人教高中数学必修二B版 《平面向量及其线性运算》平面向量初步PPT(向量的概念)PPT课件

科学课件：/kejian/kexu e/ 物理课件：/kejian/wuli/
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/
地理课件：www.1ppt.c om /ke j ia n/dili/
栏目 导引
第六章 平面向量初步
2．向量加法的平行四边形法则
一般地，平面上任意给定两个不共线的向量 PPT模板：/moban/
P P T素材：www.1ppt.c om /suc a i/
P P T背景：www.1ppt.c om /be ij ing/
P P T图表：www.1ppt.c om /tubia o/
手抄报：www.1ppt.c om /shouc ha oba o/
P P T课件：www.1ppt.c om /ke j ia n/
语文课件：/kejian/y uwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/
英语课件：/kejian/y ingy u/ 美术课件：/kejian/meishu/
P P T下载：www.1ppt.c om /xia za i/
PPT教程： /powerpoint/
资料下载：www.1ppt.c om /zilia o/
个人简历：www.1ppt.c om /j ia nli/
试卷下载：www.1ppt.c om /shiti/
教案下载：www.1ppt.c om /j ia oa n/
科学课件：/kejian/kexu e/ 物理课件：/kejian/wuli/
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/
地理课件：www.1ppt.c om /ke j ia n/dili/

【跟踪训练】 在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC与BD相交于点O,EF是过点O且平行于AB的 线段,在所标的向量中: (1)写出与 AB 共线的向量. (2)写出与 EF 方向相同的向量. (3)写出与 OB，OD 的模相等的向量. (4)写出与 EO 相等的向量.
【补偿训练】 如图所示,四边形ABCD为边长为3的正方形,把各边三等分后,共有16个交点,从 中选取两个交点作为向量的起点和终点,则与 AC 平行且长度为2 2 的向量 有哪些?(在图中标出相关字母,写出这些向量)
(3)√.由平行向量的定义可知.
2.下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度.其中不
是向量的有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.②③④⑤既有大小,又有方向,是向量;
①⑥⑦只有大小,没有方向,不是向量.
3.(教材二次开发:例题改编)设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论错误的是
2.某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改变方向按东北方向走了10 2 米到达C点,到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点. (1)作出向量 AB，BC，CD；(2)求 AD 的模.
【补偿训练】 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后又改变方向向西偏北50° 行驶了200 km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达D点. (1)作出向量 AB，BC，CD. (2)求这辆汽车的位移大小.
【典例】(1)如图1,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点, 可以写出________个向量.
(2)在如图2所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向 量: ① OA ,使| OA|=4 2 ,点A在点O北偏东45°; ② AB ,使| AB|=4,点B在点A正东; ③ BC ,使| BC|=6,点C在点B北偏东30°.

变式训练1已知a,b是两个非零向量,判断下列各说法的正确性,并说明理由.
(1)2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍;
2
(2)-2a的方向与5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的 5 ;
(3)-2a与2a是一对相反向量;
(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量;
(5)若a,b不共线,则0a与b不共线.
解析 3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,即x+3a-4b=0,所以x=4b-3a.
重难探究·能力素养全提升
探究点一
数乘向量的概念
【例1】 (1)已知非零向量a,b满足a=4b,则( C )
A.|a|=|b|
B.4|a|=|b|
C.a与b的方向相同
D.a与b的方向相反
解析 ∵a=4b,4>0,
知识点3 向量的线性运算
向量的 加法、减法、数乘向量
以及它们的混合运算,统称为向量的线
性运算.
名师点睛
对向量的线性运算的理解
(1)已知某些向量,要化简与它们有关的向量式,其解题方法可类比初中所
学的“求代数的值”,即先化简向量式,代入,再化简,求值,这样能简化解题
过程.
(2)解向量的线性方程组的方法,同解代数方程组一样,进行消元,其消元方
m=
3
2
a+ b
11 11
,n=
1
3
a- b
11 11
.
解析∵3m+2n=a,①
m-3n=b,②
3×②得3m-9n=3b,③
①-③得
1
3
11n=a-3b,∴n= a- b.④
11 11

