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各类微分方程的解法1.可分离变量的微分方程解法一般形式:g(y)dy=f(x)dx直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解2.齐次方程解法一般形式:dy/dx=φ(y/x)令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解3.一阶线性微分方程解法一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x)先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］即y=Ce－∫P(x)dx+e－∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解4.可降阶的高阶微分方程解法①y(n)=f(x)型的微分方程y(n)=f(x)y(n-1)= ∫f(x)dx+C1y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1)即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2③y”=f(y,y’) 型的微分方程令y’=p则y”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C1)即dy/dx=φ(y,C1),即dy/φ(y,C1)=dx,所以∫dy/φ(y,C1)=x+C25.二阶常系数齐次线性微分方程解法一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=06.二阶常系数非齐次线性微分方程解法一般形式: y”+py’+qy=f(x)先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解求y”+py’+qy=f(x)特解的方法:①f(x)=P m(x)eλx型令y*=x k Q m(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m(x)的m+1个系数②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+P n(x)sinωx］型令y*=x k eλx［Q m(x)cosωx+R m(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Q m(x)和R m(x)的m+1个系数。
目录摘要 (I)关键词 (I)Abstract (I)Key words (I)1.前言 (1)2.常微分方程的求解方法 (1)2.1常微分方程变量可分离类型解法 (1)2.1.1直接可分离变量的微分方程 (3)2.1.2可化为变量分离方程 (3)2.2常数变易法 (7)2.2.1一阶线性非齐次微分方程的常数变易法 (7)2.2.2一阶非线性微分方程的常数变易法 (8)2.3积分因子法 (12)3.实例分析说明这几类方法间的联系及优劣 (14)3.1几个重要的变换技巧及实例 (14)3.1.1变为 (14)3.1.2分项组合法组合原则 (15)3.1.3积分因子选择 (15)参考文献 (16)致谢 (17)常微分方程初等解法及其求解技巧摘要常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中.求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题.本文就是对不同类型的常微分方程的解法及其求解技巧的系统总结：先介绍求解常微分方程的几种初等解法，如变量分离法，常数变易法，积分因子法等，在学习过程中，通过对不同类型的方程求解，揭示常微分方程的求解规律.然后介绍几类方程求解中的变换技巧及规律，并通过实例来分析这几类方法之间的联系及优劣，从而能快速的找到最佳解法.关键词变量分离法常数变易法积分因子变换技巧Elementary Solution and Solving Skills of OrdinaryDifferential EquationAbstractOrdinary differential equations are important components of calculus and used extensively for the studies on specific issues. Ordinary differential equations are often resolved by the means of variable separation and both sides integral. If they are higher-order ones, we can reduce their order by proper variable substitution to solve this problem. This essay aims at concluding systematically the methods of different types of differential equations and its resoling skills. First of all, I’d would