公因数和公倍数知识点
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1 / 151 / 151 / 15 公因数和公倍数
【知识点回顾】
1、公因数
（1）互素数：公因数只有1的两个自然数叫做互素数。
（2）简分数：分子、分母是互素数的分数叫做简分数。
（3）求最大公因数的方法：分解素因数法和短除法。
2、公倍数
求最小公倍数的方法：分解素因数和短除法，即用最大公因数×各自独有的因数。
3、求两个数的最大公因数和最小公倍数，有3种基本情况，区别如下：
两个数的关系 最大公因素 最小公倍数
特殊关系 互素（7和8） 1 两个数的积（7×8=56）
较大数是较小数的倍数
（12和48） 较小数（12） 较大数（48）
一般关系（12和18） 用短除法
将除数连乘
（2×3=6） 将除数和商连乘
（2×3×2×3=36）
4、求最大公因数和最小公倍数的方法：
一、特殊情况：
（1）倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。（如；6和12的最大公因数是6，最小公倍数是12。）
（2）互质关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。（如，5和7的最大公因数时1，最小公倍数是5×7=35）
二、一般情况：
（1）求最大公因数：
列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。
①列举法：如，求18和27的最大公因数
先找出两个数的所有因数 18的因数有：1、2、3、6、9、18
27的因数有：1、3、9、27
再找出两个数的公因数： 18的因数有：1、2、3、6、9、18
27的因数有：1、3、9、27
1、3、9
最后找出最大公因数： 9
②单列举法：如，求18和27的最大公因数
先找出其中一个数的因数：18的因数有：1、2、3、6、9、18
再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数
最后找出最大公因数： 9
③短除法：
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2 / 152 / 152 / 15 3 18 27
3 6 9
2 3
除到商是互质数为止，最后把所有的除数相乘3×3=9
④除法算式法：
用这两个数同时除以公因数，除到最大公因数为止。 18
÷
9就是18和27的最大公因数 27
（2）求最小公倍数：
列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。
①列举法：如，求18和12的最小公倍数
先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数： 18的倍数：18、36、54、72
12的倍数：12、24、36、48
再找出两个数的最小公倍数： 18的倍数：18、36、54、72
12的倍数：12、24、36、48
②单列举法：如，求18和12的最小公倍数
先找出一个数的倍数： 18的倍数有：18、36、54、72
再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数，找出最小公倍数： 36
③大数翻倍法：如，求18和12的最小公倍数
把较大的数翻倍（2倍开始），每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。
如，求18和12的最小公倍数。可以把18翻倍：18×2=36，36又是12的倍数，所以36是18和12的最小公倍数。
④短除法：用这两个数同时除以一个质数（要能整除）
如，求18和12的最小公倍数，先用18和12同时除以质数2，再同时除以质数3，除到两个商是互质数（公因数只有1）为止。
2 18 12
3
3 2
除数 商 1
3
9
除到商是互质数为止，最后把所有的除数和商相乘
18和12的最小公倍数是：2×3×3×2=36 9 6 ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
3 / 153 / 153 / 15 【例题精讲】
问题1、（1）既是30的因数，又是45的因数的数共有几个？其中最大的数是多少？
（2）既是30的倍数，又是45的倍数的数，最小是多少？
想：（1）既是30的因数，又是45的因数的数，就是30和45的公因数，其中最大的就是30和45的最大公因数；（2）既是30的倍数，又是45的倍数的数就是30和45的公倍数，其中最小的数就是30和45的最小公倍数。
解：（1）30和45的公因数有：1，3，5，15共四个，其中最大的是15；
（2）30和45的公倍数有：90，180，270等等，其中最小是90。
随堂练习
1、 既是30的倍数，又是45的倍数，还是75的倍数的数，最小是多少？
