高三一轮学案：与不等式有关的代数式最值问题教师版

高三一轮复习专题一基本不等式及其应用【考点预测】 1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号； 基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a bab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)222,1122a b a b ab a b R a b+++≤≤≤∈+即 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn xnmx ，当且仅当m n x =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当m n a x =-时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当a cx =时等号成立； 模型四：)0,0,0(4)21)()(22mnx n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成 立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值题型八：利用基本不等式解决实际问题【典例例题】题型一：基本不等式及其应用例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +≥>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b ≤>>+ D ．0,0)2a b a b +>>【答案】D 【解析】 【分析】设,AC a BC b ==，得到2a br OF +==，2a b OC -=，在直角OCF △中，利用勾股定理，求得222=2a b FC +，结合FO FC ≤，即可求解.【详解】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===， 又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，因为FO FC ≤，所以2a b +≤a b =时取等号． 故选：D.例2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（ ） A ．()2111x x >∈+R B ．()12,sin sin xx k x k π+>≠∈Z C ．21ln ln (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭D ．()212x x x +≥∈R【答案】D 【解析】 【分析】 由211x +≥得211x +的范围可判断A ；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B ；作差比较214x +与x 的大小可判断C ；作差比较21x +与2x 的大小可判断D.【详解】因为x ∈R ，所以211x +≥，所以21011x <≤+，故A 错误； 1sin 2sin x x+≥只有在sin 0x >时才成立，故B 错误； 因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以214x x +≥，所以21ln ln 4x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，故C 错误；因为()221210x x x +-=-≥，所以212x x +≥，故D 正确. 故选：D.（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（ ） A ．9ln ln y x x=+B ．36sin 2sin y x x=+C ．233xxy -=+ D ．2y =【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】解：对于A 选项，当()0,1x ∈时，ln 0x <，此时9ln 0ln x x+<，故A 不正确.对于B 选项，36sin 62sin y x x =+≥，当且仅当36sin 2sin x x =，即1sin 2x =时取“=”，故B 正确.对于C 选项，2336x x y -=+≥=，当且仅当233x x -=，即1x =时取“=”，故C 正确.对于D 选项，26y ≥=，=27x =-无解，故D 不正确.故选：BC.（多选题）例4．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（ ）A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a b a b+≥+D ．22a b a b+≥+【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立，A 对；对于B 选项，取1a b ==，则()2221a b a b +<++，B 错；对于C 选项，22b a b a +≥=，22a b a b +≥=， 所以，2222b a a b a b a b +++≥+，即22b a a b a b+≥+，当且仅当a b =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为222a b ab +≥，则()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，所以，()()22222a b a b a ba b a b +++≥=≥++a b =时，两个等号同时成立，D 对.故选：ACD. 【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例5．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（ ） A ．4- B ．4 C ．8 D ．8-【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 的值域求得1ac =，结合基本不等式求得14c a+的最小值.【详解】由于二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩，所以1,0ac c =>，所以144c a +≥=，当且仅当14c a =即12,2a c ==时等号成立.故选：B例6．（2022·湖北十堰·三模）函数()1111642x x x f x -=++的最小值为（ ） A ．4 B ．C ．3D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质以及基本不等式求解. 【详解】因为116224xx x +≥⨯，当且仅当1164x x =，即0x =时等号成立，1122222422x x x x -⨯+=⨯+≥=，当且仅当2222xx⨯=，即0x =时等号成立， 所以()f x 的最小值为4. 故选：A（多选题）例7．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a ，b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值是1 B ．