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期末复习专题一——勾股定理与实数【知识要点】例1 在边长为c 的正方形中，有四个斜边为c 的全等直角三角形，已知其直角边长为a ，b 。
你能利用这个图证明出勾股定理吗?例2 已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，试求第三边、此直角三角形的周长、面积，以及第三边上的高。
例3 △ABC 中，若AC ＝15，BC ＝13，AB 边上的高CD ＝12，试求△ABC 的周长。
例4 已知Rt △ABC 中，∠C =90°，若a +b =14cm ，c =10cm ，试求Rt △ABC 的面积。
例5 已知：等腰三角形底边上的高为8，周长为32，试求此等腰三角形的面积。
例6-1 下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是（ ） A ．a =1.5，b =2，c =3 B ．a =7，b =24，c =25 C ．a =6，b =8，c =10D ．a =3，b =4，c =5例6-2 三角形的三边长满足22()2a b c ab +=+，则这个三角形是（ ）A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形例7-1 如图7阴影部分是一个半圆，求阴影部分的面积。
例7-2 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，求图中格点四边形ABCD 的面积。
例7-3 已知：如图，⊿ABC 中，∠ACB = 90，AB = 5cm ，BC = 3 cm ，CD ⊥AB 于D ，求CD 的长及三角形的面积。
例7-4 如图，在一块边长为cm 20的地砖铺设的广场上，一只飞来的鸽子落在A 点处，，鸽子要吃完小朋友洒在B 、C 处的鸟食，最少需要走多远？例7-5 如图，A 、B 是笔直公路l 同侧的两个村庄，且两个村庄到公路的距离分别是300m 和500m ，两村庄之间的距离为d(已知d 2=400000m 2)，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。
问最小是多少？例8 在如下图所示的方格中，作出三边分别是5,22,3的三角形，并判断所作的三角形是直角三角形吗，说明理由。
(直打版)北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题(经典)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(直打版)北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题(经典)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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baD C第一章 勾股定理知识点一：勾股定理定义画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长;一个直角边为5和12的直角△ABC,量AB 的长发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2）1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，(用几何语言表示)⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点,则斜边中线 ；⑶若∠B=30°,则∠B 的对边和斜边: ；（给出证明) ⑷三边之间的关系: 。
知识点二：验证勾股定理知识点三：勾股定理证明（等面积法）例1.已知：在△ABC 中,∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c.求证：a 2＋b 2=c 2。
证明：例2.已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
证明:知识点四：勾股定理简单应用 在Rt △ABC 中，∠C=90°(1) 已知：a=6, b=8,求c (2) 已知：b=5，c=13,求abb bccccaa aabbb ba accaaA B D知识点五:勾股定理逆定理如果三角形的三边长为c b a ,,，满足222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤: ①先找出最大边（如c)②计算2c 与22a b +，并验证是否相等。
北师大版八年级上册数学第3讲《勾股定理复习》知识点梳理【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：a b 、c 222a b c +=a b c 、、222a b c +=（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证：与是否具有相等关系： 若，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形； 若时，△ABC 是锐角三角形； 若时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股数，当t 为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、（2016•益阳）在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．c 22a b +2c 222a b c +=222a b c +＞222a b c +＜222x y z +=x y z 、、a b c 、、at bt ct 、、a b c 、、a b c <<2a b c =+2729【思路点拨】根据题意正确表示出AD 2的值是解题关键.【答案与解析】解：如图，在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，设BD=x ，则CD=14﹣x ，由勾股定理得：AD 2=AB 2﹣BD 2=152﹣x 2，AD 2=AC 2﹣CD 2=132﹣（14﹣x ）2，故152﹣x 2=132﹣（14﹣x ）2，解之得：x=9．∴AD=12．∴S △ABC =BC •AD=×14×12=84．【总结升华】此题主要是要读懂解题思路，然后找到解决问题的切入点，问题才能迎刃而解.举一反三：【变式】在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12．求△ABC 的周长．【答案】解：在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理，得．∴ ．同理．∴ ．①当∠ACB ＞90°时，BC ＝BD －CD ＝9－5＝4．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋4＋13＝32．22222151281BD AB AD =-=-=9BD =22222131225CD AC AD =-=-=5CD=②当∠ACB ＜90°时，BC ＝BD ＋CD ＝9＋5＝14．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋14＋13＝42．