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【八年级数学竞赛讲座】第33讲 代数式的化简与求值

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第三十三讲 代数式的化简与求值1．在前面几讲中我们分别学习了整式、分式以及根式的恒等变形与证明，其中也涉及到它们的化简与求值．本讲主要是把这三种类型的代数式综合起来，其中求值问题是代数式运算中的非常重要的内容．2．对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：(1)因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的； (2)运算律，适当运用运算律，也有助于化简； (3)换元、配方、待定系数法、倒数法等；(4)有时对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法． 例题求解 【例1】已知34-=x ，求1582318262234+-++--x x x x x x 的值．思路点拨 由已知得(x －4)2=3，即x 2－8x+13=0．所以原式=5． 注 本题使用了整体代换的作法． 【例2】已知：x+y+x=3a(a ≠0)，求：222)()()())(())(())((a z a y a x a x a z a z a y a y a x -+-+---+--+--的值．思路点拨 由a z y x 3=++得：0)()()(=-+-+-a z a y a x 解设m a x =-，n a y =-，p a z =-，∴)(n m p +-= ∴原式=21（可将0=++p n m 两边平方的得到） 【例3】已知a cb a bc b a c c b a ++-=+-=-+，求abc a c c b b a ))()((+++的值． 思路点拨 设k acb a bc b a c c b a =++-=+-=-+ ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-=-+ak c b a bk c b a ckc b a ，然后对0=++c b a 和0≠++c b a 两种情况进行讨论，原式=8和1-． 【例4】已知1=++c b a ，2222=++c b a ，3333=++c b a ，求（1）abc 的值：（2）444c b a ++的值．思路点拨 先由条件求出21-=++ac bc ab ，可得61=abc ，625444=++c b a ． 注 这道题充分体现了三个数的平方和，三个数的立方和，及三个数四次方和的常规用法，这些常用处理方法对我们今后的学习是十分重要的．【例5】 (2003年河北初中数学应用竞赛题)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ；乙商场：两次提价的百分率都是2ba +（a>0，b>0）；丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则提价最多的商场是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．不能确定思路点拨 乙商场两次提价后，价格最高．选B【例6】 已知非零实数 a 、b 、c 满足1222=++c b a ，3)11()11()11(-=+++++ba c c abc b a ，求c b a ++的值．思路点拨 原条件变形为：0))((=++++ac bc ab c b a∴ c b a ++为±1或0．【例7】(2001年重庆市)阅读下面材料：在计算3+5+7+9+11+13+15+17+19+21时；我机发现，从第一个数开始，以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值．具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式d n n na S ⨯-+=2)1(计算它们的和．(公式中的n 表示数的个数，a 表示第一个数的值，d 表示这个相差的定值．)那么3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=12022)110(10310=⨯-+⨯． 用上面的知识解决下列问题：为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林．从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地，由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统计数据．假设坡荒地全部种上树后，不再有水土流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．思路点拨 1996年减少了25200－24000=1200， 1997年减少了24000－22400=1600， …m 年减少了1200+400×(m —1996)．1200+1600+…+1200+400(m —1996)=25200． 令n=m —1995，得 252004002)1(1200=⨯-+⨯n n n ，9=n 或14-=n （舍去） ∴ m =1995+n =2004．∴ 到2004年，可以将坡荒地全部种上树木．【例8】 ( “信利杯”)某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵{排数≥3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( )A ．1种B ． 2种C ．4种D ．0种思路点拨 设最后一排有k 个人，共有n 排，那么从后往前各排的人数分别为k ，k+1，k+2，…，k+(n —1)，由题意可知1002)1(=-+n n kn ，即n[2k+(n －1)]=200．因为k ，n 都是正整数，且n ≥3，所以n<2k+(n —1)，且n 与2k+(n —1)的奇偶性不同．将200分解质因数，可知n=5或n=8．当n=5时，k=l8；当n=8时，k=9．共有两种不同方案．选B【例9】 (江苏省竞赛初三)有两道算式： 好+好=妙，妙×好好×真好=妙题题妙，其中每个汉字表示0~9中的一个数字，相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字．那么，“妙题题妙”所表示的四位数的所有因数的个数是 ． 思路点拨 从加法式得“好”<5，“妙”≠0，因此“好”=1，“妙”=2或“好”=2，“妙”=4或“好”=3，“妙”=6或“好”=4，“妙”=8．显然，中间两种情形不满足乘法式，所以只能是：(1)“好”=1，“妙”=2，从而乘法式变为 2×11×(真×10+1)=2002+题×110，即 真×10+1=91+题×5．上式左边≤91，右边≥91，所以两边都等于91． 由此得“真”=，“题”=0“妙题题妙”=2002． (2)“好”=4，“妙”=8，乘法式为 8×44×(真×10十4)=8008+题×110． 即704+1760×真=4004十题×55． 在0~9中，只有“真”=2，“题”=4满足上式，但此时“好”与“题”表示相同的数字，与题意不符．故四位数“妙题题妙”有唯一解2002．由2002=2×7×11×13，知2002的所有因数的个数为24=16．【例9】设333199719961995z y x ==，，且3333199719961995219972199621995++=++z y x ． 求zy x 111++的值． 思路点拨 设k z y x ===333199719961995，显然0≠k ，于是31995x k =，31996y k =，31997z k =，代入已知得3333333zk y k x k z k y k x k ++=++，即)111(111333z y x k z y x k ++=++⋅， 由0≠k ，0>xyz ，可知0>x ，0>y ，0>z ，∴ zy x z y x 1111113++=++，原式=1．学力训练(A 级))1．当m 在可取值范围内取不同的值时，代数式22427m m +-的最小值是( ) A ．0 B ．5 C ．33 D ．9 2．已知：a 、b 都是负实数，且0111=--+b a b a ，那么ab 的值为( ) A ．251+ B ．251- C ．251+- D ．251-- 3．如a 、b 、c 是三个任意整数，那么2b a +、2c b +、2ac + ( )A ．都不是整数B ．至少有两个整数C ．至少有一个整数D ．都是整数 4．如果4321-=x ，那么x x xx 2211-+-的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 5．已知：z y x a +=，x z y b +=，y x z c +=，且0≠++z y x ，试求111+++++c cb b a a 的值． 6．已知521332412---=----+c c b a b a ，那么c b a ++的值是多少？（B 级）1．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是( )A ．3B ．31C ．2D ．352．已知m>0， n>0，且)5(3)(n m n n m m +⋅=+⋅，求nmn m n mn m +++-3238的值．3．已知322-=x 2，试求x x xxS 2211-+-=的值． 4．已知322=+y x ，322=+x y 且x ≠y ，求yxx y +的值． 5．设a 、b 、c 均不为0，且1998=++c b a ，19981111=++c b a ，求证：a 、b 、c 中至少有一个等于1998．6． 已知a 、b 、c 为整数，且满足c b ab c b a 233222++<+++，求abc cb a )111(++的值．A 级1．B 2．C 3．C 4．D 5．1 6．20B 级 1．B ．2．3 3．4 4．322+ 5．提示：abcacbc ab c b a ++=++1，分解得0))()((=+++a c c b b a ，于是b a +，c b +，a c +中必有一个为0．6．425代数式的化简与求值。

