佛山科学技术学院2012-2013高等数学(AII)下试卷A

桂 林 电 子 科 技 大 学 试 卷2012—2013 学年第 2 学期 课号课程名称 高等数学AII （A 卷; 闭卷） 适用班级（或年级、专业） 2012级一．填空题（每小题3分，共12分） 1．设y x y x f cos 2sin ),(=，则=),2(ππx f .2．设⎩⎨⎧≤<+≤<--=ππx x x x f 0,10,1)(2是以π2为周期的函数，其傅里叶（Fourier ）级数在点π=x 处收敛于 .3．=-+→xyxy y x 11lim)0,0(),( .4．设)2,1,2(=a ，)10,1,4(-=b ，a b c λ-=，且c a ⊥，则=λ . 二．单选题（每题3分，共12分） 1．幂级数∑+∞=+011n n x n 的收敛域是（ ）A ．]1,1(-B ．),(+∞-∞C ．)1,1(-D ．)1,1[- 2．函数222y x z +=在点)1,1(处的梯度为（ ）A ．j i 24+B ．j i 24+-C ．j i 24-D ．j i 24-- 3．设有以下命题：A ．若1lim 1>+∞→nn n u u ，则∑+∞=1n n u 发散B ．若∑+∞=1n nu收敛，则∑+∞=+12013n n u收敛C ．若级数∑+∞=1n nu收敛，且),2,1( =≥n v u n n ，则级数∑+∞=1n nv也收敛D ．若)(1n n nv u+∑+∞=收敛，则∑+∞=1n n u 、∑+∞=1n n v 不一定都收敛则以上命题中不正确的是（ ）4．若),(y x f z =在点),(000y x P 可微，则下列结论不一定成立的是（ ） A ．),(y x f 在该点处偏导存在 B ．),(y x f 在该点处偏导数连续 C ．),(y x f 在该点处连续 D ．),(y x f 在该点处切平面存在 三．计算题（每小题6分，共18分）1．设L 为椭圆13422=+y x ，其周长为a ，计算曲线积分⎰+Lds y x )43(22的值. 2．计算曲线积分⎰+Ldy x xydx 22，其中L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到点)1,1(B 的一段弧.3．求函数22y x u -=在)1,1(点沿)3,4(-=l方向的方向导数.四．解答下列各题（每小题7分，共35分）1．讨论二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,1cos )(),(x x xy x y x f 在)0,0(处的连续性. 2．求曲面积分⎰⎰∑+=dxdy yzdzdx I 2，其中∑为球面4222=++z y x 的外侧在0≥z 的部分.3．将函数xe xf 2)(=展开为x 的幂级数.4．求平行于x 轴且经过两点)2,0,4(-和)7,1,5(的平面方程5．求幂级数∑+∞=12n nn x n 的收敛域及和函数.五．解答题（每小题9分，共18分） 1．计算积分⎰⎰Dxyd σ，其中D 是由22x x y x -≤≤所围成. 2．计算⎰⎰⎰Ω=xdxdydz I ，其中Ω是由三个坐标平面与平面12=++z y x 所围成的区域.六．证明题（本题5分）设)(u f 有连续导数，证明：曲面)(z y f x z -+=上任一点的切平面平行于某一定直线.。