ab 的最大值是1 C ．11a b+的最小值是94D ．11a b +的最大值是92【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比中项整理得44a b +=，直接由基本不等式可得ab 的最大值，可判断AB ；由111()(4)4a b a b +⋅+⋅展开后使用基本不等式可判断CD. 【详解】因为22164a b ⋅=，所以4422a b +=，所以4424a b ab +=，可得1ab ，当且仅当4a b =时等号成立， 所以ab 的最大值为1，故A 错误，B 正确．因为1111419()(4)(14)(524444b a a b a b a b +⋅+⋅=++++=， 故11a b +的最小值为94，无最大值，故C 正确，D 错误． 故选：BC【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值例8．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x-=-，即0x =时取“=”， 所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A例9．（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．D ．3【答案】D 【解析】 由()13131y x x =-++-，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为1x >，所以()131331y x x =-++≥-3=，当且仅当()1311x x -=-，即1x =+时等号成立.所以函数131y x x =+-(1)x >的最小值是3. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 例10．（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x yx y +--的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．3D ．3+【答案】D 【解析】利用给定条件确定1,1x y >>，变形211x y x y +--并借助均值不等式求解即得. 【详解】因0x >，0y >且x y xy +=，则xy x y y =+>，即有1x >，同理1y >， 由x y xy +=得：(1)(1)1x y --=，于是得11222123()33111111x y x y x y x y +=+++=++≥+=+------当且仅当2111x y =--，即11x y =+=“=”，所以211x y x y +--的最小值为3+ 故选：D例11．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.例12．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy =，且102y <<，则22416x yx y -+最大值为______．【解析】由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x=>，可得40x y ->，再将22416x y x y -+化为18(4)4x y x y-+-后利用基本不等式求解即可． 【详解】解：由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x =>，代入440x y x x-=->，又222441816(4)8(4)4x y x y x y x y xy x y x y--==≤=+-+-+-当且仅当844x y x y-=-，即4x y -= 又1xy =，可得x =y =时，不等式取等， 即22416x y x y -+，． 【方法技巧与总结】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件．题型四：消参法求最值例13．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-，则___________.【答案】【解析】 【分析】将点(1,1)-代入直线方程可得3a b +=. 【详解】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b += 又0,0a b >>，设t =0t >2126t a b =++++=+由()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立.所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立. 故答案为：例14．（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x=+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=， 2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212xyz+-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.例15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ） A ．2 B．2 C．2 D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据220ab a +-=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842， 用凑配方式得出()b b ++-+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222， 当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.例16．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______． 【答案】12【解析】 【分析】由已知得a ＝23b b -，代入2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】因为正实数a ，b 满足b +3a ＝2ab ， 所以a ＝23bb -，则2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12， 当112b =，即b ＝2 时取得最大值12．故答案为：12． 【点睛】思路点睛：b +3a ＝2ab ，可解出a ，采用二元化一元的方法减少变量，转化为1b的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值.例17．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题中所给等式可化为211()xy y x-=，再通过平方关系将其与11x y +联系起来，运用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44)xy y y x xy xy x -+=+=+≥，当且仅当14xy xy =，即22x y ==211x y+.