三角函数诱导公式及推导

三角函数诱导公式：所谓三角函数诱导公式,就是将角n·π/2±α的三角函数转化为角α的;

常用公式：公式一： 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin2kπ+α=sinα k∈Z

cos2kπ+α=cosα k∈Z

tan2kπ+α=tanα k∈Z

cot2kπ+α=cotαk∈Z

公式二： 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sinπ+α= －sinα

cosπ+α=－cosα

tanπ+α= tanα

cotπ+α=cotα

公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin－α=－sinα

cos－α= cosα

tan－α=－tanα

cot－α=－cotα

公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sinπ－α= sinα

cosπ－α=－cosα

tanπ－α=－tanα

cotπ－α=－cotα

公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin2π-α=－sinα

cos2π-α= cosα

tan2π-α=－tanα

cot2π-α=－cotα

公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sinπ/2+α=cosα

sinπ/2－α=cosα

cosπ/2+α=－sinα

cosπ/2－α=sinα

tanπ/2+α=－cotα

tanπ/2－α=cotα

cotπ/2+α=－tanα

cotπ/2－α=tanα

推算公式：3π/2 ± α与α的三角函数值之间的关系：

sin3π/2+α=－cosα

sin3π/2－α=－cosα

cos3π/2+α=sinα

cos3π/2－α=－sinα tan3π/2+α=－cotα

tan3π/2－α=cotα

cot3π/2+α=－tanα

cot3π/2－α=tanα

诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变,符号看象限”;

“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦,正切变余切;反之亦然成立“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角,不考虑α角所在象限,看n·π/2±α是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号;以cosπ/2+α=－sinα为例,等式左边cosπ/2+α中n=1,所以右边符号为sinα,把α看成锐角,所以π/2<π/2+α<π,y=cosx在区间π/2,π上小于零,所以右边符号为负,所以右边为－sinα;

符号判断口诀：

全,S,T,C,正;这五个字口诀的意思就是说：内任何一个角的四种都是“+”；内只有是“+”,其余全部是“-”；内只有和是“+”,其余全部是“-”；内只有是“+”,其余全部是“-”;

也可以这样理解：一、二、三、四指的角所在象限;全正、正弦、正切、余弦指的是对应象限三角函数为正值的名称;口诀中未提及的都是负值;

“ASTC”反Z;意即为“all全部”、“”、“”、“”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值;

另一种口诀：正弦一二切一三,余弦一四紧相连,言之为正;

推导过程：

万能公式推导

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/cos2α+sin2α,

因为cos2α+sin2α=1

再把分式上下同除cos^2α,可得sin2α=2tanα/1+tan2α

然后用α/2代替α即可;

同理可推导余弦的万能公式;正切的可通过比余弦得到;

三倍角公式推导

tan3α=sin3α/cos3α

=sin2αcosα+cos2αsinα/cos2αcosα-sin2αsinα

=2sinαcos2α+cos2αsinα－sin3α/cos3α－cosαsin2α－2sin2αcosα

上下同除以cos3α,得：

tan3α=3tanα－tan3α/1-3tan2α

sin3α=sin2α+α=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos2α+1－2sin2αsinα

=2sinα－2sin3α+sinα－2sin3α

=3sinα－4sin3α

cos3α=cos2α+α=cos2αcosα－sin2αsinα

=2cos2α－1cosα－2cosαsin2α

=2cos3α－cosα+2cosα－2cos3α

=4cos3α－3cosα

即

sin3α=3sinα－4sin3α

cos3α=4cos3α－3cosα

和差化积公式推导

首先,我们知道sina+b=sinacosb+cosasinb,sina-b=sinacosb-cosasinb

我们把两式相加就得到sina+b+sina-b=2sinacosb

同理,若把两式相减,就得到cosasinb=sina+b-sina-b/2 同样的,我们还知道cosa+b=cosacosb-sinasinb,cosa-b=cosacosb+sinasinb

所以,把两式相加,我们就可以得到cosa+b+cosa-b=2cosacosb

同理,两式相减我们就得到sinasinb=-cosa+b-cosa-b/2

这样,我们就得到了积化和差的公式：

cosasinb=sina+b-sina-b/2

sinasinb=-cosa+b-cosa-b/2

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式

我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=x+y/2,b=x-y/2

把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sinx+y/2cosx-y/2

sinx-siny=2cosx+y/2sinx-y/2

cosx+cosy=2cosx+y/2cosx-y/2

cosx-cosy=-2sinx+y/2sinx-y/2

三角函数

同角三角函数的基本关系式

倒数关系

tanα ·cotα=1

sinα ·cscα=1

cosα ·secα=1

商的关系

sinα/cosα=tanα=secα/cscα

cosα/sinα=cotα=cscα/secα

平方关系

sin2α+cos2α=1

1+tan2α=sec2α

1+cot2α=csc2α

同角三角函数关系六角形记忆法

构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间1”的正六边形为模型;

倒数关系

对角线上两个函数互为倒数；

商数关系

六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积;主要是两条虚线两端的的乘积,下面4个也存在这种关系;由此,可得关系式;

平方关系

在带有阴影线的中,上面两个顶点上的三角的平方和等于下面顶点上的三角的平方;

两角和差公式

sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ

sinα－β=sinαcosβ-cosαsinβ

cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ

cosα－β=cosαcosβ+sinαsinβ

tanα+β=tanα+tanβ /1－tanαtanβ

tanα－β=tanα－tanβ/1+tanαtanβ

二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2α－sin2α=2cos2α－1=1－2sin2α

tan2α=2tanα/1－tan2α

tan1/2α=sin α/1+cos α=1-cos α/sin α

半角的正弦、余弦和正切公式

sin2α/2=1－cosα/2

cos2α/2=1+cosα/2

tan2α/2=1－cosα/1+cosα

tanα/2=1—cosα/sinα=sinα/1+cosα 万能公式

sinα=2tanα/2/1+tan2α/2

cosα=1－tan2α/2/1+tan2α/2

tanα=2tanα/2/1－tan2α/2

三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α=3sinα－4sin3α

cos3α=4cos3α－3cosα

tan3α=3tanα－tan3α/1－3tan2α

三角函数的和差化积公式

sinα+sinβ=2sinα+β/2cosα－β/2

sinα－sinβ=2cosα+β/2sinα－β/2

cosα+cosβ=2cosα+β/2cosα－β/2

cosα－cosβ=－2sinα+β/2sinα－β/2

三角函数的积化和差公式

sinα·cosβ=0.5sinα+β+sinα－β

cosα·sinβ=0.5sinα+β－sinα－β

cosα·cosβ=0.5cosα+β+cosα－β

sinα·sinβ=－ 0.5cosα+β－cosα－β