考向13 简单的三角恒等变换(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(解析版)

第3节三角恒等变换考试要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin__αcos__α.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan 2α＝2tan α1－tan2α.3.函数f(α)＝a sin α＋b cos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)(其中tan φ＝ab).1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z ).2.(易错题)已知锐角α，β满足sin α＝1010，cos β＝255，则α＋β＝( ) A.3π4 B.π4 C.π6 D.3π4或π4 答案 B解析 ∵sin α＝1010，cos β＝255， 又α，β为锐角，∴cos α＝31010，sin β＝55，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝31010×255－1010×55＝22.∵0<α＋β<π，∴α＋β＝π4. 3.计算：1＋tan 15°1－tan 15°＝________.答案3解析 1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.4.(易错题)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝________. 答案3解析 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°) ＝tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°， ∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＝3－3tan 10°tan 50°， ∴原式＝3－3tan 10°tan 50°＋3tan10°tan 50°＝ 3. 5.(2020·江苏卷)已知sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝23，则sin 2α的值是________.答案 13解析 因为sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝23， 所以1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α2＝23，即1＋sin 2α2＝23，所以sin 2α＝13.6.函数f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x 的周期为________. 答案 π解析 f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，周期T ＝2π2＝π.第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点一 公式的基本应用1.已知cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.－210 B.210 C.－7210 D.7210 答案 C解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，且cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.2.(2022·贵阳模拟)已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α，β的终边分别与单位圆交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，13，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，23，其中x 1<0<x 2，则cos(2α－β)＝________. 答案 75－8227解析 由题意可知，sin α＝13，sin β＝23， 由x 1<0<x 2可知cos α＝－1－sin 2α＝－223，cos β＝1－sin 2β＝53，所以cos 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2232－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79， sin 2α＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－223×13＝－429， 所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝75－8227.3.已知2tan θ－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝7，则tan 2θ＝________.答案 －43解析 2tan θ－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2tan θ－1＋tan θ1－tan θ＝7，解得tan θ＝2，∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×21－22＝－43. 感悟提升 1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. 2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.考点二 公式的逆用、变形用 角度1 公式的活用例1 (1)tan 22.5°1－tan 222.5°的值为________.(2)若α＋β＝－3π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________. (3)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 答案 (1)12 (2)2 (3)－12 解析 (1)tan 22.5°1－tan 222.5°＝12·2tan 22.5°1－tan 222.5°＝12tan 45°＝12×1＝12. (2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2， 即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.(3)∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.角度2 辅助角公式的运用 例2 化简：(1)sin π12－3cos π12； (2)cos 15°＋sin 15°； (3)1sin 10°－3sin 80°； (4)315sin x ＋35cos x .解 (1)法一 原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12 ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2.法二 原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12 ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝－2sin π4＝－ 2. (2)cos 15°＋sin 15°＝2(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°) ＝2cos(45°－15°) ＝2×32＝62.(3)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10° ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°.＝4sin （30°－10°）sin 20°＝4.(4)315sin x ＋35cos x ＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π6＋cos x sin π6＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.感悟提升 1.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.2.对a sin x ＋b cos x 化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.训练1 (1)下列式子化简正确的是( ) A.cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝12 B.sin 15°sin 30°sin 75°＝14 C.tan 48°＋tan 72°1－tan 48°tan 72°＝ 3D.cos 215°－sin 215°＝32(2)(2022·郑州模拟)函数f (x )＝cos x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6在[0，π]的值域为________.答案 (1)D (2)[－2，1]解析 (1)选项A 中，cos 82°sin 52°－sin 82°·cos 52°＝sin(52°－82°)＝sin(－30°) ＝－sin 30°＝－12，故A 错误；选项B 中，sin 15°sin 30°sin 75°＝12sin 15°cos 15°＝14sin 30°＝18，故B 错误； 选项C 中，tan 48°＋tan 72°1－tan 48°tan 72°＝tan (48°＋72°)＝tan 120°＝－3，故C 错误；选项D 中，cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32，故D 正确.(2)f (x )＝cos x －32sin x －12cos x －32sin x ＋12cos x ＝cos x －3sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.∵0≤x ≤π，∴π3≤x ＋π3≤4π3，则当x ＋π3＝π时，函数取得最小值2cos π＝－2，当x ＋π3＝π3时，函数取得最大值2cos π3＝2×12＝1， 即函数的值域为[－2，1]. 