故答案为:2例18．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若220,0,422>>+-=a b a b ab ，则12++ab a b的取值范围是_________．【答案】23⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】根据已知可得2(2)206a b ab +-=>，求得2a b +>2(2)26a b ab +=+结合基本不等式可求得02a b <+≤12++ab a b变形为14262a b a b ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，采用换元法，利用导数求得结果. 【详解】由题意220,0,422>>+-=a b a b ab 得：2(2)206a b ab +-=> ，则2a b +>，又222(2)26232+⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭a b a b ab ，当且仅当2b a ==时取等号，故02a b <+≤2a b <+≤ 所以1142262ab a b a b a b +⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭，令2,t a b t =+∈ ，则14()()6f t t t =+ ，222144()(1)66t f t t t -'=-=，2t << 时，()0f t '<，()f t 递减，当2t <≤时，()0f t '>，()f t 递增，故min 2()(2)3f t f ==，而f = ，f =，故2()[3f t ∈，即2[312ab a b ∈++，故答案为：23⎡⎢⎣⎦【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！题型五：双换元求最值例19．（2022·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，则2ab -的最大值为（ ）A ．3B ．C ．1D ．2+【答案】D 【解析】【分析】法一：设c b =-，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-=≤+当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.例20．（2022·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+ 【解析】 【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>> ，则2m n +=，由此可将4a b a b c+++变形为421m n +-，结合基本不等式，即可求得答案。

第七章不等式、推理与证明7.1二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题必备知识预案自诊知识梳理1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的.我们把直线画成虚线以表示区域边界直线.当我们在平面直角坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应边界直线,则把边界直线画成.(2)因为把直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的即可判断Ax+By+C>0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的相关概念1.二元一次不等式表示的平面区域二元Ax+By+C ≥0(A>0,B>0)Ax+By+C≤0(A>0,B>0)Ax+By+C ≥0(A>0,B<0)Ax+By+C≤0(A>0,B<0)平面 区域考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)不等式x-y-1>0表示的平面区域在直线x-y-1=0的上方. ( ) (2)两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)在直线Ax+By+C=0异侧的充要条件是(Ax 1+By 1+C )(Ax 2+By 2+C )<0.( )(3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域. ( ) (4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上. ( ) (5)在目标函数z=ax+by (b ≠0)中,z 的几何意义是直线ax+by-z=0在y 轴上的截距. ( ) 2.不等式组{x -3y +6<0,x -y +2≥0表示的平面区域是( )3.(2020湖南长沙一中第三次调研)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组{2x +3y -6≤0,x +y -2≥0,y ≥0所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是( ) A.1B.√2C.2D.2√24.(2020福建漳州二模,文14)若实数x ,y 满足{x +y ≥2,x +3y -3≤0,y ≥0,则yx 的最大值是 .5.(2020全国2,文15)若x ,y 满足约束条件{x +y ≥-1,x -y ≥-1,2x -y ≤1,则z=x+2y 的最大值是 .关键能力学案突破考点二元一次不等式(组)表示的平面【例1】(1)(2020河南天一大联考)不等式组{x -2≤0,x -2y +4≥0,-x -y +2≤0表示的平面区域的面积为 .(2)已知实数x ,y 满足{x ≥1,x -2y +1≤0,x +y ≤m ,若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形,则m的取值范围为 .(组)表示的平面区域的方法是什么?求平面区域的面积的技巧是什么?解题心得1.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法:(1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组).若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就表示直线与特殊点异侧的那部分区域.当不等式中带等号时,边界画为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.(2)也常利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:对于Ax+By+C>0或Ax+By+C<0,则①当B (Ax+By+C )>0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方;②当B (Ax+By+C )<0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方.2.