A．若实数 λ1，λ2，使 λ1e1＋λ2e2＝0，则 λ1＝λ2＝0 B．平面内任一向量 a 都可以表示为 a＝λ1e1＋λ2e2，其中 λ1，λ2 ∈R C．λ1e1＋λ2e2 不一定在平面 α 内，λ1，λ2∈R D．对于平面 α 内任意一向量 a，使 a＝λ1e1＋λ2e2 的实数 λ1，λ2 有无数对
(2)证明：设线段 EL 的中点为 P1，则 O→P1＝12(O→E＋O→L)＝14(a＋b＋c)． 设 FM，GN 的中点分别为 P2，P3，同理可求得 O→P2＝14(a＋b＋c)，O→P3＝14(a＋b＋c)． ∴O→P1＝O→P2＝O→P3， 即 EL，FM，GN 交于一点，且互相平分．
1．任意一向量基底表示的唯一性的理解
1．共线向量基本定理 如果 a≠0 且 b∥a，则存在_唯一____的实数 λ，使得_b_＝__λ_a_. 在共线向量基本定理中： (1)b＝λa 时，通常称为 b 能用 a 表示． (2)其中的“唯一”指的是，如果还有 b＝μa，则有 λ＝μ.
思考 1：在共线向量基本定理中，为什么要求 a≠0? [提示] 若 a＝0，则 0∥b，但是 λ0＝0，从而 b＝λa 中的实数 λ 具有不确定性，进而不能说存在唯一一个实数 λ，使得 b＝λa.
(变结论)例 2 中，用A→E，A→F表示A→B. [解] A→B＝A→E＋E→B＝A→E＋F→E＝A→E＋(A→E－A→F)＝2A→E－A→F.
用基底表示向量的方法 (1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形 法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优 化与组合． (2)将向量 c 用 a，b 表示，常采用待定系数法，其基本思路是设 c＝xa＋yb，其中 x，y∈R，然后得到关于 x，y 的方程组求解．

(3) 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，
不要把它与函数图象的移动混淆．


(4) 非零向量与
Ԧ
的关系：


是与同方向的单位向量．
Ԧ
考点 2 平面向量的线性运算
[例1] (1) (202X·西安五校联考)如图，AB是圆O的一条直径，C，D
是半圆弧的两个三等分点，则 ＝( D )
A，P，B三点共线 ⇔ ＝λ(λ≠0)
⇔
＝(1－t)· ＋t
(O为平面内异于A，P，B
的任一点，t∈R)
＝x ＋y
⇔
(O为平面内异于A，P，B的任
一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)
2．向量的中线公式
1
2
若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则 ＝ ( ＋ )．
向量线性运算的解题策略
(1) 向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，
一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，
求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2) 找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量
转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
跟踪训练
(202X·吉林梅河口五中4月模拟)在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝
1
2CM，连接AM，点N为AM上一点且＝
3
，若＝λ ＋
μ ，则λ＋μ＝( A )
A.
1
3
B．
1
3
பைடு நூலகம்
1
3
1
2
1
2
1
3
C．－
1
3
1
3
D．－
3
2

课件
课件
个人简历：课件/j ia nli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
②字母表示法：为了便于运算可用字母 a，b，c 表示，为了联
系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与
终点表示向量，如A→B，C→D，E→F等．
(2)两种向量表示方法的作用
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
中可以看成是向量的有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析：选 B.①②③不可以看成向量，④⑤可以看成向量．
栏目 导引
第六章 平面向量初步
关于零向量，下列说法中错误的是( )
A．零向量是没有方向的 课件
【解】 (1)可以写出 12 个向量，分别是：A→B，A→C，A→D，B→C，
B→D，C→D，B→A，C→A，D→A，C→B，D→B，D→C，故填 12.
(2)①由于点 A 在点 O 北偏东 45°处，所以在坐标纸上点 A 距 课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/j ia nli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
6．1 平面向量及其线性运算 6．1.1 向量的概念
课件
第六章 平面向量初步
考点
学习目标
理解向量的有关概念及向量的几 向量的概念
何表示

课件 课件
课件
课件
(1)若 b 是 a 的相反向量，则 a 与 b 一定不相等．( × )
(2)若 b 是 a 的相反向量，则 a∥b.(√ )
(3)向量A→B的相反向量是B→A，且B→A＝－A→B.( √ )
(4)P→A－P→B＝A→B.( × )
栏目 导引
第六章 平面向量初步
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
如图，已知向量 a，b，c，求作向量 a－b－c.
栏目 导引
第六章 平面向量初步
解：法一：先作 a－b，再作 a－b－c 即可．
如图①所示，以 A 为起点分别作向量A→B和A→C，使A→B＝a，A→C＝
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/j ia nli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/j ia nli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
(1)化简：①A→B＋O→A－O→B＝________；
②A→B＋(B→D＋C→A)＋D→C＝________；
③O→B－O→A－O→C－C→O＝________．
首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的
性质，通过图形中向量相等、平行等关系辅助化简运算．
栏目 导引
第六章 平面向量初步
如图所示，在五边形 ABCDE 中，若四边形