考点三 角的变换例3 (1)已知sin α＝255，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6(2)(2022·大庆模拟)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. (3)(2022·兰州模拟)若23sin x ＋2cos x ＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝________.答案 (1)C (2)－45 (3)732解析 (1)因为sin α＝255，sin(β－α)＝－1010，且α，β均为锐角，所以cos α＝55，cos(β－α)＝31010， 所以sin β＝sin [α＋(β－α)] ＝sin α·cos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝255×31010＋55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝25250 ＝22，所以β＝π4.故选C.(2)由题意知，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin(α＋β)＝－35＜0，所以cos(α＋β)＝45，因为β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－725， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－45.(3)由题意可得4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，令x ＋π6＝t ，则sin t ＝14，x ＝t －π6， 所以原式＝sin(π－t )cos 2t ＝sin t (1－2sin 2t )＝732.感悟提升 1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示. (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等.训练2 (1)已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin 2α等于( ) A.5665B.－5665C.1665D.－1635(2)(2021·全国大联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝________.答案 (1)B (2)－45解析 (1)因为π2＜β＜α＜3π4，所以0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜3π2，由cos(α－β)＝1213，得sin(α－β)＝513，由sin(α＋β)＝－35，得cos(α＋β)＝－45， 则sin 2α＝sin [(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－5665.故选B. (2)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝32cos α－12sin α－sin α＝32cos α－32sin α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α－32sin α＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝435，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－45.1.已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α＝( ) A.－31010 B.31010C.－35D.35答案 C解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－13， 所以sin α＝1010，cos α＝－31010，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－35，故选C. 2.已知tan α2＝3，则sin α1－cos α＝( )A.3B.13 C.－3 D.－13答案 B解析 因为tan α2＝3，所以sin α1－cos α＝2sin α2cos α21－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2α2＝cos α2sin α2＝1tan α2＝13，故选B.3.下列选项中，值为14的是( )A.2sin π12sin 5π12B.13－23cos 215°C.1sin 50°＋3cos 50°D.cos 72°·cos 36° 答案 D解析 对于A ，2sin π12sin 5π12＝2sin π12cos π12＝sin π6＝12，故A 错误； 对于B ，13－23cos 215°＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30°＝－36，故B 错误；对于C ，原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 50°＋12cos 50°12sin 100°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4，故C 错误；对于D ，cos 36°·cos 72°＝2sin 36°·cos 36°·cos 72°2sin 36°＝2sin 72°·cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14，故D 正确.4.(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6等于( ) A.12 B.33 C.23 D.22答案 B解析 因为sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＋ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝33. 5.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ＝( ) A.－2425 B.2425 C.－725 D.725答案 D解析 法一 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝35， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.故选D. 法二 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2θ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725. 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＋2θ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ＝725. 6.若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2等于( ) A.33B.－33C.539D.－69答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2. ∵0<α<π2，则π4<π4＋α<3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223. 又－π2<β<0，则π4<π4－β2<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.故选C. 7.sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.答案 sin(α＋γ)解析 sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).8.(2020·浙江卷)已知tan θ＝2，则cos 2θ＝________，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. 答案 －35 13解析 由题意，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2 θcos 2θ＋sin 2 θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35. tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－tan π41＋tan θ·tan π4＝tan θ－11＋tan θ＝2－11＋2＝13.9.tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝________.答案 －1解析 ∵tan 25°－tan 70°＝tan(25°－70°)·(1＋tan 25°tan 70°)＝tan(－45°)(1＋tan 25°tan 70°)＝－1－tan 25°tan 70°，∴tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝－1.10.已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值.解 (1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π2＜α－β＜π2. 又∵tan(α－β)＝－13＜0，∴－π2＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝91050. 11.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜ π2，求cos(α＋β).解 由已知，得π2＜α－β2＜π，0＜α2－β＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527. 则cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝－239729.12.若cos 2 α－cos 2β＝a ，则sin(α＋β)sin(α－β)等于( )A.－a 2B.a 2C.