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代数式的化简与展开

代数式的化简与展开

代数式的化简与展开一、代数式的化简1.代数式的定义：代数式是由数字、字母和运算符组成的表达式，其中字母表示未知数或变量。

2.化简的意义：化简代数式就是将复杂的代数式转化为简单、直观的形式，便于计算和求解。

3.化简的方法：（1）合并同类项：将具有相同字母和相同指数的项相加或相减。

（2）分解因式：将代数式分解为几个整式的乘积，使得每个整式不能再被分解。

（3）约分：将分子和分母中相同的项相消，简化分数形式。

（4）去括号：根据括号前的符号，将括号内的项分别乘以括号前的符号。

二、代数式的展开1.展开的意义：展开代数式就是将复合代数式分解为简单代数式的和，便于计算和分析。

2.展开的方法：（1）分配律：将乘法运算中的数分别与括号内的每一项相乘。

（2）完全平方公式：根据完全平方公式，将含有平方项的代数式展开。

（3）平方差公式：根据平方差公式，将含有平方项和减法的代数式展开。

（4）立方公式：根据立方公式，将含有立方项的代数式展开。

三、化简与展开的实例1.化简实例：（1）化简代数式：3x^2 - 5x + 2（2）化简代数式：(2x + 3)(x - 2)2.展开实例：（1）展开代数式：(x + 2)^2（2）展开代数式：(x - y)(x + y)四、注意事项1.在化简与展开代数式时，要注意符号的变化，特别是去括号和乘方运算。