广州大学2012-2013学年第二学期考试卷解答课 程：高等数学Ⅰ2（80学时） 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________一．填空题（每小题2分，本大题满分20分）1．设(1,1,1)a = ，(2,3,4)b = ，则a b ⨯=(1,2,1)-.2．yOz 坐标面上的直线z y =绕z 轴旋转而成的曲面方程是222z x y =+.3．(,)(1,2)limx y →=14.4. 设yz x =，则(2,1)d z =2ln 2dx dy +.5．设区域D 为0x y ≤≤，01y ≤≤，则d d Dx y =⎰⎰12. 6．设L 为圆周221x y +=，则2d Lx s =⎰π.7. 级数1pn n∞=∑收敛的充要条件是p 满足不等式32p >. 8．若级数1nn u∞=∑条件收敛，则级数1||nn u∞=∑的敛散性为 发散.9．方程22d 0d yy x+=的通解y =12cos sin C x C x +. 10．方程232x y y y xe '''-+=的待定特解形式y *=2()x x ax b e +.1．设(,)z f xy x y =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.解：121zf y f x∂''=⋅+⋅∂ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 12y f f ''=+ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分=∂∂∂yx z2121f f f yy y ''∂∂'++∂∂ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分 111122122[(1)](1)f y f x f f x f '''''''''=+⋅+⋅-+⋅+⋅- ┅┅┅┅┅┅ 7分 1112221()xy f x y f f f '''''''=+--+ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分2．求曲面223zz e x y -+=在点(1,2,0)处的切平面方程和法线方程.解：令(,,)223zF x y z z e x y =-+- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 (1,2,0)(1,2,0)(,,)|(2,2,2)|(4,2,1)z x y z n F F F y x e==-=┅┅┅┅4分 切平面方程为 4(1)2(2)00x y z -+-+-=即 428x y z ++= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 法线方程为12421x y z--== ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分三．（本题满分10分）求函数322(,)425f x y x x x y y =-+-+的极值.解：由23820220x y f x x y f x y ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分得驻点为)0,0(，(2,2) ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分 68x x f x =-， 2x y f =， 2y y f =- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分在点)0,0(处，2120AC B -=> ，又80A =-<所以(0,0)5f =是极大值 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 9分 在点(2,2)处，2120AC B -=-< ，所以(2,2)f 不是极值 ┅┅┅┅┅ 10分1．设二重积分(,)d d DI f x y x y =⎰⎰，其中D 是由曲线2y x x =-与x 轴所围成的有界闭区域.（1）将二重积分I 化为先y 后x 的二次积分；（2）将二重积分I 化为极坐标形式的二次积分.解：(1)区域D 为右图阴影部分 ………… 1分210d (,)d x x I x f x y y -=⎰⎰………… 4分(2) 由2y x x =-得0(0)(12)|1x y x ='=-= ………………… 5分(cos ,sin )d d DI f ρθρθρρθ=⎰⎰(1tan )sec 40d (cos ,sin )d f πθθθρθρθρρ-=⎰⎰………… 8分2．计算3232()d ()d LI x xy x y x y y =-++⎰，其中L 是由曲线2y x =与2x y =所围成的有界闭区域的边界，取正向.解：记2:01D x y x ≤≤≤≤ ……………………………………………… 1分由格林公式4d d DI x y x y =⎰⎰ ………………………………………… 4分2104d d x x x y y =⎰⎰…………………………………… 6分12512()d 3x x x =-=⎰ ……………………………… 8分求由曲面22z x y =+与平面4z =所围成的几何体Ω的体积和表面积.解：由224z x y z ⎧=+⎨=⎩得224x y +=，记22:4D x y +≤ ………………………… 2分所求体积为V dv Ω==⎰⎰⎰2224d d dz πρθρρ⎰⎰⎰2302(4)8d πρρρπ=-=⎰…………………………………………… 6分记 221:,(,)z x y x y D ∑=+∈ 和 2:4,(,)z x y D ∑=∈对于曲面1∑，由22z x y =+得2x z x =，2y z y =1∑的面积为1DA =20d d πθρ=⎰⎰21)6d ππρ==⎰┅┅┅┅┅┅┅ 11分2∑的面积为24A π=所求表面积为12(236A A π+=+ ……………………………………… 12分六．（本题满分6分）（1）判别级数12nn n∞=∑的敛散性； （2）级数1sin 2nn n n∞=∑是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 解：（1）记02n n nu =>，由比值判别法 1111lim lim(1)122n n n n u u n +→∞→∞=+=< …………… 2分 所以，级数12nn n∞=∑收敛 ………………………………………………………… 3分（2）记sin 2n n n n v =，由于|sin |||22nn n n n nv =≤ ……………………………… 4分 又级数12n n n ∞=∑收敛，由比较判别法得，级数1sin ||2nn n n∞=∑收敛， 从而级数1sin 2nn n n∞=∑收敛且为绝对收敛 ………………………………………… 6分设有幂级数1nn x n∞=∑. （1）求它的收敛半径及收敛域； （2）求它的和函数.解：记1n a n =，11lim ||lim(1)1n n n n a R a n →∞→∞+==+= ……………………………………2分1x =-时，级数1(1)n n n ∞=-∑收敛；1x =时，级数11n n∞=∑ 发散. 收敛域为 [1,1)- …………………………………………………………… 4分 记和函数为()s x11()n n s x x ∞-='=∑11x =- （ 11x -<< ） ……………………………… 6分 01()(0)1x s x dt s t=+-⎰ln(1)x =-- （11x -≤< ） …………………………………………… 8分八．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）1．求微分方程d cos d y y x x x x+=的通解. 解：该方程为一阶线性微分方程，所求的通解为11cos dx dxx x x y e e dx c x -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ …………………………………………… 3分 )cos (1⎰+=c xdx x ………………………………………………………… 5分 1(sin )x c x=+ ……………………………………………………………… 6分2．一池盛有盐水100公斤，其中含盐10公斤，现以每分钟2公斤的速率往池内注入淡水，同时从池内流出2公斤混和均匀的盐水，求池内溶液的含盐量降至一半所需要的时间.解：设从注入淡水开始记时（此时0t =），第t 分钟后池内的盐水含量为m 公斤，则池内盐的浓度为100m在时间间隔[,]t t dt +内，从池内流出的溶液中盐的含量为 210050m mdt dt ⨯⨯=在此段时间间隔内池内溶液盐的改变量为dm =-50mdt …………………………………………………… 2分 分离变量得 150dm dt m =-积分得 ln ln 50tm C =-+ 即 50t m Ce -= ……………………………… 4分由初始条件 0t =，10m = 得 10C =所以 5010t m e -= ……………………………………………………………… 5分 令5m =得50ln 2t =即池内的含盐量降至一半所需要的时间为50ln 2分钟 ……………………… 6分。