－aD.a答案 C解析 sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)·(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2 β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a .13.已知sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°，则m ＝________.答案 － 3解析 由题意可得m ＝2cos 140°－sin 10°cos 10°＝－2cos 40°－sin 10°cos 10°＝－2cos （30°＋10°）－sin 10°cos 10°＝－3cos 10°cos 10°＝－ 3.14.(2021·合肥质检)已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (α)＝13，求cos 2α.解 (1)∵f (x )＝cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由f (α)＝13，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝13. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，7π6. 又∵0<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝13<12， ∴2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π. ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝－223. ∴cos 2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6·sin π6 ＝1－266.。

三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结三角恒等变换是高考数学中的重要内容，涉及到三角函数的性质和等价关系。

在解决三角函数相关题目时，熟练掌握三角恒等变换可帮助我们简化计算和推导过程，提高解题效率。

本文将对三角恒等变换中的关键知识点进行总结。

一、基本恒等式1. 余弦、正弦和正切的平方和恒等式：$cos^2(x) + sin^2(x) = 1$$1 - tan^2(x) = sec^2(x)$$1 - cot^2(x) = csc^2(x)$这些恒等式是三角函数中最为基础的恒等式，也是其他恒等式的基础。

通过这些基本恒等式，我们可以推导出其他更复杂的恒等式。

2. 三角函数的互余关系：$sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos(x)$$cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$$tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{cot(x)}$$cot(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{tan(x)}$互余关系表明，角度x和其余角之间的三角函数之间存在特定的关系。

3. 三角函数的倒数关系：$sin(-x) = -sin(x)$$cos(-x) = cos(x)$$tan(-x) = -tan(x)$$cot(-x) = -cot(x)$三角函数的倒数关系表明，对于同一角度的正负，其正弦、余弦、正切和余切的值也是相反的。

二、和差恒等式和差恒等式是三角恒等变换中的重要内容，它们可用于将角度的和或差转化为其他三角函数表示，从而简化解题过程。

1. 正弦和差恒等式：$sin(x \pm y) = sin(x)cos(y) \pm cos(x)sin(y)$2. 余弦和差恒等式：$cos(x \pm y) = cos(x)cos(y) \mp sin(x)sin(y)$3. 正切和差恒等式：$tan(x \pm y) = \frac{tan(x) \pm tan(y)}{1 \mp tan(x)tan(y)}$这些和差恒等式在解决角度和为特定值时的三角函数计算中起到了重要的作用。

专题18 三角恒等变换【考点预测】知识点一．两角和与差的正余弦与正切 ①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；③tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=；知识点二．二倍角公式 ①sin22sin cos ααα=；②2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；③22tan tan 21tan ααα=-； 知识点三：降次（幂）公式2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222ααααααα-+===知识点四：半角公式sin22αα== sin 1cos tan.21cos sin aαααα-==+知识点五．辅助角公式)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a （其中abb a a b a b =+=+=ϕϕϕtan cos sin 2222，，）． 【方法技巧与总结】 1．两角和与差正切公式变形)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±； 1)tan(tan tan )tan(tan tan 1tan tan ---=++-=⋅βαβαβαβαβα．2．降幂公式与升幂公式ααααααα2sin 21cos sin 22cos 1cos 22cos 1sin 22=+=-=；；； 2222)cos (sin 2sin 1)cos (sin 2sin 1sin 22cos 1cos 22cos 1αααααααααα-=-+=+=-=+；；；．3．其他常用变式αααααααααααααααααααsin cos 1cos 1sin 2tan tan 1tan 1cos sin sin cos 2cos tan 1tan 2cos sin cos sin 22sin 222222222-=+=+-=+-=+=+=；；．3. 拆分角问题：①=22αα⋅；=(+)ααββ-；②()αββα=--；③1[()()]2ααβαβ=++-； ④1[()()]2βαβαβ=+--；⑤()424πππαα+=--．注意 特殊的角也看成已知角，如()44ππαα=--．【题型归纳目录】题型一：两角和与差公式的证明 题型二：给式求值 题型三：给值求值 题型四：给值求角题型五：正切恒等式及求非特殊角 【典例例题】题型一：两角和与差公式的证明例1．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）(1)试证明差角的余弦公式()C αβ-：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+；(2)利用公式()C αβ-推导：①和角的余弦公式()C αβ+，正弦公式()S αβ+，正切公式()T αβ+； ②倍角公式(2)S α，(2)C α，(2)T α.【答案】（1）证明见解析；（2）①答案见解析；②答案见解析 【解析】 【分析】在单位圆里面证明()C αβ-，然后根据诱导公式即可证明()C αβ+和()S αβ+，利用正弦余弦和正切的关系即可证明()T αβ+；用正弦余弦正切的和角公式即可证明对应的二倍角公式.【详解】(1)不妨令2,k k απβ≠+∈Z . 如图，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点1,0A ，以x 轴非负半轴为始边作角,,αβαβ-，它们的终边分别与单位圆相交于点()1cos ,sin P αα，()1cos ,sin A ββ，()()()cos ,sin P αβαβ--.连接11,A P AP .若把扇形OAP 绕着点O 旋转β角，则点,A P 分別与点11,A P 重合.根据圆的旋转对称性可知，AP 与11A P 重合，从而，AP ＝11A P ，∴11AP A P =. 根据两点间的距离公式，得：()()2222[cos 1]sin (cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ--+-=-+-，化简得：()cos cos cos sin sin .αβαβαβ-=+ 当()2k k απβ=+∈Z 时，上式仍然成立.∴，对于任意角,αβ有：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. (2)①公式()C αβ+的推导： ()()cos cos αβαβ⎡⎤+=--⎣⎦()()cos cos sin sin αβαβ=-+-cos cos sin sin αβαβ=-.公式()S αβ+的推导：()sin cos 2παβαβ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭cos 2παβ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin sin cos αβαβ=+正切公式()T αβ+的推导：()()()sin tan cos αβαβαβ++=+sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ+=-tan tan 1tan tan αβαβ+=-②公式()2S α的推导：由①知，()sin2sin cos sin sin cos 2sin cos ααααααααα=+=+=. 公式()2C α的推导：由①知，()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-.公式()2T α的推导：由①知，()2tan tan 2tan tan2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-.例2．（2022·云南·昭通市第一中学高三开学考试（文））已知以下四个式子的值都等于同一个常数 22sin 26cos 343sin 26cos34+-； 22sin 39cos 213sin 39cos 21+-；()()22sin 52cos 1123sin 52cos112-+--；22sin 30cos 303sin 30cos30+-.（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论. 