专题四 三角函数与解三角形
第九讲 三角函数的概念?诱导公式与三角恒等变换
2019年
1.(2019北京9)函数f (x )=sin 2
2x 的最小正周期是 ________. 2.(2019全国Ⅲ理12)设函数()f x =sin(5
x ωπ
+
)(ω>0),已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点,下述四个结论:
①()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2π)有且仅有2个极小值点
③()f x 在(0,
10
π
)单调递增 ④ω的取值范围是[1229
510
，)
其中所有正确结论的编号是
A. ①④
B. ②③
C. ①②③
D. ①③④
3.(2019天津理7)已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?π=+>><是奇函数,将
()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为
()g x .若()g x 的最小正周期为2π,
且π4g ??
= ???
则
3π8f ??= ???
A.2-
B.
D.2 4.(2019全国Ⅱ理10)已知α∈(0,
2
π),2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=
A.
15
5
C.
3
D.
5
5.(2019江苏13)已知tan 2
π3tan 4αα=-?
?+ ??
?,则πsin 24α??+ ??
?的值是_________.
6.(2019浙江18)设函数()sin ,f x x x =∈R .
(1)已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数,求θ的值; (2)求函数22[()][()]124
y f x f x ππ
=+
++ 的值域. 2010-2018年
一?选择题
1.(2018全国卷Ⅲ)若1
sin 3
α=
,则cos2α= A.89 B.79 C.79
- D.89- 2.(2016年全国III)若3
tan 4
α= ,则2cos 2sin 2αα+=
A.
6425 B.4825 C.1 D.1625
3.(2016年全国II)若3
cos(
)45π
α-=,则sin 2α=( ) A.7
25
B.15
C.15-
D.725-
4.(2015新课标Ⅰ)sin 20cos10cos160sin10-=
A.-
C.12-
D.1
2
5.(2015重庆)若tan 2tan
5
π
α=,则
3cos()10sin()
5
π
απ
α-
-=
A.1
B.2
C.3
D.4 6.(2014新课标Ⅰ)若0tan >α,则
A.0sin >α
B. 0cos >α
C. 02sin >α
D. 02cos >α 7.(2014新课标Ⅰ)设(0,
)2π
α∈,(0,)2
π
β∈,且1sin tan cos βαβ+=,则
A.32
π
αβ-=
B.22
π
αβ-=
C.32
π
αβ+=
D.22
π
αβ+=
8.(2014江西)在ABC ?中,内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ,若32a b =,则
2222sin sin sin B A
A
-的值为( )
A.19
- B.
13 C.1 D.72
9.(2013新课标Ⅱ)已知2sin 23α=,则2
cos ()4
πα+=( )
A.16
B.13
C.12
D.23
10.(2013浙江)已知2
10
cos 2sin ,=
+∈αααR ,则=α2tan A.
34 B.4
3
C.43-
D.34-
11.(2012山东)若??
?
???∈2,4ππθ,8
7
32sin =
θ,则=θsin A.
53 B.54 C.47 D.4
3
12.(2012江西)若
sin cos 1
sin cos 2
αααα+=-,则tan2α=
A.?34
B.34
C.?43
D.43
13.(2011新课标)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x
=上,则cos2θ= A.45-
B.35-
C.35
D.45
14.(2011浙江)若02
π
α＜＜
,02π
β-
＜＜,1
cos()43
πα+=
,cos()423πβ-=
,则cos()2
β
α+
=
A.
3
B.3-
C.9
D.9
- 15.(2010新课标)若4cos 5α=-
,α是第三象限的角,则
1tan
21tan 2
α
α+=- A.12
-
B.
12
C.2
D.-2
二?填空题
16.(2018全国卷Ⅰ)已知函数()2sin sin 2=+f x x x ,则()f x 的最小值是_____. 17.(2018全国卷Ⅱ)已知sin cos 1+=αβ,cos sin 0+=αβ,则sin()+=αβ___.