命题方式： 教研组命题佛山科学技术学院2004—2005学年第二学期 《高等数学》(经济类)课程期末考试试题（A 卷）专业、班级： 姓名： 学号： 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总成绩 得 分一、单项选择题：（每小题3分，共15分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在该题括号内）1.下列积分中，可直接使用牛顿——莱不尼兹公式的有 （ ）A. ⑴B. ⑴⑶C. ⑴⑷D. ⑴⑵⑶⑷2.下面叙述中⑴ 发散级数加括号后所成的级数一定发散；⑵ 发散的正项级数加括号后所成的级数一定发散； ⑶ 交换级数的项的次序不会影响级数的敛散性， 正确的有（ ）A. ⑴B. ⑵C. ⑶D. ⑵⑶3.设∑∞1=n n u 为任意项级数，且∑∞1=n n u ｜｜发散，则（ ）A. 原级数绝对收敛B. 原级数发散C. 原级数敛散性不定D. 原级数条件收敛 4.设⎰⎰2=DdxdyI ，其中｝｜），（｛4≤+≤1=22y x y x D ，则=I（ ）A. πB. π2C. π6D. π155.曲线3=x y 与直线2=x 、0=y 所围成的图形绕y 轴旋转产生立体的体积是 （ ） A.π7128B.π596 C. π564 D.π32二、填空题：（每小题3分，共12分.） 1.幂级数∑∞1=n nnnx 的收敛区间为 .2.二元函数22---4=y x y x z )(在点（ ， ）处取得极 值 .3.交换二次积分⎰⎰2-21y ydx y x f dy ),(的次序得共6页第1页4.微分方程0=3+'4+''y y y 满足初始条件2=0=x y，6='0=x y 的特解为三、解答题（每小题6分，共12分）： 1.设yzz x ln =确定函数),(y x f z =，求xz ∂∂.2.设v e z u sin =，xy u =，y x v +=，求xz∂∂. 四、解答题（7分）： 计算⎰∞+0-dx e x .共6页第2页五、解答题（7分）：试判断下面级数的敛散性：∑∞1=2⋅3n nn n .六、解答题（7分）： 级数∑∞1=1-11-n n n)(是否收敛？若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛.共6页第3页七、解答题（7分）：求微分方程x y y ='-''的通解. 八、解答题（7分）：求下面微分方程满足初始条件的特解：共6页第4页九、解答题（7分）： 将函数2--=2x x xx f )(展成x的幂级数，并确定其收敛区间.十、解答题（7分）：计算二重积分⎰⎰Dxy d xe σ，其中｝,｜），（｛1≤≤01≤≤0=y x y x D .共6页第5页十一、解答题（7分）：计算二重积分⎰⎰Dxdxdy，其中D 是由直线xy =和圆1=1-+22)(y x 所围成且在直线xy =下方的平面区域.十二、解答题（5分）：设可微函数)(x y 满足⎰0-+=x x dt t y e x y )()(，求)(x y .共6页第6页希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。

2012-2013学年第二学期 期末考试高二年级数学（理科）试题考试时间：120分钟 满分150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把正确答案的对应符号填涂在答题卡上. 1. 设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a 为A ．2B ．C ． D. －22．若实数a 满足|2a-1|< 3,那么a 的取值范围是A. 0<a<2B. <a<2C. -1<a<2D. -2<a<33. 某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时,原油温度（单位：℃）为),50(831)(23≤≤+-=x x x x f ，那么原油温度在第3小时度的瞬时变化率为 A ．0 B ．3 C ． 8 D ． 11 4.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)= p ，则P(-1<ξ<0)=A ．p +21B ．p -21 C ．1-p D ．1-2p5.类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ 注：正四面体是侧面与底面为全等的正三角形的三棱锥 ）① 各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；② 各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③ 各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。

A ．①②③ B ．①② C ．① D ．③6. 一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为A ．41004901C C -B ．4100390110490010C C C C C + C ．4100110C C D ．4100390110C C C7.已知R 上的可导函数的图象如图所示，函数的两个零点分别为-2和2，两个极值点分别为-1和1，若为函数的导函数，则不等式的解集为A.B.C. D.8.数组（x,y,z ），其中,且x<y ≤z,如（0,1,1），（1,2,3）,(8,9,9),这样的数组共有A.45个B.120个C.165个D.576 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分。