【答案】（1）选第四个式子，14；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)选第四个式子，由1sin 30,cos302︒=︒=(2)由题意，设一个角为α，另一个角为60α︒-，应用两角差的余弦公式展开三角函数，由同角正余弦的平方和关系化简求值 【详解】（1）由第四个式子：221331sin 30cos 303sin 30cos304444+-=+-= （2）证明：()()22sin cos 603sin cos 60αααα+---2211sin cos cos 22αααααα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222133sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=++-14=【点睛】本题考查了三角函数，利用特殊角的函数值求三角函数式的值，应用两角差余弦公式展开三角函数式及同角的正余弦平方和关系化简求值，属于简单题例3．（2022·陕西省商丹高新学校模拟预测（理））如图带有坐标系的单位圆O 中，设AOx α∠=，BOx β∠=，AOB αβ∠=-，（1）利用单位圆､向量知识证明：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（2）若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4cos()5αβ-=-，5tan 12α=-，求cos β的值【答案】（1）证明见解析；（2）6365． 【解析】（1）根据向量的数量积公式即可证明；（2）根据角的范围分别求出正弦和余弦值，利用两角和的余弦公式计算得出答案． 【详解】（1）由题意知：||||1OA OB ==，且OA 与OB 的夹角为αβ-， 所以·11cos()cos()OA OB αβαβ=⨯⨯-=-， 又(cos ,sin )OA αα=，(cos ,sin )OB ββ=， 所以·cos cos sin sin OA OB αβαβ=+， 故cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+．（2）π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且5tan 12α=-，则512sin ,cos 1313αα==-；π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则,02πβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,αβπ∴-∈，4cos(),sin()553αβαβ-=--=，()()()1245363cos cos cos cos sin sin 13513565βααβααβααβ⎛⎫=--=-+-=-⨯-+⨯=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的定义，考查平面向量数量积的坐标运算，考查两角和与差的余弦公式，属于中档题．例4．（2022·全国·高三专题练习）如图，考虑点(1,0)A ，1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，(cos(),sin())P αβαβ++，从这个图出发.（1）推导公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-；（2）利用（1）的结果证明：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-，并计算sin 37.5cos37.5︒︒⋅的值.【答案】（1）推导见解析；（2【解析】 【分析】（1）根据图象可知2212AP PP =，再展开化简，得到两角和的余弦公式；（2）首先令ββ=-，求()cos αβ-，再代入所证明的公式；首先根据二倍角公式和诱导公式化简为11sin 37.5cos37.5sin 75cos1522⋅==，再根据两角差的余弦公式化简. 【详解】（1）因为12(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos(),sin())P P P ααββαβαβ-++， 根据图象，可得2212AP PP =，即2212||AP PP =， 即2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαββαβα+-++=-++. 即cos()cos cos sin sin αββαβα+=-.（2）由（1）可得cos()cos cos sin sin αββαβα+=-， ① cos()cos cos sin sin αββαβα-=+ ②由①+②可得：2cos cos cos()cos()βααβαβ=++- 所以1cos cos [cos()cos()]2βααβαβ=++-，所以()111sin 37.5cos37.5sin 75cos15cos 4530222︒︒︒︒︒︒===-.()1cos 45cos30sin 45sin 302=+1122⎫==⎪⎪⎝⎭【点睛】本题考查两角和差余弦公式的证明，以及利用三角恒等变换求值，重点考查逻辑推理证明，公式的灵活应用，属于基础题型.【方法技巧与总结】推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.题型二：给式求值例5．（2022·全国·高三专题练习）已知sin α=()cos αβ-=且304πα<<，304πβ<<，则sin β=（ ）A B C D 【答案】A 【解析】易知()()sin sin βααβ=--，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sin αβ-，分别在()sin αβ-=和sin β，结合β的范围可确定最终结果.【详解】2sin α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴-<-<，()sin αβ∴-==当()sin αβ-=()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=--=---57==304πβ<<，sin 0β∴>，sin β∴=不合题意，舍去；当()sin αβ-=sin β=.综上所述：sin β=故选：A . 【点睛】易错点睛：本题中求解cos α时，易忽略sin α的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cos α的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.例6．（2020·四川·乐山外国语学校高三期中（文））已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒-=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（ ）A ．13B ．13-C ．23D ．23-【答案】A 【解析】根据题意得到sin 152α⎛⎫︒- ⎪⎝⎭进而得到26cos 1529α⎛⎫︒-= ⎪⎝⎭，()1cos 303α︒-=，从而有()()()sin 60sin 9030cos 30ααα⎡⎤︒+=︒-︒-=︒-⎣⎦.【详解】∵sin 15tan 2102α⎛⎫︒-=︒ ⎪⎝⎭，∴()sin 15tan 210tan 18030tan302α⎛⎫︒-=︒=︒+︒=︒= ⎪⎝⎭则226cos 151sin 15229αα⎛⎫⎛⎫︒-=-︒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221cos 30cos 15sin 15223ααα⎛⎫⎛⎫︒-=︒--︒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()sin 60sin 9030αα⎡⎤︒+=︒-︒-⎣⎦ ()1cos 303α=︒-=， 故选A. 【点睛】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题.例7．（2020·全国·高三专题练习）若7cos(2)38x π-=-，则sin()3x π+的值为（ ）.A ．14B ．78 C ．14±D ．78±【答案】C 【解析】 【分析】利用倍角公式以及诱导公式，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】∵27cos(2)cos[2()]2cos ()13668x x x πππ-=-=--=-， ∴1cos()64x π-=±，∵1sin()cos[()]cos()32364x x x ππππ+=-+=-=±，故选：C. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换解决给值求值问题，属基础题.（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）设sin()sin 6πββ++=sin()3πβ-=（ ）AB ．12C ．12-D． 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合同角三角函数的基本关系式，求得sin 3πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】依题意sin()sin 6πββ++=sin()sin 3233ππππββ⎛⎫-++-+= ⎪⎝⎭1cos()sin )3233πππβββ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭1sin )233ππββ⎛⎫--= ⎪⎝⎭)sin 2cos()133ππββ⎛⎫-+-⎪⎝⎭，)1sin cos()3πβπβ⎛⎫-- ⎪-=22sin cos 133ππββ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)221sin 1sin 3πβπβ⎛⎫⎡⎤⎢⎥⎛⎫-+= ⎪⎝⎭-- ⎪⎦⎣，化简得(()(28sin 2sin 3033ππββ⎛⎫⎛⎫+----+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2，(24sin 2sin 033ππββ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 12sin 033ππββ⎡⎤⎡⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣， 解得1sin 32πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭或sin 3πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭. 