2013年高考理科数学上海卷及答案
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数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页） 绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)
考生注意：
1.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.
2.本试卷共有23道试题,满分150分.考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.计算：20lim313nnn
.
2.设mR,222(1)immm是纯虚数,其中i是虚数单位,则m .
3.若2211xxxyyy,则xy .
4.已知ABC△的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若22232330aabbc,则角C的大小是 （结果用反三角函数值表示）.
5.设常数aR.若25()axx的二项展开式中7x项的系数为10,则a .
6.方程1313313xx的实数解为 .
7.在极坐标系中,曲线cos1与cos1的公共点到极点的距离为 .
8.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是
（结果用最简分数表示）.
9.设AB是椭圆的长轴,点C在上,且π4CBA.若4AB,2BC,则的两个焦点之间的距离为
.
10.设非零常数d是等差数列1x,2x,…,19x的公差,随机变量等可能地取值1x,2x,…,19x,则方差D .
11.若1coscossinsin2xyxy,2sin2sin23xy,则sin()xy .
12.设a为实常数,()yfx是定义在R上的奇函数,当0x时,2()97afxxx.若 ()1fxa≥对一切0x≥成立,则a的取值范围为 .
13.在xOy平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)xyx≥和22(3)1(3)xyx≥、两条直
线1y和1y围成的封闭图形记为D,如
图中阴影部分.记D绕y轴旋转一周而成的
几何体为.过(0,)(||1)yy≤作的水
平截面,所得截面面积为24π18πy,试
利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方
体,得出的体积值为
.
14.对区间I上有定义的函数()gx,记(){|()gIyygx,}xI.已知定义域为[0,3]
的函数()yfx有反函数1()yfx,且1([0,1))[1,2)f,1((2,4])[0,1)f.若
方程()0fxx有解0x,则0x .
二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.设常数aR,集合{|(1)()0}Axxxa≥,{|1}Bxxa≥.若ABR,则a的
取值范围为 ( )
A.(,2) B.(,2] C.(2,) D.[2,)
16.钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的
( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
17.在数列{}na中,21nna.若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素
,ijijijcaaaa（1i,2,…,7；1j,2,…,12）,则该矩阵元素能取到的
不同数值的个数为
( )
A.18 B.28 C.48 D.63
18.在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为1a、2a、3a、4a、5a；以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为1d、2d、3d、4d、5d.若m、M分别为()()ijkrstaaaddd的最小值、最大值,其中{,,}{1,2,3,4ijk,{,,}{1,2,3,4,5}rst，则m,M满足
( )
A.0m,0M B.0m,0M --------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------
姓名________________ 准考证号_____________
数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页） C.0m,0M D.0m,0M
三、解答题（本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.（本题满分12分）
如图,在长方体ABCDABCD中,=2AB,1AD,1AA.证明直线BC平行于平面CDA,并求直线BC到平面CDA的距离.
20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x≤≤）,每一小时可获得利润是3100(51)xx元.
（Ⅰ）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x的取值范围；
（Ⅱ）要使生产900千克该产品获得的利润最大,问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.
21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知函数()2sin()fxx,其中常数0.
（Ⅰ）若()yfx在,π2π[]43﹣上单调递增,求的取值范围；
（Ⅱ）令2,将函数()yfx的图象向左平移π6个单位,再向上平移1个单位,得到函数()ygx的图象.区间[,]ab（,abR，且ab）满足：()ygx在[,]ab上至少含有30个零点.在所有满足上述条件的[,]ab中,求ba的最小值.
22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小
题满分8分.
如图,已知双曲线221:12xCy,曲线2:||||1Cyx.P是平面内一点,若存在过点
P的直线与1C、2C都有公共点,则称P为“12CC型点”.
（Ⅰ）在正确证明1C的左焦点是“12CC型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写
出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
（Ⅱ）设直线ykx与2C有公共点,求证：||1k,进而证明原点不是“12CC型点”；
（Ⅲ）求证：圆2212xy内的点都不是“12CC型点”.
23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小
题满分9分.
给定常数0c,定义函数()2|4|||fxxcxc.数列1a,2a,3a,…满足
1()nnafa,n*N.
（Ⅰ）若12ac,求2a及3a；
（Ⅱ）求证：对任意n*N,1nnaac≥；
（Ⅲ）是否存在1a,使得1a,2a,3a,…,na,…成等差数列？若存在,求出所有这样的
1a；若不存在,说明理由.
数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页） 2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）答案解析
一、填空题
1.【答案】13
【解析】201201limlim1331333nnnnnn，故答案为13.
【提示】由数列极限的意义即可求解.
【考点】数列的极限
2.【答案】2
【解析】复数2(2)(1)izmmm为纯虚数，220mm，210m，解得2m，故答案为2.
【提示】根据纯虚数的定义可得210m，210m，由此解得实数m的值.
【考点】复数的基本概念
3.【答案】0
【解析】2211xxxyyy，222xyxy，2()0xy，0xy，故答案为0.
【提示】利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论.
【考点】二阶行列式的定义
4.【答案】1πarccos3
【解析】22232330aabbc，22223abcab，222213cos223ababcCabab.
1πarccos3C，故答案为1πarccos3.
【提示】把式子22232330aabbc变形为22223abcab，再利用余弦定理222cos2abcCab即可得出.
【考点】余弦定理
5.【答案】2
【解析】52axx的展开式的通项为102103155rrrrrrraTCxCxax，令1037r得1r，7x的系数是15aC.7x的系数是10，1510aC，解得2a，故答案为2.
【提示】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第1r项，令x的指数为7求得7x的系数，列出方程求解即可.
【考点】二项式系数的性质
6.【答案】3log4
【解析】方程1313313xx，即3193133(31)xx，即11833(33)xxx，化简可得232380xx，即(34)(32)0xx.解得34x，或32x（舍去），3log4x，故答案为3log4.
【提示】化简方程1313313xx为3193133(31)xx，即(34)(32)0xx，解得34x，可得x的值.
【考点】函数的零点
7.【答案】512
【解析】由cos1得，cos1，代入cos1得(1)1，解得512或152（舍），所以曲线cos1与cos1的公共点到极点的距离为512，故答案为512.
