第7章 点阵常数的精确测定
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X射线衍射之晶面标定及精确测定点阵常数
点阵常数的精确测定41130269 材料1109 顾诚【实验目的】了解点阵常数测定时的误差来源，消除误差的实验方法及数据处理方法。
【实验原理】对立方晶系通常采用下式计算测定点阵常数的误差：θθ∆∙-=∆cot a a通常所指精确测定点阵常数，是指使测定点阵常数的精确度达到小数点第四位（0A ），即00001.0A a +=∆。
无论采用粉末照相方法还是衍射仪法测定点阵常数，都是通过测量衍射线的θ2角的位置，根据布拉格公式及晶面间距与点阵常数的关系公式来求出点阵常数值。
测定θ2角的误差包括偶然误差和系统误差两大类。
在精确测定点阵常数时，一方面应尽可能采用精密的实验技术，使这两类误差减至最小限度，另一方面，又根据这些误差所具有的特点和规律，采用合理的数据处理方法，使它们减至最小。
【实验方法】 衍射仪法用衍射仪精确测定点阵常数的精度可达到15万分之一。
由于衍射仪法与德拜法的测试方法与记录手段不同，故误差来源和消除误差的实验方法不相同。
误差来源1) X 射线管焦点偏离测角计180度的位置：()R x /2-=∆θ2) 试样表面偏离测角计轴：()R P /cos 22θθ-=∆3) 试样表面偏离聚焦圆：()θθcot 622a -=∆4) 试样吸收系数过小：()R μθθ2/2sin 2-=∆5) 入射束轴向发散：()θδθδθ2sin 36cot 2221+-=∆6) 因其他实验条件（如试样制备、温度波动、测角计传动、扫描速度以及时间常数等因数）所导致的误差。
消除误差的实验方法1. 精细调试测角计：不同厂家生产的衍射仪的调试细节各不相同。
2. 合理选择时间常数和扫描速度。
3. 消除测角计传动误差：用调试手段很难消除此种误差，但可通过将θ2角测量结果与精确点阵常数已知的标样的θ2角测量结果进行比较来校正。
比较时要选择θ2相近的线条逐一比较，以防因θ2角差值过大造成新的误差。
4. 利用双向扫描消除焦点不在180度处及接收狭缝不在零位的误差：采用双向扫描和θ2cos 外推法进行处理。
点阵常数的精确测定
必须对点阵常数进行精确测定
主要内容
点阵常数精确测定的原理 德拜—谢乐法的系统误差 衍射仪的主要误差 外推法消除系统误差 最小二乘法
8.1
点阵常数精确测定以衍射花样指数化为基础
通过布拉格方程和晶面间距 公式计算点阵常数
以立方晶系为例，点阵常数的计算公式为：
补充1：利用X射线衍射法研究二元相图
补充2：点阵对称性变化与衍射线条的 对应关系
第8章 点阵常数的精确测定
点阵常数晶体物质的重要参量，它随物质的化 学成分和外界条件而发生变化； 许多材料研究和实际应用问题，都与点阵常数 的变化密切相关；如晶体物质的键合能、密度、 热膨胀、固态相变等； 上述过程中，点阵常数的变化一般很小（约为 10-4Å）数量级。
利用外推函数可以消除（或部分消除）的误差
• 平板试样的误差； • 试样表面的离轴误差； • 试样透明度误差等。
8.4
1) 原理
外推法消除系统误差
无论德拜—谢乐法还是衍射仪法，系统误差都与衍 射角呈一定的函数关系。 外推法消除系统误差，就是将由若干条衍射线 测得的点阵常数，按一定的外推函数外推到=90°， 此时系统误差为零，即得到精确点阵常数。 实测点阵常数一般可表示为：
M 11 M 12 M 21 M 22 M ... M ... M n1 M n 2
T
M ... M 1P b1 a 1 M ... M 2 P b 2 a 2 M ... M ... b... a... M ... M np b p a n
影响点阵常数的因素： 1）入射X射线的波长； 2）晶面指数（HKL）； 3）sin.
