勾股定理1

勾股定理的内容勾股定理，又称勾股定理，是古代数学中的一个重要定理。

在直角三角形中，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

其数学表达形式为：a^2 + b^2 = c^2其中a、b、c分别代表直角三角形的两条直角边和斜边。

起源与发展勾股定理虽然现在被称为勾股定理，但最早是在《周髀算经》中发现的，成为世界上最早的几何著作之一。

据传，勾股定理是周公提出的，故得名“周公定理”。

后来被《算经》作者张丘建列入《增衍之术》中，并首次用文字表达了这一定理。

在中国古代，勾股定理的应用非常广泛，不仅用于地测和农业，还被运用在建筑和军事领域。

随着数学的发展，勾股定理也在世界各地广泛传播，并成为数学中的重要定理之一。

数学证明勾股定理的证明有多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯的证明。

毕达哥拉斯定理利用几何形状和平行移动来证明直角三角形的两个边的平方和等于斜边的平方。

这一证明方法被后人发扬光大，成为数学学科中的一个经典证明。

应用场景勾股定理在现代生活中的应用也非常广泛。

例如，在建筑领域中，利用勾股定理可以计算建筑物的结构稳定性；在工程设计中，可以测量距离和角度；在电子领域中，可以应用于信号传输和数据处理等方面。

总的来说，勾股定理是数学中的一个重要定理，不仅对几何学有重要意义，还在现代科学技术中有着广泛的应用。

结语通过对勾股定理的介绍，我们可以看到它在数学史上的重要地位和广泛应用。

了解勾股定理不仅有助于我们理解数学知识的深层含义，还可以帮助我们应用数学知识解决现实生活中的问题。

在学习数学的过程中，我们应该对勾股定理有更多的了解和探索，进一步探索数学世界的奥秘。

19.9(1)勾股定理
创设情境 一根电线杆在离地面3米处断裂，电线杆顶部落 在离电线杆底部4米处，电线杆折断之前有多高？
? 3m
4m
动手实验
总结：等腰直角三角形中，两条直角 边的平方和等于斜边的平方。
得出猜想
直角三角形两条直角边的 平和，等于斜边的平方。
验证：
a c
b
c
b a
a b
c
b c
a
AB2 AC2 BC2
C
B
例题讲授：
例1：在Rt⊿ABC中，∠C=90.设a、b、c分 别为∠A,∠B,∠C所对的边。 A
(1)已知b=4,c=5，求a；
(2)已知a=5,c=13，求b；
(3)已知a=b=1，求c；
(2)解：在Rt⊿ABC中，∠C=90
c2 a2 b2 (勾股定理 )
C
(b a)2 4 1 ab c2 2
b2 2ab b2 2ab c2
a2 b2 c2
验证：
a c
b
c b
a
a b
c
b c
a
这是中国汉代数学家 赵爽的验证方法。 被称为“赵爽弦图”。
归纳：
勾股定理：
直角三角形两条直角边的平方和，
等于斜边的平方。
A
字母表示：
在Rt⊿ABC中， ∵∠C=90°
杆顶部落在离电线杆底部4米处，电线杆折断之前
有多高？
解：在RtABC中
B
A 90
BC 2 AB2 AC 2 (勾股定理 )
3
BC AB2 AC2 (等式性质) A
4C
AB 3, AC 4
BC 32 42 16 5
AB BC 3 5 8

AB 2 AC 2 BC 2 即AB 2 122 52 169 Q AB 0, AB 13
∴电线杆折断之前的高度=BC+AB=5米+13米＝18米
2.填空 （1）直角三角形的两边长分别是3和4，则另一边长为________ 5 或 7； （2）边长为a的正方形对角线长___ ； 2a
勾 3
弦5 股4
勾股数组：如果a，b，c都是正整数，且满足a² +b² =c² ， 则称a，b，c为一组勾股数组.
常用的勾股数：
3，4，5；
7，24，25； 6，8，10；
5，12，13；
9，40，41；… 8，15，17；
勾股数小常识：
(1)a² +b² =c² ，满足(a，b，c)=1 则a，b，c，为基本勾股数如：3、4、5； 5、12、 13；7、24、25…… (2)如果a，b，c是一组勾股数，则ka、kb、kc （k为正整数）也是一组勾股数， 如：6、8、10；9、12、15……
个新的正方形.要求：在图④中画出分割线，并在图⑤的正方形网格图(图 中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.
图④
图⑤
方法二
刘徽证法
约公元 263 年，三国时代魏国的数学 家刘徽为古籍《九章算术》作注释时， 用“出入相补法”证明了勾股定理.
2.解决如下问题：如图，边长分别为9和3的两个正方形， 排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.
3； （3）边长为1的正三角形面积为___ 4 2 5 （4）直角三角形两条直角边分别长1和2，则斜边上的高长________ 5
D
（5）在A港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60方向以每小时8 海里的速度前进，乙船沿南偏东30的方向以每小时15海里的速度前 进，两小时后，甲船到达B岛，乙船到C岛，求B、C之间的距离. 34海里

第 讲 勾股定理知识点睛1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边上分别为a, b ，斜边长为c ，那么222a b c +=。

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的证明方法：法1（赵爽：内弦图）：甲的面积=（大正方形面积）-（4个直角三角形面积）．法2（赵爽：外弦图）：：四个直角三角形的面积和 +小正方形的面积 =大正方形的面积，222()ab a b c +-=，22222ab a ab b c +-+=，∴222a b c +=法3（美国第20任总统伽菲尔德的证法）：2111()()2222a b a b ab c ++=⨯+ 梯形面积=三个直角三角形的面积和22()2a b ab c +=+ 22222a ab b ab c ++=+∴222a b c +=法4（毕达哥拉斯的旋转证法）：若设AB=a ，BC=b ，DB=c ，则梯形A′B′BC 面积()()()21122S a b a b a b =++=+梯形ABBC ， 又"""2111222BCD A B D DBB S S S S ab c ab ∆∆∆=++=++""梯形A B BC ，所以()2211112222a b ab c ab +=++，则22222a b ab c ab ++=+，即222a b c +=。

甲c ccbababa cb acb acb aab ca bcb-ab-acc cc甲丙乙ab cabc法5（新娘图法）：用方格来验证勾股定理法6（欧几里得证法）：如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，所以△ACE≌△AGB(SAS)．而所以 S AEML=b2，同理可证 S BLMD=a2．相加得S ABDE=S AEML+S BLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2．法7：如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．设五边形ACKDE的面积为S，一方面S=S ABDE+2S△ABC，另一方面S=S ACGF+S HGKD+2S△ABC，相加得所以 c2=a2+b2．练习：用下面各图验证勾股定理(虚线代表辅助线)：（1）赵君卿图(图2-27)； (2)项名达图(2-28)； (3)杨作枚图(图2-29)．CBA3、由勾股定理的基本关系式222a b c +=，还可得到一些变形关系式如：22c a b =+，222()()a c b c b c b =-=+-，22a c b =-，222()()b c a c a c a =-=+-，22b c a =-等。