余角和补角教案

4.3.3 余角和补角

【知识与技能】

1.在具体的现实情境中，认识一个角的余角与补角，掌握余角和补角的性质.

2.了解方位角，能确定具体物体的方位.

【过程与方法】

进一步提高学生的抽象概括能力，空间观念的认识和知识运用的能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想.

【情感态度】

体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步理解数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益.

【教学重点】

认识角的互余、互补关系及其性质，确定方位角.

【教学难点】

通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质.

一、情境导入,初步认识

问题（1）用量角器量出图中的两个角的度数，并求出这两个角的和.

（2）说出一副三角尺中各个角的度数.

（3）观察两个锐角的大小之间的数量特征.

【教学说明】这一问题的提出，使学生对所涉及的抽象概念和它们之间的数量关系及其形象有大致的了解.能营造轻松和谐的学习氛围，自然导入新课.

二、思考探究，获取新知

探究1 （1）在一副三角板中，每块都有一个角是90°，那么其余两个角的和是多少？

（2）已知∠1=36°，∠2=54°，那么∠1+∠2=？

【教学说明】让学生独立思考，并进行小组交流，归纳出下面的结论. 【归纳结论】一般情况下，如果两个角的和等于90°（直角），我们就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角.例如，∠1与∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角.

探究2 （1）观察如图所示的两个角，你能猜想∠1+∠2等于多少度？

（2）如果∠1=144°，∠2=36°，那么∠1+∠2=？

【教学说明】让学生独立思考，并进行小组交流，归纳出下面的结论，教师可操作多媒体，移动∠1，使∠1、∠2顶点和一边重合，引导学生观察∠1、∠2的另一边，观察到两角的另一条边成一条直线，验证学生的结论.

【归纳结论】如果两个角的和等于180度（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.

试一试教材第138~139页练习.

【教学说明】让学生独立完成，并由三个学生进行板书，其余同学进行小组交流并进行小组评价.教师巡视学生完成练习的情况，并给予适当的评价.

探究3 如图所示，下面方格图中∠1与∠3有什么关系？∠1与∠2，∠3与∠4有什么关系？

【教学说明】教师首先操作多媒体，演示方格图.然后让学生观察图形，小组交流观察得到结果：∠1=∠3，∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°.接着教师移动或旋转图中各角，对学生观察的结果进行验证，进一步提出问题：∠2与∠4有什么关系？学生观察思考后得出∠2=∠4，教学中，向学生说明，以上从观察图形得出的结论，还应从理论上说明其理由，最终师生共同归纳出下面的结论.

【归纳结论】1.同角（等角）的补角相等.

2.同角（等角）的余角相等.

试一试1.如果∠AOB+∠BOC=90°，又∠BOC与∠COD互余，那么∠AOB与∠COD的关系是（ ）

A.互余 B.互补

C.相等

D.不能确定

2.教材第137～138页例3

【教学说明】第1题较为简单，让学生口答，应选C.第2题为教材中的例题，教师应先让学生回顾前一小节中角平分线的定义，再让学生找出余角.

探究4 教材第138页例4 .

【教学说明】教师用多媒体演示教材图4.3-16（1），讲解方位角和表示方位的射线，在学生完成题中的问题后操作多媒体演示画图过程.讲解时应讲清楚方位角是以正北或正南方向的射线为一个角的始边，而表示物体运动的方向的射线是角的另一边.

三、典例精析，掌握新知

例1 比一比，看谁填得快.

【答案】依次填：85°、175°；60°、150°；48°、138°；36°、126°；27°37′、117°37′；11°36′52″、101°36′52″.

例2 (1)若互余两角的差为20°，求这两个角中较小的角的补角的度数；

（2）若一个角的余角比这个角的补角的一半还少4°，求这个角的余角的度数.

解：（1）设这两个角中较小的角的度数为x°，较大的角的度数为(90-x)°.

则（90-x）-x=20.

解得x=35.

所以180°-35°=145°. 即这两个角中较小的角的补角是145°.

（2）设这个角的度数为x°.

则90-x=1/2（180-x）-4.

解得x=8.

余角为90°-8°=82°.

即这个角的余角为82°.

例3 有两个角,若第一个角割去它的1/3后与第二个角互余,若第一个角补上它的2/3后与第二个角互补,求这两个角的度数.

【分析】本题依题意可这样理解，第二个角的余角是第一个角的3/2(因为第一个割去1/3后与第二个互余)，故设第二个角为x，则3/2(90-x)是第一个角的度数，再依第二个等量关系列方程.

解：设第二个角为x，则依题意知第一个角为3/2(90-x)，

3/2(90-x)(1+2/3)+x=180，解得x=30，3/2(90-x)=90.

∴第一个角为90°，第二个角为30°.

【教学说明】解这类题的关键是把这个角的补角、余角准确地用关于这个角的代数式表示出来,再利用补角和余角的关系建立方程求解.

例4 海上，缉私艇B发现离它500海里处停着一艘可疑船只A（如图），立即赶往检查.现请你确定缉私艇的航线方向，画出示意图.

解：如图所示，以点B为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边AB落在东与北之间，射线AB的方向就是北偏东40°，即可疑船只A所在的方向.

四、运用新知，深化理解

1.66°角的余角是______.

2.如图，若∠1+∠2=180°，∠3+∠2=180°，则∠1=______，依据是____________.

3.教材第139页习题4.3第8题.

