高等代数【北大版】2

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《高等代数2》教学大纲

高等代数2

Advanced Algebra一、课程基本情况

课程类别：学科基础课课程学分：5学分

课程总学时：80学时，其中讲课：80学时课程性质：必修

开课学期：第二学期先修课程：初等代数，初等几何，解析几何，高等代数（1）

适用专业：数学与应用数学，信息与计算科学，统计学，应用统计学教材：高等代数，高等教育出版社，北京大学数学系，2013年，第四版。

开课单位：数学与统计学院数学系二、课程性质、教学目标和任务

《高等代数》是数学类各专业的一门重要基础课之一，通过这门课的学习，使学生获得：二次型化为标准形的配方法与合同变换法，矩阵正定、半正定、不定的定义与判别方法，对称矩阵与对角矩阵合同的计算方法；线性空间的定义与基本性质，子空间的交与和、直和，维数公式的及其证明与应用；线性变换的定义与基本性质，矩阵特征值特征向量的定义与计算方法，两矩阵相似的充分条件，矩阵相似对角化方法；4■矩阵，不变因子，行列式因子，初等因子；欧氏空间的定义，欧氏空间的对称变换及其性质，正交矩阵，实对称矩阵与对角矩阵相似计算法。同时，使学生受到严格的代数方法训练，为学习后继课程打下基础。本大纲为第二学期讲授内容，涉及教材第五至第九章。

三、教学内容和要求第5章多项式二次型（12学时数）

5.1二次型及其矩阵表示（2学时）

（1）了解矩阵合同的概念以及矩阵合同满足反身性、对称性、传递性的关系；

（2）理解线性替换、非线性替换以及二次型矩阵的概念；

（3）掌握二次型与对称矩阵之间的关系与互化；

重点：二次型与二次型矩阵；

难点：非线性替换把二次型化为二次型。

5.2标准形（4学时）

（1）了解对称矩阵合同于对角矩阵的证明；

（2）理解标准形概念，理解把二次型化为标准形配方法的证明；

（3）掌握把二次型化为标准形的两种方法：配方法与合同变换法；

重点：把二次型化为标准形的两种方法：配方法与合同变换法；

难点：对称矩阵合同于对角矩阵的证明。

北京大学数学科学学院高等代数(II)期末考试题

1 试题1（北京大学高等代数(I)期末考试题）

一、（本题共40分）给定有理数域Q上的多项式42()33.fxxx

1．（本题5分）证明()fx为Q中的不可约多项式.

2．（本题5分）设是()fx在复数域C内的一个根，定义

2012.Qaaaa

证明：对于任意的()gxQx，有()gQ；又对于任意的,Q，有Q.

3．（本题5分）接上题，证明：若Q，0，则存在Q，使得1.

4．（本题5分）找出()fx的一个sturm序列, 判断()fx有几个实根.

5．（本题5分）求下面三阶方阵在有理数域Q上的最小多项式：

0 031 000 13A.

二、（本题10分）在欧氏空间4R内求下列齐次线性方程组

123412412342303220390xxxxxxxxxxx

的解空间的正交补空间的一组标准正交基.

三、（本题15分）给定数域P上的多项式3()fxxpxq.设()fx在复数域C内的三个根是123,,.求P上的首1三项式()Fx，它以222123,,为三个根.

四、（本题15分）设是n维酉空间V内的一个Hermite变换.

1．（本题5分）证明i可逆，这里i为虚单位.

2．（本题10分）证明1()()ii为酉变换.

五、（本题10分）设是n维酉空间V内的一个线性变换.如果的特征向量都是*的特 2 征向量，证明是正规变换.

六、（本题5分）证明在n维欧氏空间V中两两夹钝角（即夹角大于2）的向量不能多于1n个.

七、（本题5分）考察复数域上全体n阶方阵所成的集合()nMC，它关于矩阵的加法及实数与矩阵的数乘组成实数域R上的线性空间.设M为其子空间，且满足：（i）若,ABM，则,ABM；（ii）若,0AMA ，则A可逆，且1AM.

高等代数(北大版)第二学期考试卷2

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阜阳师范学院

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学年度第

二

学期考试卷

信息与计算科学

专业

2010级

年级高等代数

课程，共

页，

第1页，共印刷

份,

2011

年

月

日

8：00

—

9：40

考试，任课教师

刘俊同拟题

教研室

学号

题

号

一

二

三

四

五

六

七

八

九

十

十一

十二

总

分

备

注

得

分

阅卷教师签名

一、判断题（每题2分，共20分）

1、在一般数域内，二次型的标准形是唯一的，且与所作的非退化线性替换无关。（

）

2、线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。

（

）

3、若n阶实方阵A是正定矩阵，则A的主对角线上的元素均大于零。

（

）

4、若1V与2V都是线性空间V的子空间且12VV，则221VVV。

（

）

5、若AAPAWTnn|，则2)1(dimnnW。

（

）

6、特征向量是被特征值所唯一决定，但特征值不是被特征向量所唯一决定。（

）

7、反对称实数矩阵的特征值皆为纯虚数。

（

）

8、若矩阵A与矩阵B有相同的特征多项式，则A与B相似。

（

）

9、同一线性变换在不同基底下的矩阵是等价的。

（）

10、正交变换保持欧氏空间中两个向量之间的夹角不变。（）

二、填空题（每空2分,共28分）

1、欧氏空间V中的任意两个向量,, 有|||||),(|,且等号成立的条件是______________。

2、设xA10100002，10010002yB，且A与B相似，则_____x，____y。

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