2012-2013学年佛山市普通高中教学质量检测高 一 数 学本试卷共4页，20小题，满分150分. 考试时间120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卡的相应位置上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4. 考生必须保持答题卷的整洁. 考试结束后，将答题卷和答题卡交回.一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分，共50分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}1,3,4,6,8A =，{}2,4,5,6B =，则图中阴影部分所表示的集合是A . {}2,5B . {}4,6C . {}2,4,5,6D . {}1,3,82. 下列函数中，与函数x y =有相同图象的一个函数是A ．2x y =B ．xx y 2=C . x a a y log =D . 2)(x y =3. 函数)162(log 2≤<=x x y 的值域是A . )4,1(B . ]41(，C . ),0(+∞D . ),(+∞-∞4. 已知角α终边上有一点P (3,-4)，则αsin 的值是A . 54-B .53 C . 53±D . 54±5. 函数2(01)x y a a a =+>≠且图象一定过点A . (0, 1)B . (0, 3)C . (1, 0)D . (3, 0)6. 函数)(x f 是定义在R 上的周期函数，最小正周期是π，若23)32(=πf ，则5()3f π的值为A . 21- B .23 C . 23-D .212013 . 17. 若⎪⎭⎫ ⎝⎛===31log ,3.0,222131c b a ，则,,a b c 大小关系为A . a b c >>B . a c b >>C . c b a >>D . b a c >>8. 若21cos sin =⋅θθ，则下列结论中一定成立的是 A . 22sin =θ B . 22sin -=θ C . 1cos sin =+θθD . 0cos sin =-θθ9. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，所得图象的函数解析式是 A . )42sin(π+=x yB . )42sin(π-=x y C . x y 2cos =D . x y 2cos -=10. 定义运算：,,,.a ab a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩ 则函数()12xf x =*的图象大致为A.B .C .D .二、填空题：本大共4小题. 每小题5分，满分20分. 11. 与︒2013终边相同的最小正角是_______________. 12.︒︒-︒-600sin )420cos()150tan(= .13. 已知2log 3=a ，那么6log 28log 33-用a 表示为 .14．已知)(x f 是奇函数，定义域为}0{≠∈x R x x 且，又)(x f 在),0(+∞上是增函数，且0)1(=-f ，则不等式0)(>x f 的解集为 .三、解答题：本大题共6小题, 满分80分, 解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分12分）已知函数1)(-=x x f .(Ⅰ) 判断函数)(x f 的奇偶性；(Ⅱ) 证明)(x f 在),0(+∞内是减函数.已知2t an =α，并且α是第三象限角.(Ⅰ) 求αsin 和αcos 的值；(Ⅱ) 求)sin()2sin(αππα-⋅+的值.17.（本题满分14分）已知),0()sin()(πϕπωϕω<<->+=x A x f 图象的一部分如图所示.(Ⅰ) 写出ϕω,,A 的值；(Ⅱ) 已知)6()(π+=x f x g ，求出)(x g 的单调增区间.(Ⅲ) 若D 是)(x f 图象上的一个最高点，则用单位圆上的圆心角(弧度数)表示D x 为NQR x D ∠=(20π≤∠≤NQR ).现有)(x f 图象上两个点B ,C (BC ∥x 轴)对应的横坐标分别为C B x x ,，请在左边单位圆上作出C B x x ,对应的正弦线MP ，并用单位圆上圆心角(弧度数)表示C B x x ,的大小；18.（本题满分14分）已知函数b a bax xx f ,()(+=为常数，)0≠a 满足1)2(=f 且方程x x f =)(有唯一解. (Ⅰ) 求函数)(x f 的解析式；(Ⅱ) 解方程||2)(x x f =.某地通过市场调查得到西红柿种植成本Q (单位：元∕千克)与上市时间t (单位：50天)的数据如下表：(Ⅰ) 根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述Q 与t 的变化关系，并求出函数的解析式；b at Q +=，c bt at Q ++=2，t b a Q ⋅=，t a Q b log ⋅=.(Ⅱ) 利用选取的函数，求西红柿最低种植成本及此时的上市天数.20.（本题满分14分）已知函数x e x g =)(( 718.2=e )的图象如图所示. (Ⅰ) 在所给坐标系中画出1)1()(+-=x e x ϕ的图象； (Ⅱ) 利用(Ⅰ)中所作的图象，比较)9.0(g 与)9.0(ϕ的大小； (Ⅲ) 若62ln )(-+=x x x f 只在区间)3,2(内有意义且连续.判断62ln )(-+=x x x f 在区间)3,2(内存在零点c ，并找出零点c 的近似值0x 所在的一个区间，使得1.0||0<-c x .2012-2013学年佛山市普通高中教学质量检测(高一数学)参考答案与评分标准 一、选择题（每题5分，共50分）二、填空题（每题5分，共20分） 11．︒213 12．31-13．2-a 14．()()+∞-,10,1 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分12分）解：(Ⅰ) 函数)(x f 的定义域为{}0≠x x ，关于原点对称. …………2分1)(-=x x f ，)()()(11x f x x x f -=-=-=-∴--. ……………………4分∴)(x f 为奇函数.