问题2、三个连续自然数的最小公倍数是168，那这三个连续自然数的和是多少？
解析：要求三个连续自然数的和，就要把这三个自然数求出来，而这三个连续自然数的最小公倍数是168，可先把168分解质因数168＝2×2×2×3×7，根据168的质因数的情况可以肯定其中一个是7，（为什么不可能是14）因此这三个连续自然数只有6、7、8和7、8、9两种可能，而7、8、9这三个数任两个数公因数都是1，故这三个连续自然数只能是6、7和8。（经检验正确）它们的和是6＋7＋8＝21。
答：这三个连续自然数是6、7、8。它们的和是21。
随堂练习
1、三个连续自然数的最小公倍数是660，那么这三个连续自然数各是几？
问题3、有一种长60厘米，宽45厘米的长方形砖，用这样长方形砖铺地，至少要用多少块这样的砖，才能铺成一块正方形？
想：用长60厘米，宽45厘米的砖铺成一块正方形，这个正方形的边长既是60的倍数，也是45的倍数，也就是60和45的公倍数，因此正方形的边长是180厘米，由此容易求得一共用的地砖块数。
解：[60、45]＝180 （180÷60）×（180÷45）＝12（块）
答：至少要用12块这样的砖，才能铺成一块正方形。
随堂练习
1、 一种长45厘米，宽30厘米的长方形塑料板，拼成一个正方形，至少要用这种塑料板多少块？
问题4、某班学生排队做操，如果每排3人，少了1人；如果每排5人，就多出2人；如果每排6人，就多出2人。这个班至少有多少人？ ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
4 / 154 / 154 / 15 想：如果把每排3人，就少了1人，转化成每排3人，也就是多了2人，这样就把这个班分别排成每排3人、5人、6人都统一成多出了2人。如果把这个班的人数减去2人，那么这个班的学生人数正好是3、5和6的倍数，也就是3、5和6的最小公倍数，然后加上多出的2人就是这个班的学生人数。
解：[3、5、6]＝30 ， 30＋2＝32（人） 答：这个班至少有32人。
随堂练习
1、 有一个自然数，除以10余7，除以6余3，除以4余1。这个自然数最小是多少?
问题5、五（2）班同学共38人。一天上体育课，排成一列横队，都面向老师站，然后按1，2，3，4……36，37，38报数，老师要求学生按如下的步骤进行操作：（1）先让报数是3的倍数的同学向后转；（2）再让报数是5的倍数的同学向后转。经过这两步操作后，还有多少名同学仍面向老师？
解析：报数是3的倍数的同学有：38÷3≈12（人），报数是5的倍数的同学有：38÷5≈7（人），但要注意的是，报数是3和5的公倍数的同学有38÷（3×5）≈2（人），而这2人转了2次，又面向了老师，所以经过两步操作后，背对老师的同学共有12＋7－2×2＝15（人），这时仍有38－15＝23（名）同学面对老师。
答：经过这两步操作后，还有23名同学仍面向老师。
随堂练习
1、 五（1）班同学有47人，一天上体育课，排成一列横队，都面向老师，然后按1、2、3、4……46、47报数，老师要求学生按如下的步骤操作：（1）先让报数是3的倍数的同学向后转；（2）再让报数是5的倍数的同学向后转。经过这两步操作后，还有多少名同学面向老师？
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5 / 155 / 155 / 15 最小公倍数与最大公因数典型的应用题汇总
一、解题技巧：
最大公因数解题技巧：
通常从问题入手，所求的数量处于小数（即处于除数、商、因数）的地位时，因为小数（即处于除数、商、因数）是大数（即处于被除数、被除数、积）的因数，此时，所求的数量就处于因数的地位。如果出现相同的（公有的）/最长的所求数量，即求他们的公因数/最大公因数的应用题。
最小公倍数解题技巧：
通常从问题入手，所求的数量处于大数（即处于被除数、被除数、积）的地位时，因为大数（即处于被除数、被除数、积）是小数（即处于除数、商、因数）的倍数，此时，所求的数量应处于倍数的地位。如果出现相同的（公有的）/最小的所求数量，即求他们的公倍数/最小公倍数的应用题。
补充部分公式
小长方形个数=（大正方形边长÷小长方形长）×（大正方形边长÷小长方形的宽）
小正方形个数=（大长方形的长÷小正方形边长）×（大长方形的宽÷小正方形边长）
小长方体个数=（大正方体边长÷小长方体长）×（大正方体边长÷小长方体的宽）×（大正方体边长÷小长方体高）
小正方体个数=（大长方体边长÷小正方体边长）×（大长方体的宽÷小正方体边长）×（大长方体的高÷小正方体边长）
剩余定理
余数相同时，总数（被除数）=最小公倍数＋余数
缺数相同时，总数（被除数）=最小公倍数－缺数
植树问题公式
不封闭型： 2、只有一端都栽
1、两端都栽 间隔个数=株数
间隔个数=株数－1
株数=间隔个数＋1 株数=间隔个数
距离=一个间隔的长度×间隔个数 距离=一个间隔的长度×间隔个数
3、两端都不栽
间隔个数=株数＋1
株数=间隔个数－1
距离=一个间隔的长度×间隔个数