所以M→N＝C→N－C→M＝C→N＋12A→N＝－b＋14a＝14a－B．
方法二：因为A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0， 即：a＋B→C＋(－12a)＋(－b)＝0，所以B→C＝b－12a， 又因为在四边形 ADMN 中，有A→D＋D→M＋M→N＋N→A＝0，即：b＋14a＋
M→N＋(－12a)＝0，所以M→N＝14a－B．
题型 三 典例剖析
向量平行、三点共线问题
典例 3 如图，在△ABC 中，D，F 分别是 BC，AC 的中点，AE＝
23AD，A→B＝a，A→C＝B．
(1)用 a，b 分别表示向量A→E，B→F； (2)求证：B，E，F 三点共线．
[解析] (1)∵A→D＝12(A→B＋A→C)＝12(a＋b)， ∴A→E＝23A→D＝13(a＋b)， ∵A→F＝12A→C＝12b，
＋(1－15＋7)b＝13a－7B．
(2)由已知得－3x4－x＋2y＝3y＝a，b① .② ①×3＋②×2 得 x＝3a＋2b，
①×4＋②×3，得 y＝4a＋3B． ∴x＝3a＋2b，y＝4a＋3B．
• 规律方法：熟练掌握和运用运算律(实数与向量的积满足的结 合律与分配律)，即当λ、μ为实数时，有：①(λμ)a＝λ(μa)；②
• 思考：(1)向量的加法与数乘向量能进行混合运算的根本原因 是什么？
• (2)这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？
• 提示：(1)向量的加法与数乘向量的结果仍是一个向量．
• (2)不能，数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时， 运算律才成立．
知识点 二
向量的线性运算
• 向量的加、减、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的 线性运算．
对点训练
• 3．(1)已知非零向量e1，e2不共线． • 如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)， • 求证：A，B，D三点共线； • (2)已知e1，e2是共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，求

课件 课件
课件
课件
和 e1＋ke2
共线？
解：设 ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线， 所以存在 λ 使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.
因为 e1 与 e2 不共线，所以只能有kλ－kλ－＝10＝，0，则 k＝±1.
栏目 导引
第六章 平面向量初步
用基底表示向量
＝a－23b.
第六章 平面向量初步
栏目 导引
第六章 平面向量初步
直线的向量参数方程式的应用
已知平面内两定点 A，B，对该平面内任一动点 C，总
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/j ia nli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
栏目 导引
第六章 平面向量初步
4．直线上向量的运算与坐标的关系
假设直线上两个向量 a，b 的坐标分别为 x1，x2，即
a＝x1e，b＝x2e，则 a＝b⇔__x_1_＝__x_2___; a＋b＝_(_x_1＋__x_2_)_e__．
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/j ia nli/
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/j ia nli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
D→F＝D→E＋E→F＝－16b＋13b－a＝16b－a. 课件

证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两个有向线段表 示的向量共线，必须说明构造的两个向量有公共点，否则两向量所 在的基线可能平行，解题时常常会因忽视对公共点的说明而丢分．
[跟进训练] 2．已知非零向量 e1，e2 不共线．如果A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1＋8e2， C→D＝3(e1－e2)，求证：A，B，D 三点共线． [证明] 因为A→B＝e1＋e2，B→D＝B→C＋C→D＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝ 5(e1＋e2)＝5A→B.所以A→B，B→D共线，且有公共点 B，所以 A，B，D 三 点共线．
(1)－a＋5b－2c (2)0 [(1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝2a－3a ＋3b＋2b－c－c＝－a＋5b－2c.
(2)因为(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，所以 2x－a－b＝x－a－b， 即 x＝0.]
向量数乘运算的方法 (1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去 括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘 积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数 看作是向量的系数． (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用 解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运 用运算律，简化运算．
3．能利用向量的线性运算解 提升直观想象和逻辑推理素养.
决简单问题．(难点)
情 境
导
学
探 新
知
如图，M 为△ABC 的边 AB 的中点． 问题 1：能用C→A，C→B表示C→M吗？若能，请表 示出C→M. [提示] C→M＝12(C→A＋C→B)＝12C→A＋21C→B.
问题 2：若 O 为任意一点，M 为 AB 的中点，是否有类似的结论？ [提示] O→M＝12(O→A＋O→B)＝21O→A＋21O→B. 问题 3：λ(a＋b)＝λa＋λb 是否一定成立？ [提示] 一定成立．