like to introduce several basic resolutions of differential equations, such as variable separation, constant threats, points factor, etc. In the process of learning, I’d like to reduce the law of resolving ordinary differential equations by resolving different types of equations. Then, we describe several equations resolutions and for transformation techniques and its laws,and we also analyze the advantages and disadvantages and connections by using the examples of these methods to be able to find the best solution quickly.Key wordsVariable separation; constant threats; points factor; transform techniques1.前言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是高等分析里大部分思想和理论的根源.人所共知，常微分方程从它产生的那天起, 就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具.它的发展历史也是跟整个科学发展史大致同步的.现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性质的研究、化学反应稳定性的研究等.这些问题都可以转化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题.常微分方程具有广泛的社会实践性，无论是在各类学科领域上，还是在实际生产生活中，都有举足轻重的作用．它所涉及范围之广，致使前人对它做了很深入的研究．应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它现有的理论也还远远不能满足需要，还有待进一步的发展，使这门学科的理论更加完善.微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言.它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具.人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然.所以我们必须能够求出它的解.常微分方程的初等解法,既是常微分方程理论中有自身特色的部分，也与实际问题密切相关；恰当对初等解法进行归类，能正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而能按照所介绍的方法进行分解.总之，常微分方程属于数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据这重要位置，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论与实际应用均非常重要，因此本文对常微分方程的初等解法进行了简要归纳和分析，主要讨论变量分离方程，非恰当微分方程，线性微分方程，同时结合具体的实例，展示了初等解法在解题过程中的应用及其求解过程中的变换技巧和律.2.常微分方程的求解方法2.1常微分方程变量可分离类型解法定义1 如果一阶微分方程具有形式，则该方程称为可分离变量微分方程.若设，则可将方程化为.即将两个变量分离在等式两端.其特点是：方程的一端只含有的函数与，另一端只含有的函数与.对于该类程，我们通常采用分离变量的方法来处理。
微分方程的求解方法应用与实例微分方程是数学中的重要分支之一，广泛应用于各个领域，如物理、工程、经济等。
解微分方程是研究微分方程的核心问题之一，掌握微分方程的求解方法对于解决实际问题至关重要。
本文将介绍微分方程的求解方法，并结合实例进行详细说明。
一、初等解法初等解法是解微分方程最常用的方法之一，主要包括分离变量法、参数法、齐次法和常系数线性齐次微分方程方法等。
分离变量法适用于可分离变量的微分方程。
通过将方程中的变量分离并进行分别积分的方式，最终得到微分方程的解。
参数法适用于可以利用某些特定的参数化代换将微分方程化简的情况。
通过给定参数化代换，将原微分方程转化为更简单的形式，并求解得到解。
齐次法适用于齐次线性微分方程。
通过将微分方程中的变量进行替换，使之变为齐次线性微分方程，并通过相应的解法求解得到原微分方程的解。
常系数线性齐次微分方程方法适用于常系数线性齐次微分方程。
通过特征方程的求解，找到微分方程的通解。
二、变量分离法变量分离法是解微分方程常用的方法之一，适用于将微分方程中的未知函数和自变量分离的情况。
以一阶可分离变量的形式为例，设微分方程为dy/dx=f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)是关于x和y的函数。
首先将方程两边同时乘以dx和1/g(y)，得到dy/g(y)=f(x)dx。