波长可精确到5×10-6 Å
点阵常数的精确测量
所引入的 d 值测定的南相大对学误差 Δd/d
θ(°)
10
20
中 40
60
80
∆d/d(%) 0.099
0.048
0.021
0.010
0.003
（2）衍射角测定中的系统误差
所谓“精确测定”包括了两方面的要求：首先测定值的精密度要高，偶然误差要小；其次
要求测定值要正确，系统误差也要小，并且要进行校正。
院 晶面间距测材定料中科的系统误差进行分析。晶面间距 d 的测定准确度取决于衍射角的测定准确
度，可分学为两方面对此进行讨论。
学 大 工程 中南（1）衍射角的测量误差 ∆θ 与 d 值误差 ∆d 的关系
与 微分 Brag 方程可以得到： 科学∆d = −∆θ cotθ
料d
材 从上式可见，对于在较高角度下产生的衍射，同样大小的 ∆θ 值引起的 ∆d 值较小，当 θ
1
（3）精确测定晶胞参数的方法
为了精确测定晶胞参数，必须得到精确的衍射角数据，衍射角测量的系统误差很复杂，
通常用下述的两种方法进行处理。
①用标准物质进行校正
现在已经有许多可以作为“标准”的物质，其晶胞参数都已经被十分精确地测定过。因此
可以将这些物质掺入被测样品中制成试片，应用它已知的精确衍射角数据和测量得到的实验
假定实验测量的系统误差已经为零那么从实验的任一晶面间距中南大学材料科学与工程学院数据求得的同一个晶胞参数值在实验测量误差范围内应该是相同的但实际上每一个计算得到的晶胞参数值里都包含了由所使用的测量值系统误差所引入的误差例如若被测物质属立方晶系其角测定十分准确那么依据任何一个数据所计算的a0值都应在测量误差范围之内而与值无关然而实际上a0的计算值是与所依据的值相关的大多数引起误差的因素在趋向90时其影响都趋向于零因此可以通过解析或作图的方法外推求出接近90时的数据从而利用它计算得到晶胞参数值
第7章-点阵常数的测定
如何外延？
曲线外推：通常引入人为主观因素。 直线外推：效果好。
a a0 a a0 bf
若用a0表示点阵常数精确值，则实测的点阵常数a为：
d d
c
os2
(
A s in 2Βιβλιοθήκη Bs in C
D
sin2
4E
sin2 2
)
d d
ctg2 (A B sin
C sin2
D
E
cos2 )
n (HKL)
0.010
0.005 0.0010~
0.000 30 40 50 60 70 80 90
点阵参数测量精度与θ和Δθ的关系
当一定时，采用高角的衍射 线，面间距（或者立方系物质的 点阵参数）误差将减小。
因此，选择角度尽可能高的线条 进行测量。
7.2 误差来源
7.2.1 德拜照相法：
相机半径、 底片伸缩、 试样偏心、 试样吸收
7.1 基本原理
2d sin
a d
H 2 K 2 L2
a
H 2 K 2 L2
2 s in
d
cos 2sin2
d d
a a
cos 2sin2
ctg
2 s in
a
H 2 K 2 L2
2 s in
X射线测定点阵常数是一种 间接方法，它直接测量的是 某一衍射线条对应的θ角，然 后通过晶面间距公式、布拉 格公式计算出点阵常数。
第七章 点阵常数精确测定
点阵常数是晶体的重要基本参数，随化学组分和 外界条件(T,P)而变。 材料研究中，它涉及的问题有：键合能、密度、 热膨胀、固溶体类型、固溶度、固态相变，宏观 应力。 点阵常数的变化量很小，约为10－3 nm ,必须精 确测定。
曲线外推：通常引入人为主观因素。 直线外推：效果好。
a a0 a a0 bf
若用a0表示点阵常数精确值，则实测的点阵常数a为：
d d
c
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(
A s in 2Βιβλιοθήκη Bs in C
D
sin2
4E
sin2 2
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C sin2
D
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cos2 )