综上所述：△ABC 的周长为32或42．2、如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，M 为AB 上一点．求证：．【思路点拨】欲证的等式中出现了AM 2、BM 2、CM 2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作CD ⊥AB ．【答案与解析】证明：过点C 作CD ⊥AB 于D ．∵ AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴ AD ＝BD ．∵ ∠ACB ＝90°，∴ CD ＝AD ＝DB ．∴ 在Rt △CDM 中，，∴ ．【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．举一反三：【变式】已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上任一点，求证：.2222AM BM CM +=()()2222AM BM AD DM AD DM +=-++222222AD AD DM DM AD AD DM DM =-⋅+++⋅+222()AD DM =+222()CD DM =+222CD DM CM +=2222AM BM CM +=22AB AD BD CD -=⋅【答案】解：如图，作AM ⊥BC 于M ，∵AB ＝AC ，∴BM ＝CM,则在Rt △ABM 中：……①在Rt △ADM 中：……②由①－②得： ＝ （MC ＋DM ）•BD ＝CD ·BD类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2014秋•黎川县期中）如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF 的形状，并说明理由．【思路点拨】根据勾股定理求出BE 2、EF 2、BF 2，根据勾股定理的逆定理判断即可．【答案与解析】解：∵△BEF 是直角三角形，理由是：∵在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，∴∠A=∠C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC=4，DE=4﹣2=2，CF=4﹣1=3，∵由勾股定理得：BE 2=AB 2+AE 2=42+22=20，EF 2=DE 2+DF 2=22+12=5，BF 2=BC 2+CF 2=42+32=25，∴BE 2+EF 2=BF 2，∴∠BEF=90°，222AB AM BM =+222AD AM DM =+22AB AD -=()()22BM DM BM DM BM DM -=+-即△BEF是直角三角形．【总结升华】本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出BE2+EF2=BF2.4、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ． (1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论． (2)若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．【答案与解析】 解：(1)猜想：AP=CQ 证明：在△ABP与△CBQ中， ∵ AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60° ∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ ∴△ABP≌△CBQ∴ AP=CQ (2)由PA：PB：PC=3：4：5 可设PA=3a，PB=4a，PC=5a 连结PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60° ∴△PBQ为正三角形∴ PQ=4a 于是在△PQC中，∵∴△PQC是直角三角形【总结升华】本题的关键在于能够证出△ABP≌△CBQ，从而达到线段转移的目的，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求DC 的长．【答案】解：在△ABD 中，由可知：，又由勾股定理的逆定理知∠ADB ＝90°．在Rt △ADC 中，．5、如果ΔABC 的三边分别为，且满足，判断ΔABC 的形状.【答案与解析】解：由，得 ： ∴ ∵ ∴ ∵ , ∴ . 由勾股定理的逆定理得：△ABC 是直角三角形.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用到.类型三、勾股定理的实际应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处爬到B 处的最短路线长为多少?22212513+=222AD BD AB +=22281,9DC AC AD DC =-==a b c 、、222506810a b c a b c +++=++222506810a b c a b c +++=++2226981610250a a b b c c -++-++-+=222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=222(3)0(4)0(5)0a b c -≥-≥-≥，，3,4, 5.a b c ===222345+=222a b c +=【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况．【答案与解析】解：如图②③所示．因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度．在图②中，由勾股定理，得．在图③中，由勾股定理，得．因为130＞100，所以图③中的AB 的长度最短，为10，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10．【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解．举一反三：【变式】（2014秋•郑州期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？222311130AB =+=22268100AB =+=cm cm【答案】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，∵BC=20尺，AC=5×3=15尺，∴AB==25（尺）．答：葛藤长为25尺．。
八年级北师版数学上册第一第二章勾股定理和实数全部习题和知识要第一章勾股定理 1.探索勾股定理课时1名师导航2预习指南知识要点勾股定理如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2?b2?c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的作用勾股定理是直角三角形的重要性质之一，它把直角三角形的“形〞的特征转化为两直角边的平方和等于斜边的平方的“数〞的关系。
其主要应用有：〔1〕直角三角形的两边，求第三边，求第三边；〔2〕直角三角形的一边，确定另两边的关系；〔3〕证明含平方关系的问题等。
有时还要构造直角三角形，以便利用勾股定理。
经典例析例：：如图，在△ABC中，∠ACB＝分析：由于△ABC为直角三角形，就可先由勾股定理求出BC。