2.运用公式时要正确，避免出现错误的结果。

3.化简与展开的结果要进行验算，确保结果的正确性。

4.熟练掌握化简与展开的方法，提高解题效率。

通过以上知识点的学习，学生可以掌握代数式的化简与展开方法，提高代数运算能力，为解决实际问题打下坚实基础。

习题及方法：1.习题：化简代数式 3x^2 - 5x + 2答案：无法再化简，答案为 3x^2 - 5x + 2解题思路：此代数式已经是最简形式，无需进行化简。

2.习题：化简代数式 (2x + 3)(x - 2)答案：2x^2 - x - 6解题思路：使用分配律，将括号内的项分别乘以括号前的项。

初二数学教案代数式的化简与计算

初二数学教案代数式的化简与计算

初二数学教案代数式的化简与计算初二数学教案代数式的化简与计算一、引言代数是数学中的一个重要分支，它研究数与运算法则之间的关系。

代数式是代数运算的基本表达形式，对于初中学生来说，掌握代数式的化简与计算是非常重要的基础知识。

本教案将重点介绍代数式的化简与计算方法，帮助学生提高代数运算能力。

二、知识讲解1. 代数式的化简代数式的化简指通过运用代数运算性质，将一个复杂的代数式变为简洁明了的形式。

常见的代数式化简方法有合并同类项、因式分解和配方法等。

2. 合并同类项合并同类项是将具有相同字母和相同指数的代数项进行合并，合并过程中要保持字母和指数不变。

例如：化简代数式3x + 2y - 5x + 4y，首先将含有x的项3x和-5x合并得到-2x，再将含有y的项2y和4y合并得到6y，因此化简后的代数式为-2x + 6y。

3. 因式分解因式分解是将代数式中的公因式提取出来，写成因式的乘积形式。

通过因式分解，可以简化复杂的代数式计算，方便后续的运算。

例如：因式分解代数式x^2 + 3x，首先找出公因式x，然后将代数式进行拆分，得到x(x + 3)，这就是代数式的因式分解形式。

4. 配方法配方法适用于二次三项式的因式分解，通过将二次三项式进行适当的配方操作，将其转化为因式的乘积形式。

例如：对于二次三项式x^2 + 5x + 6，可以通过配方法进行因式分解。

首先计算出该二次三项式的平方项x^2的平方根为x，然后将中间项5x拆分为2x + 3x，将原二次三项式变形为(x + 2)(x + 3)。

三、教学活动1. 案例演示在开始本节课的数学教学活动前，老师可以先给学生演示一个代数式的化简与计算的案例，通过实际例子引起学生的兴趣。

例如：演示案例为化简代数式(2x^2 + 3x - 6) + (x^2 - 4x + 8)，先合并同类项，得到3x^2 - x + 2。

然后对于化简后的代数式，可以进行进一步的计算，例如代入具体数值计算等。

苏教科版初中数学八年级上册-二 代数式的化简与求值复习PPT课件

苏教科版初中数学八年级上册-二 代数式的化简与求值复习PPT课件


【思想方法】(1)进行分式混合运算时，一定要注意运算顺序， 并结合题目的具体情况及时化简，以简化运算过程； (2)适当地注意利用运算律，寻求合理运算途径； (3)分子分母能因式分解的应进行分解，并注意符号的处理，以 便寻求组建公分母和约分化简； (4)要注意分式的通分与解分式方程去分母的区别．
专题提升(二) 代数式的化简与求值
类型之一 整式的化简与求值 【教材原型】
已知x＋y＝3，xy＝1，你能求出x2＋y2的值吗？(x－y)2呢？ (浙教版七下P81第7题) 解：x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝32－2＝7； (x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝32－4×1＝5.
【思想方法】 利用完全平方公式求两数平方和或两数积等问 题，在化简求值、一元二次方程根与系数的关系中有广泛应 用，体现了整体思想、对称思想，是中考热点考题． 完全平方公式的一些主要变形有：(a＋b)2＋(a－b)2＝ 2(a2＋b2)，(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab ＝(a－b)2＋2ab，在四个量a＋b，a－b，ab和a2＋b2中， 知道其中任意的两个量，能求出(整体代换)其余的两个量．
【中考变形】
1．已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，则m2＋n2的值为
(C)
A．10
B．6
C．5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．3
11
3．[2015·通州区一模]已知x2＋4x－5＝0，求代数式2(x＋1)(x －1)－(x－2)2的值． 解：∵x2＋4x－5＝0，即x2＋4x＝5， ∴原式＝2x2－2－x2＋4x－4＝x2＋4x－6＝5－6＝－1.
【思想方法】 在进行二次根式化简求值时，常常用整体 思想，把a＋b，a－b，ab当作整体进行代入．整体思想是 很重要的数学思想，利用其解题能够使复杂问题变简单． 整体思想在化简，解方程，解不等式中有广泛的应用，是 中考的重点考查的数学思想方法之一．
第3讲-华师一附中教程代数式的化简与求值-

