初升高数学衔接教材(完整)

1 第一讲 数与式

1、 绝对值

(1)绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零．即

,0,||0,0,,0.aaaaaa

（2)绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

（3）两个数的差的绝对值的几何意义：ba表示在数轴上,数a和数b之间的距离．

2、绝对值不等式的解法

（1）含有绝对值的不等式

①()(0)fxaa，去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()afxa。

②()(0)fxaa，去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()fxafxa或。

③22()()()()fxgxfxgx。

（2)利用零点分段法解含多绝对值不等式：

①找到使多个绝对值等于零的点．

②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．

③将分段求得解集，再求它们的并集．

例1。 求不等式354x的解集

例2.求不等式215x的解集 2

例3.求不等式32xx的解集

例4。求不等式｜x＋2｜＋｜x－1|＞3的解集．

例5。解不等式｜x－1|＋|2－x｜＞3－x．

例6。已知关于x的不等式｜x－5|＋｜x－3|＜a有解，求a的取值范围．

练习

解下列含有绝对值的不等式： 3 （1）13xx＞4+x

（2）｜x+1｜<｜x－2|

（3）｜x－1｜+|2x+1|<4

(4）327x

（5)578x

3、因式分解

乘法公式

（1)平方差公式 22()()ababab

（2）完全平方公式 222()2abaabb

(3)立方和公式 2233()()abaabbab

（4)立方差公式 2233()()abaabbab

（5）三数和平方公式 2222()2()abcabcabbcac

（6）两数和立方公式 33223()33abaababb

（7）两数差立方公式 33223()33abaababb

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1 分解因式： 4 （1）x2－3x＋2； （2）2672xx

（3)22()xabxyaby； (4)1xyxy．

2．提取公因式法

例2.分解因式:

（1）baba552 (2）32933xxx

3．公式法

例3.分解因式： （1）164a （2）2223yxyx

4．分组分解法

例4.（1)xyxyx332 （2）222456xxyyxy

5．关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0）的因式分解．

若关于x的方程20(0)axbxca的两个实数根是1x、2x,则二次三项式2(0)axbxca就可分解为12()()axxxx.

例5.把下列关于x的二次多项式分解因式： 5 （1）221xx; （2）2244xxyy．

练习

(1）256xx （2）21xaxa （3）21118xx

（4)24129mm （5)2576xx (6）22126xxyy

(7）3211262pqqp (8）22365abbaa (9)22244xx

（10）1224xx （11）byaxbayx222222

（12）91264422bababa （13）x2－2x－1

（14) 31a； （15）424139xx;

（16）22222bcabacbc； （17)2235294xxyyxy

第二讲 一元二次方程与二次函数的关系

1、一元二次方程

（1)根的判别式

对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有：

（1） 当Δ＞0时,方程有两个不相等的实数根x1，2＝242bbaca；

（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－2ba;

（3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 6 (2）根与系数的关系（韦达定理)

如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝ba,x1·x2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．

2、二次函数2yaxbxc的性质

1。 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，.

当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时,y随x的增大而增大；当2bxa时，y有最小值244acba.

2. 当0a时,抛物线开口向下,对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，.当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba.

3、二次函数与一元二次方程:

二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况。

图象与x轴的交点个数：

① 当240bac时，图象与x轴交于两点1200AxBx，，，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根。这两点间的距离2214bacABxxa。

② 当0时,图象与x轴只有一个交点；

③ 当0时，图象与x轴没有交点。

1' 当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数,都有0y； 7 2' 当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y。

例1。若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．

(1)求| x1－x2|的值； (2)求221211xx的值；（3）x13＋x23．

例2。函数22ymxxm（m是常数）的图像与x轴的交点个数为（ ）

Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个

例3.关于x的方程25mxmxm有两个相等的实数根，则相应二次函数25ymxmxm与x轴必然相交于 点，此时m ．

例4 。抛物线2(21)6yxmxm与x轴交于两点1(0)x，和2(0)x，,若121249xxxx,要使抛物线经过原点，应将它向右平移 个单位．

例5.关于x的二次函数22(81)8ymxmxm的图像与x轴有交点，则m的范围是（ ）

Ａ．116m Ｂ．116m≥且0m Ｃ．116m Ｄ．116m且0m

练习

1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0)的两根为x1和x2．求：

（1)｜ x1－x2|和122xx；（2)x13＋x23．

2.如图所示，函数2(2)7(5)ykxxk的图像与x轴只有一个交点,则交点的横坐标0x ．

3。 已知抛物线2yaxbxc与y轴交于C点,与x轴交于1(0)Ax，，212(0)()Bxxx，两点，顶点M的纵坐标为4，若1x，2x是方程222(1)70xmxm的两根，且221210xx．

（1）求A，B两点坐标; 8 Oyxx2x1Oyx(x2)x1Oyx（2）求抛物线表达式及点C坐标;

4。 若二次函数2yaxc,当x取1x、2x（12xx）时，函数值相等，则当x取12xx时,函数值为（ ）

Ａ．ac Ｂ．ac Ｃ．c Ｄ．c

5、已知二次函数212yxbxc，关于x的一元二次方程2102xbxc的两个实根是1和5，则这个二次函数的解析式为

第三讲 一元二次不等式的解法

1、定义:形如ax2+bx+c＞0（a＞0）(或ax2+bx+c＜0（a＞0））的不等式

做关于x的一元二次不等式。

2、一元二次不等式的一般形式:

ax2+bx+c＞0(a＞0）或ax2+bx+c＜0（a＞0)

3、一元二次不等式的解集：

Δ=b2—4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0

y=ax2+bx+c＞0

（a＞0）的图象

ax2+bx+c=0

（a＞0)的根 x1=242bbaca

x2=242bbaca x1= x2=-2ba 没有实数根 9 ax2+bx+c＞0

（a＞0）的解集 x＜x1或x＞x2

(x1＜x2） x≠—2ba 全体实数

ax2+bx+c＜0

（a＞0）的解集 x1＜x＜x2

（x1＜x2） 无解 无解

4、解一元二次不等式的一般步骤：

（1)将原不等式化成一般形式ax2+bx+c＞0（a＞0）（或ax2+bx+c＜0（a＞0））；

（2)计算Δ=b2—4ac；

（3）如果Δ≥0，求方程ax2+bx+c=0（a＞0）的根；若Δ＜0，方程ax2+bx+c=0(a＞0）没有实数根；

（4）根据上表，确定已经化成一般形式的不等式的解集,即为原不等式的解集.

例1.解下列不等式:

(1)4x2-4x＞15； （2)—x2-2x+3＞0； （3）4x2—4x+1＜0