……………………………5分(Ⅱ) 设21,x x 是),0(+∞上的任意两数，且210x x <<，……………6分则2112212111)()(x x x x x x x f x f -=-=-.……………………………9分 ∵210x x <<，∴012>-x x ，021>x x .………………………10分 ∴)()(21x f x f >.…………………………………………………11分 ∴)(x f 在),0(+∞内是减函数. ……………………………12分 16．（本题满分12分） 解：(Ⅰ) 因为2tan =α，所以2cos sin =αα即ααcos 2sin =.………1分 代入1cos sin 22=+αα得1cos )cos 2(22=+αα.………2分解得：55cos ±=α，552sin ±=α.…………4分 又因为α是第三象限角，所以0cos ,0sin <<αα.……6分所以552sin -=α，55cos -=α.………………………8分 (Ⅱ) 52)55()552(sin cos )sin()2sin(=-⋅-=⋅=-⋅+αααππα.…12分17.（本题满分14分）解：(Ⅰ) 0,1,1===ϕωA .………………………………3分(Ⅱ) )6sin()6()(ππ+=+=x x f x g .……………………………4分当)(x g 为增函数时，Z k k x k ∈+≤+≤+-,22622πππππ，……………………………5分即Z k k x k ∈+≤≤+-,23232ππππ.……………………7分 ∴)(x g 的递增区间为Z k k k ∈++-],23,232[ππππ.………8分 注：写成开区间不扣分.(Ⅲ) 延长线段CB 交单位圆Q 于点P (如图)，过P 作x PM ⊥轴于点M ，则MP 为C B x x ,对应的正弦线. ………………………………………10分2MQP x x C C ∠+=∴∈πππ2),25,2( (20π≤∠≤MQP ).……………14分注：未注明20π≤∠≤MQP 不扣分.18.（本题满分14分）解：(Ⅰ) 由题意得：122)2(=+=ba f . ① …………1分又∵0)(=-+=-x bax xx x f 只有一个根，∴0)1(2=-+x b ax 有唯一解. ∴004)1(2=⋅⋅--a b . ② …………3分注：0)1(2=-+x b ax 有唯一解⇔0)1(=-+b ax x 的两根都是0，从而1=b . …3分解①、②联立的方程组，得21=a ，1=b . ………………………………………………………4分∴22)(+=x xx f .………………………………………5分(Ⅱ) 方程为||222x x x=+.……………………………6分 显然0=x 是方程的一个解.…………………………………7分当0>x 时, 方程化为x x x222=+，解得1-=x ，不适合方程.……10分 当0<x 时，方程化为x x x222-=+，解得3-=x .…………………………13分 综上所解，方程||2)(x x f =有两个解0、-3.………………………14分 19. （本题满分14分）解：(Ⅰ) 易知函数不可能是常数函数，从而函数b at Q +=，t b a Q ⋅=，t a Q b log ⋅=中都应有0≠a .……………………………………1分此时上述三个函数均为单调函数，这与数据不吻合，所以选取二次函数c bt at Q ++=2进行描述. ………………………………………2分注：没有前面的说明，直接选取二次函数c bt at Q ++=2进行描述只给1分.表格数据分别代入c bt at Q ++=2，得到⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=.5254,242,4c b a c b a c b a……………………………………………6分 解方程组得：322,4,32=-==c b a .………………9分 所以函数为3224322+-=t t Q .……………………………10分(Ⅱ) 34)3(3232243222+-=+-=t t t Q .……………………………………12分 当t = 3时，即在第150天时，西红柿种植成本最低为34=Q .………14分20. （本题满分14分）解：(Ⅰ) 如图，1)1()(+-=x e x ϕ的图象是一条直线(过点（0,1）和(1,e )).…………2分(Ⅱ) 作直线9.0=x 分别交)(x g 和)(x ϕ于A ，B 两点.……………………3分 因为B 在A 上方，所以)9.0()9.0(g >ϕ.……………………………4分 (Ⅲ) 因为)(x f 在区间)3,2(内连续，所以在区间[]e ,5.2上也连续. ………5分01ln 15.2ln 655.2ln )5.2(=-<-=-+=e f 04.067.22162ln )(>=-⨯+>-+=e e e f ， 0)()5.2(<⋅∴e f f .…………………………7分所以)(x f 在区间),5.2(e 内存在零点c . …………8故)(x f 在区间)3,2(内存在零点c .…………………9注：用)2(f 和)3(f 说明区间)3,2(因为6.2548.21.072.29.01.09.019.0)1()9.0(<=+⨯<+=+⨯-=e e ϕ， 又)9.0()9.0(g >ϕ，所以6.29.0<e.6.2ln 9.0<∴.………………11分01.08.09.08.06.2ln 62.56.2ln )6.2(>=->-=-+=f ， 0)6.2()5.2(<⋅∴f f .…………………………………………13分∴零点c 属于区间)6.2,5.2(.若取零点c 的近似值0x 所在的一个区间为)6.2,5.2(，则1.0|5.26.2|||0=-<-c x ， ∴零点c 的近似值0x 可取区间)6.2,5.2(. …………………………14分注：若只写出满足条件的0x 值，不说明理由不给分；满足条件的0x 值不在区间)6.2,5.2(内，理由正确给满分.希望阅卷时重视规范表达的要求，比如说明或解释的语言、关联字词、程序等.。