求平面区域的面积的方法:(1)首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域;(2)对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高;若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解;若为不规则四边形,则可分割成几个三角形分别求解再求和.(3)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解.对点训练1(1)已知不等式组{x ≥0,x -√3y ≤0,x +√3y -2√3≤0,表示的可行域为D ,则可行域D 的面积为( )A.2√3B.2C.√3D.√32(2)设命题p :实数x ,y 满足{x -y ≤0,x +2y ≤2,x ≥-2,命题q :实数x ,y 满足(x+1)2+y 2≤m ,若p 是q 的必要不充分条件,则正实数m 的取值范围是 .考点求目标函数的最值问题 (多考向探究)考向1 求线性目标函数的最值【例2】(1)(2020全国1,文13)若x ,y 满足约束条件{2x +y -2≤0,x -y -1≥0,y +1≥0,则z=x+7y 的最大值为 .(2)(2020福建福州模拟,理13)设x ,y 满足约束条件{2x +y -2≥0,x -2y +4≥0,x ≤2,则z=x-3y 的最小值?求非线性目标函数的最值【例3】(1)(2020河南郑州质检)已知变量x ,y 满足{x -2y +4≤0,x ≥2,x +y -6≥0,则k=y+1x -3的取值范围是( )A.(-∞,-5]∪12,+∞B.-5,12C.(-∞,-5)∪12,+∞D.-5,12(2)(2020安徽马鞍山模拟)已知实数x ,y 满足{x ≤1,y ≤x +1,y ≥1-x ,则x 2+y 2的最大值与最小值之和?求参数值或取值范围【例4】(1)设x ,y 满足不等式组{x +y -6≤0,2x -y -1≤0,3x -y -2≥0,若z=ax+y 的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a 的取值范围为( )A .[-1,2]B .[-2,1]C .[-3,-2]D .[-3,1](2)(2020江西南昌十中月考)若实数x ,y 满足不等式组{x +y -1≥0,x -y +1≥0,x ≤a ,若目标函数z=ax-2y的最大值为13,则实数a 的值是( )B.4C.5D.6?4 最优解不唯一的条件下求参数的值【例5】已知x ,y 满足约束条件{x +y -2≤0,x -2y -2≤0,2x -y +2≥0.若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为 .,目标函数有什么特点?解题心得1.利用可行域求线性目标函数最值的方法:利用约束条件作出可行域,根据目标函数找到最优解时的点,解得点的坐标代入求解即可.2.利用可行域及最优解求参数及其范围的方法:(1)若限制条件中含参数,依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来,寻求最优解,确定参数的值;(2)若线性目标函数中含有参数,可对线性目标函数的斜率分类讨论,以此来确定线性目标函数经过哪个顶点取得最值,从而求出参数的值;也可以直接求出线性目标函数经过各顶点时对应的参数的值,然后进行检验,找出符合题意的参数值.3.利用可行域求非线性目标函数最值的方法:画出可行域,分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得最值.对点训练2(1)(2020山西太原五中二模,理5)若x ,y 满足约束条件{x -2y -2≤0,x -y +1≥0,y ≤0,则z=3x+2y的最大值为( )A.4B.5C.6D.7(2)(2020浙江衢州二中检测)若实数x,y满足约束条件{x-y+1≥0,2x+3y≤6,y+1≥0,则z=2|x|-y的最小值是()A.-25B.5C.-1D.-2(3)(2020江西高三月考,文7)已知{x-y+1≥0,7x-y-7≤0,x≥0,y≥0表示的平面区域为D,若“∃(x,y),2x+y>a”为假命题,则实数a的取值范围是()A.[5,+∞)B.[2,+∞)C.[1,+∞)D.[0,+∞)(4)(2020重庆一中模拟,文15)已知实数x,y满足{x-y-2≤0,x+2y-5≥0,y-2≤0,则函数z=4x·(18)y的最小值为.考点线性规划的实际应用【例6】某家具厂有方木料90 m3,五合板600 m2,准备加工成书桌和书橱出售,已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3,五合板2 m2,生产每个书橱需要方木料0.2 m3,五合板1 m2,出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元.(1)如果只安排生产书桌,可获利润多少???其注意事项是什么?解题心得利用线性规划求解实际问题的一般步骤(1)认真分析并掌握实际问题的背景,收集有关数据;(2)将影响该问题的各项主要因素作为决策量,设未知量;(3)根据问题的特点,写出约束条件;(4)根据问题的特点,写出目标函数,并求出最优解或其他要求的解.对点训练3(2020河北张家口二模,理9)某市政府投入资金帮扶某农户种植蔬菜大棚脱贫致富,若该农户计划种植冬瓜和茄子,总面积不超过15亩,帮扶资金不超过4万元,冬瓜每亩产量10 000斤,成本2 000元,每斤售价0.5元,茄子每亩产量5 000斤,成本3 000元,每斤售价1.4元,则该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为()A.4万元B.5.5万元C.6.5万元D.10万元1.非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.2.线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略:(1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,因此对于一般的线性规划问题,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值.(2)由目标函数的最值求参数.求解线性规划中含参问题的基本方法有两种:一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,通过观察的方法确定含参数的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数的值.第七章不等式、推理与证明7.1二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2.线性约束条件 可行解 最大值 最小值 最大值 最小值考点自诊1.