2017_2018学年八年级数学上册12.5因式分解习题课件(新版)华东师大版

因式分解
一、复习回顾
1、什么叫因式分解？我们已经学过哪种因式分解方法？
2、什么叫公因式？提公因式时，确定公因式的两个条件 是什么？
3、因式分解与整式乘法之间有何关系？
4、填空： a² -b² (1) （a＋b)(a－b)= _________ a² +2ab+b² (2) （a＋b)²= __________ a² -2ab+b² (3) (a－b)²= ___________
变式二：把下列各式分解因式. （1）(a+b+c)2-(a-b+c)2 （3）169x2-121(x-2y)2 （2）16(a-b)2-9(a+b)2
解：（1） = = =
(a+b+c)2-(a-b+c)2 [(a+b+c)+(a-b+c)] [(a+b+c)-(a-b+c)] (2a+2c)2b 4b(a+c)
= [(x + p )+(x + q)] [(x + p) - ( x + q)] (x+p)² -(x+q)² ↓ ↓ ↓ a² - b² = ( a ↓ + b) ↓ ( a ↓ – b)
= (2x+p+q) (p-q) 归纳:公式中的a、b不仅可以代表单项式，也可以代表多项 式，只要符合平方差公式的形式，就可以应用公式法进行 因式分解。
②、9m² -4n²
、（x+p)² -(x+q)²
解： ① x² -16=x² -4² =(x+4)(x-4) = (a+b) (a-b) a² - b² - (2n)²=(3m+2n)(3m-2n) ② 9m² - 4n²= (3m)²

因式分解的应用
因式分解的概念
一般地，把一个多项式化成几个整式的积 的形式，叫做因式分解.
因式分解的思路
首项系数变为正
一准备 各项分解因式
相反因式变相同
(三）由项数思考能否再分解
1.二项：只能分解a2-b2
(二）提公因式
2.三项：只能分解a2±2ab+b2 或能找到“十字”的二次三项式
3.四项及以上：只能分组分解后还能分解的多项式
a2 -2ab+b2-c2的正负
解:
a2 -2ab+b2-c2
=(a-b)2 -c2
=(a-b+c)(a-b-c)
∵ a、b、c为三角形的三边
∴ a+c ﹥b a﹤b+c
∴ a-b+c﹥0 a-b-c ﹤0 即：(a-b+c)(a-b-c) ﹤0 因此 a2 -2ab+b2-c2小于零，是负数。
解：2n+4-2n=2n(2４-1)=2n(16-1)=15×2n =15×2×2n-1=30×2n-1.
∵n为正整数时，2n-1为整数， ∴2n+4-2n能被30整除.
计算:
（ 2 ） 4 x 2 9 3 2 x
解: 原式 2 x 3 2 x 3 2 x 3
2x3
2x3
例2. 2 a 4 b 3 a 6 b a 2 4 b 2
(四）若无法分解，则采用非常1.每个因式是否最简 2.每个因式还能分解吗？
3.各因式的排列规范吗？ 4.用乘法检验是否恒等
1.将下列各式因式分解:
(1)n4 n3 n3(n 1)
提取公因式法
(2)ax2 bx x(axb)
(3) x 2 9 (x3)(x3)