n (HKL)
0.010
0.005 0.0010~
0.000 30 40 50 60 70 80 90
点阵参数测量精度与θ和Δθ的关系
当一定时，采用高角的衍射 线，面间距（或者立方系物质的 点阵参数）误差将减小。
因此，选择角度尽可能高的线条 进行测量。
7.2 误差来源
7.2.1 德拜照相法：
相机半径、 底片伸缩、 试样偏心、 试样吸收
7.1 基本原理
2d sin
a d
H 2 K 2 L2
a
H 2 K 2 L2
2 s in
d
cos 2sin2
d d
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cos 2sin2
ctg
2 s in
a
H 2 K 2 L2
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X射线测定点阵常数是一种 间接方法，它直接测量的是 某一衍射线条对应的θ角，然 后通过晶面间距公式、布拉 格公式计算出点阵常数。
第七章 点阵常数精确测定
点阵常数是晶体的重要基本参数，随化学组分和 外界条件(T,P)而变。 材料研究中，它涉及的问题有：键合能、密度、 热膨胀、固溶体类型、固溶度、固态相变，宏观 应力。 点阵常数的变化量很小，约为10－3 nm ,必须精 确测定。
点阵常数精确测定共36页
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
点阵常数精确测定
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
点阵常数精确测定
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
第7章 点阵常数的精确测定
• 衍射线条指标化的方法很多，有计算法、 图解法、尺算法等。但它们的基本原理都 是一致的。下面就最基本的计算法说明指 标化的方法、原理和过程。
• 7-1-1晶胞参数已知时衍射线的指标化
• 我们把布拉格方程改写为：
1 sin ( ) 2 2 d
2 2
将晶面间距的公式代入上式，即可得 出各晶系中衍射角θ与晶胞参数及衍射指 数之间的关系。 • 例如，立方晶系：
7-1-2 晶胞参数未知时衍射线的 指标化
• 由前面推导的关系式可知，衍射指数和晶胞参 数二者是相互依赖的， • 当晶胞参数未知时，由于不同晶系之晶胞参数 的未知个数多少不等，通常仅对粉末法中的立 方晶系晶体的指标化才是肯定的，对中级晶族 一般是有可能的，而低级晶族则一般是较困难 的。
674
0.61043
5.359
6.331
16.077(16)
18.993(19)
400
331
106.57
122.83
0.64259
0.77107
6.664
7.997
19.993(20)
23.991(24)
420
422
137.32
0.86757
8.998
26.994(27)
第七章 点阵常数的精确测定
主要内容
• • • • §7-1 §7-2 §7-3 §7-4 粉末衍射线条的指标化 点阵常数测量中误差的来源 点阵常数精确测定的方法 点阵常数精确测定的应用
• 本章叙述多晶试样点阵常数精确测定的基 本方法。 • 着重介绍粉末衍射线条指数的标定、点阵 常数测量误差的来源及消除误差的方法。
衍射谱的指标化
• 衍射谱标定就是要从衍射谱判断出试样 所属的晶系、点阵胞类型、各衍射面指 数并计算出点阵参数
点阵常数精确测定
误差与校正
❖机械零点误差校正 只有通过精确调整设备的机械零点，现代X射线衍射仪都 有自动调整程序，通过反复调光来校准机械零点 ❖试样转动与计数器转动角度的匹配误差校正 由于样品转动与计数器转动速度不匹配，导致衍射峰位 置的偏移。可以通过标准硅作校正。 Δ（2θ）=A0+A1*（2θ）+A2*（2θ）2+A3*（2θ） 3+A4*（2θ）4 式中Δ（2θ）=2θ计算-2θ测量，A0，A1，A2，A3，A4为最 小二乘法的最佳匹配参数