(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×2.C3.B 作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示,因此|OM|的最小值为点O 到直线x+y-2=0的距离,所以|OM|min =√2=√2.4.13 作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分,设y x =k OP ,P 为可行域上一点,其中O (0,0),P (x ,y ),由{x +y =2,x +3y -3=0,得A32,12,所以由图可知,当P 位于A 时,(y x )max =k OA =13.5.8 作出可行域如图所示(阴影部分).因为z=x+2y ,所以y=-12x+z2.作出直线y=-12x ,平移直线可知,当直线过点A 时,z2最大,即z 最大. 由{2x -y =1,x -y =-1,解得{x =2,y =3,故A (2,3).所以z max =2+2×3=8.关键能力·学案突破例1(1)3 (2)(2,+∞) (1)作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示,平面区域为△ABC 及其内部,其中A (2,0),B (0,2),C (2,3), 所以所求面积为12×2×|AC|=3.(2)如图所示,{x ≥1,x -2y +1≤0所表示的平面区域为图中的阴影部分,易知直线x=1与x-2y+1=0的交点坐标为A (1,1),不等式组所表示的平面区域形状为三角形,则点A 位于直线x+y=m 下方,据此有1+1<m ,即m 的取值范围为(2,+∞).对点训练1(1)C (2)0,12 (1)作出不等式组{x ≥0,x -√3y ≤0,x +√3y -2√3≤0对应的可行域如图,由{x =0,x -√3y =0,得A (0,0),由{x -√3y =0,x +√3y -2√3=0,得C (√3,1),由{x =0,x +√3y -2√3=0,得B (0,2),则区域D 的面积S=12×2×√3=√3.故选C. (2)根据题意,m 为正实数,所以满足q 的点(x ,y )在以(-1,0)为圆心,以√m 为半径的圆周及其内部,记作Q ,满足条件p 的点构成的集合记作P ,因为p 是q 的必要不充分条件,所以Q ⫋P.如图,设直线x=-2和直线x+2y=2的交点为A ,直线x-y=0和直线x+2y=2的交点为B ,直线x=-2和直线y-x=0的交点为C , 则点(-1,0)到直线AC 的距离d 1=1, 点(-1,0)到直线BC 的距离d 2=√1+1=√22,点(-1,0)到直线AB 的距离d 3=√12+22=3√55, 所以点(-1,0)到三角形ABC 边界的最小距离为√22.所以√m ≤√22,即m ∈0,12.例2(1)1 (2)-7 (1)画出不等式组表示的平面区域,如图(阴影部分)所示,将目标函数z=x+7y 变形可得y=-17x+17z ,平移直线y=-17x.由图可得z 在点A 处取得最大值. 由{x -y -1=0,2x +y -2=0,得{x =1,y =0,所以A (1,0),所以z max =1+7×0=1.(2)在坐标系中画出x ,y 满足约束条件{2x +y -2≥0,x -2y +4≥0,x ≤2的可行域,如图所示,由z=x-3y 可得y=13x-13z ,则-13z 表示直线z=x-3y 在y 轴上的截距,截距越大,z 越小,平移直线x-3y=0,经过点A 时,z 最小,由{x =2,x -2y +4=0,可得A (2,3),此时z min =2-3×3=-7.例3(1)A (2)112 (1)作不等式组表示的可行域,如图所示.由于k=y+1x -3表示动点M (x ,y )与定点P (3,-1)连线的斜率.又k PA =4-(-1)2-3=-5,且直线x-2y+4=0的斜率为12.所以k 的取值范围为(-∞,-5]∪12,+∞.(2)作出不等式组{x ≤1,y ≤x +1,y ≥1-x 表示的可行域,如图阴影部分所示,x 2+y 2的几何意义是原点O 到可行域内点的距离的平方,由图可知,点O 到直线x+y-1=0的距离最小,为√22.可行域内的点B 与坐标原点的距离最大,为√22+12=√5. 所以x 2+y 2的最大值与最小值之和为5+12=112.例4(1)B (2)A (1)由z=ax+y 得y=-ax+z ,如图,作出不等式组对应的可行域(阴影部分),则A (1,1),B (2,4).由题意和图可知,直线z=ax+y 过点B 时,取得最大值为2a+4,过点A 时,取得最小值为a+1,若a=0,则y=z ,此时满足条件,若a>0,k=-a<0,则目标函数的斜率满足-a ≥k BC =-1,即0<a ≤1,若a<0,k=-a>0,则目标函数的斜率满足-a ≤k AC =2,即-2≤a<0.综上,a 的取值范围是[-2,].(2)画出满足条件{x +y -1≥0,x -y +1≥0,x ≤a 的可行域,如下图所示,根据图象可得a>0,目标函数化为y=a2x-z2,当目标函数过A (a ,-a+1)时取得最大值,所以a 2+2a-2=13,a 2+2a-15=0,解得a=3,或a=-5(舍去).故选A.例5-1或2 作出不等式组表示的可行域,如图.目标函数z=y-ax 可化为y=ax+z ,令l 0:y=ax ,平移l 0,则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意,故a=-1或a=2.对点训练2(1)C (2)C (3)A (4)116 (1)作出不等式组表示的可行域,如图所示,由z=3x+2y ,得y=-32x+z 2,根据图象可知,当过M 点时,z 取最大值, 联立{x -2y -2=0,y =0,解得x=2,y=0,所以M (2,0),则z 的最大值为6.故选C.(2)作不等式组表示的可行域如图,由z=2|x|-y 可得y=2|x|-z ,作y=2|x|图象,由图象可知,当向上平移y=2|x|过点A 时,-z 最大,即z 最小,令x=0,由y=x+1可得A (0,1),所以z min =2×0-1=-1,故选C.(3)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示,令Z=2x+y ,得y=-2x+Z ,结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值,联立直线方程{x -y +1=0,7x -y -7=0,得点A 43,73,所以Z=2x+y 的最大值为5,因为“∃(x ,y )∈R ,2x+y>a ”为假命题,所以“∀(x ,y ),2x+y ≤a ”为真命题,所以实数a 的取值范围是[5,+∞),故选A.(4)作出不等式组所表示的可行域如下,因为z=4x ·(18)y=22x-3y ,令t=2x-3y ,则y=23x-t3,当直线y=23x-t 3过点M 时,在y 轴截距最大,此时t 取最小值,则z=2t 最小. 由{y =2,x +2y -5=0,得M (1,2),所以t min =2-3×2=-4,则z min =116. 例6解由题意可画表格如下(1)设只生产书桌x 个,可获得利润z 元, 则{0.1x ≤90,2x ≤600,解得{x ≤900,x ≤300,则x ≤300. 因为z=80x ,所以当x=300时,z max =80×300=24000(元),即如果只安排生产书桌,最多可生产300张书桌,获得利润24000元. (2)设生产书桌x 张,书橱y 个,利润总额为z 元. 