北京市东城区2013届高三上学期期末考试 数学理科试题
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学必求其心得，业必贵于专精
东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学 （理科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{1,2}A，则满足{1,2,3}AB的集合B的个数是
（A)1 (B) 3 (C)4
（D）8
【答案】C
【KS5U解析】因为{1,2,3}AB，所以3B,所以{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}B共有4个，选C.
(2）已知a是实数，i1ia是纯虚数，则a等于
(A）1 (B)1 （C)2 （D）2
【答案】B
【KS5U解析】因为i1ia是纯虚数，所以设i,0,1iabibbR。所以(1)aibiibbi，所以1ab，选B。 学必求其心得，业必贵于专精
（3）已知{}na为等差数列，其前n项和为nS，若36a，312S，则公差d等于
(A)1 (B)53 （C）2 (D）3
【答案】C
【KS5U解析】因为36a，312S，所以13133()3(6)1222aaaS，解得12a，所使用316222aadd，解得2d，选C。
(4）执行如图所示的程序框图，输出的k的值为
（A）4 （B）5 （C）6 （D)7
【答案】A
【KS5U解析】第一次循环得0021,1Sk；第二次循环得1123,2Sk;第三次循环得33211,3Sk，第四次循环得111122059,4Sk，但此时100S，不满足条件，输出4k，所以选A。
（5）若a，b是两个非零向量,则“abab”是“ab”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C)充要条件 (D）既不充分也不必要条件
【答案】C
【KS5U解析】abab两边平方得222222aabbaabb，即0ab，所以ab,所以“abab”是“ab”的充要条件选C。 学必求其心得，业必贵于专精
(6）已知x，y满足不等式组0,0,,24.xyxysyx当35s时，目标函数yxz23的最大值的变化范围是
（A)[6,15] （B）[7,15] （C）[6,8] (D）[7,8]
【答案】D
【KS5U解析】，当3s时,对应的平面区域为阴影部分，由yxz23得322zyx，平移直线由图象可知当直线经过点C时，直线322zyx的截距最大，此时3,24xyyx解得12xy，即(1,2)C，代入yxz23得7z.当5s时，对应的平面区域为阴影部分ODE,由yxz23得322zyx，平移直线由图象可知当直线经过点E时，直线322zyx的截距最大，此时024xyx解得04xy，即(0,4)E，代入yxz23得8z.所以目标函数yxz23的最大值的变化范围是78z，即[7,8],选D. 学必求其心得，业必贵于专精
，
（7）已知抛物线22ypx的焦点F与双曲线22179xy的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且||2||AKAF，则△AFK的面积为
（A）4
(B)8
（C）16 （D）32
【答案】D
【KS5U解析】双曲线的右焦点为(4,0)，抛物线的焦点为(,0)2p，所以42p，即8p.所以抛物线方程为216yx，焦点(4,0)F，准线方程4x，即(4,0)K，设2(,)16yAy， 过A做AM垂直于准线于M，由抛物线的定义可知AMAF,所以22AKAFAM,即AMMK,所以2(4)16yy，整理得216640yy，即2(8)0y,所以8y，所以11883222AFKSKFy,选D。
(8)给出下列命题：①在区间(0,)上，函数1yx，12yx,2(1)yx，3yx中学必求其心得，业必贵于专精
有三个是增函数；②若log3log30mn,则01nm；③若函数()fx是奇函数，则(1)fx的图象关于点(1,0)A对称；④已知函数233,2,()log(1),2,xxfxxx则方程 1()2fx有2个实数根，其中正确命题的个数为
(A）1 （B)2 （C）3 （D）4
【答案】C
【KS5U解析】①在区间(0,)上，只有12yx，3yx是增函数，所以①错误。②由log3log30mn，可得33110loglogmn，即33loglog0nm，所以01nm，所以②正确.③正确.④当2x时，231x，由2132x，可知此时有一个实根。当2x时,由31log(1)2x，得13x,即13x，所以④正确。所以正确命题的个数为3个。选C.