高等数学ＡII 期末考试题（2012级）一、填空题（每小题3分，共12分）1. (,)sin 2cos f x y x y =，则(,)2x f ππ= 。

解：()()(,)sin 2cos sin 2cos =2cos 2cos sin 2sin (,)22x f x y x y x y x y x yf ππ'''=+-∴= 2.设21,0()1,0x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩ 是以2π为周期的函数，其傅里叶级数在点x π=处收敛于 。

解：易见，x π=是函数的间断点，则在该点处傅里叶级数收敛于221[1(1)]22ππ++-=3.(,)(0,0)lim x y →= 。

解：2(,)(0,0)(,)(,)11lim lim lim 2x y x y x y →→→- 4. 设(2,1,2),b (4,1,10),c b ,a a λ==-=-且a c ⊥，则=λ 。

解：c b (42,1,102),02(42)(1)2(102)03a c a c a λλλλλλλλ=-=----⊥⇒⋅=⇒-+--+-=⇒=二、选择题（每小题3分，共12分）1.幂级数n n ∞=的收敛域是（ ） （Ａ）(1,1]- （Ｂ）(),-∞+∞ （Ｃ）(1,1)- （Ｄ）[1,1)-解：1lim 1n n n n a a ρ+→∞→∞=== 则收敛半径为1 当1x =-时，级数成为n n ∞=，由莱布尼兹审敛法知其收敛当1x =时，级数成为0n ∞=，发散 故收敛域为[1,1)- 选D 2.函数222z x y =+在点（1,1）处的梯度为（ ）（Ａ）42i j + （Ｂ）42i j -+ （Ｃ） 42i j - （Ｄ）42i j -- 解：(1,1)(1,1)(4,2)(4,2)gradf x y == 选A3. 以下命题不正确的是（ ） （Ａ）若11lim >=+∞→ρn n n u u ，则1n n u ∞=∑发散（Ｂ）若1n n u∞=∑收敛，则20131n n u ∞+=∑收敛（Ｃ）若级数1n n u∞=∑收敛，且(n 1,2,)n n u v ≥=L ，则级数1n n v ∞=∑也收敛 （Ｄ）若1(u)n n n v ∞=+∑收敛，则11u n n n n v ∞∞==∑∑，不一定都收敛 注意到C 是正项级数的审敛法。