①
②
(2)已知|a|＝8，|b|＝6，求|a－b|的取值范围． 解法二：如图②，作C→D＝O→B＝b， 连接 AD，则A→C＝O→C－O→A＝c－a， A→D＝A→C＋C→D＝c－a＋b＝b＋c－a.则A→D即为所求． [解] (2)∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， 且|a|＝8，|b|＝6，∴2≤|a－b|≤14， ∴|a－b|的取值范围是[2,14]．
如图连接 AC，并延长 AC 到 F，使|A→C|＝|C→F|，则向量A→C＝C→F，∴A→C＋ A→C＝A→C＋C→F＝A→F，即向量A→F就是所求作的向量．
4
PART FOUR
课后课时精练
一、选择题
1．若 O，E，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A.E→F＝O→F＋O→E
B.E→F＝O→F－O→E
3. (多选)如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中正确的是( )
A.A→B＋C→D＝0 B.A→B－A→D＝D→B C.A→D＋B→D＝A→B D.A→D＋C→B＝0
答案 ABD
解析 由|A→B|＝|C→D|，且A→B与C→D的方向相反，知A→B与C→D是一对相反向 量，则A→B＋C→D＝0，故 A 正确；由向量减法的运算法则知A→B－A→D＝D→B， 故 B 正确；由A→B－A→D＝D→B，得A→B＝A→D＋D→B，故 C 错误；A→D与C→B是一对 相反向量，所以A→D＋C→B＝0，故 D 正确．
解法三：如下图③，在平面内任取一点 O，作O→A＝a， A→B＝b，则O→B＝a＋b，再作C→B＝c，则O→C＝a＋b－c.
(2)已知|a|＝m，|b|＝n(m>n)，|a－b|的取值范围是[5,15]，求 m，n 的值．

8
教学建议---向量的概念中的情景的设置与引入
向量概念的教学主要突出情境设置,丰富的问题 情境，比如物理中的速度加速度，还有风向风力 的问题，以及尝试与发现，更多的给学生提供了 一个理解平面向量概念的实质。既让向量具体化， 又突出向量的代数与几何的特征，体现数形结合 思想。同时又给学生提出双向认识向量的基本思 路。
11
教学建议-------网格图的教学
阅读多版本的教材后，只有B版教材使用了网格图，网格图的使 用更好的突出了向量的“形”，让学生动手作图，感受到向量的起 始点，方向，平移，共线，平行关系等诸多相关的因素，便于 学生接受并理解这个教学概念。
12
教学建议------线性运算
向量线性运算单独成为一节，这样使学生更好的归纳和总 结，对于加减数乘三个运算，明确他们之间的区别与联系， 使学生更容易的类比出运算之间的关系，比如说他们的结果 都是向量，也可以与实数运算类比，得到它们之间的区别与 联系，更好地理解向量的线性运算。
④定理的类比： 共线向量基本定理-----平面向量基本定理
21
类比的数学思想方法的体现
⑤一维到二维的类比： 直线上的坐标（一维数轴） 平面上的坐标（二维平面）
22
教学建议-----向量的工具性
向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景。 向量既是几何研究对象，也是代数研究对象，是沟 通几何与代数的桥梁。向量理论是描述直线、曲线、 平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是 进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解 决实际问题中发挥重要作用。
平面向量线性运算的应用主要是两方面，一个是 在平面几何中的应用，一个是在物理中的应用，
23
向量的工具性--向量的应用（几何）
在平面几何中重点要突出的是向量相等，那么以前咱们在 初中说平行四边形，强调是两组对边平行，两组对边相等， 一组对边平行且相等，而到了高中我们转化成了只要一组对 边平行且相等，即向量相等，就能明确它是平行四边形。

要求两个向量A→B，C→D必须在同一直线上．故填(3)．
• 规律方法：要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表 示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的 关键．
对点训练
1．给出下列命题： (1)若|a|＝|b|，则a＝b； (2)两相等向量若其起点相同，则终点也相同； (3)若a＝b，b＝c，则a＝c； (4)若四边形ABCD是平行四边形，则A→B＝C→D，B→C＝D→A． 其中正确命题的序号是___(2_)_(_3_) ___．
观想象及逻辑推理素养.
必备知识·探新知
知识点 一
向量的定义与表示
(1)定义：既有___大__小___又有__方__向____的量． (2)表示方法： ①几何表示法：用以A为始点，以B为终点作_有__向__线__段_____A→B．
②字母表示法：在印刷时，通常用__加__粗____的__斜__体__小__写____字母如
• 提示：(1)向量不仅有大小，而且有方向．大小是代数特征， 方向是几何特征．看一个量是否为向量，就要看它是否具备了 大小和方向两个要素，二者缺一不可．
• (2)要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确定向量的方 向，最后根据向量的大小确定向量的终点．
知识点 二
特殊向量
• (1)零向量：___始_点____和_终_点______相同的向量称为零向量，
情况，故也称向量共线．
关键能力·攻重难
题型探究
题型 一 向量的有关概念
典例剖析
• 典例 1 给出下列命题： • (1)平行向量的方向一定相同； • (2)向量的模一定是正数； • (3)始点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
(4)若向量 A→B 与 C→D 是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线 上．

a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元 素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了． 正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点， 则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.