之后对方程两边同时积分，得到∫dy/g(y)=∫f(x)dx。
最后将等式两边积分得到微分方程的解。
三、常微分方程的解法常微分方程是微分方程中的一种重要类型，是指微分方程中未知函数与变量的最高导数只有一阶，没有更高阶的情况。
常微分方程的解法多种多样，如一阶常微分方程、二阶常微分方程等。
以一阶常微分方程为例，设方程为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是已知函数。
可以通过变量分离、齐次、恰当微分方程以及一些特殊的解法等方法求解常微分方程。
四、实例分析下面通过一个实例来详细说明微分方程的求解方法。
假设有一辆汽车的速度满足以下条件：在0时刻，汽车的初速度为10m/s，经过1小时，汽车的速度下降到5m/s。
(完整版)关于微分方程计算过程说明关于微分方程计算过程说明
本文档将详细说明微分方程的计算过程，包括求解和验证结果的方法。
微分方程是描述物理、工程以及其他领域中变化和变量关系的重要工具。
1. 微分方程的基本概念
微分方程是一种包含未知函数及其导数的方程。
常见的微分方程类型包括一阶和二阶线性微分方程、常微分方程和偏微分方程。
2. 微分方程的求解过程
求解微分方程的过程可以分为以下几步：
步骤1: 确定微分方程的类型和阶数
根据给定的方程形式，确定微分方程是一阶还是二阶，线性还是非线性。
步骤2: 分离变量或应用变换
根据微分方程的类型，可以尝试使用分离变量、线性变换、特殊变换等方法，将方程转化为更容易求解的形式。
步骤3: 求解微分方程
根据转化后的方程形式，使用数值方法或解析方法求解微分方程。
常见的求解方法包括分析解法、数值解法等。
步骤4: 验证解的正确性
将求解得到的解代入原方程，验证是否满足微分方程的要求。
如果方程对解成立，则解是正确的。
3. 微分方程的应用
微分方程在多个领域有着广泛的应用，例如：
- 物理学中，微分方程可以描述自然界中的运动、振动、热传导等现象。
- 工程学中，微分方程可以用于建模、控制系统设计等方面。
- 经济学中，微分方程可以用于分析经济变化、市场模型等。
结论
微分方程是一种重要的数学工具，其求解过程需要根据方程类型和阶数来确定适当的求解方法，并且需要验证解的正确性。
微分方程在多个领域中有广泛的应用，具有重要的理论和实际意义。
微分方程求解方法的讨论微分方程是科学研究和实践应用中至关重要的数学工具，广泛应用于自然科学、社会科学和工程学等领域。
微分方程求解方法不仅是数学学科的核心内容，也是各个领域精密定量分析的必需品。
在本文中，我们将探讨微分方程的求解方法，并且介绍几种经典的数值求解方法以及最新的基于机器学习的方法。
一、微分方程的分类及求解方法微分方程的分类有多种，按方程得阶数可分为一阶、二阶、高阶微分方程；按方程得类型可分为常微分方程、偏微分方程等多类；按方程所属的数值特性可分为解析解和数值解等。
因为本文主要讨论的是数值求解方法，我们先来介绍什么是解析解和数值解。
解析解在数学上是指能够用已知函数表达的解，因为函数解的可求，使得对微分方程的理解更加直观明了。
解析解求解过程一般比较繁琐，但是求得的解具有精度高的特点。
在许多实际问题中，需要数值求解微分方程，而数值解则是通过数值方法转换原微分方程，从而得到以数值形式表现的解，这些数值解的计算和实现往往比解析解简单。
但是由于数值方法不可避免地存在舍入误差，一定程度上降低了精度。
一阶常微分方程是最简单的微分方程，形式如下：$ \frac{dy}{dx} = f(x,y),y(x^*)=y^* $其中f(x,y)是一定类型的函数表达式，表示因变量y在自变量x 处的导数大小。
y(x^*)=y^*为初值条件。
以上式子可表述为：y在初值点x^*=0处的函数值y^*已知，根据f(x,y)就可以求出在任意的x处y的函数值，称为方程的解。
常见的求解一阶常微分方程的方法有分离变量法、齐次法、一阶线性微分方程和Bernoulli微分方程等。
以下介绍一种简单的数值求解方法-欧拉法：欧拉法是最初发展出来的一种数值方法，用于求解一阶常微分方程的数值解。
公式如下：$y_{n+1} = y_{n} + hf(x_n, y_n)$其中 $h$ 是步长，在 $[x_{n}, x_{n+1}]$ 区间内的每一步的取值区间，$x_{n}$ 是当前取值点，$x_{n+1}=x_{n}+h$ 是下一步的取值点，$y_{n+1}$ 和 $y_{n}$ 分别是上一步和下一步的函数值。
微分方程的基本概念与求解方法微分方程是数学中重要的一门分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
本文将介绍微分方程的基本概念和求解方法，帮助读者更好地理解和应用微分方程。
一、微分方程的基本概念微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
一般形式为：$$F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0$$其中，$x$ 是自变量，$y$ 是未知函数，$y', y'', \ldots, y^{(n)}$ 分别表示 $y$ 的一阶、二阶、$\ldots$、$n$ 阶导数，$F$ 是已知函数。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程中只包含一元函数的导数，而偏微分方程中包含多元函数的偏导数。
二、常微分方程的求解方法常微分方程的求解方法主要有解析解和数值解两种。