第3讲-华师一附中教程代数式的化简与求值-

第三讲 代数式的化简与求值给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:1．恰当引入参数；2．取倒数或利用倒数关系；3．拆项变形或拆分变形； 4．整体代入；5．利用比例性质等． 例题求解 【例1】 若a d d c cb b a ===，求dc b a dc b a +-+-+-的值．(第12届“希望杯”邀请赛试题) 【例2】 如果11=+b a ，12=+c b ，求ac 2+.(全国初中数学联赛武汉选拔赛) 【例3】【例3】已知1=xyz ，2=++z y x ，16222=++z y x ，求代数式yzx x yz z xy 212121+++++的值． (北京市竞赛题)【例4】不等于0的三个数a 、b 、c 满足cb ac b a ++=++1111，求证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数．(天津市竞赛题)【例5】 (1)已知实数a 满足a 2－a －1=0，求487-+a a 的值．(河北省竞赛题)(2)已知1325))()(())()((=+++---a c c b b a a c c b b a ，求a c cc b b b a a +++++的值． (“北京数学科普日”攻擂赛试题)练习：1．已知032=-+x x ，那么1332---x x x = ．2．已知712=+-x x x ，则1242++x x x = ．3．若a 、b 、c 满足a+b +c=0，abc>0，且c c b b a a x ++=，y=)11()11()11(ba c a cbc b a +++++，则xy y x 32++= ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)4．已知43322a c c b b a -=-=+，则ba cb a 98765+-+= ．(第12届“五羊杯”竞赛题)5．已知a 、b 、c 、d 都是正数，且d c b a <，给出下列4个不等式：①d c c b a a +>+；②dc cb a a +<+；③d c d b a b +>+；④ dc db a b +<+，其中正确的是( ) (山东省竞赛题) A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③6．设a 、b 、c 是三个互不相同的正数，如果abb ac b c a =+=-，那么( ) A ． 3b=2c B ．3a=2b C ．2b=c D ．2a=b. (“祖冲之杯”邀请赛试题)7．若4x —3y 一6z=0，x+2y －7z=0(xyz ≠0)，则代数式222222103225zy x z y x ---+的值等于( )．A ． 21-219- C ．－15 D ． －13. (全国初中数学竞赛题)8．设轮船在静水中速度为v ，该船在流水(速度为u <v )中从上游A 驶往下游B ，再返回A ，所用时间为T ，假设u =0，即河流改为静水，该船从A 至B 再返回B ，所用时间为t ， 则( )A ．T=tB ．T<tC ．T>tD ．不能确定T 、t 的大小关系 9．(1)化简，求值：24)44122(22+-÷++--+-a a a a a aa a ，其中a 满足0122=-+a a ；(2)设0=++c b a ，求abc c ac b b bc a a +++++222222222的值．10．已知xz z y y x 111+=+=+，其中x 、y 、z 互不相等，求证：x 2y 2z 2=1．11．若0≠abc ，且b ac a c b c b a +=+=+，则abca c cb b a ))()((+++= ．12．已知a 、b 、c 满足1222=++c b a ，3)11()11()11(-=+++++ba c c abc b a ，那么 a+b+c 的值为 ． 13．已知1=+y x xy ，2=+z y yz ，3=+xz zx，则x 的值为 ．14．已知x 、y 、z 满足41=+y x ，11=+z y ，371=+x z ，则xyz 的值为 ．(全国初中数学竞赛题)15．设a 、b 、c 满足abc ≠0，且c b a =+，则abc b a ca b a c bc a c b 222222222222-++-++-+的值为A ．－1B ．1C ．2D ．316．已知abc=1，a+b+c=2，3222=++c b a ，则111111-++-++-+b ca a bc c ab 的值为( ) A ．－1 B ．21- C ．2 D ．32- (大原市竞赛题)17．已知—列数1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 、7a ，且1a =8，7a =5832，766554433221a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ）A ．648B ． 832C ．1168D ．194418．已知0201052=--x x ，则代数式)2)(1(1)1()2(24----+-x x x x 的值为( )A ．2016B ．2017C ．2018D ．201919．（1）已知ac b =2，求)111(333333222c b a c b a c b a ++⋅++的值；(2)已知x 、y 、z 满足1=+++++y x zx z y z y x ，求代数式yx z x z y z y x +++++222的值． (北京市竞赛题)20．设a 、b 、c 满足c b a c b a ++=++1111，求证：当n 为奇数时，n n n n n n cb ac b a 1111++=++ (波兰竞赛题)21．已知012=--a a ，且1129322322324-=-++-axa a xa a ，求x 的值． (上海市高中理科班招生试题)。