18.(2017新课标Ⅱ)函数2
3()sin 4f x x x =+-
([0,])2
x π
∈的最大值是 . 19.(2017北京)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴
对称.若1
sin 3
α=
,则cos()αβ-=___________. 20.(2017江苏)若1
tan()46
πα-=,则tan α= .
21.(2015四川)=+
75sin 15sin . 22.(2015江苏)已知tan 2α=-,()1
tan 7
αβ+=
,则tan β的值为_______. 23.(2014新课标Ⅱ)函数()()()sin 22sin cos f x x x ???=+-+的最大值为____. 24.(2013新课标Ⅱ)设θ为第二象限角,若1tan 42
πθ??
+= ??
?,则sin cos θθ+=___. 25.(2013四川)设sin 2sin αα=-,(
,)2
π
απ∈,则tan 2α的值是_____.
26.(2012江苏)设α为锐角,若4cos 65απ??+= ??
?,则sin 212απ?
?+ ???的值为 .
三?解答题
27.(2018江苏)已知,αβ为锐角,4
tan 3
α=
,cos()αβ+=.
(1)求cos2α的值; (2)求tan()αβ-的值.
28.(2018浙江)已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点
34
(,)55
P --.
(1)求sin()απ+的值; (2)若角β满足5
sin()13
αβ+=
,求cos β的值.
29.(2017浙江)已知函数22
()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R .
(Ⅰ)求2(
)3
f π
的值; (Ⅱ)求()f x 的最小正周期及单调递增区间. 30.(2014江苏)已知),2
(ππ
α∈,55sin =α.
(1)求)4
sin(
απ
+的值;
(2)求)26
5cos(
απ
-的值. 31.(2014江西)已知函数()()
()θ++=x x a x f 2cos cos 22
为奇函数,且04=??
?
??πf ,其中()πθ，，0∈∈R a .
(1)求θ，
a 的值; (2)若??
? ??∈-=???
??ππαα，，
2524f ,求??? ??
+3sin πα的值.
32.(2013广东)已知函数(),12f x x x R π?
?=
-∈ ??
?.
(1) 求3f π??
???
的值; (2) 若33cos ,,252πθθπ??
=
∈ ???
,求6f πθ?
?- ??
?.
33.(2013北京)已知函数2
1
()(2cos 1)sin 2cos 42
f x x x x =-+
(1)求()f x 的最小正周期及最大值;
(2)若(
,)2
π
απ∈,且()2
f α=
,求α的值. 34.(2012广东)已知函数()2cos()6
f x x π
ω=+
,(其中0ω>,x R ∈)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值; (2)设,[0,
]2π
αβ∈,56(5)35f απ+=-,516
(5)617
f βπ-=,求cos()αβ+的值. 专题四 三角函数与解三角形
第九讲 三角函数的概念?诱导公式与三角恒等变换
答案部分 2019年
1.解析:因为2
1cos 411
sin 2cos 422x f x x x -==
=-（）（）, 所以f x （）的最小正周期2π4T ==2.解析 当[0,2]x ∈π时,,2555x ωωπππ??
+
∈π+????
, 因为()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点,所以5265
ωπ
ππ+
<π, 所以
1229
5
10
ω<
,故④正确, 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案, 下面判断③是否正确, 当(0,
)10x π
∈时,(2),5510x ωωππ+π??+∈????,
若()f x 在0,10π??
???
单调递增, 则
(2)102ω+ππ<,即3ω<,因为1229
5
10
ω<
,故③正确. 故选D.
3.解析 因为()f x 是奇函数,所以0?=,()sin f x A x ω=.
将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为()g x ,即()1sin 2g x A x ω??= ???
, 因为()g x 的最小正周期为2π,所以
2212
ωπ
=π,得2
ω=, 所以()sin g x A x =,()sin
2f x A x =
.
若4g π??
=
???sin 442g A A ππ??=== ???
2A =,
所以()2sin 2f x x =
,332sin 22sin 2884f ππ3π????
=?=== ? ?????
故选C.
4.解析:由2sin 2cos21αα=+,得24sin cos 2cos ααα=. 因为π0,
2α?
?
∈ ??
?
