数学建模案例-大学物理-阻尼振动
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数学模型案例-阻尼振动的数学模型
问题背景与描述：
简谐振动是一种无阻尼振动，而实际上，任何振动物体都要受到阻力的作用，这种振动叫阻尼振动。
阻尼振动有摩擦阻尼和辐射阻尼两种。
根据实验证实，当物体以不太大的速率在粘性介质中运动时，介质对物体的阻力与物体的运动速率成正比，方向与运动方向相反。
数学模型
阻力与速率的关系：
-------阻尼系数，它与物体的形状、大小及介质有关。
对弹簧振子，在弹性力及阻力的作用下，物体的运动方程为
（此处自行思考：得到该模型的基本原理是什么？）
令 ，
无阻尼时振子的固有角频率，
为阻尼因子，
代入上式后可得等价形式：
数学模型的解 在阻尼作用较小时，即，此微分方程的解为
)cos(00ϕωβ+=-t e A x t
其中 此时阻尼振动的周期为
当
时，这种阻尼振动称为欠阻尼； 当时，称为过阻尼； 当时，称为临界阻尼。
*****进一步的学习资料*******：
解上述二阶微分方程，Matlab只要用一个函数ode23就能解决问题。
那我们现在就开始学吧！ode23函数可以用来解微分方程组，但只能是一阶的。
所以对于二阶的微分方程，我们可以将其分解成两个一阶的方程来解。
而且使用此函数，必须提前编写一个ode文件（ode文件）。
ode文件是一种函数M文件，即：在m-file编辑器中，文件必须以function开头，后面跟的函数名必须与将来保存的M文件名一致。
函数文件第一句的具体形式为：function y=name(x)
其中为y输出变量名，x为变量，name为函数名，保存时文件名必须是name.m。
当函数有一个以上的输出函数时，输出参数包含在方括号里，变参包含在圆括号里，即函数文件的第一行的具体形式为：
function [out1,out2,…]=name(in1,in2,…)
例：计算数组元素的平均值
解：functiony=average(x)
y=sum(x)/length(x)
解微分方程的函数ode23调用格式为：
ode23('FUN',TSPAN,YO)
其中，
FUN为字符串，表示微分方程的ode文件名，
TSPAN=[TO,TFINAL]表示积分区间，
YO为初始条件。
此函数表示在初始条件下Y0从T0到TFINAL对微分方程y'=F(t,y)进行积分。
函数在图形窗口返回具体的数值解，则可以采用以下的格式：
[T,Y]=ode23('FUN',TSPAN,Y0)
这样在T向量返回积分点，Y返回对应积分点的积分函数值。
例：编写m-file描述物体作阻尼振动的振动曲线，分欠阻尼、过阻尼和临界阻尼三种情况。
解：首先将阻尼振动的微分方程
分解为一阶微分方程：令
则原方程化为
打开m-file编辑器，
在其中编写ode文件为
functionf=zuni(t,x,flag,beita,wo);
f=[x(2);
-2*beita.*x(2)-wo.^2*x(1)];
保存文件名为zuni.m
另外打开一个新m-file，在其中编写程序代码：
beita=input('欠阻尼系数p=');
wo=input('固有频率wo(p<wo)=');
[t,x]=ode23('zuni',[0:0.001:5*pi],[6,8],[],beita,wo);%调用ode23,[6,8]为初始条件，
%即x=6,x'=8,[]说明以后是输入参数，beita,wo是参数名
subplot(3,1,1),plot(t,x(:,1),'r'),title('欠阻尼')%取x(1),绘制t-x(1)位移曲线，红色
beita=input('过阻尼系数p=');
wo=input('固有频率wo(p>wo)=');
[t,x]=ode23('zuni',[0:0.001:5*pi],[6,8],[],beita,wo);
subplot(3,1,2),plot(t,x(:,1),'b'),title('过阻尼')%取x(1),绘制t-x(1)位移曲线，兰色
beita=input('临界阻尼系数p=');
wo=input('固有频率wo(p=wo)=');
[t,x]=ode23('zuni',[0:0.001:5*pi],[6,8],[],beita,wo);
subplot(3,1,3),plot(t,x(:,1),'g'),title('临界阻尼')%取x(1),绘制t-x(1)位移曲线，绿色然后保存（如保存其名为zunizhend.m），
再按F5运行。
移至Matlab主窗口，输入数据，
按Enter键即得振动曲线。