故选：AC例9．（2022·全国·模拟预测（文））已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos25β=，()4cos 5αβ+=，则cos α=___________.【解析】 【分析】 由,0,2，()4cos 5αβ+=，即可求得()sin αβ+，用二倍角公式即可求得sin β 和cos β ，用拼凑角思想可表示出()ααββ=+-，用三角恒等变换公式求解即可. 【详解】因为()4cos 5αβ+=，且,0,2，所以()3sin 5αβ+=.又因为23cos 212sin 5ββ=-=，解得sin β=则cos β==故()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ=+-=+++⎡⎤⎣⎦4355==. 例10．（2022·上海静安·模拟预测）已知sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为_____________．【答案】12##0.5 【解析】 【分析】由倍角公式以及诱导公式求解即可． 【详解】231cos 212sin 124442ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2cos 2sin 242ππααα⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 22α∴=故答案为：12例11．（2022·江苏泰州·模拟预测）若0θθ=时，()2sin2cos f θθθ=-取得最大值，则0sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【解析】 【分析】首先利用二倍角公式和辅助角公式，化简，再代入求值. 【详解】()()111sin 21cos2sin 2cos2222f θθθθθ=-+=--()112222θθθϕ⎫---⎪⎝⎭（其中cos ϕsin ϕ=， 当()f θ取最大值时，022πθϕ-=，∴022πθϕ=+0sin 2sin cos 2πθϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭0cos2cos sin 2πθϕϕ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭∴0sin 24πθ⎛⎛⎫+== ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭【方法技巧与总结】给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.题型三：给值求值例12．（2022·福建省福州第一中学三模）若3sin 5α=-，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα-=+（ ）A ．12 B ．12-C ．2D ．-2【答案】D 【解析】 【分析】由2222sin cos2tan222sin 2sincos22sin cos tan 1222ααααααααα===++，可解得tan 2α，即可求解 【详解】3sin 2sincos225ααα==-，故2222sincos2tan32225sin cos tan 1222αααααα==-++， 可解得1tan23α=-或tan 32α=-，又3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 32α=-，故1tan 221tan2αα-=-+， 故选：D例13．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知1sin 64x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．78C．D【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再根据2cos 212sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可.【详解】因为sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2217cos 2cos 212sin 1236648x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.例14．（2022·湖北·模拟预测）已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A． B．C ．12D【答案】D【解析】 【分析】由已知α的取值范围，求出4πα-的取值范围，再结合1cos 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭即可解得α的值，cos2α即可求解 【详解】 因为22ππα-<<，所以3444πππα-<-< 又1cos 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以43ππα-=-，所以12πα=-所以cos 2cos cos 66ππα⎛⎫=-==⎪⎝⎭故选：D例15．（2022·全国·模拟预测）已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2325B ．2325-C D ． 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，然后利用二倍角公式即得. 【详解】因为1sin cos cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22123cos 2cos22cos 121366525πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B ．例16．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos2=α（ ）A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-【答案】B 【解析】 【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出()cos 45α︒+，再利用二倍角公式及诱导公式计算可得； 【详解】解：因为45135α︒<<︒，所以9045180α︒<+︒<︒，又()3sin 455α︒+=，所以()4cos 455α︒+==-，所以()()()3424sin 2452sin 45cos 4525525ααα⎛⎫︒+=︒+︒+=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭。

第25讲 简单的三角恒等变换学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭，则()f x 的值不可能是（ ）A ．12- B ．12 C ．0 D ．2【答案】D【解析】111()sin sin()sin (sin )3424f x x x x x x π=+-=-21111cos 21sin cos ?224224x x x x x -=-=-112cos 2sin(2)426x x x π=-=-． ∴()11[,]22f x ∈-，故选：D2．（2022·全国·高三专题练习（理））若角α顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线20x y +=上，则ππsin cos 44αα⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．35±B ．45±C ．310-D ．310【答案】C【解析】因为角α终边在直线20x y +=上，所以tan 2α，∴21cos 5α=．∴ππππ1ππsin cos sin cos 2sin cos 4444244αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--=⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1πsin 224α⎡⎤⎛⎫=⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()221π1113sin 2cos 22cos 1cos 2222210αααα⎛⎫=-==-=-=- ⎪⎝⎭．故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）已知角α为锐角，角β为钝角，且sin )ααβ=+=sin β=（ ）AB C D 【答案】D【解析】解：因为α为锐角，sin α=cos α=因为β为钝角，所以,2παβααπ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，若,2παβαπ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，则cos()cos sin 2παβαα⎛⎫+<+=-=< ⎪⎝⎭，不符题意，所以(,)αβπαπ+∈+，又cos()αβ+=sin()αβ+=，所以sin sin()βαβα=+-==. 故选：D.4．（2022·北京·101中学高三开学考试）在ABC ∆中，“tan tan 1A B <”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析sin sin cos()cos tan tan 11000cos cos cos cos cos cos A B A B CA B A B A B A B+-<⇔->⇔>⇔>cos cos cos 0A B C ABC⇔<⇔为钝角三角形.∴在ABC ∆中，“tan tan 1A B <”是“ABC ∆为钝角三角形”的充要条件. 故选：C.5．（2022·全国·高三开学考试（文））函数()4sin 3cos 336f x x x ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝++⎭=的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】()4sin 3cos 336f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭114sin3sin322x x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭12sin3sin32x x x x =++5sin32x x =5sin 33x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴f (x )最大值为5，故选：D.6．