正交矩阵知识点总结

矩阵秩重要知识点总结_考研必看

一． 矩阵等价

行等价：矩阵A经若干次初等行变换变为矩阵B

列等价：矩阵A经若干次初等列变换变为矩阵B

矩阵等价:矩阵A经若干次初等行变换可以变为矩阵B，矩阵B经若干次初等行变换可以变成矩阵A，则成矩阵A和B等价

矩阵等价的充要条件

1. 存在可逆矩阵P和Q,PAQ=B

2. R(A)=R(B)

二． 向量的线性表示

Case1：向量b能由向量组A线性表示: b=λ1α1+λ2α2+λ3α3+⋯+λmαm

充要条件:

1.线性方程组Ax=b有解

2.R(A)=R(A,b)

Case2：向量组B能由向量组A线性表示

充要条件：

R(A)=R(A,B)

推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A)

Case3：向量组A能由向量组B线性表示

充要条件：

R(B)=R(B,A)

推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B)

Case4：向量组A和B能相互表示，即向量组A和向量组B等价

充要条件:

R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A) Case5：n维单位坐标向量组En能由矩阵A的列向量组线性表示

充要条件是:

R(A)=R(A,E)

n=R(E)=n，所以R(A)=n=R(A,E)

三． 线性方程组的解

1. 非齐次线性方程组

（1） R(A)=R(A,B),方程有解.

（2） R(A)=R(A,B)=n，解唯一.

（3） R(A)=R(A,B)

（4） R(A) ≠R(A,B)

2．齐次线性方程组

（1） 一定有解

线性代数知识点总结（第6章）

（一）二次型及其标准形

1、二次型：

（1）一般形式

（2）矩阵形式（常用）

2、标准形：

如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，xn）=d1x12+d2x22+…+dnxn2

这样的二次型称为标准形（对角线）

3、二次型化为标准形的方法：

（1）配方法：

通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。

★（2）正交变换法：

通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2

其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵

注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。

（二）惯性定理及规范形

4、定义：

正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；

负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；

规范形：f=z12+…zp2-zp+12-…-zp+q2称为二次型的规范形。

5、惯性定理：

二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。

注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。

（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）

（三）合同矩阵

6、定义：

A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=CTAC，称A与B合同

△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系

（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值

（2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数

（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）

注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价

（四）正定二次型与正定矩阵

8、正定的定义

二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。

9、n元二次型xTAx正定充要条件：

（1）A的正惯性指数为n

矩阵知识点总结大学

一、基本概念

1.1 矩阵的定义

矩阵是指一个按照矩形排列的数字元素集合。一般地，矩阵用符号“A”、“B”、“C”等来表示，其中每个元素用小写字母加标记来表示其位置，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。矩阵A的元素一般用a_ij来表示，其中i表示元素所在的行数，j表示元素所在的列数。如下所示：

A = [a_11, a_12, ..., a_1n]

[a_21, a_22, ..., a_2n]

[..., ..., ..., ...]

[a_m1, a_m2, ..., a_mn]

矩阵的大小一般用m×n来表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。矩阵的元素一般用小写字母a、b、c、d等来表示。

1.2 特殊矩阵

⑴ 方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。n阶方阵指的是行数和列数均为n的方阵。

⑵ 零矩阵：所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，通常用0表示。

⑶ 单位矩阵：对角线上的元素全为1，其他元素均为0的方阵称为单位矩阵，通常用I表示。

⑷ 对角矩阵：除了对角线上的元素外，其他元素均为0的矩阵称为对角矩阵。

1.3 矩阵的运算规则

矩阵的运算包括加法、乘法和数乘三种，具体规则如下：

⑴ 矩阵的加法：若A、B是同型矩阵，则它们的和记为A+B，定义为A+B=[a_ij+b_ij]，其中a_ij和b_ij分别是A和B对应位置的元素。

⑵ 矩阵的数乘：若A是一个矩阵，k是一个数，则它们的数乘记为kA，定义为kA=[ka_ij]，其中a_ij是A的元素。

⑶ 矩阵的乘法：若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积记为A·B，定义为A·B=C，其中C是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素c_ij等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积的和。 1.4 矩阵的转置

若A是一个m×n的矩阵，其转置记作A^T，定义为A^T=[a_ji]，其中a_ji表示A的第i行第j列的元素。转置矩阵是将矩阵的行和列对换得到的新矩阵。

正交矩阵知识点总结

正交矩阵是线性代数中的重要概念，它具有许多特殊的性质和应用。本文将从定义、性质和应用三个方面对正交矩阵进行总结。

一、定义

正交矩阵是指满足以下条件的方阵：它的转置等于它的逆矩阵。换句话说，设A是一个n阶方阵，若满足AT·A=AA·T=I（其中I是单位矩阵），则称A为正交矩阵。

二、性质

1. 正交矩阵的行（列）向量是单位向量且两两正交。具体来说，设A是一个n阶正交矩阵，其第i行（列）向量记作ai（aiT），则有ai·aiT=1，ai·ajT=0（i≠j）。这意味着正交矩阵的行（列）向量长度为1且彼此垂直。

2. 正交矩阵的行列式的值只能是±1。这是由于正交矩阵的行（列）向量长度为1，所以它们的行列式值为1或-1，从而整个矩阵的行列式值也只能是这两个值。

3. 正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。设A是一个n阶正交矩阵，则A的逆矩阵A-1也是正交矩阵。这是因为(A-1)T·(A-1)=A-1·AT=I，满足正交矩阵的定义。

4. 两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。设A和B分别是n阶和m阶正交矩阵，它们的乘积AB是一个n阶正交矩阵。这是由于(AB)T·(AB)=BTA·AB=BT·(A·A)·B=BT·IB=B·B=I。 5. 正交矩阵的转置也是正交矩阵。设A是一个n阶正交矩阵，则它的转置AT也是正交矩阵。这是因为(AT)T·(AT)=A·A=I。

三、应用

1. 坐标系变换：正交矩阵可以用于坐标系的旋转和变换。设A是一个二维正交矩阵，它的列向量表示一个坐标系的基向量，那么对于一个向量x，通过矩阵乘法Ax即可得到它在新坐标系下的表示。

2. 正交变换：正交矩阵可以保持向量的长度和夹角不变。例如，对于一个二维向量x，若A是一个正交矩阵，那么||Ax||=||x||，且x·y=(Ax)·(Ay)，其中||·||表示向量的长度，·表示向量的内积。

3. 正交投影：正交矩阵可以用于向量的投影操作。设A是一个n阶正交矩阵，对于一个向量x，它在A的列向量所张成的空间上的投影为Ax。正交矩阵的性质保证了投影操作的准确性和稳定性。