∑x,q + ∑xΛ^/=1 i=l i=l-t N N1]r另%=1x,α∙，则:i=l /=1Rp = + βpR∏我们知道一个股票组合的方差的公式是:N N N*= ∑ X 汨+∑∑ XiXj%ji=∖z=l 7=1代入前面或和％的结果，我们得到:N N N N可=£ X； *+ ΣΣ x iχjβiβjσl+∑ X；端i=1 /=1 √=1/=1• •4J进一步还可简化为:N N N= ΣΣxΛAM>ΣχXi=∖√=1z=lN N N= (∑^∙A)(∑^Λ)⅛÷ΣχX∙z=l 7=1 /=1N/=1四、单因素模型的估量和应用1、估量%与4首先举例说明见与吗的值的得来。

贝塔系数的测算。

贝塔系数的测算主要有CAPM模型和单指数模型两种，考虑到我国资本市场现状及存在无风险收益难以确定的问题，一般都选用单一指数模型来估计贝塔。

在测算贝塔系数时，要重点考虑市场指数的选取、本时间跨度、收益率频率样本的数量等方面。

对于A股市场，由于沪深两市的割裂，选择指数作为市场组合较为合适，样本时间跨度的选取采用3年的数据进行贝塔的测算和比较。

收益率频率分别选择日、周、月的收益率进行测算，并比较各种方法计算出的贝塔的波动性及其稳定性，选择合适的收益率间隔去测算贝塔。

贝塔系数的预测。

β系数只能通过历史数据进行预测，在静态假设下（即假设β系数在一段时间内保持不变），比较直观简单的β系数预测方法有历史β预测，均值回归模型等。

预测效果反应的是预测值与真实值的差距，理论上β系数的预测效果应该采用实际的β系数来评价。

但是由于实际β系数并非可观测值，在应用中都采用被预测期β系数的估计值来代替β系数的实际值。

本文中我们采用均值绝对偏差MAD以便对预测效果进行检验，对各种预测结果的优劣进行比较。

贝塔系数测算与预测的实证分析。

采用同样三年期的数据计算贝塔的话，日收益率计算出的贝塔更稳定，波动性更小；比较这两种方法的预测效果，均值回归预测贝塔的MAD值要比相应的历史贝塔计算的MAD值小许多，显示出基于均值回归模型预测的贝塔效果更好。

实际中历史贝塔模型简单直观，应用更简单，而均值回归模型则需要对每个股的贝塔进行线性回归得出相应的均值回归方程，再进行预测，过程可能稍微复杂，但是预测效果要稍好一些，因此两种方法都比较适用，历史贝塔更简单，均值回归预测效果更好。

对于行业贝塔的测算，行业贝塔的波动性明显要比个股的波动性要小，此外，日收益率由于使用样本数据多，比周收益率和月收益率的测算结果波动性要小一些，测算结果更稳定。

而对于行业贝塔的预测，历史贝塔和均值回归预测的效果差异不大，均值回归的效果稍好。

资产组合投资理论文献综述一、50年代以前的投资组合理论在马科维茨投资组合理论提出以前，分散投资的理念已经存在。

Hicks（1935）提出了“分离定理”，并解释了由于投资者有获得高收益低风险的期望,因而有对货币的需要；同时他认为和现存的价值理论一样，应构建起“货币理论”，并将风险引入分析中，因为风险将影响投资的绩效,将影响期望净收入。

Kenes（1936）和Hicks（1939）提出了风险补偿的概念，认为由于不确定性的存在，应该对不同金融产品在利率之外附加一定的风险补偿，Hicks还提出资产选择问题，认为风险可以分散。

Marschak（1938）提出了不确定条件下的序数选择理论,同时也注意到了人们往往倾向于高收益低风险等现象。

Williams（1938）提出了“分散折价模型”（Dividend Discount Model）,认为通过投资于足够多的证券,就可以消除风险,并假设总存在一个满足收益最大化和风险最小化的组合,同时能通过法律保证使得组合的事实收益和期望收益一致。

Leavens（1945）论证了分散化的好处。

随后Von Neumann（1947）应用预期效用的概念提出不确定性条件下的决策选择方法。

二、马科维茨投资组合理论及其扩展马科维茨投资组合理论是美国经济学家Markowitz（1952）发表论文《资产组合的选择》，标志着现代投资组合理论的开端。

他利用均值--方差模型分析得出通过投资组合可以有效降低风险的结论。

同时，Roy（1952）提出了“安全首要模型”（Safety-First Portfolio Theory），将投资组合的均值和方差作为一个整体来选择，尤其是他提出以极小化投资组合收益小于给定的“灾险水平”的概率作为模型的决策准则，为后来的VaR（Value at Risk）等方法提供了思路。