1. 解析解解析解是指能够用已知函数表达出来的解。
对于一阶常微分方程，可以通过分离变量、齐次方程、一阶线性方程等方法求解。
例如，对于一阶线性方程：$$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$$可以通过乘以一个积分因子来求解。
对于二阶及高阶常微分方程，可以通过常系数线性齐次方程、常系数线性非齐次方程、变系数线性方程等方法求解。
2. 数值解数值解是通过数值计算方法获得的近似解。
常见的数值解方法有欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法将微分方程转化为差分方程，通过逐步迭代计算来逼近真实解。
三、偏微分方程的求解方法偏微分方程的求解方法相对复杂，主要有分离变量法、特征线法、变量分离法等。
1. 分离变量法对于某些特殊形式的偏微分方程，可以通过分离变量法求解。
该方法将多元函数分离成一元函数，然后对各个一元函数分别求解。
2. 特征线法特征线法适用于一些具有特殊性质的偏微分方程。
通过找到方程的特征线，可以将偏微分方程转化为常微分方程，从而求解。
3. 变量分离法变量分离法适用于可以将偏微分方程中的变量分离的情况。
微分方程求解一、 实验目的与要求1．掌握用Matlab 求微分方程及其方程组解的方法； 2．学会求微分方程近似解的欧拉折线法；3．学会建立一些简单问题的微分方程模型，并能运用Matlab 分析研究这些问题。
二、 问题描述对于很多实际问题，要直接找出所需的函数关系往往非常困难，但根据实际问题所提供的条件，有时却可以列出含有未知函数导数的关系式，这样的关系式就是所谓的微分方程。
怎样利用微分方程求得所需未知函数，往往是我们解决实际问题经常需要面对的问题，即解微分方程。
这里我们借用Matlab 对此问题进行简单探讨。
三、 问题分析在处理关于微分方程的实际问题时，我们一般须先建立微分方程，再利用所学的数学知识解微分方程。
事实上真正能找到精确解的微分方程只是很少一部分，大部分只能求近似解，即数值解。
四、 背景知识介绍1． 求微分方程解析解的命令。
求微分方程解析解的命令为： dsolve （‘方程1’，‘方程2’，…，‘初始条件1’，‘初始条件2’，…，‘自变量’），对于可用积分方法求解的微分方程和微分方程组，可以用dsolve 命令来求其通解和特解。
例1：要求方程043=-'+''y y y 的通解，可以输入以下语句Matlab 命令： dsolve (‘D2y+3*Dy-4*y=0’,’x ’)运行结果： ans =C1*exp(-4*x)+C2*exp(x)即 x x e C e C y 241+=-注：求一阶用D 表示，二阶导数用D2表示，三阶导数用D3表示，以此类推。
如果自变量没有选定，默认自变量为’t ’。
例2：解方程054=+'+''y y ydsolve ('D2y+4*Dy+5*y=0','x')运行结果： ans =C1*exp(-2*x)*sin(x)+C2*exp(-2*x)*cos(x)即： ()x C x C e y x c o s s i n 212+=- 例3：解方程()2212x xe xy y x =+'+dsolve ('(1+x^2)*Dy+2*x*y=x*exp(x^2)','x')运行结果：ans =(1/2*exp(x^2)+C1)/(1+x^2)即： 211212x C e y x ++= 如果要求微分方程的初值问题：10,60240='==-'+''==x x y yy y y ，可输入以下语句dsolve ('D2y+4*Dy-2*y=0','y(0)=6','Dy(0)=10','x') 运行结果： ans =(3+11/6^(1/2))*exp((-2+6^(1/2))*x)+(-11/6^(1/2)+3)*exp(-(2+6^(1/2))*x)即： ()()x62x 6261136113--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ee y2．求微分方程数值解。
求微分方程数值解命令为ode45，ode23，ode15s 。
对于不可以用积分方法求解的微分方程初值问题，可以用ode45，ode23，ode15s 命令求特解。
例4：求微分方程3,022=++='=x yx y x y y 的近似解（40≤≤x ）可用下面的命令：function f=odefun1(x,y) f=y^2*x+y+x^2;[x,y]=ode45(‘odefun1’,[0,4],3); plot ( x , y , ‘ r - ’ )输出结果为：例5：解初值问题()10,1=++-='y t y y dsolve('Dy=-y+t+1','y(0)=1')输出结果：ans =t+exp(-t)即： t e t y -+=现在我们用数值求解命令求解后和解析解比较function f=odefun2(t,y) f=-y+t+1;t=0:0.1:1; y=t+exp(-t); plot(t,y,'b-') hold on[t,y]=ode45('odefun2',[0,1],1); plot(t,y,'r.')hold off输出结果：例6：求初值问题()()1,1,02sin ='==++''ππy y x y y 解：设y y y y '==21,，则原方程可化为()()⎪⎩⎪⎨⎧==--='='1,12sin 211221ππy y x y y y y Matlab 