,所以cos 2sin αα=. 由22
cos 2sin sin cos 1
αα
αα=??
+=?,
得sin α=
.故选B. 5.解析 由
tan 23tan()4α
α=-π+,得tan 23tan tan 4
1tan tan
4
ααα=-π+π
-, 所以tan (1tan )21tan 3ααα-=-+,解得tan 2α=或1tan 3
α=-.
当tan 2α=时,2
2tan 4
sin21tan 5
ααα==+,221tan 3cos21tan 5ααα-==-+
, 43sin(2)sin2cos cos2sin 44455αααπππ+=+=-=
当1tan 3α=-时,2
2tan 3
sin21tan 5
ααα==-+,221tan 4cos21tan 5ααα-==+,
所以34sin(2)sin2cos cos2sin 444525210
αααπππ+
=+=-?+?=. 综上,sin(2)4
απ+
的值是
10.
6.解析(1)因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数,所以,对任意实数x 都有
sin()sin()x x θθ+=-+,
即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+, 故2sin cos 0x θ=, 所以cos 0θ=. 又[0,2π)θ∈,因此π2θ=
或3π2
.
(2)22
22ππππsin sin 124124y f
x f x x x ????????????=+++=+++ ? ? ? ?????????????
????
ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ???
?-+-+ ? ?
??????=+=-- ? ???
π123x ?
?=+ ??
?. 因此,
函数的值域是[1. 2010-2018年
1.B 【解析】2
21
7
cos 212cos 12()39
αα=-=-?=
.故选B. 2.A 【解析】由sin 3tan cos 4ααα=
=,22cos sin 1αα+=,得3sin 5α=,4
cos 5
α=或 3sin 5α=-,4cos 5α=-,所以24
sin 22sin cos 25
ααα==
, 则2
164864
cos 2sin 2252525
αα+=
+=
,故选A. 3.D
【解析】因为3cos cos )45πααα??
-=+= ???
,
所以sin cos αα+=
, 所以181sin 225α+=
,所以7sin 225
α=-,故选D. 4.D 【解析】原式=1
sin 20cos10cos 20sin10sin(2010)sin 302
+=+==
. 5.C 【解析】
3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin
1010tan cos sin
55
ππ
αππα+=- 33cos 2tan sin 105102tan
cos
sin
5
5
5
ππππ
π
π
+=
-33cos cos 2sin sin
510510sin
cos
5
5
πππππ
π
+=
=155(cos cos )(cos cos )2
1010101012sin 25πππππ++-3cos
103cos 10
ππ==,选C. 6.C 【解析】 tan 0α>知α的终边在第一象限或第三象限,此时sin α与cos α同号,
故sin 22sin cos 0ααα=>,选C. 7.B 【解析】由条件得
sin 1sin cos cos αβαβ
+=,即sin cos cos (1sin )αβαβ=+, 得sin()cos sin()2
π
αβαα-==-,又因为2
2
π
π
αβ-
<-<
,02
2
π
π
α<
-<
,
所以2
π
αβα-=
-,所以22
π
αβ-=
.
8.D 【解析】2222sin sin sin B A A -=22sin 2()12()1sin B b A a -=-,∵32a b
=,∴上式=7
2
. 9.A 【解析】因为2
1cos 2()1cos(2)1sin 242cos ()4222
ππ
ααπαα++++-+===
, 所以2211sin 213cos ()4226
παα-
-+===,选A. 10.C 【解析】由2
2(sin 2cos ))2αα+=可得2222sin 4cos 4sin cos 10
sin cos 4
αααααα++=+,进一步整理可得2
3tan 8tan 30αα--=,解得tan 3α=或1
tan 3
α=-,
于是2
2tan 3
tan 21tan 4
ααα=
=--. 11.D 【解析】由42ππθ??
∈????
，可得],2[2ππθ∈,81
2sin 12cos 2-=--=θθ,
43
22cos 1sin =-=
θθ,答案应选D. 另解:由42ππθ??
∈????
，
及sin 2θ,
可得sin cos θθ+==
344===+,而当42ππθ??
∈????