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）若将函数()()sin sin cos f x x x x =+的图象向左平移4π个单位，所得图象对应的函数在区间(),m m -上无极值点，则m 的最大值为（ ） A ．8π B ．4π C ．38π D ．2π 【答案】A【解析】因为()()2sin sin cos sin sin cos f x x x x x x x =+=+11cos 2sin 222x x -=+，1242x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以将函数()f x 的图象向左平移4π个单位，可得112244242y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令222,Z 242k x k k πππππ-+≤+≤+∈，解得3,Z 88k x k k ππππ-+≤≤+∈即函数1242y x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭的单调递增区间为3,,Z 88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦， 令0k =，可得函数的单调递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，又由函数1242y x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭在区间(),m m -上无极值点，则m 的最大值为8π.故选：A.7．（2022·全国·高三专题练习）若函数f (x )＝2sin x ＋cos x 在[0，α]上是增函数，则当α取最大值时，sin 2α的值等于（ ）A ．45B ．35C ．25D 【答案】A【解析】f (x )x ＋φ)，其中tan φ＝12，且φ∴π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，由π2-＋2kπ≤x ＋φ≤π2＋2kπ，k ∴Z ，得π2-－φ＋2kπ≤x ≤π2－φ＋2kπ，k ∴Z ，当k ＝0时，增区间为ππ,22ϕϕ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦，所以αmax ＝π2－φ，所以当α取最大值时，sin 2α＝sin 2π2ϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin 2φ＝2222sin cos 2tan 4sin cos 1tan 5ϕϕϕϕϕϕ==++. 故选：A8．（2022·上海长宁·二模）已知函数()sin cos f x x a x =+满足：()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭． 若函数()f x 在区间[]12,x x 上单调，且满足12()()0f x f x +=，则12x x +的最小值为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．4π3【答案】C【解析】()sin cos )f x x a x x ϕ=++，ππ,22ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭因为()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以当6x π=时，()f x 取得最大值，即sin()16πϕ+=所以62ππϕ+=，即3πϕ=因为12()()0f x f x +=，所以1122(,()),(,())x f x x f x 的中点是函数()f x 的对称中心， 由,3x k k Z ππ+=∈，得,3x k k Z ππ=-∈所以1223x x k ππ+=-， 所以1222,3x x k k ππ+=-∈Z 易知，当0k =时12x x +取得最小值23π. 故选：C9．（多选）（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知函数()22sin cos f x x x x =+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．,06π⎛⎫⎪⎝⎭是曲线()f x 的一个对称中心C ．12x π=-是曲线()f x 的一条对称轴D ．()f x 在区间5,612ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】ACD【解析】())sin21cos2sin2f x x x x x =-=2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭22T ππ==，A 对．6π⎛ ⎝是曲线()f x 的一个对称中心，B 错．232x k πππ-=+，5122k x ππ=+，k ∈Z ，1k =-时，12x π=-，∴12x π=-是()f x 的一条对称轴，C 对．2232x πππ-<-<，5266x ππ-<<，51212x ππ-<<，∴()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，D 对．故选： ACD.10．（多选）（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列结论可能成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．90C =【答案】AD【解析】因为()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，所以，()2sin cos cos sin 2sin cos sin 2sin cos sin cos cos sin A C A C B C A C B C A C A C +=++=++， 所以，sin cos 2sin cos 0A C B C -=，即()cos sin 2sin 0C A B -=. 所以，cos 0C =或sin 2sin A B =，0180C <<，90C ∴=或2a b =.故选：AD.11．（2022·江苏泰州·模拟预测）若0θθ=时，()2sin2cos f θθθ=-取得最大值，则0sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【解析】()()111sin 21cos2sin 2cos2222f θθθθθ=-+=--()112222θθθϕ⎫---⎪⎝⎭（其中cos ϕ=，sin ϕ=， 当()f θ取最大值时，022πθϕ-=，∴022πθϕ=+0sin 2sin cos 2πθϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭0cos2cos sin 2πθϕϕ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭∴0sin 24πθ⎛⎛⎫+== ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭．．（2022·河北·衡水第一中学高三阶段练习）函数3π()sin 2cos 4f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小值为________. 【答案】98-【解析】)3π3π3π()sin 2cos sin 2cos cos sin sin 2sin cos cos sin 444f x x x x x x x x x x ⎛⎫=-+=-+=+ ⎪⎝⎭，令cos sin x x t ⎡+=∈⎣，则22sin cos 1x x t =-，故()22918g t t t ⎛=+-=- ⎝⎭，所以当t =时，()min 98g t =- 故答案为：98-13．（2022·全国·高三专题练习）若33sin π3sin π44x x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2sin 2sin cos 2sin cos 2x x x xx ++=__________．【答案】85【解析】解：由33sin π3sin π44x x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3x x x x ⎫=-⎪⎪⎝⎭， 整理得2cos sin x x =，即tan 2x =，()222sin cos sin 2cos 1sin sin 2sin cos 2sin 1cos cos22x x x x x x x x x x x +-+++∴=+()2222sin cos 1cos 4sin cos 4tan 884sin cos 1cos sin cos tan 14152x x x x x x x x x x x x +======++++故答案为：8514．（2022·全国·高三专题练习）已知tan ,tan αβ是方程240x ++=的两根，且3,,22ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则αβ+的值为________.【答案】43π 【解析】∴tan ,tan αβ是方程240x ++=的两根，∴tan tan tan tan 4αβαβ+=-=，∴()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++===-.又tan tan 0,tan tan 0αβαβ+<>，∴tan 0,tan 0αβ<<，∴3,,22ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴(),2αβππ+∈，∴43παβ+=.故答案为：43π. 15．（2022·北京朝阳·一模）某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为3π的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地PQR ，其中P 在BC 上，PQ AB ⊥，垂足为Q ，PR AC ⊥，垂足为R ，设0,3PAB πα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则PQ =___________（用α表示）；当P 在BC 上运动时，这块三角形绿地的最大面积是___________.