高数(AI)复习题P5例2P37例2、例3、例4、例5、例6、例7、例8P39 习题 1-5Ex1.(1)、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）Ex2.（3）、（5）Ex5.P43～P44 例4P45 习题 1-6Ex1.(1)、（2）、（4）、（7）、（9）P48 例3、例4P48 习题 1-7Ex4.(1)、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）Ex5.P51 例5、例6、例7、例8、例9P57 习题 1-9Ex3P59 例1P60 习题 1-10Ex1、Ex2、Ex3、Ex5P65 例6P68 习题 2-1Ex2.（2）、（3）、（4）Ex8、Ex10P71 例6、例7、例8、例9P75 习题 2-2Ex5.(1)～(14)P79 习题 2-3Ex2、Ex3P80～P83 例2、例3、例4、例5、例6、例8、例10P89 ～P90例5、例6、例7、例8、例9P98例5P102 习题 3-1Ex6、Ex7、Ex9、Ex12P103 例1、例2、例3、例4、例5、例6、例7、例8、例9、例10P115例6P117～P118例8、例9、例10P120例1、例2P122习题3-5Ex1P126例3、例4P150～P151例5、例7、例9、例10、例11、例12、例13、例14、例15 P152 习题 4-1Ex1.(1)、(2)、（5）P154～P155例1、例2、例3、例4、例5、例6、例7、例8、例9、例10、例11、例12、例13、例14P157～P158例19、例20、例21P163～P164例1、例2、例3、例4、例5、例6、例7P165例11P184例7P184习题 5-2Ex1.（2）、（3）、（7）、（12）Ex2Ex3.(1)、（5）、（7）、（10）Ex4.P187例2、例3、例4P190～P191习题 5-3Ex1.（2）、（3）、（4）、（5）、（7）、（9）、（11）、（12）、（16）、（18）、（20）Ex6.(1)、（2）、（3）、（6）、（7）、（9）P197习题 5-4Ex1.Ex2.(1)、（2）、（5）P199～P203例1、例2、例4、例5、例6、例7P206～P208例11、例13P225例2、例3P227例1P231例1、例2P234～P235例2、例4P240～P242例1、例2、例3P244例1、例2、例3、例4一、填空题(每空３分 ) 1. ()lg 3x f x -=的定义域是_____________________;2.()1arctan1f x x =-的定义域是____________________________; 3. 若2(1)241f x x x +=+-,求()f x =________________________;4. 若21lim 51x x bx cx→++=-,则c =________________________; 5. 123lim 21x x x x +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭＝______________;6. 已知0cos lim1sin xx x xa x be →=+,则a =__________,b =__________;7. 设ln x 是()f x 的一个原函数,则()____________f x '=;8. 设()103f '=,且对任意的x 有()()33f x f x +=,则()3f '=_________;9. y =在1x =处的切线方程为_____________________________。

共 6 页 第1页 南京工程学院试卷2013 /2014 学年 第 2 学期课程所属部门： 数理部 课程名称： 高等数学AII____________考试方式： 闭卷(a2卷) 使用班级： 工本_ ___命 题 人： 集体 教研室主任审核： 主管领导批准：____________题号一 二三四五六七八九十总分 得分一、单项选择题：（本大题共5小题，每题3分，共15分） 1. 在空间直角坐标系中，方程组224z x y z ⎧=+⎨=⎩代表的图形的是 （ ）（A ） 球面 （B ） 旋转抛物面 （C ） 圆柱面 （D ） 圆2．函数),(y x f 在点),(00y x 处的偏导数存在，则=--+→hy h x f y h x f h ),(),2(lim00000（ ）（A ）),(00y x f x ； （B ）),(300y x f x ； （C ）),(200y x f x ； （D ）0．3．设曲面∑为圆锥面22y x z +=被圆柱面122=+y x 的部分，则=⎰⎰∑dS （ ）(A) π (B) π2 (C) π2 (D) π224．已知级数∑∞=-1)2(n n n x a 在6=x 处条件收敛，则该级数在4-=x 处 （ ）（A ）绝对收敛； （B ）条件收敛；（C ）发散； （D ）敛散性不能确定．5． 设}0,0,1|),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，则二重积分⎰⎰=--Ddxdy y x 221 ( )(A) 半径为1的球的体积的81； (B) 半径为1的球的体积；(C) 半径为1的球的体积的1； (D) 半径为1的球的体积的一半。

本题 得分班级 学号 姓名______________南京工程学院A试题评分标准及参考答案2013 / 2014 学年第 2 学课程名称： 高等数学AII 使用班级： 工本 （a2卷）制 作 人： 尤兴华 14 年 6 月共4 页 第 1 页。