由题可得{x +2y ≤900,2x +y ≤600,x ≥0,y ≥0,z=80x+120y.在直角坐标平面内作出不等式组所表示的可行域,如图.作直线l :80x+120y=0,即直线l :2x+3y=0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上的点M (100,400), 此时z=80x+120y 取得最大值. 所以当x=100,y=400时,z max =80×100+120×400=56000(元), 即生产书桌100张、书橱400个,可使所得利润最大.对点训练3B 设冬瓜和茄子的种植面积分别为x ,y 亩,总利润z 万元,则目标函数z=(0.5x ×10000-2000x )+(1.4y ×5000-3000y ) =3000x+4000y=1000(3x+4y ),由题可得{x +y ≤15,2000x +3000y ≤40000,x ≥0,y ≥0,即{x +y ≤15,2x +3y ≤40,x ≥0,y ≥0,作出可行域如图,由{x +y =15,2x +3y =40,可得{x =5,y =10,即A (5,10),平移直线l :3x+4y=0,可知直线l 经过点A (5,10)时,即x=5,y=10时,z 取得最大值5.5万元,即该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为5.5万元.。

第四节 利用导数证明不等式考点1 单变量不等式的证明 单变量不等式的证明方法(1)移项法：证明不等式f (x )＞g (x )(f (x )＜g (x ))的问题转化为证明f (x )－g (x )＞0(f (x )－g (x )＜0)，进而构造辅助函数h (x )＝f (x )－g (x )；(2)构造“形似〞函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构〞构造辅助函数；(3)最值法：欲证f (x )＜g (x )，有时可以证明f (x )max ＜g (x )min .直接将不等式转化为函数的最值问题 函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＜0时，证明f (x )≤－34a－2.［解］ (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2ax ＋2a ＋1＝〔x ＋1〕〔2ax ＋1〕x.当a ≥0，那么当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 当a ＜0，那么当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )＜0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递减.(2)证明：由(1)知，当a ＜0时，f (x )在x ＝－12a 取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a.所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a ≤－34a －2，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a＋1≤0.设g (x )＝ln x －x ＋1，那么g ′(x )＝1x－1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g (1)＝0.所以当x ＞0时，g (x )≤0.从而当a ＜0时，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a＋1≤0，即f (x )≤－34a－2. 将不等式转化为函数最值来证明不等式，其主要思想是依据函数在固定区间的单调性，直接求得函数的最值，然后由f (x )≤f (x )max 或f (x )≥f (x )min 直接证得不等式.转化为两个函数的最值进行比较f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )在［t ，t ＋2］(t ＞0)上的最小值； (2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1e x －2e x 成立.［解］ (1)由f (x )＝x ln x ，x ＞0，得f ′(x )＝ln x ＋1， 令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增. ①当0＜t ＜1e ＜t ＋2，即0＜t ＜1e时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e＝－1e； ②当1e ≤t ＜t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在［t ，t ＋2］上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t .所以f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0＜t ＜1e ，t ln t ，t ≥1e.(2)证明：问题等价于证明x ln x ＞x e x －2e(x ∈(0，＋∞)).由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e，当且仅当x ＝1e时取到.设m (x )＝x e x －2e(x ∈(0，＋∞))，那么m ′(x )＝1－xex ，由m ′(x )＜0得x ＞1时，m (x )为减函数， 由m ′(x )＞0得0＜x ＜1时，m (x )为增函数， 易知m (x )max ＝m (1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到.从而对一切x ∈(0，＋∞)，x ln x ≥－1e ≥x e x －2e ，两个等号不同时取到，即证对一切x ∈(0，＋∞)都有ln x ＞1e x －2e x成立.在证明的不等式中，假设对不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可以借助两个函数的最值进行证明.构造函数证明不等式函数f (x )＝e x －3x ＋3a (e 为自然对数的底数，a ∈R ).(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 3e ，且x ＞0时，e xx ＞32x ＋1x－3a .［解］ (1)由f (x )＝e x－3x ＋3a ，x ∈R ，知f ′(x )＝e x－3，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 3，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，ln 3)ln 3 (ln 3，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值↗故f (x )单调递增区间是［ln 3，＋∞)，f (x )在x ＝ln 3处取得极小值，极小值为f (ln 3)＝e ln 3－3ln 3＋3a ＝3(1－ln 3＋a ).