再根据面积求出CD的长。
解：由勾股定理可得AC2?BC2?AB2,即32?BC2?52，所以BC?4。
1212 ，AB＝5cm，AC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.?S?ABC?AC?BC?AB?CD, ∴1?3?42?12?5?CD, ∴CD?125.点评：此题关键在于用好勾股定理以及利用等面积法求高线。
△ABC中，∠C=90°，〔1〕假设a=5，b=12，那么c=_______；〔2〕假设a=9，c=41，?那么b=_____．2〔2022年甘肃省白银市〕等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，那么它底边上的高为 4 ． 3.直角三角形的两直角边长分别为5cm和12cm，那么斜边上的高为__．4．如下图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，?一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢至少飞了_______m．5．一直角三角形的斜边比一直角边大2，另一条直角边长为6，那么斜边的长是〔〕 A．4 B．8 C．10 D．12 6．假设直角三角形的两直角边各扩大1倍，那么斜边扩大〔〕 A．1倍 B．1倍C．2倍 D．4倍127．如图，字母A代表的正方形面积是100，字母B代表的正方形面积是64，那么字母C代表的正方形边长是〔〕A．36 B．18 C．6 D．以上都不对8．如图，求以下阴影局部的面积与周长．9．如图，是某人在岛上的寻宝图，登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向走6千米，往东一拐仅1千米找到宝藏，?问登陆点到宝藏点的直线距离是多少？10．在池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花高出水面半尺，一阵风吹来把荷花吹倒在一边，荷花倒在水面位置距荷花直立水平距离为2尺，如图，试问池塘深浅几何？课时2名师导航2预习指南知识要点勾股定理的验证〔1〕通过测量进行验证；〔2〕用直角三角形和正方形通过拼图进行验证。
新北师大版八年级上数学勾股定理知识点+对应练习编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（新北师大版八年级上数学勾股定理知识点+对应练习）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为新北师大版八年级上数学勾股定理知识点+对应练习的全部内容。
勾股定理1、勾股定理定义：直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2。
ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边2.勾股定理定义的应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC∆中，90C∠=︒,则c，b=，a=)（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题例。
在Rt△ABC中,∠C=90°(1）若a=5，b=12，则c=________；（2）b=8，c=17,则S△ABC=________。
3。
勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式,推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHS S S∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c⨯+-=,化简可证方法二：cb aHGFEDCBAbacbaccabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=4.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2＝c 2,那么这个三角形是直角三角形。
新北师大版八年级上数学勾股定理知识点+对应练习1、勾股定理定义：直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方。
如果用a ；b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边；那么a 2＋b 2＝c 2.ABCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 2.勾股定理定义的应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中；90C ∠=︒；则22c a b =+；22b c a =-；22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系；求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 例. 在Rt △ABC 中；∠C=90°（1）若a=5；b=12；则c=________； （2）b=8；c=17；则S △ABC =________。
3.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多；常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后；只要没有重叠；没有空隙；面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法；列出等式；推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ；2214()2ab b a c ⨯+-=；化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=4.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2＝c 2；那么这个三角形是直角三角形。
5.勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ；b ；c 、为勾股数；那么cba HG FEDCBAbacbac cabcabka ；kb ；kc 同样也是勾股数组。
）常见勾股数：3；4；5； 6；8；10； 9；12；15； 5；12；137 24 25 ；8 15 17注：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法；它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状；在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边；不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系；若c 2＝a 2+b 2；则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 若c 2>a 2+b 2；则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形； 若c 2<a 2+b 2；则△ABC 为锐角三角形。