，时 θθcos sin >,结合选项即可得4
7
cos ,43sin =
=θθ.
12.B 【解析】分子分母同除cos α得:
sin cos tan 11
,sin cos tan 12
αααααα++==--∴tan 3α=-,
∴2
2tan 3
tan 21tan 4
ααα=
=- 13.B 【解析】由角θ的终边在直线2y x =上可得,tan 2θ=,
2222
2
222
cos sin 1tan 3
cos 2cos sin cos sin 1tan 5
θθθθθθθθθ--=-===-++. 14.C 【解析】cos()cos[()()]2442βππβαα+
=+--cos()cos()442
ππβ
α=+-
sin()sin()442ππβα++-,而3(,)444πππα+∈,(,)4242
πβππ-∈,
因此sin(
)4
3π
α+=
,sin()423
πβ-=,
则1cos()233339
β
α+
=?+=. 15.A 【解析】 ∵4cos 5α=-
,且α是第三象限,∴3
sin 5
α=-, ∴
1tan
21tan
2αα
+=
-2
cos
sin
(cos
sin )2
222
cos sin (cos sin )(cos sin )
222222ααα
α
α
α
α
ααα
++=
--+
221sin 1sin 1cos 2cos sin 22
ααααα++===--.
16.2
-
【解析】解法一 因为()2sin sin 2=+f x x x , 所以2
1()2cos 2cos 24cos 2cos 24(cos )(cos 1)2
'=+=+-=-+f x x x x x x x ,
由()0'≥f x 得
1cos 12≤≤x ,即2233
ππππ-+≤≤k x k ,, 由()0'≤f x 得11cos 2-≤≤x ,即223
π
πππ++≤≤k x k
或223
π
πππ--≤≤k x k ,∈Z k ,
所以当23
π
π=-
x k (∈Z k )时,()f x 取得最小值,
且min ()(2)2sin(2)sin 2(2)3332
π
πππππ=-
=-+-=-f x f k k k .
解法二 因为()2sin sin 22sin (1cos )=+=+f x x x x x , 所以2
2
2
3
[()]4sin (1cos )4(1cos )(1cos )=+=-+f x x x x x
443(1cos )(1cos )(1cos )(1cos )27
[]344
-++++++?=
≤x x x x , 当且仅当3(1cos )1cos -=+x x ,即1
cos 2
=x 时取等号,
所以2
270[()]4
≤≤f x ,
所以()f x
的最小值为2
-. 17.1
2
-
【解析】∵sin cos 1+=αβ,cos sin 0+=αβ, ∴2
2
sin cos 2sin cos 1αβαβ++= ①,
22cos sin 2cos sin 0αβαβ++= ②,
①②两式相加可得
2222sin cos sin cos 2(sin cos cos sin )1ααββαβαβ+++++=,
∴1sin()2
αβ+=-
. 18.1【解析】化简三角函数的解析式,则
(
)2231
1cos cos 44
f x x x x x =-+-
=-++
=2(cos 1x -+, 由[0,]2
x π∈可得cos [0,1]x ∈,
当cos x =时,函数()f x 取得最大值1. 19.7
9
-
【解析】∵角α与角β的终边关于y 轴对称,所以2k αβππ+=+, 所以1
sin sin(2)sin 3k βππαα=+-==,cos cos βα=-;
222cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 1αβαβαβααα-=+=-+=-
2172()139
=?-=-.
20.75【解析】tan()tan
744tan tan[()]445
1tan()tan 44
ππ
αππααππα-+=-+==--?.
6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)2+=+=+=.
22.3【解析】1
2
tan()tan 7tan tan()32
1tan()tan 17
αβαβαβααβα++-=+-===++-. 23.1【解析】()sin[()]2sin cos()f x x x ????=++-+
sin()cos cos()sin x x ????=+-+
sin()sin x x ??=+-
=.∵x R ∈,所以()f x 的最大值为1.
24.【解析】∵1tan 42πθ?
?+=
???