16
思维训练
• 16．若a为整数, 则a3－a能被6整除吗? 为什么? • 解: 能．∵a3－a＝a(a2－1)＝a(a－1)(a＋1), a为整数, ∴a－1, a, a＋1是三个连续的整数．∵任意三个连续的整数是6的倍数, ∴a3－a能被6整除．
17
• 17．已知a、b、c是△ABC的三边长, 试判断代数式(a2＋b2－ c2)2与4a2b2的大小． • 解: (a2＋b2－c2)2－4a2b2＝(a2＋b2－c2＋2ab)·(a2＋b2－c2－ 2ab)＝[(a＋b)2－c2][(a－b)2－c2]＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b－ c)(a－b＋c)．∵a、b、c是△ABC的三边长, ∴a＋b＋c＞0, a＋b－c ＞0, a－b－c＜0, a－b＋c＞0, ∴(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b－c)(a －b＋c)＜0, ∴(a2＋b2－c2)2＜4a2b2.
4
• 【典例】把下列各式分解因式: • (1)18x2y－50y3; • (2)ax3y＋axy3－2ax2y2. • 分析: 先提取公因式, 然后考虑用平方差公式或完全平方公 式进行因式分解． • 解答: (1)18x2y－50y3＝2y(9x2－25y2)＝2y(3x＋5y)(3x－5y)． • (2)ax3y＋axy3－2ax2y2＝axy(x2＋y2－2xy)＝axy(x－y)2.
()
• A．x(1－2x)2
B．x(2x－1)(2x＋1)
6
• 3．把多项式x2－6x＋9分解因式, 结果正确的是
A
()
• A．(x－3)2
B．(x－9)2
• C．(x＋3)(x－3)
D．(x＋9)(x－9)
A
• 4．多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1的公因式是

讲授新课
典例精析
例4 分解因式： （1）16x2+24x+9；
（2）-x2+4xy-4y2.
分析：在（1）中， 16x2=(4x)2, 24x=2·4x·3, 9=3², 所以16x2+24x+9是一个完全平方式， 即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2
(首)²+2·首·尾+(尾)²
③ ⑥，
① am+bm+c=m(a+b)+c
最后不是积的运算
② 24x2y=3x ·8xy 因式分解的对象是多项式，而不是单项式
③ x2-1=(x+1)(x-1) ④ (2x+1)2=4x2+4x+1
是整式乘法
⑤ x2+x=x2(1+ 1 ) 每个因式必须是整式
x
⑥ 2x+6z=2(x+2y+3z)
答：草坪的面积是32平方米.
当堂检测
4．要使多项式x2+M+2x能运用平方差公式进行分解因式，整式M可以是 （） A．1 B．-1 C．-2x+4 D．-2x-4
当a=0.5，x=1.5，y=-2时 原式=(2×1.5-2)×(0.5-2)=-1.5
当堂检测
3.在一块边长为a=6.6米的正方形空地的四角均留出一块边长为 b=1.7米的正方形空地修建花坛，其余的地方种植草坪.问草坪的面 积有多大？
解：由题意可知，草坪的面积是边 长为a米的正方形的面积减去四个 边长为b米的小正方形的面积，即 a2-4b2 =(a+2b)(a-2b) =(6.6+3.4)(6.6-3.4)=32(平方米).

还有其他分组 的方法吗？
分组规律：
在有公因式的前提下，按对应项系数成 比例分组，或按对应项的次数成比例分组。
分解步骤：
(1)分组 (2)在各组内提公因式 (3)在各组之间进行因式分解 (4)直至完全分解
把下列各式分解因式：
(1) 20(x+y)+x+y
=21(x+y)
(2) p-q+k(p-q)
=(p-q)(1+k)
解：原式=20(x+y)+(x+y) 解：原式=(p-q)+k(p-q)
(3) 5m(a+b)-a-b
(4) 2m-2n-4x(m-n)
2
=(2a2+2ac)-(ab+bc)
= 2a(a+c)- b(a+c) = (a+c)(2a-b)
因式分解
-4yz + 3x - 2xz + 6xy
解原式 = (6xy - 4yz) + (3x2 - 2xz) = 2y(3x - 2z) + x(3x - 2z) = (3x - 2z)(2y + x)
2
因式分解
分
析 在用分组分解法因式分解时，要注意分 组不能使一个多项式变为乘积形式，分 组的目的是分好的各组能提取各自的公 因式同时使各组提取公因式后剩下的多 项式又是各组的公因式，可以再提取， 从而使问题得到解决，上述规律可以通 俗的归纳成：“ 分组的目的是为了提 取，提取的目的是为了再提取”。
=(x-5y)(2a-b)
例 1方法二： 解 ：a2-ab+ac-bc
=(a2+ac)-(ab+bc) =a(a+c)-b(a+c) = (a+c)(a-b)