无极大值.(2)证明：待证不等式等价于e x＞32x 2－3ax ＋1，设g (x )＝e x－32x 2＋3ax －1，x ＞0，于是g ′(x )＝e x－3x ＋3a ，x ＞0.由(1)及a ＞ln 3e ＝ln 3－1知：g ′(x )的最小值为g ′(ln 3)＝3(1－ln 3＋a )＞0.于是对任意x ＞0，都有g ′(x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增. 于是当a ＞ln 3e ＝ln 3－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0).而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0. 即e x＞32x 2－3ax ＋1，故e xx ＞32x ＋1x－3a .假设证明f (x )＞g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，如果能证明h (x )在(a ，b )上的最小值大于0，即可证明f (x )＞g (x )，x ∈(a ，b ).函数f (x )＝a e x－b ln x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －1x ＋1.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )＞0.［解］ (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞).f ′(x )＝a e x －b x ，由题意得f (1)＝1e ，f ′(1)＝1e－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a e ＝1e，a e －b ＝1e－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1e2，b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝1e 2·e x－ln x .因为f ′(x )＝ex －2－1x在(0，＋∞)上单调递增，又f ′(1)＜0，f ′(2)＞0，所以f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(1,2).当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0，当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而当x ＝x 0时，f (x )取极小值，也是最小值. 由f ′(x 0)＝0，得e x 0－2＝1x 0，那么x 0－2＝－ln x 0.故f (x )≥f (x 0)＝e x 0－2－ln x 0＝1x 0＋x 0－2＞21x 0·x 0－2＝0，所以f (x )＞0.考点2 双变量不等式的证明破解含双参不等式证明题的3个关键点(1)转化，即由条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.(2)巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.(3)回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.函数f (x )＝ln x －ax (x ＞0)，a 为常数，假设函数f (x )有两个零点x 1，x 2(x 1≠x 2).求证：x 1x 2＞e 2.［证明］ 不妨设x 1＞x 2＞0， 因为ln x 1－ax 1＝0，ln x 2－ax 2＝0，所以ln x 1＋ln x 2＝a (x 1＋x 2)，ln x 1－ln x 2＝a (x 1－x 2)，所以ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝a ，欲证x 1x 2＞e 2，即证ln x 1＋ln x 2＞2. 因为ln x 1＋ln x 2＝a (x 1＋x 2)，所以即证a ＞2x 1＋x 2， 所以原问题等价于证明ln x 1－ln x 2x 1－x 2＞2x 1＋x 2，即ln x 1x 2＞2〔x 1－x 2〕x 1＋x 2，令c ＝x 1x 2(c ＞1)，那么不等式变为ln c ＞2〔c －1〕c ＋1.令h (c )＝ln c －2〔c －1〕c ＋1，c ＞1，所以h ′(c )＝1c －4〔c ＋1〕2＝〔c －1〕2c 〔c ＋1〕2＞0， 所以h (c )在(1，＋∞)上单调递增， 所以h (c )＞h (1)＝ln 1－0＝0，即ln c －2〔c －1〕c ＋1＞0(c ＞1)，因此原不等式x 1x 2＞e 2得证.换元法构造函数证明不等式的基本思路是直接消掉参数a ，再结合所证问题，巧妙引入变量c ＝x 1x 2，从而构造相应的函数.其解题要点为：联立消参 利用方程f (x 1)＝f (x 2)消掉解析式中的参数a 抓商构元 令c ＝x 1x 2，消掉变量x 1，x 2构造关于c 的函数h (c ) 用导求解 利用导数求解函数h (c )的最小值，从而可证得结论 函数f (x )＝ln x －12ax 2＋x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程；(2)假设a ＝－2，正实数x 1，x 2满足f (x 1)＋f (x 2)＋x 1x 2＝0，求证：x 1＋x 2≥5－12. ［解］ (1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x ，那么f (1)＝1，所以切点为(1,1)，又因为f ′(x )＝1x＋1，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝2，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)证明：当a ＝－2时，f (x )＝ln x ＋x 2＋x (x ＞0). 由f (x 1)＋f (x 2)＋x 1x 2＝0，得ln x 1＋x 21＋x 1＋ln x 2＋x 22＋x 2＋x 1x 2＝0， 从而(x 1＋x 2)2＋(x 1＋x 2)＝x 1x 2－ln(x 1x 2)，令t ＝x 1x 2(t ＞0)，令φ(t )＝t －ln t ，得φ′(t )＝1－1t ＝t －1t，易知φ(t )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以φ(t )≥φ(1)＝1，所以(x 1＋x 2)2＋(x 1＋x 2)≥1，因为x 1＞0，x 2＞0，所以x 1＋x 2≥5－12成立. 考点3 证明与正整数有关的不等式问题函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据的函数不等式，用关于正整数n 的不等式替代函数不等式中的自变量，通过多次求和达到证明的目的.假设函数f (x )＝e x －ax －1(a ＞0)在x ＝0处取极值.