4.如图，一辆汽车在马路上由西向东行驶，∠AOB=30°，∠DO′C=150°.若这辆汽车向右拐，则需拐多少度？若这辆汽车向左拐，则需拐多少度？

5.如图，∠AOB、∠COD都是直角.

（1）试猜想钝角∠AOD与锐角∠BOC在数量上是相等、互余还是互补的关系？你能用推理的方法说明你的猜想是否合理吗？

（2）当∠COD绕着点O旋转到图②的位置时，你原来的猜想还成立吗？

【教学说明】以上几题都是关于余角、补角的题，其中第1、2题较简单，由学生独立思考后举手回答，第3题需要实际操作，可让4位同学上台板演，第4～5题稍难，需要理解相关知识，教师应稍作点拨.

【答案】1.24°

2.∠3同角的补角相等

3.解：（1）如图①，射线OA表示北偏西30°；（2）如图②射线OB表示南偏东60°；（3）如图③，射线OC表示北偏东15°；（4）如图④，射线OD表示西南方向.

4.解：向左拐时的拐角为180°-∠DO′C=180°-150°=30°；向右拐时的拐角为180°-∠AOB=180°-30°=150°.

5.解：（1）∠AOD与∠BOC互补.

因为∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+∠BOD，又因为∠BOD=90°-∠BOC，

所以∠AOD=90°+90°-∠BOC，即∠AOD+∠BOC=180°.

（2）∠AOD与∠BOC互补仍然成立.

因为∠AOB、∠COD都是直角，所以∠AOB+∠COD=180°.

又因为∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，

所以∠BOC+∠AOD=180°，

所以∠BOC与∠AOD互补.

五、师生互动，课堂小结

本节课学习了余角和补角，并通过简单的探究推理，得出了余角和补角的性质，此外我们还了解了方位角，学会了确定物体运动的方向，对于这些知识点你有什么收获和体会？说说看.

1.布置作业：从教材习题4.3中选取.

2.完成练习册中本课时的练习.

本课时教学关键在引领学生抓住两角之间特殊关系的要求：涉及角的个数只能是两个，角与角间数量关系是固定的，且与角的位置无关.指导学生应用解题时要认识到：由互余、互补的关系转化为方程计算；实现等角的寻找或角的位置改变.本课时内容很好的体现了数形结合的数学思想，要引导学生形成图形与数式间灵活转化以合理解题的能力.

第2课时 比较线段的长短

【知识与技能】

1.结合图形认识线段间的数量关系，学会比较线段的大小.

2.知道两点之间的距离和线段中点的含义.

【过程与方法】

利用丰富的活动情景，让学生体验到两点之间线段最短的性质，并能初步应用.

【情感态度】

初步应用空间与图形的知识解释生活中的现象以及解决简单的实际问题，体会研究几何图形的意义.

【教学重点】

线段大小比较，线段的性质.

【教学难点】

线段中点、三等分点、四等分点的表示方法及运用.

一、情境导入,初步认识

问题1你怎么比较两个人的身高？

问题2为什么有些人过马路到斜对面，没有走人行横道呢？

【教学说明】上个课时介绍了直线、射线、线段的概念，本课时的学习通过向学生提出以上两个问题，让学生产生疑问进而激发对本课时内容的学习兴趣.

二、思考探究，获取新知

探究1 你能用直尺（没有刻度）和圆规画一条线段等于已知线段吗？

已知线段a，作线段AB，使AB=a.

由于直尺没有刻度，因此直尺的作用是画线，不能进行度量，而圆规当半径不变时，可以把一条线段任意移动，因此圆规的作用是度量，于是有下列画法：

（1）画射线AC；

（2）以点A为圆心，a的长为半径画弧，交射线AC于点B，线段AB就是符合条件的线段.

【教学说明】在学生总结画法时，注意语言的简洁与规范，及时纠正学生不规范的表述.

探究2 如何比较线段的大小？

【教学说明】教师先在黑板上任意画两条线段AB、CD，怎样比较两条线段的长短，接着让学生独立思考，然后请学生把自己的方法进行演示，说明学生思考比较方法，可能有两种方法，一是分别用刻度尺量出线段的长度，比较长度即可（度量法），二是把其中的一条线段移到另一条线段上进行比较（叠合法）.

探究3 在一张透明的纸上画一条线段AB，折叠纸片，使端点A、B重合，折痕与线段的交点我们叫做线段的中点，你能给线段的中点下定义吗？由线段的中点，你能得到哪些线段之间的数量关系？

【教学说明】学生动手操作，观察猜想，寻找数量关系，发现线段的中点把线段分成相等的两部分，于是可以概括出线段中点定义.即把一条线段分成相等两部分的点叫线段的中点.

再进一步考虑若点C是线段AB的中点，如图：

则有（1）AC=BC;(2)AC=BC=12AB;(3)AB=2AC=2BC.

探究4 教材128页思考题.

学生分组讨论：从A地到B地有四条道路，如果要你选择，你走哪条路？为什么？

在小组活动中，让他们猜一猜，动动手，再说一说学生交流比较的方法.

除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？

为什么？

小组交流后得到结论：两点之间，线段最短.

【教学说明】教师结合图形提示：此时线段AB的长度就是A、B两点之间的距离.

三、典例精析，掌握新知

例1 作线段AB，在AB的延长线取点C，使BC=2AB，M是BC的中点，