1002－2×100×99+99² 解：原式=（100－99)²
=1.
本题利用完全平方 公式分解因式的方 法，大大减少计算 量，结果准确.
当堂练习
1.把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2
(4a+3b)(4a-3b)
(2) (a+b)2-(a-b)2
4ab
(3) 9xy3-36x3y
9xy(y+2x)(y-2x)
a2 ± 2 . a . b + b2
下列各式是不是完全平方式？
首2 2 首 尾 尾2
（1）a2－4a+4;
是 （2）1+4a²; 不是
（3）4b2+4b-1; （5）x2+x+0.25.
不是 （4）a2+ab+b2; 不是 是
分析： （2）因为它只有两项；
（3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍.
2、m²-6m+9=( m)²- 2·(m ) ·(3 )+( 3 )²=(m - 3 )² 3、a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·(2b )+(2b )²=( a + 2b )²
a2 ± 2 . a . b + b2 = （ a ± b )²
首2 2 首 尾 尾2 (首 尾)2
三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 分解因式的一般步骤
二 运用完全平方公式因式分解
完全平方公式: a2 2ab b2 =（a ± b）2 完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成 完全平方形式，便实现了因式分解.

1.把下列多项式分解因式 （1）3a+3b= 3(a+b) (2) 5x-5y+5z= 5(x-y+z)
(3) 3a2-9ab= 3a(a-3b) (4) -5a2 +25a= -5a(a-5)
2.已知,x+y=2,xy=-3,求x2y+xy2的值.
3 . 已知代数式x2+3x+5的值是7,求 3x2+9x-2的值.
察是思考和识记之母。”2021年11月8日星期一8时49分18秒08:49:188 November 2021 ❖ 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。上午8时49
分18秒上午8时49分08:49:1821.11.8
注 意
提公因式后，另一个因式：
(2)xy+yz=y(x+z)
(7)(x-y)2+(x-y)=(x-y)(x-y+1)
(8) –3ax2y+6x3yz= -3x2y(a-2xz)
(3)2ac-4abc= 2ac(1-2b)
(4)m2n+mn2=mn(m+n) (5)3m2a-12ma+3ma2= 3ma(m-4+a)
提公因式，首项系数是负数时，提公因式时 要提“-”号，且添括号时每一项一定先变号
找公因式的方法：
1.公因式的系数应取各项系数的最大公约数 （当系数是整数时） （如：5ab2c+15abc2公因式的系数应取5）
5abc
2.字母取各项的相同字母，且相同字母的指 数取最低次幂。
(如:3x2y+6x3yz中相同字母x应取x2)
3x2y

分解因式 。 从左边到右边的这个过程叫___________
3、因此，a2-b2= （a+b)(a-b)是因式分解 中的一个公式。
说说平方差公式的特点 a2−b2= (a+b)(a−b)
①左边
两个数的平方差；只有两项 相同项 相反项
②右边 两数的和与差的积
形象地表示为
2 2 ☆－○＝ (☆＋○)(☆－○)
C.
-(2a +1)(2a+1)
D. -(2a+1) (2a-1)
2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1 1)原式=2（3+b)(3-b) 2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1)
因式分解—完全平方公式
我们前面学习了利用平方差公式来分 解因式即： 2 2
a -b =(a+b)(a-b)
＝4 (2m+n) (m+2n)
1、分解因式：
①x4-y4 ②a3b-ab
例3.简便计算：
分解因式，必 须进行到每一 个多项式都不 能再分解为止。
解： ①x4-y4 =（x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y) ②a3b-ab=ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1)
=5050
分解因式注意事Biblioteka ：1、有公因式可提的要先提公因式，再用公式法。
2、分解之后要看每一项是否分解彻底。
3、提公因式后不要漏掉“1”或“-1”这项。 4、答案要写成最简形式。
做一做
下列分解因式是否正确？为什么？ 如果不正确，请给出正确的结果。
x 16 y ( x ) (4 y )