2 theta/ °
精确测定点 阵参数原理
利用点阵参数的灵敏范围
测定点阵参数最灵敏的区域 是在高角度范围，这是因为影响
精确度的是 sin hkldຫໍສະໝຸດ kl 2 sinhkl1.0
0.9
0.8
0.7 0.6
相
0.5
同，高角
0.4 0.3
度sin 误
0.2
差较小。
0.1
0.0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
点阵常数 精确测定
点阵常数是晶体物质 的重要参数
晶体材料中原子键合力、密 度、填隙式固溶体和缺陷固溶体 的鉴定、宏观应力、固态相变、 热膨胀系数等，都与点阵常数的 变化密切相关。通过点阵常数的 变化可揭示这些问题的本质和变 化规律。
点阵常数的变化特点
晶体材料的点阵常数变化 较小，一般小于0.001nm，这 种微小的变化容易被实验误差 所掩盖。因此，测定点阵常数 在实验条件上要求较高。
误差与校正
❖ 温度校正 当实验温度不在25℃时，需要进行温度校正。这是由于在晶体点阵中 原子中心相对点阵结点在各个方向有热振动位置偏移,当X射线入射晶 体而对布喇格公式加以温度校正.公式为: a校=a测[1+α(25-T测)] α——晶体膨胀系数
点阵常数测定
计算点阵常数，然后作a与 cos2 的图解，并外
推到 cos2 ＝ 0。
具体作法，以点阵常数a为纵坐标， cos2 为横 坐标作图
满足以下条件，才能得出较好的结果：
1）在θ＝60°∽90°之间有数目多、分 布均匀的衍射线；
2）至少有一条衍射线在80°以上。
柯亨最小二乘法
在实验点中可以画出两条正负误 差大体相等的直线
y=a+bx，假设实验测量的各物理量对应 的数值为：
x1y1、x2y2、 ······xnyn, 运用最小二乘法可 以求得最佳直线截距a和斜率b。
方法如下：
测量值最小误差的平方和表达式：
△y2 （a bx1 y1）2 （a bx2 y2）2
依最小二乘法原理，最佳直线是使误差的平方和为最小的
67.080 67.421 69.061 69.467 79.794 80.601
首先将波长归一化得到λka1 的(sin2θ) 及δ
sin2 a1
2 a1
sin2 a2
2 a2
δ＝ 10sin22θ
hkl
(531)α1 (531) α2 (600) α1 (600) α2 (620) α1 (620) α2
❖ 解：正则方程 sin2 A 2 C sin2 A C 2
A 2 ； （h2 k 2 l 2）
4a02
C=D/10； 10sin22；
hkl
θ（度） α＝
sin2θ sin2θ
（h2＋k2＋l2）
(sin2θ)α1
(531)α1 (531) α2 (600) α1 (600) α2 (620) α1 (620) α2
δ＝10sin22θ
5.1 5.0 4.5 4.3 1.2 1.0
点阵常数精确测定
B Data1B
X axis title
点阵常数精确测定
崔喜平
哈尔滨工业大学 材料学院
1. 精确测定的意义
晶胞参数是决定晶体结构 的重要参数之一 化学成分如参杂等 外界条件如温度等
晶胞参数相应地有规律发生微小变化
精确测定特定条件下的晶胞参数的意义 研究结晶物质的键能； 晶体结构的缺陷、固溶体的性质； 精确测定分子量； 晶体的密度和膨胀系数。
3. 精确测定晶胞参数
衍射仪法的误差来源
(1) X射线管焦点偏离测角仪180度位置 Δ（2θ）= -x/R
(2) 样品表面偏离测角仪
Δ（2θ）= -2Pcosθ/R (3) 样品表面偏离聚焦圆 Δ（2θ）= α2/6 * cotθ (4) 样品吸收系数过小 Δ（2θ）= - sin2θ/2μR (5)入射束轴向发散
2. 精确测定步骤
精确测定晶胞点阵常数的基本步骤
①精确测定物质的X射线衍射图谱，标定各个衍射 峰的h、k、l值； ②根据Bragg公式 d sin n 计算出晶面间距d； ③由d及h、k、l值计算出点阵参数的粗算值a、b、
c及α、β、γ；
④消除各种误差得到精确的点阵参数。
3. 精确测定晶胞参数