第Ⅱ卷(共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若3sin5，且tan0,则cos ．
【答案】45
【KS5U解析】因为3sin05,tan0所以为第三象限,所以cos0,即234cos1()55。 学必求其心得，业必贵于专精
(10）图中阴影部分的面积等于
．
【答案】1
【KS5U解析】根据积分应用可知所求面积为12310031xdxx。
（11）已知圆C:22680xyx，则圆心C的坐标为 ;
若直线ykx与圆C相切，且切点在第四象限，则k ．
【答案】(3,0) 24
【KS5U解析】圆的标准方程为22(3)1xy,所以圆心坐标为(3,0)，半径为1.要使直线ykx与圆C相切，且切点在第四象限，所以有0k。圆心到直线0kxy的距离为2311kk,即218k，所以24k。
（12）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ．
【答案】75410
【KS5U解析】由三视图可知,该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。学必求其心得，业必贵于专精
棱柱的高为4，，底面梯形的上底为4,下底为5，腰23110CD，所以梯形的面积为(45)32722S，梯形的周长为345101012,所以四个侧面积为(1012)441048，所以该几何体的表面积为27410482754102.
（13)某种饮料分两次提价，提价方案有两种,方案甲：第一次提价%p,第二次提价%q；方案乙:每次都提价%2pq,若0pq,则提价多的方案是 .
【答案】乙
【KS5U解析】设原价为1，则提价后的价格：方案甲:(1%)(1%)pq，乙:2(1%)2pq,因为1%1%(1%)(1%)1%222pqpqpq，因为0pq，所以(1%)(1%)1%2pqpq，即2(1%)(1%)(1%)2pqpq,所以提价多的方案是乙。
（14）定义映射:fAB，其中{(,),}AmnmnR,BR,已知对所有的有序正整数对(,)mn满足下述条件：
①(,1)1fm；②若nm，(,)0fmn；③(1,)[(,)(,1)]fmnnfmnfmn，
则(2,2)f ,(,2)fn ．
【答案】2 22n
【KS5U解析】根据定义得(2,2)(11,2)2[(1,2)(1,1)]2(1,1)212fffff。3(3,2)(21,2)2[(2,2)(2,1)]2(21)622ffff,4(4,2)(31,2)2[(3,2)(3,1)]2(61)1422ffff，5(5,2)(41,2)2[(4,2)(4,1)]2(141)3022ffff,所以根据归纳推理可知学必求其心得，业必贵于专精
(,2)22nfn。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
(15）（本小题共13分)
已知函数2()3sincoscosfxxxxa．
（Ⅰ）求()fx的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）若()fx在区间[,]63上的最大值与最小值的和为32，求a的值．
（16）（本小题共13分）
已知{}na为等比数列，其前n项和为nS，且2nnSa*()nN。
（Ⅰ）求a的值及数列{}na的通项公式;
(Ⅱ）若(21)nnbna，求数列{}nb的前n项和nT.
(17)（本小题共14分）
如图，在菱形ABCD中，60DAB，E是AB的中点, MA⊥平面ABCD，且在矩形ADNM中，2AD，377AM．
（Ⅰ）求证:AC⊥BN；
（Ⅱ)求证：AN // 平面MEC；
（Ⅲ）求二面角MECD的大小. A B C D
E N
M
学必求其心得，业必贵于专精
（18）（本小题共13分）
已知aR，函数()ln1afxxx．
（Ⅰ）当1a时,求曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程；
（Ⅱ）求()fx在区间0,e上的最小值．
（19）（本小题共13分）
在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(30)，,(30)，的距离之和等于4,设点P的轨迹为曲线C，直线l过点(1,0)E且与曲线C交于A，B两点．
（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由.
（20)(本小题共14分）
已知实数组成的数组123(,,,,)nxxxx满足条件：
①10niix； ②11niix.