下列分解因式是否正确？为什么？如果不正确， 请给出正确的结果。
x4 16 y4 (x2 )2 (4 y2 )2
(x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
不正确 分解到不能再分解为止
巩固练习
1、在多项式x²+y², x²-y²,-x²+y², -x²-y²中,能 利用平方差公式分解的有( B ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
12.5 因式分解
12.5.2平方差公式法
目 Contents 录
01 回顾思考 02 合作探究
03 学以致用
04 巩固练习
05 总结提升
预习检测： 下列分解因式是否正确？
x4 16 y4 (x2 )2 (4 y2 )2
(x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
回顾思考
找出下列各题公因式：
(6) 169x2 －4y2 解:原式＝(13x)2－(2y)2
＝ (13x＋2y)(13x－2y)
(8) -16x4 ＋81y4 (解7):9原a2式p2＝＝－((b332aaqpp2＋)2－bq()b(q3)a2p－解b:q原) 式＝＝＝＝(((89991yyyy２ 224++－)442－xx1226))〔(x9(4y4(2x3-２4yx))222-)(2x)2〕
2．变式巩固练习
变式一：把下列各式分解因式.
（1）1-25b2
（2）x2y2-z2 （3） -0.01n2+m2
解：（1） 1-25b2 =12-(5b)2=(1+5b)(1-5b)
（2） x2y2-z2 =(xy)2- z2 =(xy+z)(xy-z)
（3） -0.01n2+ m2 = -0.01n2+m2 = (m)2-(0.1n)2 = (m+0.1n)(m-0.1n)

12.5 因式分解
知识点二 提公因式法
定义：把一个多项式的各项都含有的相同的因式提出来，将多项 式写成因式的积的形式，这种因式分解的方法，叫做提公因法．
[点拨] 提公因式法的实质是逆用分配律．
12.5 因式分解
反思
计算：(x－2)2＋(x－2)(x＋6)． 解：原式＝(x－2)(x－2＋x＋6) ＝(x－2)(2x＋4)＝2(x－2)(x＋2) ＝2(x2－4) ＝2x2－8. (1)错因分析： (2)纠错：
时间很快过去，转眼间王林在恒岳 派已经 一个月 了。 王林现在知道，张虎的工作是砍柴 ，每日 要砍够 足量的 木材方 可吃饭 ，从他 成为恒 岳派记 名弟子 开始， 就一直 砍柴， 已经三 年了， 三年前 他往往 三四天 才能吃 上一顿 饭，全 凭喝水 填饱肚 子，现 如今他 已经把 时间缩 短，两 天就可 吃顿饭 。
张虎以一副可怜的目光看了眼王林 ，问道 ：“王 林，你 是不是 以为装 水的大 缸，就 和咱家 里用的 那样， 这么大 ”说着 ，他还 用手比 划了一 下。 王林心中升起不好的预感，点了点 头。
张虎苦笑，说道：“你一定是得罪 黄鼠狼 了，他 说的大 缸，是 和我们 这个屋 子差不 多大， 整整十 缸水… …王林 ，这些 甘薯我 不要了 ，你留 着吧， 我约莫 你能四 五天吃 一顿饭 就不错 了。你 是新来 的，山 里几个 产野果 的地方 都被别 人霸占 了，只 有老人 才能去 摘几个 ，我还 是明天 吃我的 野果吧 。”说 完，他 把剩下 的几块 甘薯放 在桌子 上，叹 了口气 ，重新 躺在床 铺睡下 。 王林心底冒起一丝邪火，他咬了咬 牙，想 到父母 满怀期 望的目 光，强 行把火 气压下 ，憋着 一肚子 气躺在 床上睡 着了。
中年人面带微笑，内心暗道：“王 林啊王 林，能 帮的我 都帮了 ，你四 叔给我 的那块 精铁， 我可就 却之不 恭了。 我倒是 很奇怪 ，一个 凡人， 居然能 弄到这 等材料 。” “黄鼠狼”王林一怔，他第一个想到 的就是 之前嘲 笑自己 的那个 黄衣青 年，觉 得他比 较符合 这个称 呼，可 心里不 知到底 对方说 的是不 是他。