Cos θ
0.2876 0.2841 0.1700 0.1658 0.1284 0.0519 0.0473 0.0326
2
3.1655 3.1650 3.1645 3.1640 3.1635 3.1630 3.1625 3.1620 3.1615 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
Δ（2θ）= δ 1cotθ/6 +δ /3sin2θ
2
2
其他实验误差有传动、扫描速度、时间常数等
2.1点阵常数精确测定及其应用ppt课件
,
3 .43
物相名称
I/Ic
I(Area)
W%
Al
3.62
32793
91.6
MgZn2
3.43
2840
8.4
点阵常数精确测量的应用
7055铝合金不同均匀化温度的析出相结构、硬度、固溶度与点阵常 数的关系
拟合055铝合金不同均匀化温度的析出相结构、硬度、固溶度与点阵常 数的关系
实验方法 （D/max 2500 PC+MDI Jade）
❖ 测量数据并读入文件 ❖ 数据平滑、寻峰、搜索/匹配
注意：当样品中含有多个相时，如果只计算主相的点阵常数， 则只标定主相，其它相不要同时标出
实验方法 （D/max 2500 PC+MDI Jade）
• 图谱拟合
峰形拟合对宽位、宽度、高 度和面积的计算比一般寻峰 更加精确，进行结构精修和 定量分析、亚晶粒尺寸和微 观应力的计算都是必要的
点阵常数精确测量的应用
7055铝合金不同均匀化温度的析出相结构、硬度、固溶度与点阵常 数的关系
编号 1# 2#
成分
Al-8.2Zn-2.4Mg1.2Cu-0.01Zr
Al-8.2Zn-2.4Mg1.2Cu-0.01Zr
状态
HB
300C24h均匀 90 化
4 5 0 C / 2 4 h 均 130 匀化
实验方法 （D/max 2500 PC+MDI Jade）
利用计算机进行外推计算时，无论是简单晶体结构还是 复杂晶体结构，只要先定出相，找出PDF卡片，就能用 一个命令来完成。如Al2O3的点阵常数计算：
实验方法 （D/max 2500 PC+MDI Jade）
❖其它误差的消除 ❖仪器误差 ❖采用标准Si作拟合曲线来消除。在此不作介绍。 ❖温度误差 ❖可以将室温设定在25，在一般情况下可消除 误差。或者作温度误差校正。 ❖关于误差计算的说明 ❖无论如何精确计算，最终结果都是存在误差的， 只不过在同一台设备上多次测量的结果具有同 向误差
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体心立方
• 体心立方中，H+K+L为奇数的衍射面不 出现，因此，比值数列应可化成：
sin 1 : sin 2 : 2 : 4 : 6 : 8 :10 :12:14:16:
2 2
• 对应的衍射面指数分别为（110）、 （200）、（211）、（220）、（310）、 （222）、（321）、（400）
• 因此，可利用此图来进行立方晶系晶体 指标化，其步骤为： • (1)用一张纸条按图上标尺把sinθ实验值 标出; • (2)将此纸条平行于sinθ轴移动，直到所 有sinθ值(各点)均与图表中相应的直线 重合为止，直线上所标出的hkl数值即 为该衍射线的衍射指数，从而达到指标 化的目的。
• 任何结晶物质，在一定的状态下都有一 定的点阵常数。当外界条件（如温度、 压力及其他外加物质）改变时，点阵常 数亦将发生相应的变化。 • 对某物质的点阵常数进行精确测定，将 有助于研究其键合能力、密度、膨胀系 数、缺陷情况等。
晶胞(crystal cell)
• 晶胞是晶体的基本结构单位。反映晶体结构 三维周期性的晶格将晶体划分为一个个彼此 互相并置而等同的平行六面体,即为晶胞。 • 晶胞包括两个要素:一是晶胞的大小、型式; • 另一是晶胞的内容,前者主要指晶胞参数的大 小,即平行六面体的边长a 、b、c和夹角α、β、 γ的大小, 以及与晶胞对应的空间点阵型式,即 属于简单格子P还是带心格子I、F或C等;后 者主要指晶胞中有哪些原子、离子以及它们 在晶胞中的分布位置等。