(1)求a 的值，并判断该极值是函数的最大值还是最小值； (2)证明：1＋12＋13＋ (1)＞ln(n ＋1)(n ∈N *).［解］ (1)因为x ＝0是函数极值点，所以f ′(0)＝0，所以a ＝1.f (x )＝e x －x －1，易知f ′(x )＝e x －1.当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0， 故极值f (0)是函数最小值. (2)证明：由(1)知e x≥x ＋1.即ln(x ＋1)≤x ，当且仅当x ＝0时，等号成立， 令x ＝1k(k ∈N *)，那么1k ＞ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ，即1k ＞ln 1＋k k，所以1k＞ln(1＋k )－ln k (k ＝1,2，...，n )， 累加得1＋12＋13＋ (1)＞ln(n ＋1)(n ∈N *).函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，要注意指、对数式的互化，如e x ≥x ＋1可化为ln(x ＋1)≤x 等.函数f (x )＝ln(x ＋1)＋ax ＋2.(1)假设x ＞0时，f (x )＞1恒成立，求a 的取值X 围； (2)求证：ln(n ＋1)＞13＋15＋17 ＋…＋12n ＋1(n ∈N *).［解］ (1)由ln(x ＋1)＋ax ＋2＞1，得a ＞(x ＋2)－(x ＋2)ln(x ＋1).令g (x )＝(x ＋2)［1－ln(x ＋1)］， 那么g ′(x )＝1－ln(x ＋1)－x ＋2x ＋1＝－ln(x ＋1)－1x ＋1. 当x ＞0时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减. 所以g (x )＜g (0)＝2，故a 的取值X 围为［2，＋∞). (2)证明：由(1)知ln(x ＋1)＋2x ＋2＞1(x ＞0)， 所以ln(x ＋1)＞xx ＋2.令x ＝1k (k ＞0)，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＞1k 1k＋2，即lnk ＋1k ＞12k ＋1. 所以ln 21＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1n ＞13＋15＋17＋…＋12n ＋1，即ln(n ＋1)＞13＋15＋17＋…＋12n ＋1(n ∈N *).课外素养提升③ 逻辑推理——用活两个经典不等式逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证.利用两个经典不等式解决其他问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程.(1)对数形式：x ≥1＋ln x (x ＞0)，当且仅当x ＝1时，等号成立.(2)指数形式：e x≥x ＋1(x ∈R )，当且仅当x ＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：e x＞x ＋1＞x ＞1＋ln x (x ＞0，且x ≠1).[例1] (1)函数f (x )＝1ln 〔x ＋1〕－x，那么y ＝f (x )的图象大致为( )(2)函数f (x )＝e x，x ∈R .证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点.(1)B ［因为f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，ln 〔x ＋1〕－x ≠0，即{x |x ＞－1，且x ≠0}，所以排除选项D. 当x ＞0时，由经典不等式x ＞1＋ln x (x ＞0)， 以x ＋1代替x ，得x ＞ln(x ＋1)(x ＞－1，且x ≠0)，所以ln(x ＋1)－x ＜0(x ＞－1，且x ≠0)，即x ＞0或－1＜x ＜0时均有f (x )＜0，排除A ，C ，易知B 正确.］(2)证明：令g (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋1＝e x －12x 2－x －1，x ∈R ，那么g ′(x )＝e x－x －1，由经典不等式e x ≥x ＋1恒成立可知，g ′(x )≥0恒成立， 所以g (x )在R 上为单调递增函数，且g (0)＝0. 所以函数g (x )有唯一零点，即两曲线有唯一公共点. [例2] (2017·全国卷Ⅲ改编)函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)假设f (x )≥0，求a 的值；(2)证明：对于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＜e.［解］ (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，①假设a ≤0，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12＋a ln 2＜0，所以不满足题意. ②假设a ＞0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0；所以f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，＋∞)单调递增， 故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点.因为f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0，故a ＝1. (2)证明：由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x ＞0. 令x ＝1＋12n ，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＜12n.从而ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＜12＋122＋…＋12n ＝1－12n ＜1.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＜e.[例3] 设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，1＜x －1ln x＜x .［解］ (1)由题设知，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，f (x )在(0,1)上单调递增； 当x ＞1时，f ′(x )＜0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减.(2)证明：由(1)知f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x ＜x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x ＜x －1，x －1ln x＞1.①因此ln 1x ＜1x－1，即ln x ＞x －1x ，x －1ln x＜x .② 故当x ∈(1，＋∞)时恒有1＜x －1ln x＜x .。