【答案】 60sin α米 2253平方米.【解析】在Rt PAQ 中，0,3PAB πα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，AP =60米，∴sin 60sin PQ AP αα==（米）， 在Rt PAR 中，可得60sin 3PR πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由题可知23QPR π∠=，∴PQR 的面积为：1sin 2PQRSPQ PR QPR =⋅⋅⋅∠1260sin 60sin sin 233ππαα⎛⎫=⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭sin 3παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭112cos 222αα⎫=+-⎪⎪⎭1sin 262πα⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦，又0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，52,666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴当262ππα+=，即6πα=时，PQR 的面积有最大值即三角形绿地的最大面积是.故答案为：60sin α米；.16．（2021·浙江·高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y fx π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【解】（1）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则2223332sin 1cos 21sin 22442y fx x x x x ππππ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=-+=- ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎪⎭⎦⎝， 所以该函数的最小正周期22T ππ==;（2）由题意，()2sin sin 444y f x f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22sin cos x x x x x x ⎫=⋅=⎪⎪⎝⎭1cos 2222sin 224x x x x x π-⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当242x ππ-=即38x π=时，函数取最大值1 17．（2022·浙江·高三专题练习）设函数()()()sin cos sin cos 22f x x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-⋅-++⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦. (1)求函数()f x 单调递增区间；(2)求函数()()6g x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.【解】 (1)()()()()()222cos sin sin cos sin cos sin cos 2sin cos f x x x x x x x x x x x =+--=-+=-++()1sin 2x =-- ，当322,222x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭ ，即x ∈()3,44k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭时是单调递增区间； (2)()()()()32sin 2sin 22sin 2222326g x x x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---+=--=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为2,0x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当2,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦时()g x 单调递减，当72,626x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦时()g x 单调递增，()min 222g x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，最大值在区间的两个端点中的一个，()0226g π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，72226gππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()g x最小值为2-()g x2；综上，()f x的单调递增区间为()3,44k k k Zππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭，()g x2-，最小值为2-18．（2022·浙江绍兴·高三期末）已知函数()sinf x x=.(1)若()π3f x f xϕ⎛⎫-=+⎪⎝⎭对于任意实数x恒成立，其中πϕ≤，求ϕ的值；(2)设函数()()22π6g x f x f x⎛⎫=++⎪⎝⎭，求()g x在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【解】(1)解：由()π3f x f xϕ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，即()πsin sin3x xϕ⎛⎫-=+⎪⎝⎭恒成立，∴()2πZ3x x k kπϕπ-++=+∈恒成立,或()2πZ3x x k kπϕ⎛⎫--+=∈⎪⎝⎭恒成立，由于()2πZ3x x k kπϕ⎛⎫--+=∈⎪⎝⎭不可能恒成立，∴()π2ππZ3x x k kϕ-++=+∈恒成立,即()2π2π+Z3k kϕ=∈恒成立，又∴πϕ≤，∴2π3ϕ=.(2)解：()()2222π1cos21cos23sin sin6622xxg x f x f x x xππ⎛⎫-+⎪-⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++=++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1π111cos2cos21cos2cos222322x x x x x⎛⎫⎡⎤⎛⎫=-++=-+⎪⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭1π1sin221223x x x⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,当x∈ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，π5ππ2,366x⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,∴π1sin21,32x⎛⎫⎡⎤-∈-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,∴()g x∈1⎡+⎢⎣⎦,即()g x在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围是区间1⎡+⎢⎣⎦.【素养提升】1．（2022·四川眉山·三模（文））已知函数()1f x =3ππ2x <<时，()f x 的值域为( )A ．(-1，1) B ．(0，1)C ．(-1，0)D ．()【答案】C【解析】()f x=3ππ2x <<，π3π224x ∴<<，sin cos 0x x ∴+<，sin cos 022x x->，cos02x<， ()()1sin cos sincos x x x x f x ⎛⎫++- ⎪∴=212sin cos 2cos 1sin cos 222222cos 2x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=-2cos sin cos sin cos 222222cos2x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=-22cos sin 22x x =-cos x=，()()1,0f x ∴∈-． 故选：C ．2．（2022·全国·高三阶段练习）已知α，β，γ是三个互不相同的锐角，则在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+的个数最多有（ ）个 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】因为α，β，γ是三个互不相同的锐角， 所以sin cossin cos sin cos αββγγα+++++πππ444αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+若令π3α=，π4β=，π6γ=，则sin cos αβ+=>sin cos βγ+=+>sin cos 1γα+=<的个数最多有2个. 故选：C3．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知函数()sin cos 2sin 2f x x x x =+-，以下结论错误的是( )A ．π是()f x 的一个周期 B ．()f x 在区间π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递减C ．3π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数D ．