Tobin（1958）提出了著名的“二基金分离定理”:在允许卖空的证券组合选择问题中，每一种有效证券组合都是一种无风险资产与一种特殊的风险资产的组合。

一、名词解释1.债券：是政府、金融机构、工商企业等机构直接向社会借债筹措资金时，向投资者发行，同时承诺按一定利率支付利息并按约定条件偿还本金的债权债务凭证。

2.证券投资型基金：通过公开发售基金份额募集资金，由资金托管人托管，由基金管理人管理和运作基金，为基金份额持有人的利益，以资产组合的方式进行证券投资的一种利益共享、风险共担的集合投资方式。

3.开放式基金：基金股份总数可以变动的基金，它既可以向投资者销售任意多的基金单位，也可以随时应投资者要求赎回已发行的基金单位。

4.期货：买卖双方共同约定在未来的某一时候交割特定标的物。

5.期权：在未来一定使其可以买卖的权力，是买方向卖方支付一定数量的金额后拥有的在未来一段时间内或未来某一特定日期以事先规定好的价格向卖方购买或出售一定数量特定标的物的权利，但不负有必须买进或卖出的义务。

6.一级市场：通过发行股票进行筹资活动的市场，一方面为资本的需求者提供筹集资金的渠道，另一方面为资本的供应者提供投资场所。

7.二级市场：有价证券的流通市场，是已发行的有价证券进行买卖交易的场所。

8.股票价格指数：衡量股票市场上股价综合变动方向和幅度的一种动态相对数，其基本功能是用平均值的变化来描述股票市场股价的动态。

9.股权分置改革：将 A 股市场上的上市公司的股份分为流通股与非流通股。

10.股利折现模型：A.假设——股利是可以无限预期的对股利的预期可以采用增长模型B.公式——Dt Dt 1(1gt) gt：股利增长率C.类型——①零增长模型Vt1D0(1k)tDt11 (1k)t01②固定增长模型D t D(1g)tV Dt(1g)tV D1g D1 01k k gD D k kt1(1k)tt1(1k)t③多重股利折现模型假设——未来股利的增长率不固定在T 时以前，预测各期股利据以估值V D 1 D 2 D TT D tt 1在T 时以后，股利以固定比率增长T 1 k-gV T 1 T * (k g)(1 k)T多重股利折现模型VTD T D T 1t 1 (1k)t (k g)(1 k)T 11.资产组合理论：A.理性投资者的行为特征——追求收益最大化厌恶风险 追求效用最大化B.相关公式1.预期收益：E(r)nh i r ii 1r i 为第i 种可能的收益率； h i 为r i 可能发生的概率 2.风险计算：2nh i [r i E(r)]2i 1nh i [r i E(r)]2i 13.资产组合的收益E(r p ) E(x 1r 1 x 2r 2 x 1E(r 1) x 2E(r 2 ) n x i E(r i )x n r n ) x n E(r n )i 1V (1 k)t D D TT(1 k)1 (1 k)2 (1 k)T5.等权投资的方差公式p2 i2 n i 1n j 1 1n2cov(i r ,r j) i j1 2 n112.CAPM ：A.基本假设——相同预期资本市场是完全的，没有赋税，没有交易成本 所有资产都是无限可分的所有投资者都具有风险厌恶的特征 存在无风险利率市场是完全竞争的，经济高度市场化 信息充分、免费并且立即可得B.公式E(r i ) r f [E(r m ) r f ] cov(r i ,r m )2mr f [E(r m ) r f ]iC.发展：零 βCAPME(r i ) E(r z ) [E(r m ) E(r z )]i多 βCAPMnin cov(i r ,r j )E( i r) r f [E(r m ) r f ]im[E(r N ) r f ]iN以消费为基础的 CAPME i r r f [E(r c ) r f ] iC13.资产负债率：是反映资本结构的重要指标，也是反映可能信用风险的重要参照指标资产负债率总负债总资产100% 14.流动比率：反映偿债能力的重要指标流动资产15.财务杠杆：由于固定债务利息和优先股股利的存在而导致普通股每股利润变动幅度大于 息税前变动幅度的现象。

单一指数模型名词解释
单一指数模型（SEM）是一种统计学方法，用于分析具有一系列变量的结构和关系。

它有助于了解这些变量之间的相互影响，以及它们如何影响某些总体或结果变量。

单一指数模型通常用于研究变量之间的因果关系，因为它们可以将变量之间的关系可视化，并让研究人员更容易地观察到变量间的关联。

它还有助于确定哪些变量有影响力，以及哪些变量是无关的。

SEM还可以用于检验假设和比较多个模型的有效性。

它可以帮助研究人员更好地理解变量之间的因果关系，并识别出哪些因素对总体变量有什么影响。