语言：function f=odefun3(x,y) f=[y(2);-y(1)-sin(2*x)];[x,y]=ode45('odefun3',[pi,2*pi],[1,1]); plot(x,y(:,1),'r-')输出结果：利用ode45命令还可以求解耦合微分方程，所谓耦合微分方程，方程组中的未知函数是相互影响的，相互依赖的，其中的一个求解会影响到另一个求解，下面求一对耦合微分方程的数值解：例7：解方程组()()()()()()⎩⎨⎧--='='t xt ytyt ytxsin01.0其中()()1.2,0==yxMatlab语句：function f=odefun4(t,y)f=[y(2),-0.01*y(2)-sin(y(1))]';[t,y]=ode15s('odefun4',[0,100],[0,2.1]); 函数()t xx=的图像：plot(t,y(:,1),'r-')输出结果为：函数()t y y =的图像：plot(t,y(:,2),'r-')输出结果：用[][]t y t x ,生成参数图形plot(y(:,1),y(:,2),'r-')输出结果：五、 实验过程 1．欧拉折线法对于初值问题()()00,,y x y y x f y =='，我们考虑函数()x y 的线性近似 ()()()()000x x x y x y x L -'+=由于函数()x y 可微，在包含0x 的一个很小的邻域内()x L 是()x y 得很好的近似。
欧拉折线法就是通过一系列的线性近似得到在较大区间内的()x y 的近似解。
第一步：设x x x ∆+=01，其中x ∆很小，则()()()()()010********,x x y x f y x x x y y x L y -+=-'+==是()1x y 得很好的近似，在区间[]10,x x （无妨设0>∆x ）上()x y 能被()x L 很好的近似。
第二步：利用()11,y x 和斜率()11,y x f 来进行下一步近似，设x x x ∆+=12，()2x y 由()()121112,x x y x f y y -+= 近似表示。
第三步：利用点()22,y x 和斜率()22,y x f ，对于x x x ∆+=23，()3x y 由 ()()332223,x x y x f y y -+= 近似表示。
……… ………这样我们就得到一列点列()()()() 33221100,,,,,,,y x y x y x y x 。
而连接这个点列的折线就是初值问题()()00,,y x y y x f y =='的一个近似解。
这就是所谓的欧拉折线法。
其一般的步骤是()()01000101,,x x y x f y y dx x x -+=+= ()()12111212,,x x y x f y y dx x x -+=+= ()()23222323,,x x y x f y y dx x x -+=+= ……… ………()()11111,,------+=+=n n n n n n n n x x y x f y y dx x x例8：利用欧拉折线法球初值问题()10,1=+='y y y 的近似解。
以下是求此初值问题的Matlab 语句 function odefun6(n,d) X=[0,1]; for k=1:n/dX(k+1,1)=X(k,1)+d;X(k+1,2)=X(k,2)+(1+X(k,2))*d;endplot(X(:,1),X(:,2))odefun6(1,0.01)此初值问题的精确解为1y，以上语句可以实现对精确解和近似解=x e2-的图像进行比较。
hold onx=0:0.01:1;y=2*exp(x)-1;plot(x,y,'r-')hold off输出结果：2．微分方程的斜率场'2的斜率场。
例9：求一阶微分方y=xy+y一阶微分方程求斜率场的Matlab语句如下：function odefun7(inx,axx,iny,axy)a=(axx-inx)/0.1;b=(axy-iny)/0.1;z=[inx,iny];m=1;s=1;for j=1:bfor k=1:am=m+1;z(k+s,1)=z(k,1)+0.1;z(k+s,2)=z(k,2)+(j-1)*0.1;ends=m;endfor i=1:length(z)x=z(i,1);y=z(i,2);x1=x+0.1;y1=y+(y^2*x+y)*0.1;plot([x,x1],[y,y1],'b-')plot(z(:,1),z(:,2),'b.','Markersize',2) hold on end hold offodefun7(-2,2,-2,2) 输出结果为六、 结论与应用研究卫星绕地球运行的轨迹。
根据牛顿第二运动定律：22dtrd m ma F ==和万有引力定理2r mM G F -=。
所以2rM Ga -=，其中M 为地球的质量，()y x ,为卫星所在位置的坐标，22y x r +=。
因此我们有在x 轴上加速度分量为x r MG a x 3-=，在y 轴上加速度分量为y r M G a y 3-=，设卫星的运动方程为()()⎩⎨⎧==t y y t x x ，则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=''-=''y r M G t y x r M G t x 33。
如果我们假定卫星以初速度()s m v y /40000=在()m x 7102.40⨯-=处入轨，地球质量为kg M 241097.5⨯=。
