平面向量 正余弦定理复习课

由正弦定理得sin∠AMMCA＝sin∠ACAMC，即1
200＝AC，解得 23
AC＝600
6(m)．
22
在△ACD 中，∵tan∠DAC＝CADC＝ 33，
∴CD＝600 6× 33＝600 2(m)．
答案：600 2
题型三 测量角度问题 【学透用活】
[典例 3] 如图，工程师为了了解某深水港码头海域 海底的构造，在海平面内一条直线上的 A，B，C 三点进 行测量．已知 AB＝60 m，BC＝120 m，于 A 处测得水深 AD＝120 m，于 B 处测得水深 BE＝200 m，于 C 处测得 水深 CF＝150 m，则 cos∠DEF＝________.
题型二 测量高度问题 [探究发现] (1)求解高度问题时理解哪些角是关键？ 提示：在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的
角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． (2)求解高度问题时应怎样分析？ 提示：在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，
这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚 又不容易搞错．
[解析] 如图所示，作 DM∥AC 交 BE 于 N，交 CF 于 M，作 FH∥AC 交 BE 于 H.由题中所给数据得
DF＝ MF2＋DM2＝ 302＋1802 ＝10 333(m)， DE＝ DN2＋EN2＝ 602＋802＝100(m)， EF＝ EH2＋FH2＝ 502＋1202＝130(m)． 在△DEF 中，由余弦定理的推论，得 cos∠DEF＝DE22×＋DEEF×2－EDFF2 ＝1002＋2×1310020－×11032×0 333＝－1665. [答案] －1665
[方法技巧] (1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地进行测量或计算角 度，确定目标的方位，观察某一物体的视角等问题． (2)解决它们的关键是根据题意和图形以及相关概念，确定所求的角或距 离在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题 意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到 所求的量，从而得到实际问题的解．

sin C 2 3 sin B ，则A=（
A、300 B、600
，
）
D、1500
C、1200
①规范做题格式；
②知 “ 两边及其中一边对角 ” 三角形的解是不唯一（难点）。
a、函数值的有界性 通常根据 b、大边对大角定理 进行判断
变式2：判断下列命题的真假：
（1）△ABC中，a=6，b=9，A=450 ，有两解。
× 无解
（2）△ABC中，a=7，b=14，A=300 ，有两解。 × 有一解
（1）△ABC中，a=30，b=25，A=1500 ，有一解。 √
（1）△ABC中，a
3,b 2, B 450
，有一解。 × 有两解
判定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角； (2)化角为边。
例3、设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且 b cos C c cos B a sin A, 则ABC的形状为（） A、直角三角形 C、钝角三角形
余弦定理： ①已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. ②已知三边，求各角；
例1、设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别 为a，b，c，且 a 2b sin A
（1）求B的大小；
（2）若 a 3 3, c 5, 求b.
① 变形公式a＝ 2RsinA ，b＝ 2RsinB ，c＝2RsinC 的正确使用；
①a＝ 2RsinA ，b＝ 2RsinB ，c＝ 2RsinC ； 变形 形式 ②sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝源自； cos B＝ cos C＝
③a∶b∶c＝ sinA∶sinB∶sinC ；
2、正弦定理、余弦定理的应用
正弦定理： ①知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.（解不唯一）

时与水平线的夹角
在同一铅垂平面内，视线在水平线下方 俯角
时与水平线的夹角
图示
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
名称
定义
图示
南偏西
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个人简历：课件/j ia nli/
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手抄报：课件/shouchaobao/
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从指定方向线到目标方向线的水平
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手抄报：课件/shouchaobao/
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BC ＝
AC·sisnin∠∠BBAC＝60sisnin4350°°＝30 2(m)．
答案：30 2
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第六章 平面向量及其应用
课件
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在△ABC 中，由余弦定理，得
AB2＝3＋
6＋ 2
22－2×
3×
6＋ 2
2×cos 75°＝5，
所以 AB＝ 5 km.
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第六章 平面向量及其应用
2．如图，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树 C，D(CD
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与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点 A，B(AB 与河岸平行)， 手抄报：课件/shouchaobao/

c＝ 2Rsin C ； ②sin A＝2aR，sin B＝2bR， sin C＝2cR； (其中 R 是△ABC 外接圆半径) ③a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C
b2＋c2－a2 cosB= 2bc
a2＋c2－b2
cos B＝ 2ac ； a2＋b2－c2
cos C＝ 2ab .
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，
[知识能否忆起]——上节课知识回 忆
一、正、余弦定理
定理
正弦定理
内
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C
容 =2R
a2＝ b2＝ c2＝
余弦定理
b2＋c2－2bccos A ；
a2＋c2－2accos B ；
a2＋b2－2abcosC
.
定理
变 形 形 式
正弦定理
余弦定理
①a＝ 2Rsin A ，
b＝ 2Rsin B ，
答案：A
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋ c)sin B＋(2c＋b)sin C.
①求A的大小； ②假设sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
(2)① 正弦定理、条件 → cos A＝－12 → A的大小 ； ② ①中a2＝b2＋c2＋bc → sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C ―条―件→ sin B、sin C的值 → 判断△ABC的形状
【典例剖析】 (1)(2013·厦门模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 的对
边分别是 a，b，c，若 b2＋c2＝a2＋bc，且A→C·A→B＝4，则△ABC 的面积等于________．