晶系与晶族的划分
• 根据晶体对称的特点可以对晶体进行合 理的科学分类。 晶体分类体系：三大晶族、七大晶系、 三十二种点群，230种空间群。
根据是否有高次轴以及有一个或多 个高次轴，把32个对称型归纳为低、 中、高级三个晶族。
• 在各晶族中，再根据对称特点划分晶系， 晶系共有七个。 • 低级晶族:三斜晶系、单斜晶系和斜方 晶系； • 中级晶族:四方晶系、三方晶系和六方 晶系； • 高级晶族:立方晶系。
例：α-AgI
2θ
24.638 35.122 43.374 50.517 56.988 63.013 68.731 74.234 79.591 84.857
sin2θ Sin2θ/ sin2θ1 m× 2 hkl
0.0455 0.0910 0.1366 0.1821 0.2276 0.2731 0.3186 0.3641 0.4097 0.4552
晶胞的两个要素：
1. 晶胞的大小与形状：
由晶胞参数a，b，c， α，β，γ表示， a，b，c 为 六面体边长， α，β，γ 分 别是bc ， ca , ab 所组成的 夹角。 2. 晶胞的内容：粒子的 种类，数目及它在晶胞 中的相对位置。
§7-1 粉末衍射线条的指标化
• 要计算点阵常数, 必须知道各衍射线条对应晶 面的指数, 亦即要对衍射线条进行指标化。 • 它不仅是晶体结构分析工作中必不可少的前提 条件，而且也是X射线物相鉴定（包括粉末法 中精确测定点阵常数、无序有序结构的研究 等）、晶粒大小测定、试样的择优取向的研究 等的重要条件。
• 例如，虽然铜和金刚石都是面心立 方点阵，但前者一个晶胞中只有4个 原子，即一个阵点对应一个原子， 而后者一个晶胞中有8个原子，即一 个阵点对应两个原子。 • 因此，前者的可反射指数为（111）、 （200）、（220）、（311）……， 而后者为（111）、（220）、 （311）……。
• 由此可见，根据消光规律不仅能够 定出点阵类型，还能定出所属的空 间群。 • 应该注意，当某条衍射线的强度太 弱以致无法察觉时，此时比例序列 将发生变化。
• 式中sin2θ的角下标1，2等，就是实验数据中衍 射峰从左到右的顺序编号。
立方晶系的衍射谱标定
• 由于H、K、L均为整数，它们的平方和也 必定为整数， sin2θ数值列必定是整数列— —判断试样是否为立方晶系的充分和必要条 件。 • 实验操作 测量衍射谱，计算sin2θ，写成比例数列 找到一个公因数，乘以数列中各项，使之 成为整数列，则为立方晶系，反之，非立 方晶系。
各晶面族的多重因子列表
指数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ晶系
H00 0K0 00L HHH HH0 HK0 0KL H0L HHL HKL
P
立方
菱方、六方
6
6 4 2 2 2 2
8
12
6 4 8
24
12 8 4 4 2
24
48
24 16 8 4
正方 斜方 单斜
三斜
2
2
2
7-1-3 衍射线指标化的图解法
• 由
sin
2a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
110 200 211 220 310 222 321 400 411 420
面心立方
• FCC结构因为不出现H、K、L奇偶混杂 的衍射，因此，数值列应为：
sin 1 : sin 2 : 3 : 4 : 8 :11:12 :16 :19 :
2 2
• 相应的衍射面指数依次为（111）、 （200）、（220）、（（311）、 （222）、（400）、（331）
点阵常数的计算
• 标定的第三步是计算晶体的点阵常数a
例题1 立方晶系的TiCN
2θ 36.181 42.024 60.930 72.968 76.772 sin2θ 0.09642 0.12857 0.25706 0.35355 0.38559 m 1 1.333 2.666 3.667 3.999 m×3 3 3.999(4) 7.998(8) 11.001(11) 11.997(12) hkl 111 200 220 311 222