2012～2013学年度第一学期《高等数学AI 》期末考试参考答案及评分标准课程代码： 1590116 试卷编号： 2-A一、单项选择题（2分×10小题=20分）1、若1(cos 2)2F x C+()()f x dx F x C =+⎰，则cos2(sin 2)xf x dx =⎰（D ）A ．(sin 2)F x C +B 、(cos 2)F xC + C 、 1(cos 2)2F x C +D 、1(sin 2)2F x C +2、方程()2212z x y =+表示的曲面是（ C ）A 、旋转锥面；B 、双曲抛物面；C 、旋转抛物面.D 、椭圆柱面；3、.设函数()f x 在点0x 处有定义是函数()f x 在该点极限存在的 ( A ) A 、非充分非必要条件； B 、必要条件； C. 充要条件； D 、充分条件；.4、设2xy e =，则dy =（ C ）A 、22xxe dx ； B 、2xe dx ； C 、22xxe d ； D 、2ln 2xe dx . 5、 设函数()yf x =是由方程sin()ln()xy x y x +-=确定的隐函数，则x dy dx==（ ）A 、1；B 、0；C 、-1；D 、12. 6、设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续可导，()0g x ≠且()()()()0f x g x f x g x ''->，则当a x b <<时，有（ ）成立A.()()()()f x f bg x g b <； B. ()()()()f x g x f b g b <； C.()()()()f x f ag x g a <； D. ()()()()f x g x f a g a <. 7、已知(0)0f '=，(0)2f ''=，则(0)f 一定是函数()f x 的（ ） A 、极小值； B 、极大值； C 、最大值； D 、最小值. 8、下列反常积分中，发散的积分是( ). A 、201dx x +∞+⎰； B 、ln e x dx x +∞⎰； C、10⎰ D 、0xe dx +∞-⎰.9、由曲线x y e =，x y e -=及直线1x =所围成图形的面积是( D ) A 、11e e -++； B 、12e e -++； C 、11e e -+-； D 、12e e -+-. 10、积分上限函数0()xf t dt ⎰是（ C ）A 、()f x 的全部原函数；B 、()f x '的全部原函数；C 、()f x 的一个原函数；D 、()f x '的一个原函数.二、填空题（3分×10小题=30分）1、若()f x 在[,]a a -上连续，则()2()()a a x f x f x dx -⎤+--=⎦⎰22a π2、曲线21(1)x e y x x -=-的铅直渐近线为1x =3、1sin(1)1lim (1)sin 11x x x x x →-⎡⎤+-=⎢⎥--⎣⎦1 . 4、曲线sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=41y -=.5、221200sin x x d xe dx t dt dx -⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰⎰42x x sin .6、2arctan 1xdx x+∞=+⎰82π. 7、已知03x →=，则0lim ()x f x →= 12 .8、已知()241f x x '=+，则()f x =c x x ++331. 9、设(1,3,1),(1,1,2)(2,3,4)A B C (1,3,1),(1,1,2)A B 和(2,3,4)C ，则AB AC =310、若函数2,0()ln(12),0x a e x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩在其定义域内连续，则a = 1 .三、计算题（7分×4小题=28分）1、已知极限32213lim 1x x x x ax →+-+-存在，试求a 的值，并计算此极限. 解：由于132231-+-+→x a x x x x lim 的极限存在，且其分母的极限为0，所以得： ()033231=+=+-+→a a x x x x lim ， ………2分从而a=3 ………4分133lim 13lim 22312231---+=-+-+→→x x x x x a x x x x x ………6分 41)3)(1(lim 221=-+-=→x x x x ………7分 2、设sin 0()1x xx f x x x ≥⎧=⎨+<⎩，求31(2)f x dx -⎰.解： 令u x =-2 ………2分⎰-31 )2(dx x f =⎰11- )(du u f ………4分=⎰+01- )1(du u +⎰1sin udu u ………5分=012)21(-+u u +1)sin cos (x x x +-=211cos 1sin +- ………7分 3、设x x sin 2)1(y +=，求dxdy. 解： )ln(sin ln 21x x y += ………3分221211x xx x x dx dy y +++=sin )ln(cos………5分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=2221211x x x x x x dx dy x sin )ln(cos )(sin ………7分 4、求曲线1y x=与直线y x =，2x =所围成的平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积.解：⎪⎩⎪⎨⎧==x y x y 1 先求交点 得 （1 ，1）并作图 ………2分⎰-=2122])1([dx xx V π ………5分213)131(xx +=ππ611=………7分四、计算题（8分×2小题=16分）1、求函数x y xe -=的增减区间、极值、凸性区间与拐点.解： x e x y --=')(1，x e x y --='')(2 ……………2分01大于在),(-∞'y ，所以单增在),(1-∞y ;y '）小于零在∞+,(1，所以单减在),(+∞1y ………4分 1(1)y e -=是极大值 ………5分02小于在),(-∞''y ，所以是凸的在),(2-∞y ;y ''）大于零在∞+,(2，所以是凹的在),(+∞2y ………7分 ），（222-e 是曲线的拐点 ………8分2、求过两平面1:3210x y z π+--=，2:23220x y z π-++=的交线且垂直于已知平面50x y z ++-=的平面方程.解: 设所求平面为 0)2232(123=++-+--+z y x z y x λ ………2分 则 0)21(1)32(1)23(1=+-⨯+-⨯++⨯λλλ ………4分4-=λ解出 ………6分故所求平面方程为 099145=++-z y x ………8分五、证明题（本题6分）设()f x 在[0,]π连续，且在(0,)π可导，证明 (0,)ξπ∃∈使()()cot f f ξξξ'=-.证 令 x x f x F sin )()(= ………2分在],0[π连续，在),0(π可导 且 0)()0(==πF F由罗尔定理 ∈∃ξ),0(π 使0)('=ξF ………4分 即 0cos )(sin )(')('=+=ξξξξξf f F亦即 ξξξcot )()('f f -= ………6分。