,可得
1tan 3θ=-,∴
sin θθ==,
sin
cos θθ+=5
-
. 【解析】 sin 22sin cos sin αααα==-,则1cos 2
α=-
,又(,)2
π
απ
∈,
则tan α=22tan tan 21tan 13
ααα-=
==--26.
50217【解析】 因为α为锐角,cos()6πα+=45,∴sin()6πα+=3
5
, ∴sin2(,2524)6
=
+
π
αcos2(7
)625πα+=, 所以sin(50
2
17251722]4
)6
(2sin[)12
2=?=
-
+
=+
π
π
απ
α. 27.【解析】(1)因为4tan 3α=
,sin tan cos ααα=,所以4
sin cos 3
αα=. 因为22sin cos 1αα+=,所以29
cos 25
α=, 因此,27cos22cos 125
αα=-=-
. (2)因为,
αβ为锐角,所以(0,π)αβ+∈.
又因为
cos()αβ+=,所以sin()αβ+=因此tan()2αβ+=-.
因为4tan 3α=
,所以22tan 24tan 21tan 7
ααα==--, 因此,tan 2tan()2
tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+.
28.【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5
α=-
, 所以4sin()sin 5απα+=-=
. (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3
cos 5
α=-,
由5sin()13αβ+=得12
cos()13
αβ+=±.
由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++, 所以56cos 65β=-
或16cos 65
β=-.
29.【解析】(Ⅰ)由2sin
32π=,21
cos 32
π=-,
2
(
)3
f π
2211()()22=---- 得2(
)23
f π
=. (Ⅱ)由2
2
cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得
()cos 222sin(2)6
f x x x x π
=-=-+
所以()f x 的最小正周期是π 由正弦函数的性质得
32222
6
2
k x k π
π
π
ππ++
+≤≤
,k ∈Z 解得
26
3
k x k π
π
ππ++≤≤
,k ∈Z 所以()f x 的单调递增区间是2[
,
]6
3
k k π
π
ππ++(k ∈Z ).
30.【解析】(1)∵()
sin 2ααπ∈π=，，,∴cos α==
()
sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=+=+=;
(2)∵2243
sin 22sin cos cos 2cos sin 55
αααααα==-=-=，
∴(
)(
)
314cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π-=+=+?-=.
31.【解析】(1)因为()()
()22cos cos 2f x a x x θ=++是奇函数,而2
12cos y a x =+为偶函数,
所以2cos(2)y x θ=+为奇函数,又()0,θπ∈，
得2
π
θ=.
所以()f x =2sin 22cos x a x -?+（）
由04=??
?
??πf ,得(1)0a -+=,即 1.a =- (2)由(1)得:()1sin 4,2f x x =-因为12sin 425f αα??
=-=- ???
,得4sin ,5α=
又2παπ??
∈ ???
，
,所以3cos ,5α=- 因此sin sin cos sin cos 333πππααα??+=+= ??
?
32.【解析】
(1)(
) 1.3124f π
π
π
-
==
(2)33cos ,52
π
θ=由于<θ<2π,
所以4sin 5
θ===-,
因此())6
612
f π
π
π
θθ-
=-
-
=
)cos sin )444
341()52525
πππ
θθθ=-==?-?=-
33.【解析】:(1)2
1
()(2cos 1)sin 2cos 42
f x x x x =-+
1cos 2sin 2cos 42x x x =+11
sin 4cos 422
x x =+
)24
x π
=
+ 所以,最小正周期242
T ππ
=
= 当424
2x k π
π
π+
=+
(k Z ∈),即216
k x ππ
=
+(k Z ∈)时
,max ()2f x =. (2)
因为()sin(4)242f παα=
+=,所以sin(4)14
π
α+=,
因为
2π
απ<<,所以
9174444
πππ
α<+<
, 所以5442
ππ
α+=,即916πα=.
34.【解析】(1)21
105T ππωω==?=.
(2)56334
(5)cos()sin ,cos 352555f ππαααα+=-?+=-?==
516815(5)cos ,sin 6171717
f πβββ-=?==.
4831513
cos()cos cos sin sin 51751785
αβαβαβ+=-=?-?=-.