• 衍射线条指标化的方法很多，有计算法、 图解法、尺算法等。但它们的基本原理都 是一致的。下面就最基本的计算法说明指 标化的方法、原理和过程。
• 7-1-1晶胞参数已知时衍射线的指标化
• 我们把布拉格方程改写为：
1 sin ( ) 2 2 d
2 2
将晶面间距的公式代入上式，即可得 出各晶系中衍射角θ与晶胞参数及衍射指 数之间的关系。 • 例如，立方晶系：
sin (
2
2a
) (h k l )
2 2 2 2
• 四方晶系：
2 2 2 2 2 sin ( ) (h k ) ( ) l 2a 2c
2
• 显然，当晶胞参数和辐射波长为定值时， 衍射角θ便仅仅是衍射指数hkl的函数。 • 从原则上讲，当晶胞参数为已知时，对任 何晶体的粉末衍射图谱进行指标化都是可 能的， • 但实际上，对低级晶族往往不能得出确切 的结果，而需要根据单晶衍射方法所记录 的结果来进行指标化。
sin 2 1 : sin 2 2 : 1: 2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 8 : 9 :10 :11:12:13:14:16 :
• 从左到右，各衍射峰对应的衍射面指数依次 为（100）、（110）、（111）、（200）、 （210）、(211)、（220）、 （300）、 （310）、（311）。
91.919
102.76
0.51674
0.61043
5.359
6.331
16.077(16)
18.993(19)
400
331
106.57
122.83
0.64259
0.77107
6.664
7.997
19.993(20)
23.991(24)
420
422
137.32
0.86757
8.998
26.994(27)
例：（Na0.5Bi0.5)TiO3
2θ
22.842 32.526 40.117 46.662 52.564 58.031 68.124 72.891 77.540 82.106 sin2θ 0.0392 0.0784 0.1176 0.1568 0.1961 0.2353 0.3137 0.3529 0.3921 0.4313 Sin2θ/ sin2θ1 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 hkl 100 110 111 200 210 211 220 221 310 311
• 另外，简单点阵和体心点阵比例序列中前6条 相同,但第七条不同，简单立方第七条为8，而 体心立方第七条为7。 • 如果从强度考虑，简单立方点阵的第一线条 （100）比第二条线（110）弱，而体心立方则 是第一条线（110）比第二条线（200）强。 • 这是由多重性因数的大小来判定的，因（100） 和（200）的多重性因数为6，而（110）的多 重因数为12。
333(511)
立方晶系点阵消光规律
• 应该指出，上表列出的是点阵系统消光 规律，当点阵的一个阵点仅对应一个原 子时才服从这样的规律。 • 如果一个阵点对应一种或多种原子组成 的原子团，则在点阵消光的基础上还要 附加因结构单元不同而引入的结构消光， 因此，结构较复杂的晶体往往有更多的 面不反射。
立方晶系的衍射谱标定
• 进一步判断
根据整数列的比值不同，可判断 其是简单、面心或体心结构—— 结构因子不同。 根据sin2θ ，可知H2+K2+L2，可计 算出各衍射峰对应的干涉面指数。
简单立方
• 简单立方由于不存在结构因子的消光，因此， 全部衍射面的衍射峰都出现——sin2θ比值数 列应可化成：
7-1-2 晶胞参数未知时衍射线的 指标化
• 由前面推导的关系式可知，衍射指数和晶胞参 数二者是相互依赖的， • 当晶胞参数未知时，由于不同晶系之晶胞参数 的未知个数多少不等，通常仅对粉末法中的立 方晶系晶体的指标化才是肯定的，对中级晶族 一般是有可能的，而低级晶族则一般是较困难 的。