()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭恰有两个零点【答案】B【解析】()()()()()πsin πcos π2sin 2πsin cos 2sin 2f x x x x x x x f x ⎡⎤+=+++-+=+-=⎣⎦，故A 正确； 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 2sin 2f x x x x =+-，()cos sin 4cos2f x x x x '=--=()22cos sin 4cos sin x x x x ---()()cos sin 14cos sin x x x x ⎡⎤=--+⎣⎦ππ144x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上，πcos 04x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，π104x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，()0f x '<，f (x )递减，在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上，πcos 04x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，π104x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，()0f x '>，f (x )递增， 故f (x )在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故B 错误；3π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭定义域为R ，且：3π4f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭333sin cos 2sin 2444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos sin 2cos 244x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭))sin cos sin cos 2cos 2x x x x x =+--， 3333sin cos 2sin 24444f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--+---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos sin 2cos 244x x xππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭))cos sin sin cos 2cos 2x x x x x =-+-，∴3π3π44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数，故C 正确；当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x >，则()f x 在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭无零点，∴()f x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()010f =>，π204f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 由零点存在定理可知()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，同理可证()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，综上，()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭恰有两个零点，故D 正确．故选：B.4．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，已知()2sin sin sin sin A B C C θλ-=，其中1tan 3θ=（其中π02θ<<），若112tan tan tan A B C++为定值，则实数λ的值是（ ）ABCD【答案】A【解析】由1πtan ,(0)32θθ=<<，可得sin θ=cos θ=因为()2sin sin sin sin A B C C θλ-=，得2sin sin sin A B C C C λ⎫⋅=⎪⎭，即21sin sin sin C C C A B λ⎫=⎪⎭，又由112cos cos 2cos tan tan tan sin sin sin A B CA B C A B C++=++ sin 2cos sin sin sin C C A B C =+2sin 2cos sin sin sin sin C C A B C C=+112cos 11cos 2cos sin sin sin sin C C C C C k C CC C λλλ⎫=⨯+=+=⎪⎭（定值），即3sin cos cos sin C C C C λ-+=，即3sin cos sin cos 2k C C C C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭恒成立，可得321k λλ⎧=⨯⎪⎨⎪=⎩，解得6k =，λ=故选：A ．5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos f x x a x ωω=+，周期2T π<，3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭6x π=处取得最大值，则使得不等式a λω≥恒成立的实数λ的最小值为（ ）A B C D 【答案】B【解析】()sin cos )f x x a x x ωωωϕ=+=+，其中tan a ϕ=，6x π=处取得最大值，∴262k ππωϕπ+=+，即226k ππϕπω=+-，k Z ∈，1tan tan(2)tan()2626tan 6k aππππϕπωωπω∴=+-=-==，∴，k Z ∈，()1sin()1sin(2)333266f k ππππππωϕωπωω+++-，k Z ∈，cos 6πω∴，∴，∴⨯∴得213sin 61a a πω=+， 2222233sin cos 1661(1)a a a ωπωπ∴+=+=++，即42230a a --=，解得a =a =， 由∴得tantan()66k ωπππ=+，k Z ∈，cos06ωπ>，∴6ωπ在第一象限，∴tan(2)6k ππ=+，k Z ∈，由22||T ππω=<，即||1ω>， ∴266k ωπππ=+，k Z ∈，121k ω∴=+，k Z ∈，使||ω最小，则1k =-， 即||11min ω=，若不等式||a λω恒成立，则()||max a λω 故选：B 6．（2022·河北保定·二模）已知3248tan 2tan 3cos θθθ+->-，则7tan 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的取值范围为___________. 【答案】1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】解：因为222221sin cos tan 1cos cos θθθθθ+==+， 所以332248tan 2tan 8tan 4tan 2tan 43cos θθθθθθ+-=-+->-， 即328tan 4tan 2tan 1θθθ-+>.设函数()32842f x x x x =-+，则()22482f x x x '=-+，因为()2842420--⨯⨯<，所以()0f x '>，所以()f x 为增函数.又112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()112f x x >⇔>，所以1tan 2θ>， 故7tan 121tan tan 1,1441tan 1tan 3ππθθθθθ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-==-∈- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭7．（2022·全国·高三专题练习）如图，正三角形ABC 内有一点P ，2BPC π∠=，56APC π∠=，连接AP 并延长交BC 于D ，则||CD CB=___________. 【答案】13【解析】设正三角形边长为2，2CD λ=，设CDP θ∠=，在CAD中，23CADπθ∠=-，2sinsin3CD CAπθθ=⎛⎫-⎪⎝⎭，代入数据可得，222sinsin3λπθθ=⎛⎫-⎪⎝⎭∴，在CDP中，5cos2cos6CP CB BCPπθ⎛⎫=⋅∠=-⎪⎝⎭，sinsin6CD CPπθ=代入数据可得，52cos64sinπθλθ⎛⎫-⎪⎝⎭=∴∴/∴得，152cos sin263ππθθ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得tanθ=-代入∴式得13λ=.所以12||1323CBCD⨯==.故答案为：13.8．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC中，则2222sin sin2sinA B C+=则111tan tan tanA B C++最小值是___【解析】因为2222sin sin2sinA B C+=，所以22222a b c+=，所以2222sincos2444sina b c b b BCab ab a A+-====,又sin sin()sin cos cos sin,B AC A C A C=+=+所以sin cos cos sin cos sincos=4sin44tanA C A C C CCA A+=+,所以tan3tanC A=.因为ABC中，tan+tantan tan()1tan tanA BC A BA B=-+=--,所以tan tan tan tan tan tanC C A B A B-=--所以tan tan tan tan tan tanA B C A B C++=⋅⋅,所以24tan tan 3tan 1AB A =-,所以23ta 111113tan 13t n 14ta an tan tan tan 3tan 412tan n A A A A B C A A A-++=++=+， 因为sin cos 04sin BC A=>，所以C 为锐角. 因为tan 3tan 0C A =>，所以tan 0A >，所以1113tan 1313=tan tan tan 412tan 12tan A A A B C A A ++=+≥当且仅当tan A =.。